期末冲刺特训卷（含解析）-2024-2025年数学九年级下册人教版

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期末冲刺特训卷-2024-2025年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
4．如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，，平分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．一堤坝的横截面如图所示，坡角，坡面长度25米，为了使堤坝更加牢固，欲改变堤坝的坡面，使得坡角为35°，则此时应将坝底向外拓宽（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
8．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知反比例函数的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的值是 ．
10．如图，在中，，是上一点，且．若，则的长为 ．
11．中，均为锐角，且满足，则 度．
12．如图，，若，，则 ．

13．如图，点E在上，，边上的中线与相交于点P，延长至点F，使得，连接，则的值是 ．
14．如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论：若，则；若，，，则；若，则；若，，则．其中正确的有 （只填序号）．
三、解答题
15．如图，在中，是的中点，，交于点为上一点，连结，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
16．为测量校园内某一棵树的高度，数学应用实践小组决定采用如下方案进行测量：如图，选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部．
根据测量方案回答下列问题：
(1)_____（填“>”、“<”或“=”）；
(2)求证：；
(3)测得数据，，，求树的高度．
17．（1）画出小颖在路灯下影长的线段．
（2）画出下列几何体的主视图．
18．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳．
(1)求台灯光线最佳时的度数；
(2)求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，）
19．如图，在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上的动点，点的横坐标为，点的坐标为，在的右侧作矩形，且使为轴上且位于点右侧的点．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，与有怎样的数量关系？并说明理由；
(3)如图3，当为何值时，．
20．小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题．
请你解决这些问题：
(1)把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____；
(2)如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由；
(3)如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数．
21．如图，在矩形中，，，点在上，，是上一点，将矩形沿折叠，点落在点处．连接，与相交于点，设．
(1)____________；
(2)求线段的最小值，并求此时的值；
(3)若点在的内部，求的取值范围．
22．综合与实践
(1)特例感知
如图1，点、分别是线段的三等分点，以为边作等边三角形，连接，
则的度数是______；写出图中一个与相等的角______．
(2)类比探究
如图2，在中，，点、在边上，连接、，若是等边三角形，请你探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展延伸
在（2）的条件下，若以、、为边的三角形恰好是直角三角形，直接写出的值．
《期末冲刺特训卷-2024-2025年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C C B A B
1．D
【分析】本题考查了三视图的知识．主视图是从正面所看到的图形，根据定义和立体图形即可得出选项．
【详解】
解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是：
故选：D．
2．C
【分析】本题考查的是位似变换、平行四边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
，
∴点C的坐标为，
∵以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，
∴点C的对应点的坐标为或，
即或，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可．
【详解】解：根据电压电流电阻，设，
将点代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解．
先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值．
【详解】，
，
，
已知，设，则，
，
与的相似比为，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
根据题意，得出，，证明，然后即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
则，
解得：，
∵，
∴，
∴；
故选：C；
6．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
先确定反比例函数的图象经过第二四象限，点和点分别在第二象限和第四象限，则可得到．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象经过第二四象限，
∴在第二象限，
∴，
∵，
∴在第四象限，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作，再根据求出，然后根据求出，最后根据得出答案．
【详解】解：如图所示，过点A作，交于点E，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴米．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，圆内接四边形，求正切值，过点作于点，设，然后根据正方形的性质求出，然后利用勾股定理求出，，，，利用面积法求出，，从而求出，最后求出，从而求出的正弦值，然后证明，，，四点共圆，从而得到，求出答案即可，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长．
【详解】解：如图所示：过点作于点，
设，
为边的中点，
，
四边形是正方形，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
的面积，
，
，
，
的面积，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
故选：B．
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质．对于反比例函数，（1）当时，反比例函数图象在一、三象限；（2）当时，反比例函数图象在第二、四象限内．
