专题 勾股定理的应用
目录
【题型一 应用勾股定理解决梯子滑落问题】 1
【题型二 应用勾股定理解决旗杆高度问题】 4
【题型三 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题】 7
【题型四 应用勾股定理解决汽车是否超速问题】 9
【题型五 应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】 11
【题型六 应用勾股定理解决航海问题】 12
【题型七 应用勾股定理解决河宽问题】 14
【题型八 应用勾股定理解决台阶上地毯长度问题】 17
【题型九 应用勾股定理解决是否受台风影响问题】 18
【题型十 应用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 21
【题型一 应用勾股定理解决梯子滑落问题】
例题：一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，设它的底部滑行了，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴，
设它的底部滑行了，则有，
∴，
解得：；
故选D．
【变式训练】
1．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
【答案】1.7
【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键．
根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案．
【详解】解：由题意得：(米)，
梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称，
米，
(米)，
即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
故答案为：．
2．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？
【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为；
(2)梯子的顶端沿墙向上移动了．
【分析】（）根据勾股定理即可得到结论；
（）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解；
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
即，所以，
即这架梯子的顶端到地面的距离为；
（2）解：，，
在中，由勾股定理得，
即，
∴，
∴，
即梯子的顶端沿墙向上移动了．
【题型二 应用勾股定理解决旗杆高度问题】
例题：如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解
【详解】解：由题意可得方程为；
故选D
【变式训练】
1．如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m．
【答案】15
【分析】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．设，根据题意得到，，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，，，，
设，
∴，
∴
∵
∴，即
∴
∴
∴．
即：这棵树的高度为．
故答案为：．
2．长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数）
【答案】(1)米
(2)小明需要后退约米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解；
（2）过作于点，则四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：旗杆的高度为．
（2）解：过作于点，
则，
∴四边形为长方形，
∴，，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
答：小明需后退．
【题型三 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题】
例题：轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如图，，，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
故选C．
【变式训练】
1．如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】两棵树的高度差为米，间距为米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故答案为：．
2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？
【答案】米
【分析】过点作，构造直角，根据题意得到两个直角边、的长度，再根据勾股定理得即可解答．
【详解】
如图，过点作，垂足为点，
由题意可知，米，米，
则米，
答：为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题关键．
【题型四 应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
例题：如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【答案】B
【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点作，米，
，米，
米，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时米，
米，米，
由勾股定理得：米，米，即米，
火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶，
影响时间应是：秒．
故选：B．
【变式训练】
1．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解．
【详解】解：依题意，在中，，；
据勾股定理可得：，
故小汽车的速度为s．
故答案为：．
2．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由．
【答案】这辆轿车违章，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论．
【详解】解：这辆轿车违章，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴汽车的速度为，
∵，
∴这辆轿车违章．
【题型五 应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
例题：如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确求出杯子内筷子的长度是解题关键．利用勾股定理求出杯子内筷子的长度，再利用筷子的总长度减去杯子内筷子的长度即可得．
【详解】解：由题意得：杯子内筷子的长度为，
则筷子露在杯子外面的长度为，
故选：A．
【变式训练】
1．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺）
【答案】13
【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：1丈尺
设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：，
芦苇的长度（尺），
故答案为：13．
2．如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据当牙刷垂直于底面放置时，最大，当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，即可得出答案．
【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时，最大，此时
当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，如图，
在中，根据勾股定理得
的范围是：．
【题型六 应用勾股定理解决航海问题】
例题：一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（ ）
A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，如图所示，
可知，，海里，海里，
在中，（海里），
故两船相距海里
故选：C．
【变式训练】
1．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里．
【答案】16
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，
∴，
∴
∵甲以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时，
∴（海里），
∵海里，
在中，（海里），
∴乙轮船平均每小时航行（海里）．
故答案为：16．
2．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【答案】9海里/时
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理，列出算式是关键．
先用勾股定理求出的长，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：（海里），海里，
，
在中
∴（海里），
∴乙船的航速是（海里/时），
答：乙船的航速是9海里/时．
【题型七 应用勾股定理解决河宽问题】
例题：如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意可知米，
设，则，
中，由勾股定理得，
即，
解得．
∴该河的宽度为24米．
故选：D．
【变式训练】
1．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ．
【答案】480
【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可．
【详解】解：，
即该河处的宽度是；
故答案为：480．
2．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【答案】(1)
(2)万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可；
（2）由的面积求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
答：公路的长度为；
（2），
，
，
，
∴修建林荫小道需要的费用为万元．
【题型八 应用勾股定理解决台阶上地毯长度问题】
例题：如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的基本应用，能够正确计算是解题关键．
先通过勾股定理算出楼梯的水平宽度，再通过“地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和”即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是．
故选：D．
【变式训练】
1．淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键．
根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米．
【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，
则矩形的长为：（米），
地毯的长度为：（米），
故答案为：．
2．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【答案】米
【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键．
【详解】解：如图，由勾股定理得，，
∴米，
∴米，
答：地毯的长度至少需要米．
【题型九 应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
例题：为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为
【答案】/8米
【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长．
【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于，
∵测温仪的有效测温距离为，
∴，
又测温仪与直线的距离为，
在中，据勾股定理得：
，
同理得，
∴，
即学生沿直线行走时测温的区域长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【变式训练】
1．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解．
【详解】解：由题意，，，，
∴，
∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为，
∴台风开始影响点D的时刻为（时），
台风结束影响点D的时间为（时），
故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作，
故答案为：．
2．2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由．
【答案】农场会受到台风的影响，见解析
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离．
过点作，垂足为，由勾股定理得，由三角形面积公式得到，由，判断农场A会受到台风的影响
【详解】解：会受到台风的影响．
理由：如图，过点作，垂足为．
在中，
，，，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴农场会受到台风的影响．
【题型十 应用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】
例题：年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，画出圆柱的展开图，连接，由勾股定理即可求解，正确画出展开图是解题的关键.
