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第6讲 一次方程(组)及其应用
【考点梳理】
1．等式的基本性质
性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果a＝b，c为任意数(或式子)，那么a±c＝b±c；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：①如果a＝b，那么ac＝bc；②如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．方程及方程的解
(1)方程：含有未知数的等式．
(2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．
3．一元一次方程
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的整式方程．
(2)解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；②去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变号)；③移项(注意移项要变号)；④合并同类项；⑤系数化1.
4．二元一次方程
(1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程．
(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．
注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即，任何一个二元一次方程都有无数多个解．
(3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解．
5．二元一次方程组
(1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组．
(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法.
①方程组中一个方程里有一个未知数的系数是1或－1，选择代入消元法较简单；
②方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法．
6．三元一次方程组
(1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组叫三元一次方程组．
(2)三元一次方程组的解法：
7．列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设：设关键未知数；
(3)找：找出各量之间的等量关系；
(4)列：根据等量关系列方程(组)；
(5)解：解方程(组)；
(6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意；
(7)答：规范作答，注意单位名称．
8．常见一次方程实际应用常见类型及关系式
(1)行程问题：路程＝速度×时间；
相遇问题：两者路程之和＝全程；
追及问题：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程；
水中航行问题：
-
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 ，各部分部分工作量之和＝总工作量．
(3)利润问题：
利润＝售价－进价＝进价×利润率；
售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利润率)；
总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销量 ．
(4)利息问题：
利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金＋利息．
【高频考点】
考点1：一元一次方程(组)的解法
【例题1】（2024·四川乐山·中考真题）解方程组：
【答案】详见解析
【分析】用加减消元法把二元一次方程转化成一元一次方程．
【详解】解：①＋②，得．
解得．
把代入②，得．
原方程组的解是．
考点2：一元一次方程(组)的应用
【例题2】（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
【答案】小峰打扫了．
【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，
由题意，得：，
解得：，
答：小峰打扫了．
归纳：1.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系；2.可根据公式寻找数量关系，如周长、面积、体积等；3.在有倍数、和差关系的应用题中，应抓住两种量的关系，建立等量关系，这类题目中常有“一共是…”、“比…多(少)”、“是…的几倍”、“比…几倍多(少)”等；4.涉及几何图形的应用问题时，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形对边相等，正方形四边相等或裁剪拼接和折叠前后的对应关系等．
考点3：二元一次方程(组)的解法
【例题3】（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
考点4：二元一次方程(组)的应用
【例题4】（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
【自我检测】
一、选择题：
1.一元一次方程x﹣2＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
【解答】解：x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：A．
2. 已知方程组，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组中两个未知数的系数和相等，把两个方程相加可得，再把等式两边同时除以即可求出结果．
【详解】解：
得：，
等式两边同时除以可得：．
故选：C．
3. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为________．
【答案】
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：
．
故答案是：．
4. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
5. 九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱 设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组即可.
【详解】甲需带钱x，乙带钱y，根据题意，得.故选:A.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
二、填空题：
6. 年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为_____．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7. 一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．
【分析】设输出结果为y，观察图形我们可以得出x和y的关系式为：，将y的值代入即可求得x的值．
【解答】∵
当y=127时，解得：x=43；
当y=43时，解得：x=15；
当x=15时,解得不符合条件。
则输入的最小正整数是15.
故答案为：15.
8. （2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．则白色琴键和黑色琴键的个数各是 个．
【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．
设黑色琴键x个，则白色琴键个，可得方程，再解方程即可．
【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键个，
由题意得：，
解得：，
∴白色琴键：（个），
故白色琴键52个，黑色琴键36个．
9. 当y=﹣3时，二元一次方程3x+5y=﹣3和3y﹣2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，则a的值是 ．
【分析】首先把y=﹣3代入3x+5y=﹣3中，可解得x的值，再把x，y的值代入3y﹣2ax=a+2中便可求出a的值．
【解答】：当y=﹣3时，
3x+5×（﹣3）=﹣3，
解得：x=4，
把y=﹣3，x=4代入3y﹣2ax=a+2中得，
3×（﹣3）﹣2a×4=a+2，
解得：a=﹣．
三、解答题：
10. （2024·浙江·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可.
【详解】解：
①×3＋②得，
解得，
把代入①得，
解得
∴
11. 某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
【答案】接温水的时间为，接开水的时间为.
