勾股定理
【类型覆盖】
类型一、三边构成直角三角形
【解惑】下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【融会贯通】
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10
2．已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“” “”或“”）
3．已知中，，，，且满足．则边上的高为 ．
类型二、勾股数问题
【解惑】下列各组数中，是勾股数的是（）
A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25
【融会贯通】
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，11，13
2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ．
3．勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为 ．
类型三、已知两点坐标求距离
【解惑】在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．在平面直角坐标系中，已知、，则 ．
3．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形．
类型四、勾股定理与无理数
【解惑】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ．
3．如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ．
类型五、用勾股定理解三角形
【解惑】如图，在的三边摆放火柴，使火柴之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放火柴的根数为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ．
3．如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点是的中点，，，求的长．
类型六、用勾股定理逆定理求解
【解惑】在中，，，，则的面积为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．78
【融会贯通】
1．在 中， ，则 的面积为 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．
3．【问题探究】
（1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，为三条走廊（点E和点F分别在边和上），米，米，米，米，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点H，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长．
类型七、赵爽弦图
【解惑】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ）
A．29 B． C．14 D．12
【融会贯通】
1．我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ．
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ．
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，．
①请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在中，，，，求的面积．
类型八、梯子滑落问题
【解惑】为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米
【数据应用】
当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上．
(1)求此时风筝的垂直高度．
(2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？
【融会贯通】
1．【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
2．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？
3．小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为．
(1)如图1，求风筝的竖直高度．
(2)如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米．
类型九、旗杆高度问题
【解惑】2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度．
【融会贯通】
1．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度．
2．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？
3．（1）如图，于点D，于点G，，试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）如图，王鹏将升旗的绳子拉到旗杆底部，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6米处，发现此时绳子底端距离打结处约2米，求旗杆的高度．
类型十、大树折断问题
【解惑】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号）
【融会贯通】
1．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？
2．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？
3．【综合与实践】
如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下：
A B C
图（1） 4 4 8
图（2） ______ 9 13
图（3） 9 ______ 34
（1）在表格中的横线上填空．
【提出问题】
（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______．
【解决问题】
（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：
一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？
【一览众山小】
1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
4．如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ．
5．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ．
6．如图，在中，，，，，，则的长度为 ．
7．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶．
8．如图，已知中，于点，，，．判断的形状，并说明理由．
9．如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，．
(1)求线段的长．
(2)判断是什么特殊三角形，并说明理由．
10．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．若，，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为，
，
如图，在，
，
．
因此，我们得到平面上任意两点，之间的距离公式为．根据上面得到的任意两点之间距离公式，解决下列问题：已知，，．
(1)求边的长；
(2)求边上的高．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)勾股定理
【类型覆盖】
类型一、三边构成直角三角形
【解惑】下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系，逐项判断即可．
【详解】解：A.，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B.，能构成直角三角形，故该选项符合题意；
C.，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D.，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B ．
【融会贯通】
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意；
B.，不能构成三角形，不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，不符合题意；
D. ，能构成直角三角形，符合题意；
故选D．
2．已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“” “”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，取格点，连接，可得为等腰直角三角形，即得，得到，进而可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：取格点，连接，
由网格得，，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的余角为，
∴，
故答案为：．
3．已知中，，，，且满足．则边上的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的面积．根据非负数的性质得出，继而得出，再根据三角形面积即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴是直角三角形，
设斜边上的高为，
∴，
∴，
故答案为： ．
类型二、勾股数问题
【解惑】下列各组数中，是勾股数的是（）
A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可．
【详解】解：A．不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；
В．，正确，是勾股数，符合题意；
C．，错误，不是勾股数，不符合题意；
D．，错误，不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
【融会贯通】
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，11，13
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，是勾股数，故本选项符合题意；
D、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形面积公式先求出、的值，再根据正方形的性质得到的值，最后利用勾股定理得，即得到正方形的面积，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：∵的边分别是，所有的三角都是直角三角形，
∴，，
∵所有的四边形都是正方形 ，
∴，，
∴利用勾股定理得，，
∴最大的正方形的面积为，
故答案为：．
3．勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第4个勾股数组中间的数为：，即可得出结论．
【详解】解：由，，，…第四个为，
第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为，
故答案为：．
类型三、已知两点坐标求距离
【解惑】在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点到原点的距离和勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：A.到原点的距离为，不符合题意；
B.到原点的距离为，不符合题意；
C.到原点的距离为，符合题意；
D.到原点的距离为，不符合题意；
故选：C．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可．
【详解】解：若点P在轴上，设，
，，
，，
，即，
，
，
，
若点P在轴上，设，
，点，
，，
，即，
，
，
，
即或，
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，已知、，则 ．
【答案】
【分析】本题考查求两点间的距离，作轴，轴，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图作轴，轴，则：，
∵、，
∴，
∴；
故答案为：．
3．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形．
【答案】等边
【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
