专题 勾股定理（六大题型）
【题型1：用勾股定理解三角形】
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
【题型4：勾股定理的证明】
【题型5：勾股定理与无理数】
【题型6：勾股数】
【题型1：用勾股定理解三角形】
1．如图，在中，，下列数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理判断即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
2．若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．先根据非负数的性质求出m与n的长，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得：，，
∵，是直角三角形的两直角边，
∴直角三角形的第三条边长为．
故选D．
3．如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（ ）
A．4 B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，分两种情况：①2和3为两条直角边；②3为斜边；再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：①2和3为两条直角边时，由勾股定理得第三条边长为；
②3为斜边时，由勾股定理得第三条边长为；
即第三条边长为或，
故选：D．
4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．1.2 C．3.6 D．2.4
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由勾股定理可知斜边长为，然后根据等积法可进行求解．
【详解】解：由题意得：斜边长为，
设该直角三角形的斜边上的高为h，则有：，
∴；
故选D．
5．如图，，，于D，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．首先根据直角的条件以及角度之间的关系，证明和全等(AAS)．然后利用全等三角形对应边相等的性质，求出和的长度，进而得到的长度．最后在中，运用勾股定理求出斜边的长度．
【详解】已知，则．
，
，且，
（同角的余角相等），
又 ，
，
，，
，
在中，，
．
综上，答案为．
6．如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先求得，设，则，再根据勾股定理得，列出方程得，求解即可．
【详解】解：在中，，
，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
，
故答案为：
7．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得，根据勾股定理求得，设，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵为的角平分线，
∴
在中，，，
∴，
∵
设，
∴
∴
解得：
∴
故答案为：．
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
8．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是 ．
【答案】5
【分析】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出距离．
根据勾股定理解答即可．
【详解】点P到原点O距离是．
故答案为：5．
9．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形．
【答案】等边
【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键．
由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
10．已知直角坐标平面上点和，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式，熟知若两点的坐标分别为，则这两点的距离是解题的关键．根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
【详解】解：∵直角坐标平面上点和，
∴．
故答案为：．
11．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．
（1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内，
①画出顶点在格点的，其中，
②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________．
（2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，
②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________；
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________．
【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③
【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论；
②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值；
③把看成点到两点和的距离之差，当点和重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解：（1）①如图所示，即为所求；
②，
，
的面积，
设点到边的距离，
的面积，
点到边的距离，
故答案为：2，；
（2）①轴，轴，，
，，
故答案为：，；
②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点．
∵，
∴，
，
，
即的最小值为，
故答案为：；
③把式看成点到两点和的距离之差，即，
点在直线上，且在点右边时，，有最大值，
最大值为：，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理．
12．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为 ，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和．
(1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离．
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是巧妙的运用两点间的距离公式求出任意两点间的距离．
（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，可以利用垂直于轴的距离公式进行计算即可．
【详解】（1）解：点，，
，
即，两点间的距离是；
（2）解：点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，
，
即，两点间的距离是9．
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
13．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可．
【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15，
以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17，
∴字母A所代表的正方形的边长，
故选：B．
14．如图，在中，，正方形，的面积分别为和，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长．
【详解】解：∵在中，
由勾股定理得：，，，
，
．
故选：A．
15．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（ ）
A．10 B．100 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理结合圆的面积公式，推出，即可得出结果．
【详解】解：如图，
由勾股定理得：，
由题意，得：，
∴；
故选B．
16．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
在中，，
∴阴影部分面积为：
，
故选：C．
17．如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，勾股定理，根据勾股定理总结出规律是解题的关键．
根据勾股定理，得出三角形的面积变化规律为，计算即可得到答案．
【详解】解：∵是腰长为的等腰直角三角形，
∴
；
∵以为直角边作第二个等腰直角三角形，
∴，
；
同理可得第三个等腰直角三角形的面积为：，
以此类推，第n个三角形的面积为：；
∴的面积为：，
故选： A．
18．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识，由勾股定理得，再由图1可知，“生长”1次后，所有正方形的面积和为，由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为，得出规律即可，熟练掌握其性质并能灵活根据勾股定理，得出规律是解决此题的关键．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为，
∴，
∵正方形的边长为1，
∴，
由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
∴此时，所有正方形的面积和为：，
由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：，
，
∴在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是：．
故选：D．
19．如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别为9和16，则c的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，得到，再根据勾股定理，得到，即可求出c的面积．
【详解】解：，
，，
，
在和中，
，
，
，
a，b的面积分别为9和16，
，，
在中，，
，
c的面积为，
故答案为：
【题型4：勾股定理的证明】
20．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值.
