9.1.1 正弦定理 课件（26张PPT） 2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第四册
文档属性
| 名称 | 9.1.1 正弦定理 课件（26张PPT） 2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第四册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-24 14:16:21 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
9.1.1 正弦定理
1.了解正弦定理的推导过程.
2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（重点、难点）
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了与的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？
探究1：正弦定理
A
B
C
b
D
思考1：已知中，,,,求的面积.
因为
所以
解析:
解析:
A
B
C
b
D
思考2：一般地，在中，已知,与角，如何求的面积？
（1）若角为直角，,
所以
（2）若角为锐角，
所以
追问：角为钝角时，如何求的面积？
A
B
C
a
b
D
（2）若角为钝角，
所以
解析:
三角形面积公式
思考3：若已知与角或与的值，则的面积是多少？你有什么发现？
S ABC=absinC=acsinB=bbsinA
文字语言
符号语言
S ABC=absinC=acsinB=bbsinA
===
∵sin A>0,sin B>0,sin C>0,则有
正弦定理:
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即:
例1
解析:
①
②
③
因为
所以由正弦定理
已知 ABC中，B=75°,C=60°,a =10,求A和b,c
已知两角及一边解三角形的一般步骤
(1)若所给边是已知角的对边时 ，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
①
②
③
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
①
②
③
AAS有且只有一解
方法总结
跟踪训练1
解：
由正弦定理得
同理
已知 ABC中，A=30°,C=45°,a =20,求B和b,c
例2
解析：
B
A
C
由正弦定理得：
①
因为所以或
在 ABC中,已知,a =2,b=2,A=30°求解这个三角形.
(1)当 时，
(2)当时，
此时是等腰三角形，从而由等角对等边可知 c = = 2.
此时为直角三角形，且为斜边，
则= = = 4；
解析：
B
A
C
①
检验1
内角和定理
检验2
大边对大角
由正弦定理 ,
①时，
②时，,舍去
,,
例3
在 ABC中,已知B=120°,c =6,b=3,求A,C及三角形面积
例4
解析：
由正弦定理
不存在这样的三角形
在 ABC中,已知A=30°,a =1,c=4,解这个三角形
已知两边及一边的对角解三角形的一般步骤
（1）可由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
（2）SSA解的个数可能：一解；两解；无解.根据正弦值范围、大边对大角、内角和定理判断.
方法总结
解析：
探究：如图，已知两边a、b 和其中边 a 的对角 A,利用几何图形，判断何时无解，一解，两解？
A
B
C
a
b
c
A
a
a
C
B
B
b
a
A 为 锐 角 图形
关系
解的个数 0 1 2 1
A 为 钝 角 或 直 角 图形
关系
解的个数 0 0 1 1
跟踪训练2
解:（1）由正弦定理得= ，∴＝＝＝.
又＝，＝，∵，∴，故＝30°，
∴.
由正弦定理得＝，
∴＝＝＝2.
∴，，.
在 ABC中,根据下列条件解这个三角形
(1)A=60°,c=,a=;
(2)a=,b=,B=45°.
解：(2)由正弦定理，得＝＝＝.
∵∴或.
当时，，∴＝＝＝；
当时，，∴＝＝＝.
∴，，＝或，，＝.
跟踪训练2
在 ABC中,根据下列条件解这个三角形
(1)A=60°,c=,a=;
(2)a=,b=,B=45°.
探究点2：正弦定理的变形及应用
思考：观察 的形式，说说那么这个比值有什么特殊含义？
其中 c 是 △ABC 与 Rt△ABC 的外接圆的直径.
c
O
A
B
C
a
b
B'
(R为△ABC外接圆的半径).
所以对任意△ABC，均有
无论怎么移动 B'，都有
所以在△ABC'中
作出如图所示图像，由图可知：
正弦定理的变形
（1） ，，；
（2），， ；
（3） ，，
知识归纳
在△ABC中，已知 sin2A + sin2B = sin2C，求证：△ABC是直角三角形.
设 = k，则 k ≠ 0，
且 sin A = ，sin B = ，sin C = ；
例5
解析:
又因为 sin2A + sin2B = sin2C，
所以 + = ，即 2 + b2 = c2；
因此由勾股定理的逆定理可知 ABC 是直角三角形.
在 △ABC 中，已知 ∠BAC 的角平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： .
证明：如图，设∠ADB = α，∠BAD = β，
则由题意可知∠ADC = π – α，∠CAD = β.
D
A
B
C
β
β
α
π–α
例6
在 ABD 和 ADC 中，应用正弦定理，
可得 ， = ，
两式相除得 .
解：由 及正弦定理得
∴sin2A=sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状.
