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第02讲 实数的运算及大小比较
【考点梳理】
1．实数的大小比较
(1)数轴比较法：数轴上的两个数，右_边的数总大于_左__边的数；
(2)代数比较法：正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而_小__；
(3)差值比较法：①a－b＞0 a＞b；②a－b＝0 a＝b；
③a－b＜0 a＜b；
(4)求商比较法：若b＞0，则①＞1 a＞b；
②＝1 a＝b；③＜1 a＜b；
(5)倒数比较法：若＞且a与b同号时，a＜b；
(6)平方比较法：对于任意正实数a，有a2＞b a＞.
3.非负数
(1)常见非负数：|a|，a2，(a≥0)；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.
4．实数的运算
(1)零指数幂：a0＝1(a≠0)；
(2)负整数指数幂：a－p＝(a≠0)；
(3)去绝对值符号：|a－b|＝
(4)－1的奇偶次幂：(－1)n＝；
注意：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．
(5)实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算_乘除，最后算_加减_，如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号，同级运算应_从左到右_依次计算．
【高频考点】
考点1： 实数的大小比较
【例题1】写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．故答案为．
归纳：两个实数比较大小，先将两个数化简成易于比较的同类数，再进行比较．
考点2： 实数的运算
【例题2】嘉琪在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：(－7)0＋|1－|＋()－1－□＋(－1)2 018.
经询问，王老师告诉题目的正确答案是1.
(1)求被覆盖的这个数是多少？
(2)若这个数恰好等于2tan(α－15)°，其中α为三角形一内角，求α的值．
解：(1)原式＝1＋－1＋－□＋1＝1，
∴□＝1＋－1＋＋1－1＝2.
(2)∵α为三角形一内角，
∴0<α<180.
∴－15°<(α－15)°<165°.
∵2tan(α－15)°＝2，
∴(α－15)°＝60°.
∴α＝75.
归纳：考查实数的运算，先分别计算出每一项的值，再根据实数混合运算的顺序进行计算，即先乘除，再加减，同级运算，按从左向右进行计算．
【自我检测】
一、选择题：
1. 面积为9的正方形，其边可以表示为（ ）
A. 的算术平方根 B. 9的平方根
C. 9的算术平方根 D. 9的立方根
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根、平方根以及立方根的求解，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵面积为9的正方形，其边为，即9的算术平方根，
故选：C
2. （2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．
【详解】解：由数轴知，，
则最小的实数为a，
故选：A．
3. （2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可．
【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100，
∴一个正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
故选：B．
4. （2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．
【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意；
D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意．
故选：C．
5.实数a、b满足，则的值为
A．2 B． C． 2 D．
【答案】B
【提示】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．等式可化为，由非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组后结合负整数指数幂的性质问题得解．
【解答】解：由题意：，所以，解之得，所以，故选择B．
二、填空题：
6. （2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：3．
7.数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为 （用“＜”号连接）．
【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案．
【解析】解：∵a＞0，b＜0，a+b＜0，
∴|b|＞a，
∴﹣b＞a，b＜﹣a，
∴四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．
故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b
8. （2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：1．
9.下列式子：
……
可猜想第个式子为 ．
【答案】
【提示】观察每个式子的第二个数依次是3，9，27，81这些数分别是，，，，因此第个式子的第2个数是，每个式子的第一个数总是比第2个数小2，每个式子的最后一个数总比第2个数小1，从而写出答案．
【解答】解：观察每个式子的第二个数依次是3，9，27，81这些数分别是，，，，因此第个式子的第2个数是，每个式子的第一个数总是比第2个数小2，因此第个式子的第1个数是，每个式子的最后一个数总比第2个数小1，因此第个式子的最后一个数是，所以第个式子是．
故答案为：
三、解答题：
10. （2024·江苏苏州·中考真题）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
11.计算：（－1）+－－（π－3.14）0.
【提示】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方的意义、二次根式的化简、绝对值的意义、零整数指数幂的值和同类二次根式的合并法则．先分别计算（－1）、、、（π－3.14）0的值，然后再进行实数、二次根式加减运算.
【解答】解：原式=1+2－－1=2－= .
12. （2024·四川乐山·中考真题）计算：．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根．熟练掌握绝对值，零指数幂，算术平方根是解题的关键．
先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
13.计算：
【提示】根据特殊角的三角函数值，负指数、零指数幂的运算及算术平方根分别计算即可.
【解答】解：原式=2×=．
14. （2024·湖北·中考真题）计算：
【答案】3
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可．
【详解】解：
．
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第02讲 实数的运算及大小比较
【考点梳理】
1．实数的大小比较
(1)数轴比较法：数轴上的两个数，右_边的数总大于_左__边的数；
(2)代数比较法：正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而_小__；
(3)差值比较法：①a－b＞0 a＞b；②a－b＝0 a＝b；
③a－b＜0 a＜b；
(4)求商比较法：若b＞0，则①＞1 a＞b；
②＝1 a＝b；③＜1 a＜b；
(5)倒数比较法：若＞且a与b同号时，a＜b；
(6)平方比较法：对于任意正实数a，有a2＞b a＞.
3.非负数
(1)常见非负数：|a|，a2，(a≥0)；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.
4．实数的运算
(1)零指数幂：a0＝1(a≠0)；
(2)负整数指数幂：a－p＝(a≠0)；
(3)去绝对值符号：|a－b|＝
(4)－1的奇偶次幂：(－1)n＝；
注意：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．
(5)实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算_乘除，最后算_加减_，如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号，同级运算应_从左到右_依次计算．
【高频考点】
考点1： 实数的大小比较
【例题1】写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
考点2： 实数的运算
【例题2】嘉琪在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：(－7)0＋|1－|＋()－1－□＋(－1)2 018.
经询问，王老师告诉题目的正确答案是1.
(1)求被覆盖的这个数是多少？
(2)若这个数恰好等于2tan(α－15)°，其中α为三角形一内角，求α的值．
【自我检测】
一、选择题：
1. 面积为9的正方形，其边可以表示为（ ）
A. 的算术平方根 B. 9的平方根
C. 9的算术平方根 D. 9的立方根
2. （2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A．a B．b C．c D．d
3. （2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
4. （2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.实数a、b满足，则的值为
A．2 B． C． 2 D．
二、填空题：
6. （2024·内蒙古包头·中考真题）计算： ．
7.数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为 （用“＜”号连接）．
8. （2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ．
9.下列式子：
……
可猜想第个式子为 ．
三、解答题：
10. （2024·江苏苏州·中考真题）计算：．
11.计算：（－1）+－－（π－3.14）0.
12. （2024·四川乐山·中考真题）计算：．
13.计算：
14. （2024·湖北·中考真题）计算：
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