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第05讲 二次根式
【考点梳理】
1．二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
二次根式有意义的条件：_a≥0 ．
2．二次根式的性质
3．最简二次根式
必须满足两个条件
4．同类二次根式
几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
5．二次根式的运算
(1)加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行加减运算．
(2)乘法：·＝；
(3)除法：＝__．
6．二次根式的估值
二次根式的估算，一般是对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间.
【高频考点】
考点1：二次根式的概念
【例题1】二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x≠2 C. x≥2 D. x≤2
【答案】C
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
考点2:二次根式的运算
【例题2】计算： (3－)(3＋)＋(2－)．
【提示】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和乘法公式，先根据平方差公式、单项式乘多项式的法则分别进行运算，再化简．
【解答】解：原式＝2+2－2＝2．
点拨：二次根式的运算，若是加减运算时，先将每一项化为最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式合并；若是乘除运算时，先将被开方数相乘或相除，再将所得的数开方并化为最简二次根式；若是混合运算时，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的顺序进行计算，同时注意运算的结果必须是最简二次根式．
考点3：二次根式与其它知识的综合应用
【例题:3】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
解析：∵S=，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴的取值范围是．
故选：B
2. （2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故选：D
3. （2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
4.下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 3 ．（用科学计算器计算或笔算）．
【分析】当输入x的值为16时，＝4，4÷2＝2，2+1＝3．
【解答】解：解：由题图可得代数式为．
当x＝16时，原式＝÷2+1＝4÷2+1＝2+1＝3．
故答案为：3
5. （2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
故选：C．
二、填空题：
6. 要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【解析】
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
7.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+= ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【解答】由数轴可得：
0＜a＜2，
则a+
=a+
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
8.如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________
【答案】2
【解析】解：由数轴可知：
0
∴a-2<0，
∴原式=a+ =a+2-a=2.
故答案为：2.
9.观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为 ．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：+++…+
＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）
＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝2018，
故答案为：2018．
三、解答题：
10. （2024·甘肃·中考真题）计算：．
【答案】0
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】．
11.计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0
解：原式=+﹣1+1
=3+﹣1+1
=4．
12. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，所以a＝m2＋2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
(2)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：由题意，得
∵4＝2mn，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13.
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【考点梳理】
1．二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
二次根式有意义的条件：_a≥0 ．
2．二次根式的性质
3．最简二次根式
必须满足两个条件
4．同类二次根式
几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
5．二次根式的运算
(1)加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行加减运算．
(2)乘法：·＝；
(3)除法：＝__．
6．二次根式的估值
二次根式的估算，一般是对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间.
【高频考点】
考点1：二次根式的概念
【例题1】二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x≠2 C. x≥2 D. x≤2
考点2:二次根式的运算
【例题2】计算： (3－)(3＋)＋(2－)．
考点3：二次根式与其它知识的综合应用
【例题:3】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2. （2024·湖南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
3. （2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
4.下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为 ．（用科学计算器计算或笔算）．
A．2 B．3 C．4 D．5
5. （2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
6. 要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
7.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+= ．
8.如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =________
9.观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为 ．
三、解答题：
10. （2024·甘肃·中考真题）计算：．
11.计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0
12. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，所以a＝m2＋2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
(2)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
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