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（北师大版）七年级
下
5.2.1等腰三角形
图形的轴对称
第5章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质；
2.通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。
新知导入
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
A
B
C
顶角
腰
腰
底边
底角
新知讲解
等腰三角形是比较常见的图形。你有哪些办法可以得到一个等腰三角形 与同伴进行交流。
可以用折叠法折；
可以用尺规画图等。
探究
等腰三角形的性质
思考·交流：
新知讲解
(1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角
等腰三角形是轴对称图形.
A
B
C
D
相等的线段：AB=AC,BD=CD,AD=AD
相等的角：∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC
思考·交流：
新知讲解
(2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的
A
B
C
D
等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，是底边上的中线所在的直线，是底边上的高所在的直线.
思考·交流：
新知讲解
(3)你认为等腰三角形有哪些特征 与同伴进行交流。
A
B
C
D
等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形的两个底角相等。
新知讲解
等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形的两个底角相等。
注意：
1.适用条件：必须在同一个三角形中 .
2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直的重要方法 .
新知讲解
新知讲解
例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。
解:设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为 2x°。
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得
x+2x+2x=180。
解得x=36。
2×36=72。
所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。
尝试·思考：
新知讲解
如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
·
·
例，对应点：点B与点C
对应线段：AB与AC
对应角：∠B与∠C
尝试·思考：
新知讲解
如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
·
·
相等的线段：AB=AC,BD=CD,AD=AD
相等的角：∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC
相等的图形：△ABD与△ACD
D
思考·交流：
新知讲解
(1)等边三角形有几条对称轴
(2)你能发现它的哪些特征 与同伴进行交流。
（1）等边三角形有三条对称轴。
（2）等边三角形三个内角都相等，且均为60°
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线，等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A.∠B=∠C B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.AB=2BD
D
课堂练习
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．
取AB边上的中点E，连接DE，则∠ADE =_______．
54°
【知识技能类作业】必做题：
4．如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由.
解:∠A＝∠E.理由如下：
∵CB＝CE，
∴∠E＝∠CBE.
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE.
∴∠A＝∠E.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（ ）
A.54° B.60° C.72° D.76°
C
6.如图,△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高,且AD=6,E是AC的中点,P是AD上的一个动点,则PC+PE的最小值是 .
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6
7.如图，已知点E为等腰△ABC的底边BC上一动点，过点E作EF⊥BC交AB于点D，交CA的延长线于点F，问：
（1）∠F与∠ADF的关系怎样？请说明理由；
解:(1)∠F＝∠ADF.理由如下：
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为EF⊥BC，
所以∠B＋∠BDE＝90°，∠C＋∠F＝90°.
所以∠BDE＝∠F.
因为∠ADF＝∠BDE，所以∠ADF＝∠F.
【综合拓展类作业】
课堂练习
(2)若点E在BC的延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并说明理由.
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：（2）成立.理由如下：
如图，因为AB＝AC，
所以∠B＝∠ACB.
因为∠ACB＝∠ECF，
所以∠B＝∠ECF.
因为EF⊥BC，
所以∠B＋∠BDE＝90°，∠ECF＋∠F＝90°.
所以∠BDE＝∠F，
即∠ADF＝∠F.
课堂总结
等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形的两个底角相等。
板书设计
等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形的两个底角相等。
课题：5.2.1等腰三角形
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.等边三角形的对称轴共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.6条
C
2.等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A.20° B.50°
C.20°或50° D.50°或80°
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3．如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝40°，则∠ ACD 的度数为（ ）
A.70° B.100°
C.110° D.140°
C
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝( )
A．90° B．100° C．105° D．110°
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是 .
