专题 勾股定理与折叠（3种几何模型和5类题型）（模型梳理与题型分类讲解）
第一部分【模型梳理与题型目录】
勾股定理中折叠模型是比较多的一种实际应用，折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等，还要注意对称轴，对应点被对称轴垂直平分，本专题共梳理出以下三种折叠模型，通过勾股定理建立方程得以解决。
【模型一】折叠构造直角三角形
折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。
【模型二】折叠构造全等三角形
折叠前后图形重合，因而产生了全等三角形，通过对应边相等、对应角相等进行线段、角的转化，通过勾股定理建立方程，从而达到解决问题的目的。
【模型三】折叠构造等腰三角形
由折叠产生角平分线，由由特殊图形的边平行，从而通过“平行线+
角平分线”得等腰三角形，再利用勾股定理解决问题。
【题型目录】
【题型1】折叠构造直角三角形.........................................................1
【题型2】折叠构造全等三角形.........................................................6
【题型3】折叠构造等腰三角形.........................................................9
【题型4】直通中考..................................................................12
【题型5】拓展延伸..................................................................14
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】折叠构造直角三角形
【例1】如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知．
（1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长．
【答案】（1）见分析；（2）2．
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由折叠得，结合故，即可作答．
（2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答．
解：（1）证明：由折叠，可知．
∵且，
∴．
根据勾股定理的逆定理，是直角三角形．
（2）解：由折叠，可知．
∵，
∴，
∴三点共线．
设，则，
∵，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即．
解得．
即线段的长为2．
【变式1】如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则的面积 ．
【答案】
【分析】求的面积，边是的高，有，利用勾股定理可求出边即可．本题考查了折叠与勾股定理．
解：∵四边形是长方形，
∴，，，
设，
∵使点B与点D重合，折痕为，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
的面积为．
故答案为：．
【变式2】如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可．
解：∵折叠，
∴
①当时，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
②当时
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
【变式3】如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，分两种情况：当时，如图，当时，设，再利用勾股定理建立方程求解即可．
解：如图，当时，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，即，
如图，当时，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，即，
综上：为或，
故答案为：或．
【题型2】折叠构造全等三角形
【例2】如图，把一个长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿着折叠，使点A落在的位置上，若，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】设与交于点F，作于点E，根据证明，那么，设，利用勾股定理可得，，利用面积可得，利用勾股定理可得，进而可求出点的坐标．
解：设与交于点F，作于点E
∵纸片沿折叠
∴
∵
∴
∴，
设
∴
∴，
解得
∴，，
∵
∴
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了长方形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键．
【变式1】如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 .
【答案】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，解答本题的关键要明确：在折叠过程中，对应角和对应边相等．点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到，在中利用勾股定理即可求出的长．
解：在中，，，，
点是直角边的中点，
，
根据折叠的性质，得，
，
设为，则：，
在中：，
解得：，
故答案为：．
【变式2】如图，在长方形纸片中，，，点P在边上，将沿DP折叠，点C落在点E处，，分别交于点G，F，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，根据证明，，设，利用勾股定理得方程，求出x即可解决问题．
解：∵四边形是长方形，
由翻折的性质可知，，
在和中，
∴，
∴
∵
∴
设，则
∴，
，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
【题型3】折叠构造等腰三角形
【例3】如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置．
（1）若，则______，______；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求的面积．
【答案】（1），；（2）是等腰三角形，见分析；（3）
【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识．
（1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案；
（2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论；
（3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案．
解：（1）解：∵，，
∴，
由折叠可知，，
∴；
故答案为：，
（2）是等腰三角形，
由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）设的长为x，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴
解得，，
∴
∴．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，折叠问题，根据点的坐标得到轴，轴，，折叠推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
解：∵，
∴轴，轴，，
∴轴，，
∴
由折叠可得，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【变式2】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，则的面积＝ ．
【答案】78
【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键．
设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
解：长方形中，
∴，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，
则．
故答案为：78．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型4】直通中考
【例1】如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【例2】如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，则，根据勾股定理求解即可．
解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得.
