(共45张PPT)
（北师大版）七年级
下
※问题解决策略：特殊化
图形的轴对称
第5章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
新知导入
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短.
①
②
③
选择路线②
新知讲解
数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。
探究一
转化策略
问题：
新知讲解
如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进人工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短
理解问题：
新知讲解
如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题 试着写一写、画一画。
A
B
l
上述问题可以抽象成求最短距离问题。
拟定计划：
新知讲解
(1)你以前遇到过类似的问题吗 关于“最短”，你有哪些认识
遇到过，
如：“两点的所有连线中，线段最短”，
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。
拟定计划：
新知讲解
(2)相信你能解决以下问题:如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与如图这个问题有什么区别和联系 你能将原问题转化为如图这样的问题吗 说说你的想法。
l
C
A
B
连接AB,与直线l相交于一点C.
拟定计划：
新知讲解
(2)相信你能解决以下问题:如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与如图这个问题有什么区别和联系 你能将原问题转化为如图这样的问题吗 说说你的想法。
联系：都是求最短距离问题；
区别：原问题，抽象成数学问题后，两点位于直线的同一侧；
图中这个两点位于直线的两侧。
拟定计划：
新知讲解
(2)相信你能解决以下问题:如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与如图这个问题有什么区别和联系 你能将原问题转化为如图这样的问题吗 说说你的想法。
可以将原问题转化为如图这样的问题，可以利用轴对称的知识。
实施计划：
新知讲解
写出你的解决方案，并说明道理。
小明的思考过程如下。
如图，作点B关于I的对称点B'，根据轴对称的性质，对于I上任意一点C，都有BC=B'C，因此AC+BC=AC+B'C,问题转化为:在直线l上确定一个点C，使AC+B'C最短。
实施计划：
新知讲解
写出你的解决方案，并说明道理。
小明的思考过程如下。
根据“两点之间线段最短”，连接AB'，与I交于点C，点C就是所
要确定的点。
回顾反思：
新知讲解
(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟
(2)利用转化策略解决问题时，需要注意些什么
（1）理解问题本质；灵活运用对称性；掌握基本原理；培养空间想象能力；注重逻辑推理；体会数学思想；
综上所述，本题不仅是对数学知识的考察，更是对思维能力和解决问题策略的挑战。通过这一问题的学习，可以提升个人的数学素养和逻辑思维能力。
新知讲解
（2）1）明确转化的目标：转化的目的是将复杂问题简化，因此在开始转化之前，需要明确希望通过转化达到什么目标，比如将不熟悉的题目转化为熟悉的题目，或者是将抽象的问题转化为具体的问题。
2）选择合适的转化方法：转化的方法有很多，包括但不限于图形的平移、旋转、分解和重组等。需要根据问题的具体内容和特点，以及自己的认知结构，选择最适合的转化方法。
3）保持问题的本质不变：在转化过程中，虽然问题的形式可能会发生变化，但问题的本质应该是保持不变的。例如，在几何问题中，虽然可以通过平移、旋转等方式改变图形的位置和方向，但图形的面积、周长等属性不应该受到影响。
新知讲解
4）逐步实施转化：转化过程可能需要分几步完成，每一步都应该清晰明了，并且每一步都应该朝着最终的目标前进。在每一步完成后，都应该检查是否达到了预期的效果，并且是否有可能出现新的问题。
5）反思和总结：在解决问题之后，应该反思整个转化过程，总结哪些地方做得好，哪些地方可以改进。这样可以在未来遇到类似的问题时，更加高效地使用转化策略。
总的来说，利用转化策略解决问题需要明确目标、选择合适的方法、保持问题本质不变、逐步实施转化，并且在解决问题后进行反思和总结。
新知讲解
在这个问题中，小明利用轴对称，将两点位于直线l同一侧的问题，转化为两点分别位于直线l两侧的问题，从而使问题得以解决。通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。
新知讲解
请用转化策略解答下列问题。
1.如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。
探究二
转化策略的应用
新知讲解
解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四个空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，
所以所求阴影部分的面积为1-[1-π （）2]×2=×12-12=．
故答案为．
新知讲解
2.如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形。以点B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连接 AF。求图中阴影部分的面积。
新知讲解
解：在△ABO与△CFO，
∠COF=∠BOF,∠FCO=∠ABO，AB=CF，
所以△ABO≌△CFO（AAS），
所以S△ABO=S△CFO，
所以阴影部分的面积为以点B为圆心、AB的长为半径的圆的，
所以S阴影部分=22=.
O
新知讲解
3.(1)有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜的策略是什么
(2)如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么
解：（1）后取者必胜，方法是：你在一堆中取后剩几枚，我就在另一堆取使其剩相同枚数。什么时候你把一堆取净了，那我就把另一堆取净，里面就包括最后一枚.