类型四、勾股定理与无理数
【解惑】如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：B．
【融会贯通】
1．以单位1为边长画一个正方形，以顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C（点C在点B左侧），设点C在数轴上表示的数是a，则点A在数轴上表示的数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．
由数轴可知正方形的边长为1，由勾股定理即可得出正方形的对角线长为，根据题意可得出，则可得出点表示的数．
【详解】解：由图可知正方形的边长为1，
∴正方形的对角线长为：，
∵顶点A为圆心、对角线长为半径画弧，
，
∴点表示的数是，
故选：B．
2．如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得．
【详解】解：设点对应的实数为，
∵在数轴上，点，点分别表示实数，2，
∴，
∵，，
∴，
由作图可知，，
又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴的正半轴，
∴，
∴，
即点对应的实数为，
故答案为：．
3．如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数．
【详解】解：如图，
在中，，
，
点表示的数为，
故答案为：．
类型五、用勾股定理解三角形
【解惑】如图，在的三边摆放火柴，使火柴之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放火柴的根数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设相邻两根火柴之间间隔的距离为，得到，，由题得，得到，即可得到答案．
【详解】解：设相邻两根火柴之间间隔的距离为，
，，
，
，
边应摆放火柴的根数为，
故选： B．
【融会贯通】
1．如图，在中，，，．根据尺规作图的痕迹，图中的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可．
【详解】解：根据作图过程可知：，平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为5．
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，角平分线，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
2．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理和垂直平分线的性质，首先利用勾股定理求得的长度，再利用垂直平分线的性质得出，最后在中利用勾股定理解得的长度．
【详解】解：连接，
利用勾股定理可得，
是的垂直平分线，
；
设，则，；
在中，利用勾股定理可得：，
即，解得，
所以的长度为．
故答案为：
3．如图，是的高线，为上一点，连结，交于点，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若点是的中点，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理证得，，进而可得，最后依据等腰三角形的判定，即可得证；
（2）过点作于点，根据点是的中点，可得，在中，根据勾股定理可得，进而证得，最后根据是等腰三角形，，即可求的长．
【详解】（1）证明：，
，
是的高线，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：过点作于点，
，
点是的中点，，
，
，，
，
，，，
，
，
是等腰三角形，，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、对顶角的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
类型六、用勾股定理逆定理求解
【解惑】在中，，，，则的面积为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用．根据，，，证明是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：，，，
，，，
，
，
为直角三角形，
，
故选：B．
【融会贯通】
1．在 中， ，则 的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理得出，根据三角形的面积可得出答案．
【详解】∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
2．如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键；
作于，根据，证明为直角三角形，进而求得的长，根据面积法求解即可；
【详解】解：如图，作于，
，，，
，
，
平分，，，
，设，
，
，
，
，
；
故答案为：
3．【问题探究】
（1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，为三条走廊（点E和点F分别在边和上），米，米，米，米，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点H，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长．
【答案】（1）；（2）18米或25米或30米
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质：
（1）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可；
（2）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再利用勾股定理求出的，最后分，，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴米，
当米时，则米，
当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴米；
当时，过点E作于M，则，
∵，
∴米，
∴米，
∴米；
综上所述，的长为18米或25米或30米．
类型七、赵爽弦图
【解惑】我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ）
A．29 B． C．14 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为，
根据题意得，
解得或（舍去），
∴小正方形的周长为，
故选：D．
【融会贯通】
1．我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则 ．
【答案】21
【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，正确理解题意是解题关键．设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，根据题意，得到，由勾股定理得到，进行求解即可．
【详解】解：设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，
则：，，
∴；
故答案为：．
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为，
∴图中的大正方形的边长为，
故答案为：
3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，．
①请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在中，，，，求的面积．
【答案】(1)①见解析，②
(2)新路比原路少千米；
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键．
（1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可；
（2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答；
（3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为，
四个直角三角形的面积为：，
，
．
②解：由①可知，，
，
，
，
．
（2）解：设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，即千米，
（千米）．
答：新路CH比原路CA少0.2千米．
（3）解：如图：作，垂足为H，
设，
，
，，，，
∴在中，，在中，，
，即，解得：，
，
，
．
类型八、梯子滑落问题
【解惑】为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米
【数据应用】
当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上．
(1)求此时风筝的垂直高度．
(2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？
【答案】(1)米
(2)14米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，米，，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
∴此时风筝的垂直高度为米；
（2）解：由题意得，米，
在中，由勾股定理得米，
∵米，
∴还需要放出风筝线14米．
【融会贯通】
1．【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
【答案】（1）；（2）的长度为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
（1）根据勾股定理即可求出；
（2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出；
【详解】解：（1）在中，，
答：长为；
（2），
，
在中，，
，
答：的长度为．
2．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米．
(1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？
(2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？
【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为；
(2)梯子的顶端沿墙向上移动了．
【分析】（）根据勾股定理即可得到结论；
（）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解；
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
即，所以，
即这架梯子的顶端到地面的距离为；
（2）解：，，
在中，由勾股定理得，
即，
∴，
∴，
即梯子的顶端沿墙向上移动了．
3．小明和小亮同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的竖直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③牵风筝线的手离地面的高度为．
(1)如图1，求风筝的竖直高度．
(2)如图2，在（1）的高度下，小明回收风筝，在回收过程中，当测得风筝的仰角为时（即），的长为，求此时小明的风筝线收回了多少米．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，则，，由勾股定理得，，根据，计算此时小明的风筝线收回的长度即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∴，
∴为；
（2）解：由题意知，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴此时小明的风筝线收回了米．
类型九、旗杆高度问题
【解惑】2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度．
【答案】10米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得：米，
∴米，
∴米，
∴风筝离地面的高度为10米．
【融会贯通】
1．某兴趣小组在进行旗杆高度测量活动时，由《九章算术》中“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”启发，设计了如下测量方式：已知旗杆与地面垂直，将升旗的绳索自然下垂，测得绳索比旗杆长1米，拉直绳索，使绳索下端点A落在地面上，如图所示，测得点A与旗杆底端点B的距离为6米．请根据测量数据计算旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为17.5米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为米，
是直角三角形，
，
，
解得.
