2025年山东省济南市商河县七年级下学期数学期中考试试题（含答案）

七年级下学期数学期中试题
本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分。本试题共 8 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.下列成语描述的事件为必然事件的是（ ）
A. 旭日东升 B. 空中楼阁 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑
2.下列运算正确的是（ ）
A. a3+a3=a6 B. (a3)2=a6 C. (ab)2=ab2 D. 2a5·3a5=5a5
3.数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用 “垂线段最短” 来解释的现象是（ ）
A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线
C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条
4.澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底下约 4.8 公里深处的砂岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最大身长只有 0.00000015 米，甚至比已知的最小细菌还要小，将 0.00000015 用科学记数法表示为（ ）
A. 0.15×10 6 B. 1.5×10 7 C. 1.5×10 8 D. 15×10 9
5.下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A. ( x+2y)(x 2y) B. (3x 5y)( 3x 5y) C. (1 5m)(5m 1) D. (a+b)(b+a)
6.如图，直线m∥n，一块含有30 的直角三角板按如图所示放置．若∠1=40 ，则∠2的大小为（ ）
A. 70 B. 60 C. 50 D. 40
7.如图，为某小组做 “用频率估计概率” 的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ ）
A. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B. 抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上
C. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是 3 的倍数
D. 一个装有 2 个红球 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球
8.如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖 1 次，则飞镖击中白色区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，∠BAC=90 ，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（ ）
A. ∠ABF=∠CBF B. ∠ABC=∠CAD C. S△ABE=S△ACE D. AF=CF
10.请看杨辉三角（如图），并观察下列等式：
根据前面各式的规律，则(a+b)40的第三项系数是（ ）
A. 730 B. 741 C. 780 D. 820
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11一个角的补角等于这个角的余角的，则这个角为______度．
12.小明做作业时，把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看不清x前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是 ．
13.已知△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，若在3cm、6cm、9cm、12cm、15cm五条线段中任选一条能作为BC边长的概率是 ．
14.已知a2+a=3，则(2a 4)(a+3)的值是______．
15.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠DCB=140 时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为______．
16.如图 a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图 b，若∠DEF=72 ，则∠GMN= ．
三、解答题
17.计算（每题 4 分，共 20 分）
（1）∣ 4∣+(π 3)0 () 2 （2）a3·a5+( 3a4)2
（3）(4a2 6ab+2a)÷2a （4）(m n)2 m(m 2n)
（5）20242 2025×2023（简便运算）
18.(6 分) 先化简，再求值：[(x 3y)(x+3y) (x y)2+2y(x y)]÷4y，其中x= 2，y=
19.（6 分）如图，已知：BE平分∠ABC，且∠1=∠2，求证：∠AED=∠C。请完成下面的填空．
证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠1=∠3（ ）．
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2= （ ）．
∴DE∥ （ ，两直线平行）．
∴∠AED=∠C（两直线平行， ）．
20.（6 分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80 ．求∠C的度数．
21.（6 分）如图，△ABC中，AD为△ABC的高线，BC=10，AD=3，AB=8．
（1）画出△ABC中AB边上的高线CE．
（2）求CE的长．
22.（8 分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 600
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60
（1）上表中的a= ；b= ；
（2）“摸到白球” 的概率的估计值是______（精确到 0.1）；
（3）如果袋中有 12 个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
23.（10 分）【问题背景】在 “形美数学” 的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含30 、60 ，一块含45 、45 ），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】
（1）小明把三角尺按如图 1 所示的不同位置摆放，其中，∠α与∠β相等的摆法是______；∠α与∠β互补的摆法是______．
【深入探究】
（2）小宏将一副三角尺按如图 2 所示摆放，在△ABC中，∠ACB=90 ，∠A=∠B=45 ；在
△CDE中，∠E=90 ，∠DCE=30 ，∠D=60 ．
①当CD平分∠ACB时，求∠BCE的度数．
②把△ACB绕着点C转动，使得边CB在△CDE内部，分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分线CG，如图 3，求∠FCG的度数．
24.（12分）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。
【知识生成】
（1）请写出图 1，图 2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式。
图 1：________
图 2：________
【拓展探究】
（2）用 4 个全等的长和宽分别为 a，b 的长方形拼摆成一个如图 3 的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式(a+b)2，(a b)2，ab之间的等量关系是________。
【解决问题】
（3）如图 4，C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC，BC 为边向两边作正方形 ACDE 和正方形 BCFG。已知AB=7，两正方形的面积和为 21，求△AFC的面积。
【知识迁移】
（4）当(2029 x)(x 2026)=时，则(2x 4055)2的值是________。（直接写出结果）
25.（12 分）【阅读探究】