【详解】（1）解：，
另一方面，
即，
；
（2）解：由题意可得， 均为直角三角形，
由勾股定理可得， ①，②，③，④
可得；
可得；
即：，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
21．综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明是解本题的关键．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）利用割补法求出的面积，勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求出边上的高；
（3）运用勾股定理在和中表示出，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明： ，，，，
，
，
；
（2），，
，
，
即边上的高是；
（3）在中，由勾股定理得：
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
23．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)①3；②，证明见解析
(3)①；②，
【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，；
②作于点N，根据证明得，，同理可证，，从而可求出b与c的关系为，a与d的关系为．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
24．同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为．
(1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)76
【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可；
（2）连接，根据正方形的面积与四边形的面积相等即可证明；
（3）根据外延部分的4个三角形全等,且,由勾股定理求得,根据风车的外围周长是，计算求解即可，
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
小正方形的边长为：，
故答案为：3；
（2）（答案不唯一）
证明：如图，连接，
，
正方形的面积为，
，，，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形的面积为：，
正方形的面积与四边形的面积相等，
，
，
，
．
（3）解：如图，以为边的正方形面积为61,
,
由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5，
，
，
，
这个风车的外围周长是：
故答案为：76
25．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）边上的高是；（3）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；
（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；
【详解】证明：（1）∵，，，
，
∴，
∴，
∴；
（2），
，
，
，
即边上的高是；
（3）在中，由勾股定理得
，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴．
【题型5：勾股定理与无理数】
26．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∴
∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：A．
27．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：B．
28．如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查数轴表示数、勾股定理等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数即可．
【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为，
∴点A到原点的距离为个单位，
∵点A在原点的左侧，
∴点A所表示的数为：．
故选：A．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理求出的长，由作图可知，结合点的位置即可得出结论．
【详解】解：∵点，，
∴，
由作图可知：，
∵点在轴的正半轴上，
∴；
故答案为：．
30．如图，数轴上点表示的实数是 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数．
【详解】解：由图形可得：到的距离为
∴数轴上点表示的实数是；
故答案为：．
31．如图，点O为数轴上的原点，点A在数轴的负半轴上，且点A表示的数为，，，连接，请你在数轴的正半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】见解析
【分析】本题考查在数轴上表示无理数，以O为圆心，长为半径作弧交数轴的正半轴于点C，则点C即为所作．
【详解】解：如图，点C即为所作．
32．教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为：
(1)发现图这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
(2)如图，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为_______；
(3)如图，网格是由个边长为的小方格组成，画出面积是的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数等知识点，利用勾股定理表示出无理数是解题的关键．
（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长；
（）由小正方形对角线长为可得，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数；
（）根据大正方形的面积为，作边长为的正方形即可．
【详解】（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长等于，
故答案为：；
（2）解：如图，小正方形的对角线长为，
∴原点与之间的距离为，
∴点表示的数为，
故答案为：；
（3）解：∵大正方形的面积是，
∴小长方形的对角线长为，
作图如下：
阴影部分即为面积是的正方形．
33．根据推理提示，回答下列问题：
即
的整数部分为1，小数部分为
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ．
【答案】(1)2，
(2)
【分析】本题主要考查了无理数的估算，勾股定理，实数与数轴等知识．
（1）根据所给的例子估计无理数的整数和小数部分即可．
（2）先根据勾股定理求出圆的半径，再利用数轴上两点之间的距离即可得出A 所表示的实数．
【详解】（1）解：∵，即
∴的整数部分是2，小数部分是．
（2）解：根据题意圆的半径为：，
∴点A所表示的数为：．
34．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系．
(1)如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ；
(2)在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ；
(3)如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识．熟练掌握实数与数轴，勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理得，，则点对应的实数为；
（2）由题意知，此时点对应的实数为；
（3）由题意知，，如图，在上取，连接，由，如图，取点，表示的数为，然后以为圆心，为半径画弧，右侧交点即为，点即为所作．
【详解】（1）解：由题意知，，
由勾股定理得，，
∴点对应的实数为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，此时点对应的实数为；
故答案为：；
（3）解：由题意知，，
如图，在上取，连接，
∵，
∴如图，取点，表示的数为，然后以为圆心，为半径画弧，右侧交点即为，点即为所作．
【题型6：勾股数】
35．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，，
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可．
【详解】解：A、∵，
∴1，2，3，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
C、∵，
∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意；
D、，，这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
36．下列各组数中，属于“勾股数”的是（）
A．2，4，6 B．4，6，8
C．6，8，10 D．8，10，12
【答案】C
【分析】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．根据满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：，