新知讲解
（2）如果甲先取，甲可以先从棋子数量多的那一堆中取出比少的那一堆多出的棋子数量，这样两堆棋子数量就相等了。此时就转化为了两堆棋子数量相等时的情况（类似之前提到的两堆枚数相等的棋子的情况：后取者必胜，方法是对手在一堆中取后剩几枚，就在另一堆取使其剩相同枚数，什么时候对手把一堆取净了，就把另一堆取净，里面就包括最后一枚）。然后乙在其中一堆取，甲就在另一堆取相同数量的棋子，按照这个策略甲就能获胜.
新知讲解
4.如图，定点P位于∠AOB的内部，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小。
解：（1）如图所示，作点P关于OA的对称点P1；
（2）作点P关于OB的对称点P2；
（3）连接P1P2，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN.
此时△PMN的周长最小.
新知讲解
【知识技能类作业】选做题：
P
A
B
O
P1
N
P2
M
新知讲解
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.龟兔赛跑新规则：参赛者从点A出发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，图中的四个图是为它们设计的路线，其中路程最短的是( )
C
3． 如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
A
C
D
B
E
A
C
D
D′
B
E
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.
4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．15
C．20 D．30
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
A
5.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
B
6.如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是多少？
【综合拓展类作业】
课堂练习
A
C
D
B
【综合拓展类作业】
课堂练习
A
C
D
B
E
A′
.
解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中，
∠A′CE=∠BDE，∠A′EC=∠BED，A′C=BD，
∴△A′CE≌△BDE（AAS），
∴CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
课堂总结
求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
板书设计
课题：※问题解决策略：转化
求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？
解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.
A
B
a
B′
P
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．
在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
3.有两棵树位置如图，树的底部分别为 地上有一只昆虫沿着—的路径在地面上爬行. 小树顶处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 处. 问小鸟飞至之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
作法：
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
4.如图，在锐角△ABC中，AC=7cm，S△ABC=14cm ，AD平∠BAC，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_____cm.
5.某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
C
A
B
O
解：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；
（2）作点C关于OB的对称点C2；
（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE.
所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
C
A
B
O
C1
E
C2
D
6.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3.
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长.
解：(1)边AB的垂直平分线MN如图所示．
作业布置
【综合拓展类作业】
解:(2)如图，点D为MN与BC的交点．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴△ADC的最小周长为
AC＋BC＝3＋4＝7.
作业布置
【综合拓展类作业】
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 北师大版 册、章 下册、第5章
课标要求 【内容要求】1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。6.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。7.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。8.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线;作一个角的平分线。【学业要求】理解轴对称的定义及基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学的语言表达对称；在这样的过程中，发展几何直观和空间观念。
内容分析 生活中的轴对称与现实生活联系紧密，在小学已有初步的渗透，初中阶段，它既是全等三角形概念的拓展与延伸，又是图形全等的具体应用，是与平移，旋转等相关联的又一种图形变换方式。也是今后研究等腰三角形、特殊四边形等圆形性质的重要依据, 因此，本章起着承上启下的作用，这对于培养学生的数学审美能力和动手能力，拓展学生的空间想象力，也有十分重要的意义,在研究方法上，采用了直观演示、设疑诱导、操作发现的教学方法,从欣赏视频和图片出发，以操作、观察、想象、发现、概括的探究式学习方式，让学生参与知识的发生发展，形成过程运用多媒体直观演示，化静为动。使学生始终处于主动探索问题的积极状态中，使数学学习变得有趣，自信，有效，成功。
学情分析 七年级学生，他们已经对轴对称有了感性的认识，并积累了一定的观察、操作的活动经验，具有初步的探究能力；在思维特征上，他们正在从以具体形象思维为主逐步向以抽象逻辑思维为主过渡。思维的批判性也在明显增长，已开始能从具体事例中归纳问题的本质；七年级学生求知欲强，具有较强的动手能力，对游戏、小组合作等形式多样的学习方式很强兴趣，有较强的参与欲望.但他们的几何认知能力仍处于较低级的阶段，空间观念，想象力及推理能力还需要进一步提高。
