专题 勾股定理
目录
【题型一 由勾股定理求线段长度】 1
【题型二 由勾股定理求面积】 2
【题型三 由勾股定理求两线段的平方和（差）】 3
【题型四 利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离】 3
【题型五 勾股定理的证明方法】 4
【题型六 以弦图为背景的计算】 4
【题型七 勾股定理与网格问题】 5
【题型八 勾股数】 6
【题型九 勾股定理与折叠问题】 7
【题型一 由勾股定理求线段长度】
例题：已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．1.2 C．3.6 D．2.4
【变式训练】
1．如图；四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则 ．
【题型二 由勾股定理求面积】
例题：在中，，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
2．如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是 ．
【题型三 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
例题：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【题型四 利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离】
例题：已知点，则点P到原点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．3
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（ ）
A．点， B．点， C．点， D．点，
2．已知平面直角坐标系中的两点分别为，则，两点之间的距离为 ．
【题型五 勾股定理的证明方法】
例题：我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程．
【题型六 以弦图为背景的计算】
例题：我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ）
A．29 B． C．14 D．12
【变式训练】
1．图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ．
2．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
【题型七 勾股定理与网格问题】
例题：如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
【变式训练】
1．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ．
【题型八 勾股数】
例题：下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．13，14，15 B．
C．，， D．3，4，5
【变式训练】
1．下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ．
【题型九 勾股定理与折叠问题】
例题：已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为 ．
2．如图，在中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．
一、单选题
1．下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11
2．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（ ）
A．30 B．15 C．20 D．27
3．如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（ ）
A．4 B． C． D．或
4．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ．
7．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
8．如图，在中，，，，，，则的长度为 ．
9．如图，中，，，点是的中点，点，分别为，边上的点，且，连接，则的度数为 ；若，， ．
10．长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ．
三、解答题
11．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一点，连接，将沿直线翻折，点C恰好落在上的点F处．
(1)求的长；
(2)求的长．
12．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
13．如图，在长方形中，，，，以BD为折痕，将长方形ABCD折叠，使AD交BC于点E，点A落在点F处．
(1)求证：；
(2)若，，求BE的长．
14．图1是一种长为a，宽为b的长方形，对角线长为c．将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为．
(1)请用含a、b的代数式表示；
(2)如图2，若正方形的面积为34，，求图1中长方形的周长；
(3)将9个图1这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图3中阴影部分的面积为．若，，求图1中长方形的面积．
15．）已知，如图，在中，，．
(1)若，，求的值；
(2)证明：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 勾股定理
目录
【题型一 由勾股定理求线段长度】 1
【题型二 由勾股定理求面积】 4
【题型三 由勾股定理求两线段的平方和（差）】 6
【题型四 利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离】 8
【题型五 勾股定理的证明方法】 9
【题型六 以弦图为背景的计算】 11
【题型七 勾股定理与网格问题】 13
【题型八 勾股数】 15
【题型九 勾股定理与折叠问题】 17
【题型一 由勾股定理求线段长度】
例题：已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．1.2 C．3.6 D．2.4
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由勾股定理可知斜边长为，然后根据等积法可进行求解．
【详解】解：由题意得：斜边长为，
设该直角三角形的斜边上的高为h，则有：，
∴；
故选D．
【变式训练】
1．如图；四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键；
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案．
【详解】如图, 连接,
∵是线段的垂直平分线，
，
在中,
在中,
则,
∵，
∴，
∴
解得：
故选：B．
2．在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，角的直角三角形的性质，以及两锐角互余，解题的关键是根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．根据已知得出两种不同的图形，分别作出三角形的高，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图1所示：作，
，，，
，
，
，
，
，
如图2所示：作延长线于点，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型二 由勾股定理求面积】
例题：在中，，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定的应用，根据勾股定理得到，再由即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练】
1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为：，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：A．
2．如图，直角中，，，，边的垂直平分线交于，则的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据边的垂直平分线交于，得出，设，则，因为，所以，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵边的垂直平分线交于，
∴，
设，
∵
则，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的面积是，
故答案为：．
【题型三 由勾股定理求两线段的平方和（差）】
例题：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．
【详解】解：如图示，
∴在中，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
【答案】21
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【答案】73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
【题型四 利用勾股定理求平面直角坐标系中两点之间的距离】
例题：已知点，则点P到原点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．3
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系内的点到坐标原点的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵点，
∴点P到原点的距离为，
故选：B．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，有，，，四个点，则这四个点中到原点距离相等的点是（ ）
A．点， B．点， C．点， D．点，
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，分别求出所给点到原点的距离，据此可解决问题．
【详解】解：∵，，，
∴点到原点的距离为：；
点到原点的距离为，
点到原点的距离为，
点到原点的距离为，
所以点与点到原点的距离相等．
故选：A．
2．已知平面直角坐标系中的两点分别为，则，两点之间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【题型五 勾股定理的证明方法】
例题：我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：A、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确．
【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故①正确；
②小正方形面积为，则其边长是2，
因为是四个全等三角形，所以有，即，故②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得，故③正确；
④因为，所以，故④不正确．
综上，①②③正确．
故选：A．
2．义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证．
【详解】证明：连接，
由图形可知，
则
．
∴．
【题型六 以弦图为背景的计算】
例题：我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29，每个直角三角形的较短直角边均为2，则中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ）
A．29 B． C．14 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设小正方形的边长为x，小三角形的长直角边长为，
根据题意得，
解得或（舍去），
∴小正方形的周长为，
故选：D．
【变式训练】
1．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可．