根据反比例函数的图象在第二、四象限，列出不等式，求得m的取值范围，然后在m的取值范围内任取一个m值．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∴m可以取，
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：由题知，，
，
，
，
∴，
则，
，
，
又，
，
故答案为：2．
11．75
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和求出即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴；
故答案为：75．
12．6
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，从而可得，代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
13．3
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质及三角形相似的判定与性质，先证明，得到，，从而得到，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：∵边上的中线与相交于点，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】由平行四边形性质得，，，所以，则，可证明，得，则，可判断正确；由，，得，可证明，得，，则四边形是菱形，所以，则，所以，则，可判断正确；由，证明，得，因为，所以，则四边形是菱形，可证明，得，可判断正确；当时，四边形是菱形，则，若与不垂直，则上还存在一点，使，假设，可证明，而另一点也满足，但与不平行，可判断不符合题意．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，故正确；
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，
，
如图，当与不垂直时，上还存在一点，使，
假设，
在和中，
，
，
，
，
，
而另一点也满足，但与不平行，
与不一定平行，故不符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．
（1）由，易证，，由相似三角形的性质得，，得出，从而可得结论；
（2）由（1）知，推出，求出 ，再根据，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴ ，，
∵是的中点，即，
∴，即，
∴即；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴．
16．(1)=
(2)证明见解析
(3)米
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
（1）根据光的反射定律可知，反射光线与入射光线与法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角 ，再由等角的余角相等即可得出结论；
（2）由两角对应相等的两个三角形相似即可证明，
（3）由相似三角形的对应边成比例，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：如图，是法线，，
由光的反射定律可知 ：，
又∵，
∴．
故答案为：=．
（2）由题意可知：，，
，
（3）∵，
，
又∵，，，
，
，
答：树的高度为米．
17．见解析
【分析】本题考查视图和中心投影的特点与应用
（1）从路灯顶部向小颖的头部画一条直线，然后从这条直线向下延伸到地面，即可得小颖的影子．
（2）主视图是从物体的正面看得到的视图．
【详解】解：（1）如图，为所求；
（2）如图，
18．(1)
(2)点到桌面的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）过点C作，由题意得，再结合，，利用平行线的性质即可解答；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
又∵，，，
∴，
∴（cm），
答：点到桌面的距离约为．
19．(1)详见解析
(2)，详见解析
(3)
【分析】（1）由，而，即可求解；
（2）由直线的表达式知，，而，即，即可求解；
（3）证明，且，即为等腰三角形，作于点，则，进而利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：时，点，则，
，
，
，
；
（2）解：，理由：
点的横坐标为，点是一次函数图象上的动点，
点的纵坐标为，
，
，
，
为的外角，
，
；
（3）解：由(2)知，
当，
，
，且，即为等腰三角形，
如图，作于点，则=，
设，则，
，
，
，
设点，
，
解得：(负值已舍去)．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，解直角三角形、矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握函数的图象和性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
20．(1)
(2)，理由见解析
(3)．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理．
（1）利用相似三角形的性质即可求解；
（2）由相似三角形的性质求得，，推出，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到；
（3）由相似三角形的性质求得，利用邻补角的性质求得，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．(1)
(2)最小值为8，
(3)
【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求出，根据，可得结论；
（3）如图2中，当点落在上时，求出的长，如图3中，当点落在上时，求出，可得结论．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
．
，，
．
故答案为：．
（2）如图1中，连接，．
在中，，，，
．
，
的最小值为8．此时，，共线．
设，则有，
解得．
（3）如图2中，当点落在上时，
，，
．
，
．
．
如图3中，当点落在上时，过点作于．
四边形为矩形，
．
四边形为矩形．
则，
在中，，，
．
，
，．
．
．
．
．
．
．
综上可知当时，点在的内部．
22．(1)； , ,
(2)理由见解析
(3)或
【分析】（1）由点、分别是线段的三等分点，得到，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得
（2）根据三角形的内角和定理得到，根据等边三角形的性质得到 ，根据相似三角形的性质得到；
（3）根据勾股定理得到或，然后根据（2）的结论和勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：∵点、分别是线段的三等分点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：
理由： ∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴， ，
，
，
，
，
，
；
（3）解：∵以、、为边的三角形恰好是直角三角形，
或，
①当时，
；
，
解得（负值舍去），
；
②当时，
；
，
解得
（负值舍去），
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
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