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第04讲 分式
【考点梳理】
1．分式的基本概念
(1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
(2)当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义；当A＝0 时，分式的值为零.
2．分式的性质
(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即＝，＝；(M是不等于零的整式)
(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即＝－＝－＝.
3．最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
4．分式的运算
(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
(2)确定最简公分母：
确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
(3)约分：把分式中分子与分母的___公因式____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．
(4)分式的运算法则：
①加减法：
同分母加减法：±＝__；
异分母加减法：±＝.
②乘除法：
·＝； ÷＝___．
③乘方：()n＝.
【高频考点】
考点1： 分式的化简
【例题1】下列变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
解：A选项分子和分母同时除以最大公因式；B选项的分子和分母互为相反数；C选项分子和分母同时除以最大公因式，D选项正确的变形是所以答案是D选项
考点2： 分式的化简
【例题2】（2024·甘肃·中考真题）计算：（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
考点3：分式的加减乘除运算
【例题3】先化简，再求值：÷(a＋2－)，其中a满足a2－a－6＝0.
【解答】解：原式＝÷
＝·
＝.
∵a2－a－6＝0，且a≠2，±3，∴a＝3(舍去)或a＝－2.
∴当a＝－2时，原式＝－.
归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的．
2．分式化简求值的一般步骤：
第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；
第二步：若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”就只有“×或·”，简称：除法变乘法；
第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法；
第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减；
第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值．
【自我检测】
一、选择题：
1.若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】由分式的值为零的条件得x﹣3=0，且x+3≠0，
解得x=3．
故选：A．
2. （2024·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可．
【详解】解：原式
故选：A
3. （2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. （2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）
A．x B．y C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
由题意得，对进行通分化简即可．
【详解】解：∵的结果为，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5. a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（ ）
A．5 B．﹣ C． D．
【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．
【解答】解：∵a1＝5，
a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，
∵2019÷3＝673，
∴a2019＝a3＝，
故选：D．
二、填空题：
6. 若分式有意义，则x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0，
解得x≠．
故答案为：x≠．
7. （2024·湖北·中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选：1．
8. （2024·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可．
【详解】
．
故答案为：．
9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．
设初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是 ；
②铅笔的零售价每支应为 元；
③批发价每支应为 元．（用含x、m的代数式表示）．
【分析】①关系式为：学生数≤300，学生数+60≥301列式求值即可；
②零售价=总价÷学生实有人数；
③批发价=总价÷（学生实有人数+60）．
【解答】解：①由题意得：
x≤300，x+60≥301，
∴241≤x≤300；
②铅笔的零售价每支应为元；
③批发价每支应为元．
三、解答题：
10. 化简：．
【分析】先通分，再约分，可得答案．
【详解】原式．
11. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案．
详解】解：原式
，
当时，原式．
12. （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，取，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
先计算括号内的减法，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可得．
【详解】解：
．
且，
或或．
当时，原式．
或当时，原式．
或当时，原式．
13.化简÷－，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．
【解析】：原式＝·＋
＝＋
＝.
∵a与2，3构成△ABC的三边，
∴1
又∵a为整数，
∴a＝2，3，4.
又∵a≠±2且a≠3，∴a＝4.
∴当a＝4时，原式＝1.
14. 问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣=，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．
【解答】解：（1）＜（m＞n＞0）
证明：∵﹣=，
又∵m＞n＞0，
∴＜0，
∴＜．
（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：＞，
所以住宅的采光条件变好了．
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第04讲 分式
【考点梳理】
1．分式的基本概念
(1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
(2)当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义；当A＝0 时，分式的值为零.
2．分式的性质
(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即＝，＝；(M是不等于零的整式)
(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即＝－＝－＝.
3．最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
4．分式的运算
(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
(2)确定最简公分母：
确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
(3)约分：把分式中分子与分母的___ ____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．
(4)分式的运算法则：
①加减法：
同分母加减法：±＝__；
异分母加减法：±＝.
②乘除法：
·＝； ÷＝___．
③乘方：()n＝.
【高频考点】
考点1： 分式的化简
【例题1】下列变形错误的是（ ）
A. B. C. D.
考点2： 分式的化简
【例题2】（2024·甘肃·中考真题）计算：（ ）
A．2 B． C． D．
考点3：分式的加减乘除运算
【例题3】先化简，再求值：÷(a＋2－)，其中a满足a2－a－6＝0.
【自我检测】
一、选择题：
1.若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
2. （2024·天津·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
3. （2024·广东广州·中考真题）若，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. （2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）
A．x B．y C． D．
5. a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（ ）
A．5 B．﹣ C． D．
二、填空题：
6. 若分式有意义，则x的取值范围是 ．
7. （2024·湖北·中考真题）计算： ．
8. （2024·山东威海·中考真题）计算： ．
9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．
设初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；
③批发价每支应为 元．（用含x、m的代数式表示）．
三、解答题：
10. 化简：．
11. 先化简，再求值：，其中．
12. （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
13.化简÷－，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．
14. 问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
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