【详解】解：由图可知，小正方形的边长为，
∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，
∴，
∴．
故答案为：，，．
2．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，
由题意可知：，，，
∵，
即，
则，
∴，
解得．
故答案为：．
【题型七 勾股定理与网格问题】
例题：如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长．
本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理得： ，
，
又，
，
，
．
故选：A．
【变式训练】
1．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，连接，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
【详解】解：如图，连接，
由题知，，，，
，，
，为直角三角形，即，
．
故选：C．
2．如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ．
【答案】
【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解；
【详解】解：如图，
由图可知：，，
∴，
由图可知：
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【题型八 勾股数】
例题：下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．13，14，15 B．
C．，， D．3，4，5
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可．
【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；
D、，正确，是勾股数，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股数．如果三个正整数满足，则这三个数就是勾股数，设可以和，构成勾股数的另一个数为，当时，有，当时，有，分情况求出的值，再根据勾股数必须为正整数进行判断．
【详解】解：设可以和，构成勾股数的另一个数为，
当时，有，
解得：或(舍去)，
当时，有，
解得：(不是整数，舍去)，
可以和，构成勾股数的是，
故选： B．
2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ．
【答案】 8 5 13
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积．
【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，
正方形A，B，C，D的边长分别为，
由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为，
正方形的面积为13，
故答案为：8，5，13．
【题型九 勾股定理与折叠问题】
例题：已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：由折叠可得：，
，，
，
，
故选：B．
【变式训练】
1．如图，折叠长方形一边，使落在边上的点处，已知，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵折叠长方形，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：
2．如图，在中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕的长等于 ．
【答案】
【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质求线段的长度等知识与方法，熟练掌握这些基础知识点是解题的关键．
由勾股定理得，由折叠得，确定，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
，
∴，
∵把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，
，
∴，
设，则，
，
解得：，
∴，
∴
故答案为：．
一、单选题
1．下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意；
B、，则此项是勾股数，符合题意；
C、，则此项不是勾股数，不符合题意；
D、，则此项不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（ ）
A．30 B．15 C．20 D．27
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选： B．
3．如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（ ）
A．4 B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，分两种情况：①2和3为两条直角边；②3为斜边；再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：①2和3为两条直角边时，由勾股定理得第三条边长为；
②3为斜边时，由勾股定理得第三条边长为；
即第三条边长为或，
故选：D．
4．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理计算是解题关键．
设，由折叠的性质可得：，从而在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴由折叠的性质可得：，
∵，
，
即，解得：，
．
即的长度为，
故选：C
5．如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得，再求出，结合数轴即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
二、填空题
6．如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题．
【详解】解：设边上的高为h，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即边上的高为，
故答案为：．
7．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得，根据勾股定理求得，设，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵为的角平分线，
∴
在中，，，
∴，
∵
设，
∴
∴
解得：
∴
故答案为：．
8．如图，在中，，，，，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和，三角形外角，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理得出，继而得到，是等腰三角形，得到，由，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．如图，中，，，点是的中点，点，分别为，边上的点，且，连接，则的度数为 ；若，， ．
【答案】 /45度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，
连接，根据等腰三角形的性质，并结合“角边角”证明，可得，即可解答①；再根据，可得然后结合勾股定理求
，进而得出，最后根据勾股定理得出答案．
【详解】如图所示，连接，
∵，点D是的中点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
即，
解得．
故答案为：．
10．长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点在线段上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．②当点在线段的延长线上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．
【详解】解：①当点在线段上时，
四边形是长方形，
，，，
由折叠得可知：，
，
，
由折叠可知：，
设，则，
解得，
点的坐标为，
②当点在线段的延长线上时，
，
设，则，
∵，
∴，
解得，
点．
综上所述，或
故答案为：或．
三、解答题
11．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一点，连接，将沿直线翻折，点C恰好落在上的点F处．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出的长；
（2）根据折叠得到，，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：，，，D是边的中点，
，
；
（2）解：将沿翻折，点C落在上的点F处，
，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得，
12．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
13．如图，在长方形中，，，，以BD为折痕，将长方形ABCD折叠，使AD交BC于点E，点A落在点F处．
(1)求证：；
(2)若，，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由折叠可得：，再由平行线的性质得，从而得到，根据等角对等边即可得出结论；
（2）先根据平行线的性质与垂直定义求得，再由折叠的性质得由折叠可得：，，，然后设，则，最后在中 ，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴
由折叠可得：，，
由（1）知：
设，则，
在中 ，由勾股定理，得
解得：，
即BE的长为．
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握等角对等边、勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
14．图1是一种长为a，宽为b的长方形，对角线长为c．将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为．
(1)请用含a、b的代数式表示；
(2)如图2，若正方形的面积为34，，求图1中长方形的周长；
(3)将9个图1这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图3中阴影部分的面积为．若，，求图1中长方形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)28
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理：
（1）用图2中最大的正方形面积减去四个图1中长方形面积即可得到答案；
（2）根据正方形面积计算公式和勾股定理可得，由（1）可得，据此求出的值，进而利用完全平方公式求出的值，据此可得答案；
（3）图3中阴影面积等于最大的长方形面积减去9个图1中长方形面积，据此可得，再结合即可求出的值．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：∵正方形面积面积为34，，
∴，，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴图1中长方形的周长为；
（3）解：由题意得，，，
∴， ，
∴，
∴，
∴图1中长方形的面积为28．
15．已知，如图，在中，，．
(1)若，，求的值；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么．
（1）先根据勾股定理计算出的长度，在根据面积公式求出；
（2）根据等积法得出，根据勾股定理得出，求出，得出，即，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴,
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
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