相似三角形中的辅助线
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相似三角形中的辅助线
在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
一、作平行线
例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：
B
D
A C
F
证明：过点C作CG//FD交AB于G
B
G
D
A C
F
又，
，
小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。
方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N
二、作垂线
3. 已知：如图两个等积、，若AC、BD交于E，EF∥AB，EG∥CD，分别交BC于F、G，求证：CF=BG。
证明：
∵ EF∥AB ∴ EG∥CD ∴
∵ ∴ ∴
即 ∴
∴ ∴ ∴ CF=BG
4. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。
证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽
∴ ∴ （1）
又 ∽ ∴ ∴ （2）
（1）+（2）
又 ∴ AN=CM
∴
三、作延长线
例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA、CD交于点P
∵CH⊥AB，CD平分∠BCD
∴CB=CP，且BH=PH
∵BH=3AH
∴PA：AB=1：2
∴PA：PB=1：3
∵AD∥BC
∴△PAD∽△PBC
∴
例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF
解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则
∴
又ED=EC ∴FG=FH
又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴ ∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C
又 BD=DC ∴ ∴
∴ ∽ ∴ 又 DC=1 MC=BC
∴ （1）
又 ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ （2）
由（1）（2）得， ∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键
综合练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF×BC=AC×DF
2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。
3、. 理由？（用三种解法）
1、证明：
过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，
∴∵BE＝AD,∴ ①
由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，
∴ ∴ ②
由①②得，
∴EF×BC＝AC×DF
2、证明：
过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形
∴ PFEC ∵ ∴ ∽
∴ ∵ EC=PF ∴ （1）
在和中：CP⊥MN于Q ∴
又 ∵ ∴
∴ ∽ ∴ 即 （2）
由（1）（2）得
3、
方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。
图（1）
方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC
图（2）
在△BED与△BCD中，
方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。
图（3）
在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：
一、作平行线
例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：
B
D
A C
F
证明：过点C作CG//FD交AB于G
B
G
D
A C
F
又，
，
小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC中，AB
方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。
方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N
二、作垂线
3. 已知：如图两个等积、，若AC、BD交于E，EF∥AB，EG∥CD，分别交BC于F、G，求证：CF=BG。
证明：
∵ EF∥AB ∴ EG∥CD ∴
∵ ∴ ∴
即 ∴
∴ ∴ ∴ CF=BG
4. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。
证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽
∴ ∴ （1）
又 ∽ ∴ ∴ （2）
（1）+（2）
又 ∴ AN=CM
∴
三、作延长线
例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。
解：延长BA、CD交于点P
∵CH⊥AB，CD平分∠BCD
∴CB=CP，且BH=PH
∵BH=3AH
∴PA：AB=1：2
∴PA：PB=1：3
∵AD∥BC
∴△PAD∽△PBC
∴
例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF
解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则
∴
又ED=EC ∴FG=FH
又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴ ∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C
又 BD=DC ∴ ∴
∴ ∽ ∴ 又 DC=1 MC=BC
∴ （1）
又 ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ （2）
由（1）（2）得， ∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键
综合练习题
1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
求证：EF×BC=AC×DF
2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。
3、. 理由？（用三种解法）
1、证明：
过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，
∴∵BE＝AD,∴ ①
由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，
∴ ∴ ②
由①②得，
∴EF×BC＝AC×DF
2、证明：
过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形
∴ PFEC ∵ ∴ ∽
∴ ∵ EC=PF ∴ （1）
在和中：CP⊥MN于Q ∴
又 ∵ ∴
∴ ∽ ∴ 即 （2）
由（1）（2）得
3、
方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。
图（1）
方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC
图（2）
在△BED与△BCD中，
方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。
图（3）