单元目标 教学目标1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质，发展学生抽象思维能力和培养学生直观想象的核心素养；2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够画出轴对称图形的对称轴；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，初步形成空间观念和几何直观；3.探索并证明等腰三角形的性质定理，体会从一般到特殊的推理方法，增强推理意识，发展推理能力；4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，会用尺规作线段的垂直平分线，培养学生的探究能力，增强推理意识，发展推理能力；5.理解并掌握角平分线的性质定理，会用尺规作一个角的角平分线，培养学生的探究能力，发展空间观念；6.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学生的学习兴趣.培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.(二)教学重点、难点教学重点：轴对称图形的性质；角平分线、线段垂直平分线及等腰三角形的性质.教学难点：利用线段、角、等腰三角形的轴对称性解决实际问题；轴对称与轴对称图形的区别与联系。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1轴对称及其性质1课时5.2简单的轴对称图形3课时※问题解决策略：转化1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1轴对称及其性质1．在生活实例中认识轴对称图形；2．理解轴对称的概念及基本性质；3．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴；4.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别；5.能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形.1．能够在生活中认识轴对称图形；2.理解并掌握轴对称的概念及基本性质；3．会作轴称图形的对称轴；4.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别；5.能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形.任务一：欣赏图片，感受生活中的对称美任务二：轴对称图形任务三：两个图形成轴对称5.2.1等腰三角形1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2.通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。1.理解并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2.能应用等腰三角形和等边三角形的轴对称性解决实际问题。任务一：回顾等腰三角形概念任务二：等腰三角形的性质5.2.2线段垂直平分线的性质及画法1.理解线段的垂直平分线的概念；2.理解并掌握线段垂直平分线的性质；3.能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．1.理解线段的垂直平分线的概念；2.会作线段的垂直平分线；3.理解并掌握线段垂直平分线的性质；4.能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．任务一：观察图形，引出新课任务二：线段垂直平分线的定义及性质任务三：线段垂直平分线的画法5.2.3角平分线的性质及画法1.掌握角平分线的性质定理；2.会用尺规作图法作一个角的角平分线；3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.1.掌握角平分线的性质定理；2.会用尺规作图法作一个角的角平分线；3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.任务一：观察平分角仪器，思考原理任务二：角平分线的性质任务三：角平分线的画法※问题解决策略：转化1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2.理解并掌握转化思想，会用转化思想解决实际问题．任务一：设置问题，为新课做铺垫任务二：转化策略任务三：转化策略的应用
《第5章 》 图形的轴对称 单元教学设计
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分课时教学设计
《※问题解决策略：转化》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 最短路径在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等图形变化进行研究.本节课安排在学习轴对称性质和等腰三角形之后，是对轴对称性质的理解和运用，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题，体现了数学化的过程和转化思想，发展数学抽象能力.
学习者分析 学生已学习过一些关于“两点之间，线段最短”“轴对称”以及“三角形的两边之和大于第三边”等知识。他们对于几何主题探究都十分感兴趣，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，也愿意投入学习精力，但分析推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，不够深入和全面，需要教师在课堂教学中进一步加强和引导。
教学目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
教学重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
教学难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 选择路线② 两点之间，线段最短.学生活动1： 学生动脑思考，积极举手回答.活动意图说明： 通过问题的设计回顾，为解决最短路径问题提供理论依据。培养学生运用定理的意识和在实际问题中发现数学问题的能力，培养学生的几何直观和空间观念.环节二：转化策略教师活动2： 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转化是解决数学问题的一种重要策略。 问题： 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进人工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 理解问题： 如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。 上述问题可以抽象成求最短距离问题。 拟定计划： (1)你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你有哪些认识？ 遇到过， 如：“两点的所有连线中，线段最短”， “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。 (2)相信你能解决以下问题:如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。原问题与如图这个问题有什么区别和联系？你能将原问题转化为如图这样的问题吗？说说你的想法。 连接AB，与直线l相交于一点C. 联系：都是求最短距离问题； 区别：原问题，抽象成数学问题后，两点位于直线的同一侧； 图中这个两点位于直线的两侧。 可以将原问题转化为如图这样的问题，可以利用轴对称的知识。 实施计划： 写出你的解决方案，并说明道理。 小明的思考过程如下。 如图，作点B关于I的对称点B'，根据轴对称的性质，对于I上任意一点C，都有BC=B'C，因此AC+BC=AC+B'C，问题转化为:在直线l上确定一个点C，使AC+B'C最短。 根据“两点之间线段最短”，连接AB'，与I交于点C，点C就是所要确定的点。 回顾反思： (1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ (2)利用转化策略解决问题时，需要注意些什么？ （1）理解问题本质；灵活运用对称性；掌握基本原理；培养空间想象能力；注重逻辑推理；体会数学思想； 综上所述，本题不仅是对数学知识的考察，更是对思维能力和解决问题策略的挑战。通过这一问题的学习，可以提升个人的数学素养和逻辑思维能力。 （2）1）明确转化的目标：转化的目的是将复杂问题简化，因此在开始转化之前，需要明确希望通过转化达到什么目标，比如将不熟悉的题目转化为熟悉的题目，或者是将抽象的问题转化为具体的问题。 2）选择合适的转化方法：转化的方法有很多，包括但不限于图形的平移、旋转、分解和重组等。需要根据问题的具体内容和特点，以及自己的认知结构，选择最适合的转化方法。 3）保持问题的本质不变：在转化过程中，虽然问题的形式可能会发生变化，但问题的本质应该是保持不变的。例如，在几何问题中，虽然可以通过平移、旋转等方式改变图形的位置和方向，但图形的面积、周长等属性不应该受到影响。 4）逐步实施转化：转化过程可能需要分几步完成，每一步都应该清晰明了，并且每一步都应该朝着最终的目标前进。