【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，连接，
∴即为最短，
∴，，
∴，
故选：．
【变式训练】
1．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．
【答案】26
【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，
原图长度增加，
则，
连接，
，
故答案为：．
2．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
【答案】蚂蚁爬行的最短距离是
【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离；
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图；
∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是，
；
要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
；
；
，
∴蚂蚁爬行的最短距离是．
一、单选题
1．如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
在中，（米），
∴（米），
即小鸟至少要飞行的长度为10米．
故选：B．
2．将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，分当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长两种情况求解即可．
【详解】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，如图所示，此时，，
∴最短为；
如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为，
故的取值范围是，
故选：D．
3．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
【答案】B
【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故这棵大树在折断前的高度为米，
故选B．
4．如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意．
根据题意得出，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得：，，
∴，
故选：B．
5．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线，
在中，，，
由勾股定理得：．
故选：B．
二、填空题
6．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进 米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于E，则米，，
米，
米，
米，
在中， 由勾股定理得：米，
米，
即这名学生从进入感应区到进门，需行进米，
故答案为：．
7．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，找出拖拉机会影响学校的路段的长度，再根据“时间路程速度”求解即可．熟练掌握勾股定理及题目情景是解本题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：如图所示，为点到直线的距离即，，，为拖拉机会影响学校的路段，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，
又∵，
∴，
∴学校受影响的时间为秒．
故答案为：．
8．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
【答案】 80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱．
【答案】
【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积.
【详解】解：由题意得：
由勾股定理可得：，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为，
所以铺完这个楼道至少需要（元）；
故答案为：
10．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ．
【答案】2.6米
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可
【详解】解：如图，过点作于点，
则米，米，
米，
（米．
所以此时牵狗绳的长为2.6米．
故答案为：2.6米．
三、解答题
11．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【答案】这辆小汽车超速了
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键．
求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】解：在中，；
根据勾股定理可得：，
∴小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
12．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？
【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见详解
(2)台风中心的移动速度是
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解图示含义，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
（1）根据题意可得，过点作于点，即台风在线段上移动时，台风中心距离点的最短路径为，由等面积法可得，由此即可求解；
（2）如图所示，在线段上分别取点，分别表示点开始受到影响到影响结束，由勾股定理可得，运用行程的数量关系即可求解．
【详解】（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下，
∵，，
∴，
如图所示，过点作于点，即台风在线段上移动时，台风中心距离点的最短路径为，
∵，
∴，
∵，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）解：由（1）可知，农场A会受到台风的影响，
如图所示，在线段上分别取点，分别表示点开始受到影响到影响结束，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵台风影响该农场持续时间为，
∴，
∴台风中心的移动速度是．
13．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为17.5米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为米，
是直角三角形，
，
，
解得.
答：旗杆的高度为17.5米．
14．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2)6小时
【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可．
【详解】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下：
如图：过A作，垂足为，则，
在中，，
∴，
∵，
∴A城会受台风影响．
（2）解：设上点，使千米，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，千米，千米，
∴（千米），
∴千米，
∴遭受台风影响的时间是：（小时）．
15．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为：；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 勾股定理的应用
目录
【题型一 应用勾股定理解决梯子滑落问题】 1
【题型二 应用勾股定理解决旗杆高度问题】 2
【题型三 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题】 3
【题型四 应用勾股定理解决汽车是否超速问题】 4
【题型五 应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】 5
【题型六 应用勾股定理解决航海问题】 6
【题型七 应用勾股定理解决河宽问题】 6
【题型八 应用勾股定理解决台阶上地毯长度问题】 8
【题型九 应用勾股定理解决是否受台风影响问题】 8
【题型十 应用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】 9
【题型一 应用勾股定理解决梯子滑落问题】
例题：一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．
2．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？
【题型二 应用勾股定理解决旗杆高度问题】
例题：如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m．
2．长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数）
【题型三 应用勾股定理解决小鸟飞行距离问题】
例题：轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，有两棵树，一颗高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 ．
2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，为多少米？
【题型四 应用勾股定理解决汽车是否超速问题】
例题：如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒
【变式训练】
1．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．
2．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由．
【题型五 应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】
例题：如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺）
2．如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围．
【题型六 应用勾股定理解决航海问题】
例题：一艘轮船以3海里/时的速度从港口出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（ ）
A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里
【变式训练】
1．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里．
2．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【题型七 应用勾股定理解决河宽问题】
例题：如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【变式训练】
1．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ．
2．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【题型八 应用勾股定理解决台阶上地毯长度问题】
例题：如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米．
2．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到）
【题型九 应用勾股定理解决是否受台风影响问题】
例题：为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为
【变式训练】
1．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作．
2．2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由．
【题型十 应用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】
例题：年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．
2．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
一、单选题
1．如图，学校操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高8米，树梢D到树的水平距离的长度为8米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
2．将一支长为的圆珠笔，放在底面内径为，高为的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，倒下部分与地面成夹角，倒下后树高还有5米，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
4．如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
二、填空题
6．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进 米．
7．公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，米，点到的距离为米，假设拖拉机行驶时，周围米以内会受到噪音的影响，拖拉机以千米/时的速度在公路上沿方向行驶时，学校受影响的时间为 秒．
8．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
9．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱．
10．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ．
三、解答题
11．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
12．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？
13．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度．
14．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
15．【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
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