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第03讲 整式及其因式分解
【考点梳理】
1．代数式及求值
(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；
(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．
2．整式及有关概念
(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；
(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项_；
(3)整式：单项式和多项式统称为整式；
(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．
4．整式的运算
(1)整式的加减
整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__指数_不变．
(2)整式的乘法
①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；
②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；
③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；
④乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2_；
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
(3)整式的除法
①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
5．因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个_整式乘积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形．
(2)因式分解的方法
①提取公因式法：
ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．
公因式的确定：
(3)因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；
②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；
④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x4－4＝(x2＋2)(x2－2)．在实数范围内分解因式时x4－4＝(x2＋2)(x＋)(x－)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式．
【高频考点】
考点1： 整式的运算
【例题1】计算：（2x2）3﹣x2 x4．
【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（2x2）3﹣x2 x4
＝8x6﹣x6
＝7x6．
归纳：整式的运算中需注意以下几点：
(1)幂的乘方→转化为指数乘法运算．即(a2)3＝a2×3.
(2)同底数幂的乘法→转化为指数的加法运算．即a2·a3＝a2＋3.
(3)在算积的乘方时，若底数中含有数字，要记住对数字也要进行乘方．
(4)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab.
考点2： 因式分解
【例题2】因式分解：=______．
【答案】3（x+3）（x﹣3）
【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3），
故答案为3（x+3）（x﹣3）．
考点3： 整式的综合运用
【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
解：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)
＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2
＝－2x2＋6.
(2)设“”是a，则
原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.
∵标准答案的结果是常数，∴a－5＝0.解得a＝5.
归纳：整式的化简是指通过去括号、合并同类项等将代数式化为最简形式
【自我检测】
一、选择题：
1.下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解答】解：A.2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
B.3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；
C.﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；
D.﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误；故选：C．
2. 下列运算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方的运算法则逐一计算即可解答，根据运算法则准确计算是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D符合题意．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 已知，，则代数式的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
【答案】B
【分析】原式利用多项式乘多项式法则进行化简，再把、代入计算即可．
【详解】解：，，
∴原式
故选：B．
5. 下列整式与为同类项的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题：
6. 分解因式： ___________．
【答案】
【分析】根据提取公因式法因式分解进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
7. 已知，请计算代数式的值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了代数式的求值，由求得的值得到两个代数式的关系，并学会灵活运用是解决此题的关键．把，只需将、的值代入求得结果．
【详解】解：当，时，
，
故答案为：．
8. 篮球每个m元，排球每个n元，如果学校要购买10个篮球、3个排球，一共需要支付_____________元（用含有m、n的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据单价和所买个数，分别计算出买篮球和买排球所需钱数，然后相加即可．
【详解】解：由题意得，
买篮球需支付元，买排球需支付元，
∴一共需要支付元，
故答案为：．
9古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了__________平方米．
【答案】16
【分析】本题主要平方差公式与几何图形的知识，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
分别求出变化前后2次的面积，作差即可．
【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为，
∵，∴减少了16平方米，故答案为：16．
三、解答题：
10.化简：
【详解】解：原式．
11.先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】：原式=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2=4ab，
当a=﹣2，b=时，原式=﹣4．
12. 认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
（1）将横线上的等式补充完整；
（2）验证规律：设两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
（1）根据已知算式写出即可；
（2）利用平方差公式计算得出答案；
（3）这两个偶数为为和，利用平方差公式计算得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：．
为正整数，为正整数，
若两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）解：是；理由：
设两个连续的正奇数为，（m为正数）．
．
为正整数，
两个连续的正奇数的平方差是8的倍数．
13. 对于实数，定义新运算“”，规定如下：
如
（1）求的值；
（2）若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明．
【答案】（1）3 5的值是19
（2）的值是否与的取值无关，证明见解析
【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别．
（1）按照题目运算定义进行代入、求解；
（2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别．
【详解】（1）由题意得，3 ，
即3 5的值是19；
（2）的值是否与的取值无关，
证明：由题意得， 3
；
，
，
的值是否与的取值无关．
14. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
根据以上结论解决下列问题：
(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；
(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．
解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，
∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1.
∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.
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第03讲 整式及其因式分解
【考点梳理】
1．代数式及求值
(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；
(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．
2．整式及有关概念
(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；
(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项_；
(3)整式：单项式和多项式统称为整式；
(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．
4．整式的运算
(1)整式的加减
整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__指数_不变．
(2)整式的乘法
①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；
②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；
③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；
④乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_ ；
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
(3)整式的除法
①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
5．因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个_ 的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形．
(2)因式分解的方法
①提取公因式法：
ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．
公因式的确定：
(3)因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；
②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；
④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x4－4＝(x2＋2)(x2－2)．在实数范围内分解因式时x4－4＝(x2＋2)(x＋)(x－)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式．
【高频考点】
考点1： 整式的运算
【例题1】计算：（2x2）3﹣x2 x4．
考点2： 因式分解
【例题2】因式分解：=______．
考点3： 整式的综合运用
【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
【自我检测】
一、选择题：
1.下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）
A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5
2. 下列运算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则代数式的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
5. 下列整式与为同类项的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. 分解因式： ___________．
7. 已知，请计算代数式的值为_______．
8. 篮球每个m元，排球每个n元，如果学校要购买10个篮球、3个排球，一共需要支付_____________元（用含有m、n的代数式表示）．
9古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了__________平方米．
三、解答题：
10.化简：
11.先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．
12. 认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
（1）将横线上的等式补充完整；
（2）验证规律：设两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．
13. 对于实数，定义新运算“”，规定如下：
如
（1）求的值；
（2）若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明．
14. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．
根据以上结论解决下列问题：
(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；
(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．
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