8.1.3 向量数量积的坐标运算 课件(共19张PPT)2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修3

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名称 8.1.3 向量数量积的坐标运算 课件(共19张PPT)2024-2025学年高一数学人教B版(2019)必修3
格式 pptx
文件大小 736.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-04-24 15:20:18

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文档简介

(共19张PPT)
8.1.3 向量数量积的坐标运算
人教B版(2019)必修第三册
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算,并能推导平面内两点间的距离公式,解决平面几何问题.
平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示
平面向量是否也有类似的表示呢
a
y
O
x
e1
e2
a·e2
a·e1
回顾:在平面直角坐标系中,分别给定与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量 e1,e2,则对平面内的向量a,有a= xe1+ ye2,其中(x,y)就是向量 的坐标,记作a= (x,y);且{e1,e2}是一组单位正交基底,即
e1·e1= e2·e2= 1,e1·e2= e2·e1= 0;
因此a·e1= (xe1+ ye2)·e1= xe1·e1+ ye2·e1= x;
同理,a·e2 = y,所以a= (a·e1)·e1 + (a·e2)·e2;
即a在单位正交基底{e1,e2}下的坐标为 (a·e1,a·e2),
(如图所示).
问题1:设a,b,如何用坐标表示a· b呢?
即:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},
使得 a= x1e1+ y1e2,b= x2e1+ y2e2,
因此a·b = (x1e1 + y1e2)·(x2e1+ y2e2)
= x1x2e1·e1+ x1y2e1·e2 + y1x2e2·e1+ y1y2e2·e2
= x1x2e12 + y1y2e22 = x1x2 + y1y2.
从而
问题2:若 ,该如何计算向量的模 || 呢?
由可知,,即
.
问题3:设, 都是非零向量, 如何用坐标表示向量,的夹角 θ?
由上可知,,,,
又,所以
拓展:平面直角坐标系中两点之间的距离公式
在平面直角坐标系中,如果 A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2 – x1,y2 – y1),
从而 ·= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2,因此 || = .
(1)向量的数量积坐标公式:;
(2)向量的模坐标公式:,;
(3)向量夹角坐标公式:
(4)两点间的距离公式:|| = .
讨论1:公式a·b=|a||b|cos〈a,b〉与a·b=x1x2+y1y2有什么区别与联系?
两个公式都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式的差异,可以相互推导;
若题目给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉求解,
若已知两向量的坐标,则可选用a·b=x1x2+y1y2求解.
讨论2:若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角,对吗?
不对,
当两向量同向共线时,cos θ=1>0,但夹角θ=0,不是锐角.
例1 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c).
解:(1)(方法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0),
∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(方法二)a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-5,2),
∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)]·(2,1)=(2,1),
a·(b·c)=(-1,2)·[(3,2)·(2,1)]=(-8,16).
例2 已知向量a=(1,2),b=(-3,4),求cos.
问题4:设a,b,如何用坐标表示a⊥b呢?
由向量垂直可知,如果⊥,则;反之,如果,则⊥.
换用两向量的数量积坐标表示,即为:
如果⊥,则 x1x2 + y1y2 = 0;反之,如果 x1x2 + y1y2 = 0,则⊥.
综上所述,有
⊥ x1x2 + y1y2 = 0
例3 已知a=(4,-3),b=(-1,2).若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
解:∵(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=0,
∴2a2+(1-2λ)a·b-λb2=0,
∵a2=25,b2=5,a·b=-4-6=-10,
∴50-10(1-2λ)-5λ=0,
解得λ=-.
例4 已知△ABC中,C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.
证:建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),则B(0,a),E(x,y).
∵D是BC的中点,∴D(0,),
又∵=2,即(x-a,y)=2(-x,a-y),∴,
解得,∴E(,).
例4 已知△ABC中,C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.
∵=(0,)-(a,0)=(-a,),==(,),
∴·=(-a)·+·=0,
∴⊥,即AD⊥CE.
1.若向量a=(m,1),b=(-2,2),且a·b=2,则m等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC是(  )
A.锐角三角形     B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
B
B
3.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于(  )
A.23 B.57 C.63 D.83
4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(  )
A. B.10 C.5 D.25
D
C
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
平面向量垂直、夹角的坐标表示
平面向量模的坐标表示