如图 1，已知AB∥CD，E、F 分别是 AB、CD 上的点，点 M 在 AB、CD 两平行线之间，
∠AEM=45 ，∠CFM=25 ，求∠EMF的度数。
解：过点 M 作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠EMN=∠AEM=45 ，∠FMN=∠CFM=25
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=45 +25 =70
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 “等角转化” 的功能，将∠AEM和∠CFM“凑” 在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。
【方法运用】
如图2，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线 m 上的点 O 射出，在平面镜 AB 上经点 P 反射后，到达直线 n 上的点 Q。我们称 OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB。
（1）由图 2 写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由。
（2）如图 3，再放置 3 块平面镜，其中两块平面镜在直线 m 和 n 上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形 ABCD 光线从点 O 以适当的角度射出后，其传播路径为
O→P→Q→R→O→P→
直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系。
【应用拓展】
（3）问题情境：“公路村村通” 的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界。数学活动课上，老师把山路抽象成图 4 所示的样子，并提出了一个问题：
在图 4 中，AB∥CD，∠B=125 ，∠PQC=65 ，∠C=145 ，求∠BPQ的度数。
答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.下列成语描述的事件为必然事件的是（ A ）
A. 旭日东升 B. 空中楼阁 C. 水中捞月 D. 刻舟求剑
2.下列运算正确的是（ B ）
A. a3+a3=a6 B. (a3)2=a6 C. (ab)2=ab2 D. 2a5·3a5=5a5
3.数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用 “垂线段最短” 来解释的现象是（ A ）
A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线
C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条
4.澳大利亚昆士兰大学的科学家在海底下约 4.8 公里深处的砂岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最大身长只有 0.00000015 米，甚至比已知的最小细菌还要小，将 0.00000015 用科学记数法表示为（ B ）
A. 0.15×10 6 B. 1.5×10 7 C. 1.5×10 8 D. 15×10 9
5.下列各式中能用平方差公式计算的是（ B ）
A. ( x+2y)(x 2y) B. (3x 5y)( 3x 5y) C. (1 5m)(5m 1) D. (a+b)(b+a)
6.如图，直线m∥n，一块含有30 的直角三角板按如图所示放置．若∠1=40 ，则∠2的大小为（ A ）
A. 70 B. 60 C. 50 D. 40
7.如图，为某小组做 “用频率估计概率” 的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ C ）
A. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B. 抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上
C. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是 3 的倍数
D. 一个装有 2 个红球 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球
8.如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖 1 次，则飞镖击中白色区域的概率是（ B ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，∠BAC=90 ，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（ D ）
A. ∠ABF=∠CBF B. ∠ABC=∠CAD C. S△ABE=S△ACE D. AF=CF
10.请看杨辉三角（如图），并观察下列等式：
根据前面各式的规律，则(a+b)40的第三项系数是（ C ）
A. 730 B. 741 C. 780 D. 820
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11一个角的补角等于这个角的余角的，则这个角为___18°___度．
12.小明做作业时，把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了：，看不清x前面的数字是什么，只知道这是一个完全平方式，请你判断这个被墨水遮住的数字可能是 ±8 ．
13.已知△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，若在3cm、6cm、9cm、12cm、15cm五条线段中任选一条能作为BC边长的概率是 ．
14.已知a2+a=3，则(2a 4)(a+3)的值是___﹣6___．
15.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠DCB=140 时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为___130°___．
16.如图 a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图 b，若∠DEF=72 ，则∠GMN= 72° ．
三、解答题
17.计算（每题 4 分，共 20 分）
（1）∣ 4∣+(π 3)0 () 2 （2）a3·a5+( 3a4)2
=4+1﹣9 =a8+9a8
=﹣4 =10a8
（3）(4a2 6ab+2a)÷2a （4）(m n)2 m(m 2n)
=2a﹣3b+1 =m2﹣2mn+n2﹣m2+2mn
=n2
（5）20242 2025×2023（简便运算）
=20242 （2024+1）×（2024﹣1）
=1
18.(6 分) 先化简，再求值：[(x 3y)(x+3y) (x y)2+2y(x y)]÷4y，其中x= 2，y=
解：原式=[x2﹣9y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2]÷4y
=﹣3y+x
将x= 2，y=代入得﹣
19.（6 分）如图，已知：BE平分∠ABC，且∠1=∠2，求证：∠AED=∠C。请完成下面的填空．
证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠1=∠3（ 角平分线定义 ）．
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2= ∠3 （ 等量代换 ）．
∴DE∥ BC （ 内错角相等 ，两直线平行）．
∴∠AED=∠C（两直线平行， 同位角相等 ）．
20.（6 分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80 ．求∠C的度数．
解：∵EF // BC ,∠B =80（已知）
∴∠BAF =180°-∠B =100（两直线平行，同旁内角互补）
∠C = ∠CAF （两直线平行，内错角相等）
又：AC 平分∠BAF （已知）
∴∠CAF=∠BAF =50°（角平分线的定义）
∴∠C =∠CAF =50°（等量代换）
21.（6 分）如图，△ABC中，AD为△ABC的高线，BC=10，AD=3，AB=8．
（1）画出△ABC中AB边上的高线CE．
（2）求CE的长．
(1）解：如图所示，CE 即为所求；
(2）解：∵AD 为△ ABC 的高线， BC =10, AD =3, AB =8,
∴△ABC的面积＝BC·AD =AB·CE
×10×3=×8CE.