答：旗杆的高度为17.5米．
2．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？
【答案】米
【分析】本题考查勾股定理的应用，由勾股定理求出线段长，再求出的长度即可解答，关键是读懂题意，作出图形，数形结合．
【详解】解：在中，米，米，
则（米）．
在中，米，米，
则（米）．
则引线的长度应加长米．
3．（1）如图，于点D，于点G，，试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）如图，王鹏将升旗的绳子拉到旗杆底部，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6米处，发现此时绳子底端距离打结处约2米，求旗杆的高度．
【答案】（1），理由见解析（2）旗杆的高度为8米
【分析】本题考查平行线的判定和性质，勾股定理的实际应用：
（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到，得到，进而得到，即可得出结论；
（2）设旗杆的高度为米，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）旗杆的高度为米，由勾股定理，得：，
解得：；
答：旗杆的高度为8米．
类型十、大树折断问题
【解惑】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号）
【答案】大树的高度为米
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理可得到，再由即为树高，进而得到答案.
【详解】解：由题可得：，，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∴米.
答：大树的高度为米.
【融会贯通】
1．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？
【答案】4
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，
先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可．
【详解】解：根据题意可知，
设，则，根据勾股定理得
，
解得．
所以折断处离地面的高度是4尺．
2．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？
【答案】折断后段的高度为尺
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，运用方程思想是解决问题的关键．
设尺，则斜边尺，根据勾股定理得：，解方程即可解决问题．
【详解】解：设尺，则斜边尺，
在中，，
，
解得：，
答：折断后段的高度为尺．
3．【综合与实践】
如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下：
A B C
图（1） 4 4 8
图（2） ______ 9 13
图（3） 9 ______ 34
（1）在表格中的横线上填空．
【提出问题】
（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______．
【解决问题】
（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：
一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？
【答案】（1）4；25；（2）；（3）16尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明：
（1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求得到，即；
（3）根据（2）的结论求出的长即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4；
图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25；
故答案为：4；25；
（2）由（1）所求可得，
∴，
故答案为：；
（3）如图所示，由题意得，尺，尺，，
∴，
∴尺或尺（舍去），
∴木杆折断之前有尺，
【一览众山小】
1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴能作为直角三角形三边长，该选项符合题意；
、∵，
∴不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意；
、∵，
∴不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意；
、∵，
∴不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意；
故选：．
2．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，先由A、B的坐标得到，进而利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再求出的长即可得到答案.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
故选：B.
3．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可．
【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15，
以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17，
∴字母A所代表的正方形的边长，
故选：B．
4．如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：在中，根据勾股定理得
，
，
，
∵是斜边上的高，
∴，
∴．
故答案为：1．
5．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是，，若以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ．
【答案】或
【分析】根据勾股定理，得，，设点E表示的数为，根据题意，得，解答即可．
本题考查了勾股定理，数轴上两点间距离，数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由，
根据勾股定理，得，，
设点E表示的数为，
由点A对应的数是，
根据题意，得，
解得或．
故答案为：或．
6．如图，在中，，，，，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和，三角形外角，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理得出，继而得到，是等腰三角形，得到，由，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
7．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买多少的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1)；
(2)需要购买的地毯才能铺满所有台阶．
【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
答：需要购买的地毯才能铺满所有台阶．
8．如图，已知中，于点，，，．判断的形状，并说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出、的长，得出的长，在中利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
，
，
，，
，
在中，，
，
，
是直角三角形．
9．如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，．
(1)求线段的长．
(2)判断是什么特殊三角形，并说明理由．
【答案】(1)25
(2)直角三角形，见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．
（1）在中利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴是三角形．
10．阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．若，，过点分别向轴，轴作垂线，垂足为，
，
如图，在，
，
．
因此，我们得到平面上任意两点，之间的距离公式为．根据上面得到的任意两点之间距离公式，解决下列问题：已知，，．
(1)求边的长；
(2)求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了两点距离公式，三角形的高的定义，坐标与图形；
（1）根据勾股定理计算即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，根据等面积法即可求解．
【详解】（1）解： ，
答：的长为．
（2）过点作于点，过点作于点，
，，
，
答：边上的高为．
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