专题 勾股定理的应用（12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【题型目录】
【类型1】求梯子滑落高度...................................................................................................................1
【类型2】求旗杆高度..........................................................................................................................2
【类型3】求小鸟飞行距离...................................................................................................................3
【类型4】求大树折断前的高度...........................................................................................................4
【类型5】解决水杯中筷子问题...........................................................................................................5
【类型6】解决航海问题......................................................................................................................6
【类型7】求河宽..................................................................................................................................7
【类型8】求台阶上地毯长度...............................................................................................................8
【类型9】判断汽车是否超速...............................................................................................................8
【类型10】判断是否受台风影响.........................................................................................................9
【类型11】选址使到两地距离相等....................................................................................................10
【类型12】求最短路径.......................................................................................................................11
第二部分【题型展示与方法点拨】
【类型1】求梯子滑落高度
【例1】【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
【变式1】如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断
【变式2】如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
【类型2】求旗杆高度
【例2】某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，
他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高米．
（1）求风筝的高度．
（2）过点作，垂足为，求的长度．
【变式1】如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）
A． B． C． D．
【变式2】如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ．
【类型3】求小鸟飞行距离
【例3】姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有x的整式表示线段的长为 m；
（2）求这棵树高有多少米？
【变式1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【变式2】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
【类型4】求大树折断前的高度
【例4】如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
【变式1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂．
【类型5】解决水杯中筷子问题
【例5】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）．
（1）求水池的深度；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【变式1】一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ．
【类型6】解决航海问题
【例6】如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里．
（1）求点与点之间的距离；
（2）若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
【变式1】如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里．
【类型7】求河宽
【例7】四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
（1）求支渠的长度．（结果保留根号）
（2）若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【变式1】如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（ ）.
A． B． C．30 D．70
【变式2】如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．
【类型8】求台阶上地毯长度
【例8】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【变式1】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长.
【类型9】判断汽车是否超速
【例9】如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
（1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
（2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【变式1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
【变式2】）某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由．
【类型10】判断是否受台风影响
【例10】我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【变式1】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【变式2】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作．
【类型11】选址使到两地距离相等
【例11】如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？
【变式1】如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．
【变式2】为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器．
【类型12】求最短路径
【例12】【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【变式1】小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 勾股定理的应用（12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【题型目录】
【类型1】求梯子滑落高度................................................................................................................1
【类型2】求旗杆高度.......................................................................................................................3
【类型3】求小鸟飞行距离...............................................................................................................6
【类型4】求大树折断前的高度.......................................................................................................8
【类型5】解决水杯中筷子问题.....................................................................................................10
【类型6】解决航海问题................................................................................................................13
【类型7】求河宽............................................................................................................................15
【类型8】求台阶上地毯长度.........................................................................................................17
【类型9】判断汽车是否超速.........................................................................................................19
【类型10】判断是否受台风影响....................................................................................................22
【类型11】选址使到两地距离相等................................................................................................25
【类型12】求最短路径...................................................................................................................27
第二部分【题型展示与方法点拨】
【类型1】求梯子滑落高度
【例1】【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
【答案】（1）；（2）的长度为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
（1）根据勾股定理即可求出；
（2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出；
解：（1）在中，，
答：长为；
（2），
，
在中，，
，
答：的长度为．
【变式1】如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小.
解：斜靠在竖直的墙上，，，
在中，.
竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，
，，
在中，.
.
，
.
.
的长度小于2米.
故答案为：A.
【点拨】本题考查了勾股定理，无理数的估算方法，解题的关键在于理解题意，清楚知道，熟练掌握无理数的估算方法.
【变式2】如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
【答案】1.7
【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键．
根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案．
解：由题意得：（米），
梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称，
米，
（米），
即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
故答案为：．
【类型2】求旗杆高度
【例2】某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，
他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高米．
（1）求风筝的高度．
（2）过点作，垂足为，求的长度．
【答案】（1）米；（2）12米
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据三角形的面积公式求解即可．
解：（1）解：在中，由勾股定理，得：
（米，
所以（米．
答：风筝的高度为米．
（2）解：由等积法知：，
解得：（米．
答：的长度为12米．
【变式1】如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题．
解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即船向岸边移动了，
故选：A．
【变式2】如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ．
【答案】2.6米
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可
解：如图，过点作于点，
则米，米，
米，
（米．
所以此时牵狗绳的长为2.6米．
故答案为：2.6米．
【类型3】求小鸟飞行距离
【例3】姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有x的整式表示线段的长为 m；
（2）求这棵树高有多少米？
【答案】（1）；（2）这棵树高3.2米
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系，并根据求的长是解题的关键．
（1）根据，计算即可；
（2）在中，由勾股定理，列出方程求解即可．
解：（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：由题意知，则在中，
有，
∴，
解得：，
∴．
答：这棵树高有3.2米
【变式1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．
解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
【变式2】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
【答案】2
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键．
如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可．
解：如图：过点D作于点E，则米，
∵米，
∴（米），
在中，由勾股定理得到：（米），
故答案为：2．
【类型4】求大树折断前的高度
【例4】如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
【答案】树枝砸不到小车
【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车．
解：如下图所示，
，
为直角三角形，
在中，，，
，
，，
树枝砸不到小车．
【变式1】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地x尺，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了 勾股定理的应用，设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
解：设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，依题意得：
，
故选：D．
【变式2】如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据题意设，则，利用勾股定理列式计算即可得到本题答案．
解：∵旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，
∴，
∵旗杆原长，
∴，
∴设，则，
∴，解得：，
∴旗杆在离底部的位置断裂，
故答案为：．
【类型5】解决水杯中筷子问题
【例5】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）．
（1）求水池的深度；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】（1）12尺；（2）见分析
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．
解：（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，
（尺）；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
即尺；
答：水池的深度为12尺；
（2）证明：水池深度，则芦苇高度为，
由题意有：；
为中点，且，
；
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：；
表明刘徽解法是正确的．
【变式1】一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据问题的条件可得到当铅笔与笔筒底垂直时x最大，此时x最大值为铅笔的高减去笔筒内壁的高；分析可知，当铅笔如图放置时h最小，在中，运用勾股定理即可得到答案．
解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，．
当铅笔如图放置时x最小．
在中，，
∴，
∴．
∴x的取值范围：.