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
15°或75°
6.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM 等于多少度？
【综合拓展类作业】
作业布置
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BCN(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 北师大版 册、章 下册、第5章
课标要求 【内容要求】1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。6.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。7.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。8.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线;作一个角的平分线。【学业要求】理解轴对称的定义及基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学的语言表达对称；在这样的过程中，发展几何直观和空间观念。
内容分析 生活中的轴对称与现实生活联系紧密，在小学已有初步的渗透，初中阶段，它既是全等三角形概念的拓展与延伸，又是图形全等的具体应用，是与平移，旋转等相关联的又一种图形变换方式。也是今后研究等腰三角形、特殊四边形等圆形性质的重要依据, 因此，本章起着承上启下的作用，这对于培养学生的数学审美能力和动手能力，拓展学生的空间想象力，也有十分重要的意义,在研究方法上，采用了直观演示、设疑诱导、操作发现的教学方法,从欣赏视频和图片出发，以操作、观察、想象、发现、概括的探究式学习方式，让学生参与知识的发生发展，形成过程运用多媒体直观演示，化静为动。使学生始终处于主动探索问题的积极状态中，使数学学习变得有趣，自信，有效，成功。
学情分析 七年级学生，他们已经对轴对称有了感性的认识，并积累了一定的观察、操作的活动经验，具有初步的探究能力；在思维特征上，他们正在从以具体形象思维为主逐步向以抽象逻辑思维为主过渡。思维的批判性也在明显增长，已开始能从具体事例中归纳问题的本质；七年级学生求知欲强，具有较强的动手能力，对游戏、小组合作等形式多样的学习方式很强兴趣，有较强的参与欲望.但他们的几何认知能力仍处于较低级的阶段，空间观念，想象力及推理能力还需要进一步提高。
单元目标 教学目标1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质，发展学生抽象思维能力和培养学生直观想象的核心素养；2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够画出轴对称图形的对称轴；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，初步形成空间观念和几何直观；3.探索并证明等腰三角形的性质定理，体会从一般到特殊的推理方法，增强推理意识，发展推理能力；4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，会用尺规作线段的垂直平分线，培养学生的探究能力，增强推理意识，发展推理能力；5.理解并掌握角平分线的性质定理，会用尺规作一个角的角平分线，培养学生的探究能力，发展空间观念；6.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学生的学习兴趣.培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.(二)教学重点、难点教学重点：轴对称图形的性质；角平分线、线段垂直平分线及等腰三角形的性质.教学难点：利用线段、角、等腰三角形的轴对称性解决实际问题；轴对称与轴对称图形的区别与联系。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1轴对称及其性质1课时5.2简单的轴对称图形3课时※问题解决策略：转化1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1轴对称及其性质1．在生活实例中认识轴对称图形；2．理解轴对称的概念及基本性质；3．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴；4.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别；5.能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形.1．能够在生活中认识轴对称图形；2.理解并掌握轴对称的概念及基本性质；3．会作轴称图形的对称轴；4.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别；5.能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形.任务一：欣赏图片，感受生活中的对称美任务二：轴对称图形任务三：两个图形成轴对称5.2.1等腰三角形1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2.通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。1.理解并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2.能应用等腰三角形和等边三角形的轴对称性解决实际问题。任务一：回顾等腰三角形概念任务二：等腰三角形的性质5.2.2线段垂直平分线的性质及画法1.理解线段的垂直平分线的概念；2.理解并掌握线段垂直平分线的性质；3.能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．1.理解线段的垂直平分线的概念；2.会作线段的垂直平分线；3.理解并掌握线段垂直平分线的性质；4.能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．任务一：观察图形，引出新课任务二：线段垂直平分线的定义及性质任务三：线段垂直平分线的画法5.2.3角平分线的性质及画法1.掌握角平分线的性质定理；2.会用尺规作图法作一个角的角平分线；3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.1.掌握角平分线的性质定理；2.会用尺规作图法作一个角的角平分线；3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.任务一：观察平分角仪器，思考原理任务二：角平分线的性质任务三：角平分线的画法※问题解决策略：转化1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2.理解并掌握转化思想，会用转化思想解决实际问题．任务一：设置问题，为新课做铺垫任务二：转化策略任务三：转化策略的应用
《第5章 》 图形的轴对称 单元教学设计
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分课时教学设计
《5.2.1等腰三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是在学生学习了全等三角形的判定以及轴对称的基础上进行学习的.本节课主要学习等腰三角形的两底角相等和等腰三角形底边上的高线、中线及顶角角平分线互相重合这两个性质，它既是对前面知识的深化和应用，还为以后证明角相等、线段相等及两直线垂直关系提供了新的依据.
学习者分析 学生在之前的学习中，已经对一些图形的性质及相互关系进行了大量的探索，在 探索的同时，也经历了推理的过程，初步具备了有条理地思考与表达能力和一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础.另外学生已经学习了全等三角形，轴对称等知识为本节的深入学习奠定了基础.
教学目标 1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质； 2.通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。
教学重点 探索等腰三角形、线段、角的轴对称性及其相关性质.
