专题02 勾股定理的应用（十一大题型）
【题型1：求梯子滑落高度】
【题型2：求旗杆高度】
【题型3：求小鸟飞行距离】
【题型4：求大树折断前的高度】
【题型5：解决水杯中筷子问题】
【题型6：解决航海问题】
【题型7：求台阶上地毯长度】
【题型8：判断汽车是否超速】
【题型9：判断是否受台风影响】
【题型10：选址使到两地距离相等】
【题型11：求最短路径】
【题型1：求梯子滑落高度】
1．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
故选：A．
2．如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，
由题意得，
米，
同理可得：，
在中，（米，
在中，（米，
（米，
答：梯子底端离地高度长为0.9米，
故选：B．
3．在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能成功，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点，
则，，，
在中，由勾股定理得，
．
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接，
则，
．
在中，由勾股定理得．
，余线仅剩，
∴，
∴不能上升12m，即不能成功．
4．小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键．
设的长为，由建立方程即可求解．
【详解】解∶设的长为，则，
，
，
，，
中，，即，
解得，
答∶ 的长为．
5．《国务院关于印发全民健身计划（年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下：
课题 测量照明灯灯板的长
方案及说明 工具 竹竿、米尺
方案及图示
相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处已知，
计算过程 ……
请根据上述方案中的内容，计算的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
在中，，，
则，
在中，，，
则．
．
【题型2：求旗杆高度】
6．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，则秋千的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的应用，涉及到解一元一次方程，解题关键是理解题意，正确得到其中的三边关系并准确计算，本题根据在中，，得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：∵秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，距地面，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：4 ．
7．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度．
【答案】10米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得：米，
∴米，
∴米，
∴风筝离地面的高度为10米．
8．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离．
各项数据 测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段与之间的数量关系：_____________________________．
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）根据，结合题意即可获得答案；
（2）结合题题确定，，，设，则，在中，利用勾股定理解得的值，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，可知，，，
则．
故答案为：；
（2）如下图，
根据题意，可知，，，
设，则，
在中，可有 ，
即，解得，
所以 ，
所以 ，
答：学校旗杆的高为．
【题型3：求小鸟飞行距离】
9．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
10．如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离．
【详解】解：过C作平行地面，连接，
由题意得，米，米，米，
由勾股定理得，米，
故答案为：13．
11．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ．
【答案】
【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：设B点为女孩头顶，A为正上方时飞机的位置，C为秒后飞机的位置，如图所示，，，
则
∴米，
∴米/秒
故答案为：．
12．有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作于E．则，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意知，．
过A作于E．则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴它至少需要才能赶回巢中．
故答案为：．
13．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)15米；
(2)米
【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，
，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
【题型4：求大树折断前的高度】
14．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，
由题意得，，
故选：C．
15．如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据题意设，则，利用勾股定理列式计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，
∴，
∵旗杆原长，
∴，
∴设，则，
∴，解得：，
∴旗杆在离底部的位置断裂，
故答案为：．
16．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可．
【详解】解：如图所示：根据题意可知米，米，
根据勾股定理得．
所以树折断前有（米）．
故答案为：．
17．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？
【答案】4
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，
先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可．
【详解】解：根据题意可知，
设，则，根据勾股定理得
，
解得．
所以折断处离地面的高度是4尺．
【题型5：解决水杯中筷子问题】
18．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即，
故选：C．
19．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为尺，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
20．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，，
最长时等于杯子斜边长度是：，
此时，
的取值范围是：，
故选：D．
21．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ．
【答案】
【分析】作于，则，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，，
在中，，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
【题型6：解决航海问题】
22．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【答案】9海里/时
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理，列出算式是关键．
先用勾股定理求出的长，进而即可求解．
【详解】解：由题意得：（海里），海里，
，
在中
∴（海里），
∴乙船的航速是（海里/时），
答：乙船的航速是9海里/时．
23．某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程的长．
【答案】(1)见解析
(2)37海里
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
（1）根据题意，作出线段的垂直平分线，交于点，即可；
（2）连接，利用第（1）题中作图，可得，设为x海里，则也为x海里，则海里，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求：连接，作线段的垂直平分线，交于点，
（2）解：连接，设海里，则海里
∵
∴在中，
即：
解得：
答：我国海监船行驶的航程的长为37海里．
24．如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：在中：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：船向岸边移动了米．
25．如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上．
(1)求的度数；
(2)轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？
【答案】(1)
(2)轮船需小时赶到C处
【分析】本题考查三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．
（1）利用三角形的内角和定理即可求解；
（2）在中由勾股定理求得，在中，利用含的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，，
，，
∴，
在中，；
（2）解：作于F，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴轮船需小时赶到C处．
【题型7：求台阶上地毯长度】
26．如图是一段楼梯，高是8米，斜边是10米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 米．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理，先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为的高，楼梯的宽即为的长，再把、的长相加即可．
【详解】解：米，
∴在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故答案为：．
27．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
【答案】1020
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，
则长为：（米），宽为5米，
地毯的长度为（米），地毯的面积为（平方米），
购买这种地毯至少需要（元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
28．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米．
【答案】2+2
【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）．
【详解】
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°，
∴AB=2BC=4m，
∴AC=m，
∴AC+BC=2+2（m）.