故选：B．
【变式2】水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水的深度为，则芦苇的长度为，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
解：设水的深度为，则芦苇的长度为，
由题意可得，，
解得，
∴水的深度为，
故答案为：．
【类型6】解决航海问题
【例6】如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里．
（1）求点与点之间的距离；
（2）若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
【答案】（1）点与点之间的距离为50海里；（2）有0.7小时可以接收到信号
【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离；
（2）过点作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数．
解：（1）解：由题意，得：，；
；
海里，海里；
（海里），
即：点与点之间的距离为50海里；
（2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里．
；
；
；
海里；
海里；
海里；
行驶时间为（小时）．
答：有0.7小时可以接收到信号．
【变式1】如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意．
根据题意得出，，再根据勾股定理求解即可．
解：根据题意可得：，，
∴，
故选：B．
【变式2】一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里．
【答案】
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握方向角，勾股定理的应用是解题的关键．
如图，为9点时两艘小船的距离，由题意知，，由勾股定理得，，计算求解即可．
解：如图，为9点时两艘小船的距离，
由题意知，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【类型7】求河宽
【例7】四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
（1）求支渠的长度．（结果保留根号）
（2）若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【答案】（1）；（2）万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可；
（2）由的面积求出的长，即可解决问题．
解：（1）解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
答：公路的长度为；
（2），
，
，
，
∴修建林荫小道需要的费用为万元．
【变式1】如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（ ）.
A． B． C．30 D．70
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键．
根据题意直接运用勾股定理进行解答即可．
解：在中，根据勾股定理得：．
故选：A．
【变式2】如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．
【答案】24
【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可．
解：，
，为直角三角形．
，
，
，
，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键．
【类型8】求台阶上地毯长度
【例8】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
【答案】最短路程是150cm．
【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，
由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，
答：最短路程是150cm．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．
【变式1】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解．
解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长，
∴长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故选：B．
【变式2】如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长.
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边.
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可.
解：根据勾股定理和平移可得，楼梯水平长度为：米，
则红地毯至少要米.
故答案为：
【类型9】判断汽车是否超速
【例9】如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
（1）现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
（2）为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】（1）新路长度是120米；（2）该车没有超速，理由见分析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
解：（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
【变式1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
【答案】 80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点拨】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由．
【答案】这辆轿车违章，理由见分析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论．
解：这辆轿车违章，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴汽车的速度为，
∵，
∴这辆轿车违章．
【类型10】判断是否受台风影响
【例10】我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】（1）受影响，理由见分析；（2）6小时
【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可．
解：（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下：
如图：过A作，垂足为，则，
在中，，
∴，
∵，
∴A城会受台风影响．
（2）解：设上点，使千米，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，千米，千米，
∴（千米），
∴千米，
∴遭受台风影响的时间是：（小时）．
【变式1】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【答案】B
【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间．
解：如图：过点作，米，
，米，
米，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时米，
米，米，
由勾股定理得：米，米，即米，
火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶，
影响时间应是：秒．
故选：B．
【变式2】如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解．
解：由题意，，，，
∴，
∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为，
∴台风开始影响点D的时刻为（时），
台风结束影响点D的时间为（时），
故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作，
故答案为：．
【类型11】选址使到两地距离相等
【例11】如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？
【答案】E站应建在离A地的地方
【分析】本题考查勾股定理，根据设，则，利用勾股定理结合C，D两村到E站距离相等，列出方程进行求解即可．
解：设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，即：，
解得：，
答：E站应建在离A地的地方．
【变式1】如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．
根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，的长是．
所以，．
故选：C．
【变式2】为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可．
解：过点作于点N，根据题意，得，
又，
故，
设，
∴，
∴，
∴，
故，
故答案为：8．
【类型12】求最短路径
【例12】【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可．
解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为：；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
【变式1】小迅家有一个长，宽，高的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点处出发，想吃到鱼缸顶部处的馒头屑，它爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．
由于鱼缸是无盖的长方体，因此画出展开图，由勾股定理得．
解：因为是鱼缸是无盖的长方体，
所以由题意得，画出展开图：
∴由勾股定理得：，
故选：A．
【变式2】春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开-路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解：圆柱体的展开图如图所示，
最短长度为
，
故答案为：．
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