跟踪训练3
正弦定理
定理应用
已知两角和一边，解三角形
已知两边和其中一边的对角→解三角形
（注意多解问题）
思想方法
特殊到一般、方程思想
数形结合、分类讨论
本
课
知
识
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
9.1.1 正弦定理
1.了解正弦定理的推导过程.
2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（重点、难点）
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了与的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？
探究1：正弦定理
A
B
C
b
D
思考1：已知中，,,,求的面积.
因为
所以
解析:
解析:
A
B
C
b
D
思考2：一般地，在中，已知,与角，如何求的面积？
（1）若角为直角，,
所以
（2）若角为锐角，
所以
追问：角为钝角时，如何求的面积？
A
B
C
a
b
D
（2）若角为钝角，
所以
解析:
三角形面积公式
思考3：若已知与角或与的值，则的面积是多少？你有什么发现？
S ABC=absinC=acsinB=bbsinA
文字语言
符号语言
S ABC=absinC=acsinB=bbsinA
===
∵sin A>0,sin B>0,sin C>0,则有
正弦定理:
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即:
例1
解析:
①
②
③
因为
所以由正弦定理
已知 ABC中，B=75°,C=60°,a =10,求A和b,c
已知两角及一边解三角形的一般步骤
(1)若所给边是已知角的对边时 ，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
①
②
③
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
①
②
③
AAS有且只有一解
方法总结
跟踪训练1
解：
由正弦定理得
同理
已知 ABC中，A=30°,C=45°,a =20,求B和b,c
例2
解析：
B
A
C
由正弦定理得：
①
因为所以或
在 ABC中,已知,a =2,b=2,A=30°求解这个三角形.
(1)当 时，
(2)当时，
此时是等腰三角形，从而由等角对等边可知 c = = 2.
此时为直角三角形，且为斜边，
则= = = 4；
解析：
B
A
C
①
检验1
内角和定理
检验2
大边对大角
由正弦定理 ,
①时，
②时，,舍去
,,
例3
在 ABC中,已知B=120°,c =6,b=3,求A,C及三角形面积
例4
解析：
由正弦定理
不存在这样的三角形
在 ABC中,已知A=30°,a =1,c=4,解这个三角形
已知两边及一边的对角解三角形的一般步骤
（1）可由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
（2）SSA解的个数可能：一解；两解；无解.根据正弦值范围、大边对大角、内角和定理判断.
方法总结
解析：
探究：如图，已知两边a、b 和其中边 a 的对角 A,利用几何图形，判断何时无解，一解，两解？
A
B
C
a
b
c
A
a
a
C
B
B
b
a
A 为 锐 角 图形
关系
解的个数 0 1 2 1
A 为 钝 角 或 直 角 图形
关系
解的个数 0 0 1 1
跟踪训练2
解:（1）由正弦定理得= ，∴＝＝＝.
又＝，＝，∵，∴，故＝30°，
∴.
由正弦定理得＝，
∴＝＝＝2.
∴，，.
在 ABC中,根据下列条件解这个三角形
(1)A=60°,c=,a=;
(2)a=,b=,B=45°.
解：(2)由正弦定理，得＝＝＝.
∵∴或.
当时，，∴＝＝＝；
当时，，∴＝＝＝.
∴，，＝或，，＝.
跟踪训练2
在 ABC中,根据下列条件解这个三角形
(1)A=60°,c=,a=;
(2)a=,b=,B=45°.
探究点2：正弦定理的变形及应用
思考：观察 的形式，说说那么这个比值有什么特殊含义？
其中 c 是 △ABC 与 Rt△ABC 的外接圆的直径.
c
O
A
B
C
a
b
B'
(R为△ABC外接圆的半径).
所以对任意△ABC，均有
无论怎么移动 B'，都有
所以在△ABC'中
作出如图所示图像，由图可知：
正弦定理的变形
（1） ，，；
（2），， ；
（3） ，，
知识归纳
在△ABC中，已知 sin2A + sin2B = sin2C，求证：△ABC是直角三角形.
设 = k，则 k ≠ 0，
且 sin A = ，sin B = ，sin C = ；
例5
解析:
又因为 sin2A + sin2B = sin2C，
所以 + = ，即 2 + b2 = c2；
因此由勾股定理的逆定理可知 ABC 是直角三角形.
在 △ABC 中，已知 ∠BAC 的角平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： .
证明：如图，设∠ADB = α，∠BAD = β，
则由题意可知∠ADC = π – α，∠CAD = β.
D
A
B
C
β
β
α
π–α
例6
在 ABD 和 ADC 中，应用正弦定理，
可得 ， = ，
两式相除得 .
解：由 及正弦定理得
∴sin2A=sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状.
跟踪训练3
正弦定理
定理应用
已知两角和一边，解三角形
已知两边和其中一边的对角→解三角形
（注意多解问题）
思想方法
特殊到一般、方程思想
数形结合、分类讨论
本
课
知
识
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等