(共13张PPT)
11.4.2 课时2
面面垂直的性质定理及应用
第十一章 立体几何初步
1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决问题.
2.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的相互联系.
思考：教室四周的墙壁和地面是垂直的，墙壁面上的线都与地面垂直吗？在墙壁上怎样画线才能保证所画的线与地面垂直？
不一定.
当直线与墙壁和地面的交线垂直时，线与地面垂直.
如图，设 AO ∩ β = O，过 O 在平面 β 内作与 m 垂直的直线 OB，则∠AOB 为二面角 A-m-B 的平面角；
因为 α⊥β，所以∠AOB = 90°，因此 AO⊥OB；
又因为AO⊥m，m∩OB = O，m β 且 OB β，
所以 AO⊥ β.
思考：结合证明过程说说若平面 α 与平面 β 互相垂直，你能得出什么结论？
问题：如图，a⊥β，a∩β = m，AO α，AO⊥m，试证明：AO⊥ β.
O
m
α
A
β
B
归纳总结
平面与平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
符号表示：如果 a⊥β，a∩β = m，AO a，AO⊥m，则AO⊥β.
B
O
m
α
A
β
练习：(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是( )
A.若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
B.若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α
C.若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α
D.若α⊥β，m∥α，则m⊥β
AC
m还可能在α内或m∥α或m与α斜交
m与β的位置关系可能是m∥β或m β或m与β相交
例1 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=
CD=2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC.
求证：BC⊥平面ACD.
E
证：如题图(1)，在梯形ABCD中，
AD=CD=2，∠ADC=90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足，
∴四边形AECD为正方形，∴CE=AE=EB=2，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，
又BC 平面ABC且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于它们的交线.
归纳总结
例2 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.
解:(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE，
因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，
又CE 平面ABC，所以DE⊥CE.
由已知得DE=，EC=1，在Rt△DEC中，CD= =2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.
又因为DE，CE为平面CDE内的两条相交直线，
所以AB⊥平面CDE.由CD 平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.
空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下：
1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )
A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α
2.(多选)已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列位置关系中，一定成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
B
ABC
3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
4.如图，已知 α⊥β，在 α 与 β 的交线上取线段 AB = ，且 AC，BD 分别在平面 α 和平面 β 内，它们都垂直于交线 AB，并且 AC = 1，BD = 2，则CD= .
A
B
C
D
α
β
2(共20张PPT)
11.4.2 课时1
二面角与面面垂直的判定定理
第十一章 立体几何初步
1.理解二面角及其平面角的概念.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角.
3.掌握两个平面互相垂直的判定定理，会用判定定理证明面面垂直.
日常生活中有很多关于面面垂直的例子.如：建筑工人砌墙，请问砌墙时如何使所砌的墙面和水平面垂直？观察门的转动情况，请问门在每个位置是否都与地面垂直？
思考：随手打开一本书，发现每两页之间所在的平面也形成一个角度，打开的过程中两面的“夹角”逐渐变化. 你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？
概念讲解
二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的
图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，
这两个半平面称为二面角的面.
α
B
A
β
棱
面
α
B
A
β
C
D
问题 1：如图，以 AB 为棱，α 和 β 为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β. 如果 C 和 D 分别是半平面 α 和 β 内的点，那么这个二面角也可记作 C-AB-D. 那么如何来刻画二面角的大小呢？
α
l
β
A
B
O
如图所示，在二面角 α-l-β 的棱上任取一点 O，以 O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 所成的角称为二面角的平面角；二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小；特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
书本打开的过程中两面的“夹角”逐渐变化，思考下面两个问题：
(1)两个半平面形成的二面角可以为0°角吗？
(2)两个半平面成二面角的范围是什么？
可以
[0°，180°]
注意：平面与平面所成的角指两平面所成的4个二面角中不大于90°的角.
例1 从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF=60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是( )
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
D
例2 如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.
解：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.
求二面角的平面角的大小的步骤
归纳总结
一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
α
β
α
β
试着举出几个生活中的平面与平面垂直的实例？
回到导入：建筑工人砌墙，请问砌墙时如何使所砌的墙面和水平面垂直 观察门的转动情况，请问门在每个位置是否都与地面垂直
猜想：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
已知l α，l⊥β，求证：α⊥β.
O
m
A
β
α
l
证：当l α，l⊥β时，α与β一定相交，
如图所示，α∩β=m，l∩β=O，
过O在平面β内作与m垂直的直线OA，则有l⊥OA，
从而可知α与β所成角的大小为90°，
因此α⊥β.
平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
β
α
l
符号表示：如果l α，l⊥β，则α⊥β.
简记为“线面垂直，则面面垂直”.
例3 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
解：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
证明平面与平面垂直的方法
①利用定义：证明二面角的平面角为直角.
②利用面面垂直的判定定理.
归纳总结
只要证线面垂直
平面与平面垂直
判定定理
二面角
二面角的平面角
直二面角
1.给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角.
其中正确的命题是( )
A.①③ B.② C.③ D.①②
B
2.下列命题中正确的是( )
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
C
3.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.(多选)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中成立的是( )
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC
A
ABC