故答案为2+2.
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.
29．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可．
【详解】解：如图，由题意可得，，
利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为，
∴地毯面积为，
答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶．
【题型8：判断汽车是否超速】
30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【答案】这辆小汽车超速了
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键．
求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】解：在中，；
根据勾股定理可得：，
∴小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
31．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米．
(1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒
(2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由．
【答案】(1)
(2)超速，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用：
（1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可．
【详解】（1）解：依题意可得，，
，为直角三角形，
米，米，
米，
，
；
答：共用时4秒；
（2）超速，理由如下：
，
，
超速．
32．超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，．
(1)求的距离，（取）
(2)试判断此车是否超过了的限制速度？
【答案】(1)
(2)此车超过的限制速度．
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
（1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答；
（2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴,
∴．
（2）解：小车的速度为：
∴此车超过的限制速度．
33．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
(1)请求出观测点C到公路的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)观测点C到公路的距离为米
(2)此车没有超速，理由见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）过点C作于H，
在中，
，
．
米
米
米
即观测点C到公路的距离为米．
（2）米，
米
米
∴车速为米/秒
千米/小时米秒，
∴此车没有超速．
【题型9：判断是否受台风影响】
34．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁 若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米
(2)需要封锁的公路长为400米
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可；
（2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】（1）解：由题意可知，米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，且，
如图1，过点C作于点D，
（米）
答：山地C距离公路的垂直距离为米．
（2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则米，，
由（1）可知，米，
∵480米米，
∴有危险需要暂时封锁，
在中，由勾股定理得：
（米）
∴（米），
即需要封锁的公路长为400米．
35．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域．
(1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长
【答案】(1)会受到台风的影响
(2)5小时
【分析】（1）根据题意得出的长，进而得出答案；
（2）首先求出的长，进而得出的长，进而求出市受这次台风影响的时间．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．
【详解】（1）解： 市会受到台风的影响．
理由：过点作于
中，，
，
市会受到台风的影响；
（2）解：以为圆心，为半径画弧交于点、
在中，，
∵以的速度向北偏西的方向移动，
∴（小时）．
市受这次台风影响的时间为5小时．
36．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点
(2)A市受到台风影响的时间持续
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间；
（2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线上取点E、F，使得，
由得，
在中，，
∴，
∴，
∴A市受到台风影响的时间持续．
【题型10：选址使到两地距离相等】
37．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米．
【答案】10
【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：设千米，则千米，
∵B、C两村到P站的距离相等，
∴．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为10．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键．
38．根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
【答案】1km
【分析】设，则．再根据勾股定理列出关于x的等式，解出x的值，即得解．
【详解】解：由题意，设，则．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即，
解得：．
答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．根据勾股定理正确列出方程是解题关键．
39．小渝和小川是一对好朋友，如下图，小渝家住A处，小川家住B处．两家相距，小渝家A在一条笔直的公路边上，小川家到这条公路的距离为．两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等．求小渝家A到见面地点D的距离．
【答案】小渝家A到见面地点D的距离为
【详解】解：由题意，得．
设的长为，则，
，解得，
即小渝家A到见面地点D的距离为．
40．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键．
设，则，根据，由勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设，则，
根据题意得，
∴
，
解得
∴，．
41．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)计算出气站E到A处的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)气站E距离A处．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
（1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案；
（2）设，，得，，再利用解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求．
（2）解：设，
∵，
又∵
∴
解得
∴气站E距离A处．
【题型11：求最短路径】
42．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短距离，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
由题意得，，，，
∴，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为，
故选：．
43．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线，
在中，，，
由勾股定理得：．
故选：B．
44．足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（ ）
A．15 B． C．20 D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F，根据轴对称的性质可判断两次传球中皮球飞过的最短路径长等于，根据轴对称的性质可得出，根据等边对等角和平行线的性质可求出，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，然后根据三线合一求出即可．
【详解】解：作A关于的对称点E，连接交于O，连接，过A作于F，
∴，，
∴，，
∴，两次传球中皮球飞过的最短路径长等于，
依题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
即两次传球中皮球飞过的最短路径为，
故选：B．
45．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，将图形展开、利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
将容器的侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即 m，
延长，过作于点D，
∵cm，
∴，
在中，由勾股定理可得，
所以该圆柱底面周长为．
故答案为：．
46．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
