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第24讲 尺规作图
【考点梳理】
1．尺规作图的作图工具
圆规和没有刻度的直尺
2．基本尺规作图
类型一：作一条线段等于已知线段
步骤：①作射线OP；
②以O为圆心，a为半径作弧，交OP于A，OA即为所求线段．
图示：
类型三：作线段的垂直平分线
步骤：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N点；
②连接MN，直线MN即为所求垂直平分线．
图示：
类型四：作一个角等于已知角：
步骤：①以O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
②作射线O′A；
③以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
⑤过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角．
图示：
类型五：过一点作已知直线的垂线
步骤：点在直线上：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A，B两点；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M，N；
③连接MN，MN即为所求垂线．
点在直线外：①在直线另一侧取点M；
②以PM为半径画弧，交直线于A，B两点；
③分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，交M同侧于点N；
④连接PN，则直线PN即为所求的垂线．
图示：
3．常见几种基本尺规作图作三角形
①已知三边作三角形；
②已知两边及其夹角作三角形；
③已知两角及其夹边作三角形；
④已知底边及底边上的高作等腰三角形；
⑤已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．作图的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；
(6)讨论．
步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
【高频考点】
考点1：简单尺规作图
【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形．
已知：如图，∠α，线段a.
求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.
【解析】：作图如图，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a；(3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即为所求作的等腰三角形
归纳：1．熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹．
2．平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程．
3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化．
4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性．
考点2： 复杂尺规作图
【例题2】如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点D，使得是三角形的中线．
（2）如图2，在线段上找一点E，使得；
（3）如图3，在三角形内寻找格点P，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用矩形对角线相互平分，即可得到的中点，即可解答；
（2）分别取格点，，使，且，连接，交于点E，结合相似三角形的判定与性质可知，点E即为所求；
（3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，利用圆周角定理即可解答．
【详解】（1）解：如图1，利用矩形对角线相互平分，可得，
是三角形的中线；
（2）解：如图2，取格点，，使，且，连接，交于点E，
，
，
，
；
（3）解：如图3，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，连接，，，
根据垂直平分线的性质可得，
在以点为圆心，长度为半径的圆上，
根据圆周角定理可得，
故点P即为所求．
考点3： 关于尺规作图的应用
【例题3】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E；
（2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）OE∥AC，OE＝AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∵∠BAD＝∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝AC．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．
【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；
第二个图，由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线；
第三个图，由作图可知，
∴，，
∴
∴，
∴为的平分线；
第四个图，由作图可知：，，
∴为的平分线；
故选D．
2.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
3. 如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD∥AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断．
【详解】解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，所以B选项不符合题意，
∴CD=DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
4. 如图，在长方形中，依据尺规作图的痕迹，用含α的式子表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，垂直平分线，矩形的性质，先根据尺规作图的步骤可知作的平分线，的垂直平分线，可知，，再结合矩形的性质得出，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案．
【详解】根据题意可知平分，是的垂直平分线，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴．
故选：A．
5.如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵ AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．
二、填空题：
6.如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
7. （2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．
【详解】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
三、解答题：
9. 图①，图②均是的正方形网格，点、、均在格点上，请在给定的网格中用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中，作的中线；
（2）在图②中，作的高线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形角平分线，中线，高的定义等知识，解题的关键是理解三角形的中线，高的定义．
（1）利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可；
（2）取格点，连接交于点，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图中，线段即为所求；
（2）解：如图中，线段即为所求．
10.如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．
（1）在图1中画出以AB为边的平行四边形，且点C，D在格点上；
（2）在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
（3）在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【分析】（1）找到格点，根据，且，即可得出四边形是平行四边形；
（2）分别为两个小菱形对角线，即可求解；
（3）作菱形对角线交于点，则，即可求解．
详解】（1）解：如图所示，，且
∴四边形是平行四边形，
（2）解：如图所示，分别为两个小菱形的对角线，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）解：如图所示，
∵分别等于两个菱形的对角线长，
∴四边形是菱形，
对角线交于点，则
∴是直角三角形．
11. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】本题主要考查了角平分线作图，角平分线的性质，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的基本作图．
（1）①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交 于点 ；②分别以点 为圆心，大于为半径作弧，相交于点D；③作射线，交于点P，即为所求的的角平分线；
（2）过点P作于点P，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图所示，过点P作于点P，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴．
12.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 CD＝CE ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，结合BC＝BF＝5可得答案．
【解答】解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝13，
∴sin∠DAF＝＝，即＝，
解得x＝，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝＝×＝．
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第24讲 尺规作图
【考点梳理】
1．尺规作图的作图工具
圆规和没有刻度的直尺
2．基本尺规作图
类型一：作一条线段等于已知线段
步骤：①作射线OP；
②以O为圆心，a为半径作弧，交OP于A，OA即为所求线段．
图示：
类型三：作线段的垂直平分线
步骤：①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M，N点；
②连接MN，直线MN即为所求垂直平分线．
图示：
类型四：作一个角等于已知角：
步骤：①以O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
②作射线O′A；
③以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；
⑤过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角．
图示：
类型五：过一点作已知直线的垂线
步骤：点在直线上：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A，B两点；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M，N；
③连接MN，MN即为所求垂线．
点在直线外：①在直线另一侧取点M；
②以PM为半径画弧，交直线于A，B两点；
③分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，交M同侧于点N；
④连接PN，则直线PN即为所求的垂线．
图示：
3．常见几种基本尺规作图作三角形
①已知三边作三角形；
②已知两边及其夹角作三角形；
③已知两角及其夹边作三角形；
④已知底边及底边上的高作等腰三角形；
⑤已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．作图的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；
(6)讨论．
步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
【高频考点】
考点1：简单尺规作图
【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形．
已知：如图，∠α，线段a.
求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.
考点2： 复杂尺规作图
【例题2】如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点D，使得是三角形的中线．
（2）如图2，在线段上找一点E，使得；
（3）如图3，在三角形内寻找格点P，使得．
考点3： 关于尺规作图的应用
【例题3】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论．
【自我检测】
一、选择题：
1. （2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
3. 如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，在长方形中，依据尺规作图的痕迹，用含α的式子表示为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
二、填空题：
6.如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
7. （2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
三、解答题：
9. 图①，图②均是的正方形网格，点、、均在格点上，请在给定的网格中用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中，作的中线；
（2）在图②中，作的高线．
10.如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．
（1）在图1中画出以AB为边的平行四边形，且点C，D在格点上；
（2）在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
（3）在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
11. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，，求的面积．
12.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
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