(共27张PPT)
11.4.1 课时2 直线与平面垂直的性质定理及应用
1.掌握线面垂直的性质定理，并能应用.（重点）
2.掌握直线与平面所成角的定义.（重点）
3.理解三垂线定理并能灵活应用.
4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题.（难点）
问题1：如果直线垂直于一个平面，直与直线平行，那么直线与平面是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
问题引入
（一）直线与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(2)图形语言：
(3)符号表示：如果l∥m，l⊥α，则m⊥α.
性质1
如何证明这个结论
问题2： 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示,猜测结果并说明理由.
(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
(2)图形语言：
(3)符号表示：如果l⊥α，m⊥α，则l∥m.
性质2
如何证明这个结论
1．思考辨析
(1)垂直于同一条直线的两直线平行．( )
(2)垂直于同一条直线的两直线垂直．( )
(3)垂直于同一个平面的两直线平行．( )
(4)垂直于同一条直线的一条直线和平面平行．( )
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则( )
A．B1B⊥l B．B1B∥l C．B1B与l异面 D．B1B与l相交
答案：B 因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B．
×
×
×
√
试一试
例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．
证明 (1) ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(2)M是AB的中点．
1. 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,
且EF⊥平面ABCD.
求证:EF∥AA1.
证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,
AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,
∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.
练一练
（二）直线与平面所成的角
斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻了结构重量,节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.
(1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗
不同.
(2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗
能.
(3)直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗
能.
相交
垂直
直线PA
交点
点A
斜足
直线AO
垂线
垂足
归纳总结
直角
练一练
2.
3.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于 .
答案:45°
练一练
4.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.
练一练
证明:过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,
所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PA=PB=PC=a, 所以△PAO≌△PBO≌△PCO.
所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a,
所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a,
所以PO=a.
所以点P到平面ABC的距离为a.
利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.
点到平面的距离
例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”
三垂线定理
(2)图形语言：
(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l α，
①若l⊥BC，则l⊥AC；
②若l⊥AC，则l⊥BC．
（三）三垂线定理
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)求证:AE⊥平面PCD.
解:(1)在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,AB 平面ABCD,
所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,
即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,
故∠APB=45°.
练一练
(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,
所以CD⊥PA.因为CD⊥AC,PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.又AE 平面PAC,所以AE⊥CD.
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(2)求证:AE⊥平面PCD.
练一练
本节课你学到了哪些知识？(共23张PPT)
11.4.1 课时1 线面角及直线与平面垂直的判定定理
1.理解异面直线所成的角.
2.了解直线与平面垂直的定义.
3.掌握直线与平面垂直的判定定理.
我们认为旗杆与地面的位置关系是垂直的，若将火箭视为直线，搭载在发射塔上的火箭跟地面也是垂直关系.由此思考：
(1)空间中如何判定两条直线是否垂直？
(2)能否根据直线与直线的垂直，判定直线与平面的垂直？
（一）直线与直线所成的角
1.两条相交直线所成角的大小：
指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.
范围：【0°,90°】
4
2
3
1
平面内两条相交直线所成角怎么定义
思考
如图所示的正方体中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.
(1) 直观上，你认为这两种异面有什么区别？
(2) 如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做？
如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即为 ；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小，即为 .
90°
45°
C1
A
B1
C
B
A1
D1
D
2.异面直线所成的角
异面直线所成角范围（0°,90°]
一般地，如果是空间中的两条异面直线，过空间中的任意一点，分别作与平行或重合的直线′,′,则′与′所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小.
α
3.两条平行直线所成的角
规定空间中两条平行直线所成角的大小为 .
0°
4.两条直线的夹角
两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.
5.空间中两条直线垂直
空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作 .
若a∥b且b⊥c，则一定有 .
l⊥m
a⊥c
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为 .
解析:设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,
所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.
C1
A
B1
C
B
A1
D1
D
E
1.如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角.
练一练
（二）直线与平面垂直的定义
A
B
o
一支笔固定，另一只笔绕着第一支笔的中点保持垂直同时旋转，请观察第二支笔所在的直线的运动轨迹是什么？第一支笔与这个轨迹的位置关系是什么？
思考
(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)符号表示：
(3)图形表示：
（二）直线与平面垂直的定义
l⊥a m α，l⊥m.
2.判断正误.
①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( )
②垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )
③垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( )
④垂直于同一个平面的两条直线平行. ( )
⑤垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( )
(2)直线l⊥平面α,直线m α,则l与m不可能 ( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直.
答案:（1）①√，②×，③×，④√，⑤×；（2）A.
练一练
（三）直线与平面垂直的判定
过纸片△ABC的顶点A翻折纸片,得折痕AD,将翻折后的纸片竖放在桌面上(BD,DC与桌面接触)如图所示.
A
B
D
C
A
D
C
B
a
D
B
A
C
B
D
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
A
(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
直线与平面垂直的判定定理
(2)图形语言：
(3)符号语言：
试一试：
找出几何体(正方体一角)中的线面垂直关系.
A
C
D
B
E
AC ⊥面BCD
BC⊥面ACD
DC⊥面ABC
BD⊥面ACE
分析：根据线面垂直的判定定理，只需检测直杆是否与地面上的两条相交直线垂直即可，又因为利用米尺可以量长度，所以可以借助勾股定理来检测。
D
C
a
B
A
地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？说说你的方案和理由.
思考
例2 有一根旗杆AB高8 m,它的顶端A挂着两条长10 m的绳子，拉紧绳子,并把它的下端放在地面上的两点C,D (和旗杆脚不在同一条直线上), 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6 m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
D
C
a
B
A
解：在△ABC和△ABD中，因为AB=8 m，BC=BD=6 m，AC=AD=10 m，
所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2.
AB2+BD2=82+62=102=AD2.
所以∠ABC=∠ABD=90°，
即AB⊥BC，AB⊥BD.
又知B，C，D三点不共线,
因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直.
S
A
B
C
D
O
例3 如图所示的四棱锥 S-ABCD 中，已知 ABCD 是一个平行四边形，AC∩BD = O，且 SA = SC，SB = SD. 求证：SO⊥面ABCD.
证明：由已知可得 O 为 AC 的中点.
在 △SAC 中，因为 SA = SC，且 AO = OC，
所以由等腰三角形三线合一可知 SO⊥AC；
同理，SO⊥BD.
又因为 AC∩BD = O，所以 SO⊥面ABCD.
例4 如图所示,直角△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.
则AD=DC=BD,又因为SB=SA,SD=SD,
所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
在Rt△ABC中,连接BD.
(2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD,
AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.
例4 如图所示,直角△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面ABC．
练一练
1．直线与平面垂直的概念
（1）利用定义:
（2）利用判定定理:
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
垂直于平面内任意一条直线
本节课你学到了哪些知识？