教学难点 了解等腰三角形、线段、角的轴对称性及其相关性质.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 学生活动1： 学生回忆等腰三角形的相关概念.活动意图说明： 通过会议等腰三角形及其相关概念，为本节课的新知识做铺垫.环节二：等腰三角形的性质教师活动2： 等腰三角形是比较常见的图形。你有哪些办法可以得到一个等腰三角形 与同伴进行交流。 可以用折叠法折； 可以用尺规画图等。 思考·交流： (1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角 等腰三角形是轴对称图形. 相等的线段：AB=AC，BD=CD，AD=AD 相等的角：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD， ∠ADB=∠ADC (2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的 等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，是底边上的中线所在的直线，是底边上的高所在的直线. 你认为等腰三角形有哪些特征 与同伴进行交流。 等腰三角形是轴对称图形。 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的性质： 等腰三角形是轴对称图形。 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形的两个底角相等。 注意： 1.适用条件：必须在同一个三角形中 . 2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直的重要方法 . 例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。 解:设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为 2x°。 根据“三角形三个内角的和等于180°”，得 x+2x+2x=180。 解得x=36。 2×36=72。 所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。 尝试·思考： 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形 例，对应点：点B与点C 对应线段：AB与AC 对应角：∠B与∠C 相等的线段：AB=AC，BD=CD，AD=AD 相等的角：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC 相等的图形：△ABD与△ACD 思考·交流： (1)等边三角形有几条对称轴 (2)你能发现它的哪些特征 与同伴进行交流。 （1）等边三角形有三条对称轴。 （2）等边三角形三个内角都相等，且均为60° 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线，等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。学生活动2： 学生思考做等腰三角形的方法，积极举手回答。 学生小组合作交流，回答问题。 学生与教师一起总结等腰三角形的性质。 学生独立完成例题。 学生思考完成问题。 学生小组合作，探究等边三角形的性质。活动意图说明： 通过提出问题，让学生自主合作探究发现等腰三角形的性质，培养学生主动分析问题，解决问题的能力，在小组合作中，发展合作交流的能力，在解决问题中，发展总结归纳的能力。
板书设计 课题：5.2.1等腰三角形 等腰三角形的性质： 等腰三角形是轴对称图形。 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形的两个底角相等。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( B ) A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 2..如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，则下列结论中不一定正确的是（ D ） A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．取AB边上的中点E，连接DE，则∠ADE =__54° _． 4.如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由. 解:∠A＝∠E.理由如下： ∵CB＝CE， ∴∠E＝∠CBE. ∵AD∥BC， ∴∠A＝∠CBE. ∴∠A＝∠E. 选做题： 5.如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（ C ） A.54° B.60° C.72° D.76° 6.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值是 6 . 【综合拓展类作业】 7.如图，已知点E为等腰△ABC的底边BC上一动点，过点E作EF⊥BC交AB于点D，交CA的延长线于点F，问： （1）∠F与∠ADF的关系怎样？请说明理由； 解:(1)∠F＝∠ADF.理由如下： 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 因为EF⊥BC， 所以∠B＋∠BDE＝90°，∠C＋∠F＝90°. 所以∠BDE＝∠F. 因为∠ADF＝∠BDE，所以∠ADF＝∠F. (2)若点E在BC的延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并说明理由. 解：（2）成立.理由如下： 如图，因为AB＝AC， 所以∠B＝∠ACB. 因为∠ACB＝∠ECF， 所以∠B＝∠ECF. 因为EF⊥BC， 所以∠B＋∠BDE＝90°，∠ECF＋∠F＝90°. 所以∠BDE＝∠F， 即∠ADF＝∠F.
课堂总结 等腰三角形的性质： 等腰三角形是轴对称图形。 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形的两个底角相等。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.等边三角形的对称轴共有（ C ） A.1条 B.2条 C.3条 D.6条 2.等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ A ） A.20° B.50° C.20°或50° D.50°或80° 3.如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝40°，则∠ ACD 的度数为（ C ） A.70° B.100° C.110° D.140° 选做题： 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝( B ) A．90° B．100° C．105° D．110° 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是 15°或75° . 【综合拓展类作业】 6.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM 等于多少度？ 解：∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BCN(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
教学反思 本节课开始主要认识简单的轴对称图形，由于等腰三角形的轴对称性是最直观、最易于被认知的，所以先从等腰三角形开始学习。本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理能力的基础上进行的，而“等腰三角形两个底角相等”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，担负着进一步帮助学生学会分析、推理的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用。
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