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设该学生接温水的时间为，接开水的时间为，根据“该学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设该学生接温水的时间为，接开水的时间为，
根据题意得：
，
解得：，
答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
12. 某超市二月份的利润比一月份增加，三月份的利润比二月份减少了．已知该超市这3个月的利润之和为70.4万元．求该超市一月份的利润．
【答案】该超市一月份的利润为20万元
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设该超市一月份的利润为万元，则二月份的利润为万元，三月份的利润为万元．再结合“该超市这3个月的利润之和为70.4万元”建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设该超市一月份的利润为万元，则二月份的利润为万元，三月份的利润为万元．
由题意，得，
解得．
答：该超市一月份的利润为20万元．
13. (2019安徽)（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
=10（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
14. 如图，已知数轴上一枚硬币恰好与原点O相切，将这枚硬币沿数轴向右无滑动滚动一周，点O恰好到达点A处．
(1)将这枚硬币从点A开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点B，则点B对应的数是－3；
(2)将这枚硬币从表示数a的点C处开始，先向左滚动1周，得到点D，再向右滚动5周得到点E，最后向左滚动2周得到点F.若点D，E，F所代表的数字之和为8，求a的值．
解：根据题意，点C表示的数为a，向左滚动1周得到点D，
则点D表示的数为a－3，再向右滚动5周得到点E，
则点E表示的数为a－3＋3×5，再向左滚动2周得到点F，
则点F表示的数为a－3＋3×5－3×2，
∴a－3＋(a－3＋15)＋(a－3＋15－6)＝8，
解得a＝－.
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第6讲 一次方程(组)及其应用
【考点梳理】
1．等式的基本性质
性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果a＝b，c为任意数(或式子)，那么a±c＝b±c；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：①如果a＝b，那么ac＝bc；②如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．方程及方程的解
(1)方程：含有未知数的等式．
(2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．
3．一元一次方程
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的整式方程．
(2)解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；②去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变号)；③移项(注意移项要变号)；④合并同类项；⑤系数化1.
4．二元一次方程
(1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程．
(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．
注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即，任何一个二元一次方程都有无数多个解．
(3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解．
5．二元一次方程组
(1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组．
(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法.
①方程组中一个方程里有一个未知数的系数是1或－1，选择代入消元法较简单；
②方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法．
6．三元一次方程组
(1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组叫三元一次方程组．
(2)三元一次方程组的解法：
7．列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
(2)设：设关键未知数；
(3)找：找出各量之间的等量关系；
(4)列：根据等量关系列方程(组)；
(5)解：解方程(组)；
(6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意；
(7)答：规范作答，注意单位名称．
8．常见一次方程实际应用常见类型及关系式
(1)行程问题：路程＝速度×时间；
相遇问题：两者路程之和＝全程；
追及问题：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程；
水中航行问题：
-
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 ，各部分部分工作量之和＝总工作量．
(3)利润问题：
利润＝售价－进价＝进价×利润率；
售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利润率)；
总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销量 ．
(4)利息问题：
利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金＋利息．
【高频考点】
考点1：一元一次方程(组)的解法
【例题1】（2024·四川乐山·中考真题）解方程组：
考点2：一元一次方程(组)的应用
【例题2】（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
考点3：二元一次方程(组)的解法
【例题3】（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
考点4：二元一次方程(组)的应用
【例题4】（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【自我检测】
一、选择题：
1.一元一次方程x﹣2＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
2. 已知方程组，则（ ）
A. B. C. D.
3. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
4. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
5. 九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱 设甲带了钱，乙带了钱，依题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. 年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为_____．
7. 一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．
8. （2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．则白色琴键和黑色琴键的个数各是 个．
9. 当y=﹣3时，二元一次方程3x+5y=﹣3和3y﹣2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，则a的值是 ．
三、解答题：
10. （2024·浙江·中考真题）解方程组：
11. 某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
12. 某超市二月份的利润比一月份增加，三月份的利润比二月份减少了．已知该超市这3个月的利润之和为70.4万元．求该超市一月份的利润．
13.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
14. 如图，已知数轴上一枚硬币恰好与原点O相切，将这枚硬币沿数轴向右无滑动滚动一周，点O恰好到达点A处．
(1)将这枚硬币从点A开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点B，则点B对应的数是－3；
(2)将这枚硬币从表示数a的点C处开始，先向左滚动1周，得到点D，再向右滚动5周得到点E，最后向左滚动2周得到点F.若点D，E，F所代表的数字之和为8，求a的值．
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