不是勾股数，不符合题意；
不是勾股数，不符合题意；
是勾股数，符合题意；
不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
37．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ．
【答案】37
【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设弦为，则：股为，
由勾股定理，得：，
解得：；
故答案为：37．
38．观察下列勾股数：
①3，4，5，且；
②5，12，13，且；
③7，24，25，且；
④9，b，c，且；
…
(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______；
(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确．
【答案】(1)40；41
(2)，，，见解析
【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．
（1）由规律可得，然后再由勾股定理得：，再计算即可；
（2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第组数为，，，由此规律解决问题．
【详解】（1）解：由规律可得，
由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
故答案为：40，41；
（2）解：根据规律设第组勾股数为：，，．
∴，
解得，
∴猜想第组勾股数为：，，．
证明：，
，
，
是整数，
，，，是一组勾股数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 勾股定理（六大题型）
【题型1：用勾股定理解三角形】
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
【题型4：勾股定理的证明】
【题型5：勾股定理与无理数】
【题型6：勾股数】
【题型1：用勾股定理解三角形】
1．如图，在中，，下列数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
3．如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为（ ）
A．4 B． C． D．或
4．已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．5 B．1.2 C．3.6 D．2.4
5．如图，，，于D，，，，则 ．
6．如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为 ．
7．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
8．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是 ．
9．已知直角坐标平面内三点和，，那么是 三角形．
10．已知直角坐标平面上点和，那么 ．
11．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
【已有认识】由于由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1．
（1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内，
①画出顶点在格点的，其中，
②直接写出的面积=___________，点C到边的距离为___________．
（2）【拓展运用】①在图3中，设轴，轴，于点C，则______________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，
②图4中，平面直角坐标系中有两点为x轴上任一点，则的最小值为___________；
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：___________．
12．）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为 ，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和．
(1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离．
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
13．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
14．如图，在中，，正方形，的面积分别为和，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（ ）
A．10 B．100 C． D．
16．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．9
17．如图，是腰长为1的等腰直角三角形，以它的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，依次作下去，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
19．如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别为9和16，则c的面积为 ．
【题型4：勾股定理的证明】
20．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ．
21．综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
23．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
24．同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为．
(1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____．
25．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点，可得，直接写出边上的高为______．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值．
【题型5：勾股定理与无理数】
26．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
27．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为 （ ）
A． B． C． D．
29．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是 ．
30．如图，数轴上点表示的实数是 ．
31．如图，点O为数轴上的原点，点A在数轴的负半轴上，且点A表示的数为，，，连接，请你在数轴的正半轴上画出点C，使得点C表示的数为．（保留画图痕迹，不写画法）
32．教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为：
(1)发现图这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
(2)如图，以个单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为_______；
(3)如图，网格是由个边长为的小方格组成，画出面积是的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
33．根据推理提示，回答下列问题：
即
的整数部分为1，小数部分为
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ．
34．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系．
(1)如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ；
(2)在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ；
(3)如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【题型6：勾股数】
35．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，，
36．下列各组数中，属于“勾股数”的是（）
A．2，4，6 B．4，6，8
C．6，8，10 D．8，10，12
37．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ．
38．观察下列勾股数：
①3，4，5，且；
②5，12，13，且；
③7，24，25，且；
④9，b，c，且；
…
(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______；
(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确．
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