在每一步完成后，都应该检查是否达到了预期的效果，并且是否有可能出现新的问题。 5）反思和总结：在解决问题之后，应该反思整个转化过程，总结哪些地方做得好，哪些地方可以改进。这样可以在未来遇到类似的问题时，更加高效地使用转化策略。 总的来说，利用转化策略解决问题需要明确目标、选择合适的方法、保持问题本质不变、逐步实施转化，并且在解决问题后进行反思和总结。 在这个问题中，小明利用轴对称，将两点位于直线l同一侧的问题，转化为两点分别位于直线l两侧的问题，从而使问题得以解决。通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。学生活动2： 学生了解问题，并回答问题。 学生思考回答。 活动意图说明： 让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”，之后在证明过程中，体会轴对称的作用，体会转化思想，培养学生的思维能力，锻炼学生解决问题的能力.环节三：转化策略的应用教师活动3： 请用转化策略解答下列问题。 1.如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。 解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四个空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， 所以所求阴影部分的面积为1-[1-π （）2]×2=×12-12=． 故答案为． 2.如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形。以点B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连接 AF。求图中阴影部分的面积。 解：在△ABO与△CFO， ∠COF=∠BOF，∠FCO=∠ABO，AB=CF， 所以△ABO≌△CFO（AAS）， 所以S△ABO=S△CFO， 所以阴影部分的面积为以点B为圆心、AB的长为半径的圆的， 所以S阴影部分=22=. 3.(1)有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜的策略是什么？ (2)如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么？ 解：（1）后取者必胜，方法是：你在一堆中取后剩几枚，我就在另一堆取使其剩相同枚数。什么时候你把一堆取净了，那我就把另一堆取净，里面就包括最后一枚. （2）如果甲先取，甲可以先从棋子数量多的那一堆中取出比少的那一堆多出的棋子数量，这样两堆棋子数量就相等了。此时就转化为了两堆棋子数量相等时的情况（类似之前提到的两堆枚数相等的棋子的情况：后取者必胜，方法是对手在一堆中取后剩几枚，就在另一堆取使其剩相同枚数，什么时候对手把一堆取净了，就把另一堆取净，里面就包括最后一枚）。然后乙在其中一堆取，甲就在另一堆取相同数量的棋子，按照这个策略甲就能获胜. 4.如图，定点P位于∠AOB的内部，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小。 解：（1）如图所示，作点P关于OA的对称点P1； （2）作点P关于OB的对称点P2； （3）连接P1P2，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN. 此时△PMN的周长最小. 此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.学生活动3： 学生小组合作，利用转化策略解决实际问题. 活动意图说明： 通过解决实际问题，检验学生对转化策略的掌握程度，加深对转化策略的理解，培养学生发散的思维方式。
板书设计 课题：※问题解决策略：转化 求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ） 龟兔赛跑新规则：参赛者从点A出发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，图中的四个图是为它们设计的路线，其中路程最短的是( C ) 3.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置. 解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置. 选做题： 4.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ A ） A．10 B．15 C．20 D．30 5.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 【综合拓展类作业】 6.如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是多少？ 解：∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°. ∵A′C=AC=BD， 在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠BDE，∠A′EC=∠BED，A′C=BD， ∴△A′CE≌△BDE（AAS）， ∴CE=DE，A′E=BE. ∴点E是CD的中点. ∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
课堂总结 求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？ 解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置. 2.直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 3.有两棵树位置如图，树的底部分别为 A，B，地上有一只昆虫沿着 A—B 的路径在地面上爬行. 小树顶 D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 C 处. 问小鸟飞至 AB 之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置. 作法： (1)作点 D 关于 AB 的对称点 D′； (2)连接 CD′ 交 AB 于点 P； (3)则点 P 即为所求的点. 选做题： 4.如图，在锐角△ABC中，AC=7cm，S△ABC=14cm ，AD平∠BAC，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__4___cm. 5.某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短. 解：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1； （2）作点C关于OB的对称点C2； （3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE. 所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短. 【综合拓展类作业】 6.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3. (1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN； (2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长. 解：(1)边AB的垂直平分线MN如图所示． 解:(2)如图，点D为MN与BC的交点． ∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD. ∴△ADC的最小周长为 AC＋BC＝3＋4＝7.
教学反思 通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值.在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。体会在解决问题中与他人合作的重要性。体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.
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