8.1.2 向量数量积的运算律 课件(共16张PPT)2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修3

(共16张PPT)
8.1.2 向量数量积的运算律
人教B版(2019)必修第三册
1.掌握向量数量积的运算律.
2.能根据运算律解决一些向量数量积的运算问题.
问题：实数乘法有哪些运算律？结合向量的线性运算的运算律，猜想向量数量积的运算律.
①
③
②
实数乘法
猜想
①a·b=b·a；
③(a+b)·c=a·c+b·c.
②(ab)·c=a·(bc)；
向量数量积
向量数量积的运算律的猜想、证明：
猜想①：当a，b是两个非零向量时，因为 = ，所以根据 a·b = |a| |b| cos ，b·a= |b| |a| cos 可知：
即向量数量积满足交换律，猜想①成立！
a·b =b·a
m
n
猜想 ②：
但 与 a 不一定是共线的，故猜想 ② 不成立！
思考：三个向量不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘是否满足结合律呢？
（1）当，中至少有一个是零向量或λ = 0时： (λ)·= λ() ；
两个向量和一个实数相乘：
猜想 (λ)·= λ(·)
综上所述，猜想成立，即两个向量和一个实数相乘满足结合律.
（2）若 λ > 0：则|λ| = λ||，且 λ的方向与的方向相同，从而
<，> = <，>，
因此 (λ)·= |λ|·|| cos <，> = λ||·|| cos <，> = λ(·)；
（3）若 λ < 0：则|λ| = – λ||，且 λ的方向与的方向相反，从而
<，> = π – <，>，
因此 (λ)·= |λ|·|| cos <，> = – λ||·|| cos(π – <，>) = λ(·).
猜想③：(a+b)·c=a·c+b·c
（1）当a，b，c中至少有一个是零向量时： (a+b)·c=a·c+b·c成立；
（2）当a，b，c均不为零向量时：
此时，|c| ≠ 0，设c0= ，即c0是与c同向的单位向量；
如图所示，设点O与c0都在直线 l 上，且 =a， =b，
则 = + = a+ b.
过 A，B 分别作直线 l 的垂线AA'，BB'，
由向量投影的定义可知，a在c0上的投影为，b在c0上的投影为，
a+b在c0上的投影为；
又因为 = + ，
所以根据向量数量积的几何意义可知
(a+b)·c0= a·c0+b·c0，
式子两边同时乘以 |c|，即可知
(a+b)·c=a·c+b·c，即向量数量积对加法满足分配律；
同理可证：a·(b+c)=a·b+a·c，(a-b)·c=a·c-b·c.
b
a
A
B
O
A
a + b
B
c0
l
对于向量a，b，c和实数 λ，有：
向量数量积的运算律
（1）a·b =b·a；
（2）(λa)·b = λ(a·b)；
（3）(a±b)·c=a·c±b·c.
思考：“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？
不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．
例1 已知a与b的夹角θ=150°，且|a|=3，|b|=4，求:
(1)(a+b)·(a-2b)；(2)|a+2b|.
解:(1)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2
=|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2
=32-3×4×cos 150°-2×42
=-23+6.
(2)∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2
=32+4×3×4×cos 150°+4×42
=73-24，
∴|a+2b|=.
例2 已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直，求k的值.
解:∵3a+2b与ka-b互相垂直，
∴(3a+2b)·(ka-b)=0，
∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.
∵a⊥b，∴a·b=0，
又|a|=2，|b|=3，∴12k-18=0，k=.
例3 求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
1.下列说法正确的是(　　)
A.|a·b|=|a||b|
B.a·b≠0 |a|+|b|≠0
C.a·b=0 |a||b|=0
D.(a+b)·c=a·c+b·c
2.若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
D
C
3.已知向量a、b的夹角为60°，|a|＝|b|＝1，且向量a与λb－a垂直，则实数λ＝________.
4.设向量a，b满足|a+b|=，|a-b|=，则a·b=________.
2
1
向量数量积的运算律
交换律
结合律
分配律
a·b =b·a
(λa)·b = λ(a·b)
(a±b)·c=a·c±b·c