∴CE =
22.（8 分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 600
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.60
（1）上表中的a= ；b= ；
（2）“摸到白球” 的概率的估计值是______（精确到 0.1）；
（3）如果袋中有 12 个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
(1)0.59,116(2)0.6
(3)12÷0.6=20（个），20-12=8（个）
答：还有8个其它颜色的球
23.（10 分）【问题背景】在 “形美数学” 的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含30 、60 ，一块含45 、45 ），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答：
【构造联系】
（1）小明把三角尺按如图 1 所示的不同位置摆放，其中，∠α与∠β相等的摆法是______；∠α与∠β互补的摆法是______．
【深入探究】
（2）小宏将一副三角尺按如图 2 所示摆放，在△ABC中，∠ACB=90 ，∠A=∠B=45 ；在
△CDE中，∠E=90 ，∠DCE=30 ，∠D=60 ．
①当CD平分∠ACB时，求∠BCE的度数．
②把△ACB绕着点C转动，使得边CB在△CDE内部，分别作∠ACE的角平分线CF和∠BCD的角平分线CG，如图 3，求∠FCG的度数．
(1)②③④
(2)①∵CD 平分∠ACB
∴∠BCD =∠ACB=4S°
∴∠BCE=45°-30°=15°:
②∵CF平分∠ACE
∴∠BCD=∠ACB =45°
∵CG 平分∠BCD
∴∠BCG =∠BCD =(∠DCE-∠BCE )=(30°-∠BCE ).
∴∠FCG =∠ECF -∠ECG =45°+∠BCE -∠BCE -∠BCG =45°-∠BCE -(15°-∠BCE )=45°-∠BCE-15+-∠BCE=30°
24.（12分）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。
【知识生成】
（1）请写出图 1，图 2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式。
图 1：________
图 2：________
【拓展探究】
（2）用 4 个全等的长和宽分别为 a，b 的长方形拼摆成一个如图 3 的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式(a+b)2，(a b)2，ab之间的等量关系是________。
【解决问题】
（3）如图 4，C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC，BC 为边向两边作正方形 ACDE 和正方形 BCFG。已知AB=7，两正方形的面积和为 21，求△AFC的面积。
【知识迁移】
（4）当(2029 x)(x 2026)=时，则(2x 4055)2的值是________。（直接写出结果）
(1)(a+b)2(a-b)2
(2)( a+ b)2-(a - b)=4ab
(3）由题意可知 AC + BC =7, S正方形ACDE + S正方形BCFG =21,
∴AC2+BC2=21
∴( AC+ BC)2-(AC2+BC2)=72-21
∴AC·BC =14,
∴S△MCP =7
25.（12 分）【阅读探究】
如图 1，已知AB∥CD，E、F 分别是 AB、CD 上的点，点 M 在 AB、CD 两平行线之间，
∠AEM=45 ，∠CFM=25 ，求∠EMF的度数。
解：过点 M 作MN∥AB
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠EMN=∠AEM=45 ，∠FMN=∠CFM=25
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=45 +25 =70
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 “等角转化” 的功能，将∠AEM和∠CFM“凑” 在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。
【方法运用】
如图2，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线 m 上的点 O 射出，在平面镜 AB 上经点 P 反射后，到达直线 n 上的点 Q。我们称 OP 为入射光线，PQ 为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB。
（1）由图 2 写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由。
（2）如图 3，再放置 3 块平面镜，其中两块平面镜在直线 m 和 n 上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形 ABCD 光线从点 O 以适当的角度射出后，其传播路径为
O→P→Q→R→O→P→
直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系。
【应用拓展】
（3）问题情境：“公路村村通” 的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界。数学活动课上，老师把山路抽象成图 4 所示的样子，并提出了一个问题：
在图 4 中，AB∥CD，∠B=125 ，∠PQC=65 ，∠C=145 ，求∠BPQ的度数。
(1) ∠OPQ =∠AOP +∠BQP ,
理由如下，如图所示，过点P 作 PE // OA ，则PE //BQ .
∴∠AOP =∠OPE , ∠BQP =∠QPE .
∴∠OPQ =∠OPE +∠QPE
∴∠OPQ=∠AOP +∠BQP :
(2)∠OPQ=∠ORQ
【应用拓展】如图，过点 P 作 PM // AB。过点 Q作QN //AB
则AB //PM // QN//CD .
∴∠ABP +∠BPM =180,∠MPQ =∠PQN , ∠DCQ +∠CQN =180
∵∠B=125°,∠C=145°
∴∠BPM =180°-125°=55°,∠CQN =180°-145°=35°
∵∠PQC -65°
∴∠PQN =∠PQC -∠CQN -65°-35°=30°
∴∠QPM=∠PQN =30°,
∴∠BPQ -∠BPM +∠QPM =30°+55°=85°.