【答案】/130厘米
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接交于F，则即为最短距离．
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，
∴，
∴在直角中，．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为．
47．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．
【答案】26
【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，
原图长度增加，
则，
连接，
，
故答案为：．
48．如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ．
【答案】
【分析】根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可．
本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
【详解】解：如图所示，根据题意，长方体的长，宽，高，，
根据展开图，得到解法如下：
第一种展开图， 根据题意，得
；
第二种展开图中，根据题意，得
；
第三种展开图中，根据题意，得
；
故爬行的最短路程为，
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 勾股定理的应用（十一大题型）
【题型1：求梯子滑落高度】
【题型2：求旗杆高度】
【题型3：求小鸟飞行距离】
【题型4：求大树折断前的高度】
【题型5：解决水杯中筷子问题】
【题型6：解决航海问题】
【题型7：求台阶上地毯长度】
【题型8：判断汽车是否超速】
【题型9：判断是否受台风影响】
【题型10：选址使到两地距离相等】
【题型11：求最短路径】
【题型1：求梯子滑落高度】
1．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
3．在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由．
4．小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长．
5．《国务院关于印发全民健身计划（年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下：
课题 测量照明灯灯板的长
方案及说明 工具 竹竿、米尺
方案及图示
相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处已知，
计算过程 ……
请根据上述方案中的内容，计算的长．
【题型2：求旗杆高度】
6．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，则秋千的长为 ．
7．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度．
8．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项目背景 测量实物图： 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点处．用皮尺测出点与点之间的距离．
各项数据 测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
小丽身高
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段与之间的数量关系：_____________________________．
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆的高．
【题型3：求小鸟飞行距离】
9．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米．
11．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ．
12．有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要时间 才能赶回巢中．
13．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【题型4：求大树折断前的高度】
14．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂．
16．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米．
17．请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？
【题型5：解决水杯中筷子问题】
18．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
19．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ．
【题型6：解决航海问题】
22．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
23．某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程的长．
24．如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
25．如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上．
(1)求的度数；
(2)轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？
【题型7：求台阶上地毯长度】
26．如图是一段楼梯，高是8米，斜边是10米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 米．
27．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
28．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米．
29．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？
【题型8：判断汽车是否超速】
30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
31．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米．
(1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒
(2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由．
32．超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，．
(1)求的距离，（取）
(2)试判断此车是否超过了的限制速度？
33．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
(1)请求出观测点C到公路的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：）
【题型9：判断是否受台风影响】
34．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁 若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
35．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域．
(1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长
36．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
【题型10：选址使到两地距离相等】
37．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A 千米．
38．根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
39．小渝和小川是一对好朋友，如下图，小渝家住A处，小川家住B处．两家相距，小渝家A在一条笔直的公路边上，小川家到这条公路的距离为．两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等．求小渝家A到见面地点D的距离．
40．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少．
41．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)计算出气站E到A处的距离．
【题型11：求最短路径】
42．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A． B． C． D．
43．如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
44．足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A 向边线传球，传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形为直角梯形，，，， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（ ）
A．15 B． C．20 D．
45．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm．
46．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
47．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．
48．如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ．
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