故答案为：3．
【题型5】拓展延伸
【例1】折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法．
【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）．
（1）当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
（3）如图3，当点的对应点在边下方，、分别交于点、，当和都是等腰三角形时，则 （在横线上直接写出答案）．
【答案】（1）见分析；（2）；（3）或或
【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作；
（2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解；
（3）设，则；分三种情况：①；②；③，再结合是等腰三角形的情况，利用三角形内角和即可求得的度数．
解：（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕；
（2）解：如图，连接；
设，
∵是等腰三角形，
∴；
由折叠知，，
∴；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（3）解：设，则；
①当时；
则，
∴，
此时是直角三角形，当时是等腰直角三角形，
∴，
即，
∴；
②当时；
则，，
由于，
∴是等腰三角形的情况有：，；
当时，即，
则，
解得：；
当时，，
则，
解得：；
③当时；
则，
∴；
若，则，与题意矛盾；
若，则；
若，则；
综上，的度数为或或．
【点拨】本题考查了尺规作图：作角平分线，作线段的垂直平分线，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和等知识，注意分类讨论思想的应用．
【例2】如图，已知为边长为的等边三角形，为边上的高，，分别为边，上的动点，将沿直线折叠，使点的对应点刚好落在上，连接．
（1）如图，当点与重合时，求线段的长．
（2）如图，当时，判断的形状，并说明理由．
（3）如图，当、、三点共线时，求的度数．
（4）当在何处时，点是的中点，请直接写出结果．
【答案】（1）；（2）直角三角形，理由见分析；（3）；（4）当点与点重合或与点重合时，点为的中点．
【分析】根据等边三角形的三线合一定理可知为边上的高，则点是边上的中点，根据折叠的性质可知；
根据平行线的性质和折叠的性质可知，当时，和是等边三角形，从而可得，根据勾股定理可得，所以可以求出，从而可知，所以可得是直角三角形；
连接，设，因为、、三点共线所以，根据等边三角形的性质可知，根据折叠的性质可知，解方程可以求出的度数；
当点为的中点时，，所以可得当点与点重合或与点重合时，点为的中点．
解：（1）解：如图所示，
是等边三角形，为边上的高，
，
根据折叠的性质可知：；
（2）解：是直角三角形，
理由如下：
如图所示，
是等边三角形，为边上的高，
，，
，
，
，
根据折叠的性质可知，
和是等边三角形，
，
，
，
，，
根据折叠的性质可得：，
，
，
，
，，
，
是直角三角形；
（3）解：如图所示，连接，设，
根据折叠的性质，
是等边三角形，为边上的高，
，
则有
、、三点共线时，
，
，
，
，
解得：，
，
当、、三点共线时，；
（4）解：如下图所示，
当点为的中点时，，
当点在点的位置时，点是的中点，
如下图所示，
当点与点重合，点与点重合时，点为的中点，
综上所述，当点与点重合或与点重合时，点为的中点．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质、勾股定理．解决本题的关键是根据折叠的性质找到边和角之间的相等关系．
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第一部分【模型梳理与题型目录】
勾股定理中折叠模型是比较多的一种实际应用，折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等，还要注意对称轴，对应点被对称轴垂直平分，本专题共梳理出以下三种折叠模型，通过勾股定理建立方程得以解决。
【模型一】折叠构造直角三角形
折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。
【模型二】折叠构造全等三角形
折叠前后图形重合，因而产生了全等三角形，通过对应边相等、对应角相等进行线段、角的转化，通过勾股定理建立方程，从而达到解决问题的目的。
【模型三】折叠构造等腰三角形
由折叠产生角平分线，由由特殊图形的边平行，从而通过“平行线+
角平分线”得等腰三角形，再利用勾股定理解决问题。
【题型目录】
【题型1】折叠构造直角三角形.........................................................1
【题型2】折叠构造全等三角形.........................................................2
【题型3】折叠构造等腰三角形.........................................................3
【题型4】直通中考...................................................................4
【题型5】拓展延伸...................................................................5
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】折叠构造直角三角形
【例1】如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知．
（1）求证：为直角三角形； （2）求线段的长．
【变式1】如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则的面积 ．
【变式2】如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ．
【变式3】如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ．
【题型2】折叠构造全等三角形
【例2】如图，把一个长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿着折叠，使点A落在的位置上，若，则点的坐标是 ．
【变式1】如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 .
【变式2】如图，在长方形纸片中，，，点P在边上，将沿DP折叠，点C落在点E处，，分别交于点G，F，若，则 ．
【题型3】折叠构造等腰三角形
【例3】如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置．
（1）若，则______，______；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求的面积．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ．
【变式2】如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，若，则的面积＝ ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型4】直通中考
【例1】如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
【题型5】拓展延伸
【例1】折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法．
【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）．
（1）当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
（3）如图3，当点的对应点在边下方，、分别交于点、，当和都是等腰三角形时，则 （在横线上直接写出答案）．
【例2】如图，已知为边长为的等边三角形，为边上的高，，分别为边，上的动点，将沿直线折叠，使点的对应点刚好落在上，连接．
（1）如图，当点与重合时，求线段的长．
（2）如图，当时，判断的形状，并说明理由．
（3）如图，当、、三点共线时，求的度数．
（4）当在何处时，点是的中点，请直接写出结果．
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