专题 勾股定理的逆定理
目录
【题型一 由三边长度判断直角三角形】 1
【题型二 勾股数】 3
【题型三 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 4
【题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值】 6
【题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明】 9
【题型六 网格中判断直角三角形】 10
【题型七 勾股定理的逆定理的应用】 13
【题型八 勾股定理及其逆定理的综合运用】 15
【题型一 由三边长度判断直角三角形】
例题：下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：．
【变式训练】
1．的三边分别为a、b、c，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐项分析即可得解．
【详解】解：A、∵，
∴不能判定是直角三角形，故符合题意；
B、∵，
∴，故能判定是直角三角形，故不符合题意；
C、∵，
∴能判定是直角三角形，故不符合题意；
D、∵，
∴能判定是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
2．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：，，
，
这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
【题型二 勾股数】
例题：下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，，
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可．
【详解】解：A、∵，
∴1，2，3，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
C、∵，
∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意；
D、，，这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．1，，2 C．9，40，41 D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足且，，为正整数．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、，故错误；
B、不是正整数，故错误；
C、，且9，40，41都是正整数，满足要求，故正确；
D、，，不是正整数，故错误；
故选：C．
2．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
【答案】17，144，145
【分析】观察得出规律：第组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，即可解决问题．本题考查了勾股数的运用以及数字规律．
【详解】解：①；；．
②；；．
③；；．
④；；．
则第组勾股数的第一个数为：，
第二个数为：，
第三个数为：，
第8组勾股数为：17，144，145，
故答案为：17，144，145．
【题型三 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
例题：在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解．
【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是，
A.点时，，此项不符合题意；
B.点时，，此项不符合题意；
C.点时，如图，不是直角三角，符合题意；
D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意；
故选：C．
2.如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值】
例题：在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（ ）
A．48 B．24 C．30 D．40
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．在一个三角形中，若两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据可得到是直角三角形，据此利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别为6，8，10，且，
∴是直角三角形，且两直角边的长为6和8，
∴的面积为，
故选：B．
【变式训练】
1．如图，，则阴影部分的面积（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
【详解】解： ，，
，，
，，
，
为直角三角形，，
，
阴影部分的面积为．
故选：D．
2．如图所示，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明】
例题：三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：，
∴
即，
所以此三角形是直角三角形，
故选：C．
【变式训练】
1．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（ ）
A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上
C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上
【答案】A
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．
【详解】解：，，，
，
是直角三角形，
，
由题意得：，
点在点的北偏东方向上，
故选：A．
2．如图，在四边形中，，
(1)证明：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
（1）根据，，，易得，可证是直角三角形，；
（2）首先把求四边形的面积分割为求和的面积，然后利用三角形的面积公式分别求出这两个三角形的面积，最后将两个三角形的面积相加就可以求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，且；
（2）解：解：，，，
，
四边形的面积的面积的面积
．
【题型六 网格中判断直角三角形】
例题：如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
故选项A、B不符合题意，选项D符合题意，
，，
，
是直角三角形，且，
故选项C不符合题意；
故选：D
【变式训练】
1．如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：由图可知：，，，
，，
∴为等腰直角三角形，，
．
故选：B．
2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度．
【答案】135
【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，平行线的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键．
根据网格与勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，由即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵小正方形网格的边长为1，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
根据格点的性质可得，，
∴，
故答案为： ．
【题型七 勾股定理的逆定理的应用】
例题：城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
∴这块可绿化的空地的面积为．
故选：C．
【变式训练】
1．小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（ ）
A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案．
【详解】解：如图，，
，
，
故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北，
故选D．
2．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答．
【详解】解：在中，
∵，米，米，
∴（米），
在中，
∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴（平方米）
故答案为：．
【题型八 勾股定理及其逆定理的综合运用】
例题：如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（ ）．
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图；
，，，
，，，
，
是直角三角形，且，
由折叠的性质得：，
顶点B恰好与点A重合，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
，
,
，
故选：B．
【变式训练】
1．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形．
【答案】或或
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作于，
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
，
，
当为直角三角形时，，
即，
解得，；
同理可得：当时，
由勾股定理得，，
，
，
∴，
∴，
解得：；
当时，
由得：，
解得：，
综上：的长为：或或．
故答案为：或或．
2．如图，在中，，是上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查勾股定理以及其逆定理的应用，解题的关键是熟知直角三角形的性质及勾股定理的内容．
（1）根据勾股定理的逆定理得到；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
即的长是．
一、单选题
1．如图，已知．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1， ，3 C．1，2， D．6，8，10
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，计算两个短边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、，此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、，此三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
3．在 中， ，则 的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理得出，根据三角形的面积可得出答案．
【详解】∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．
先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出．
【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出：
，
，
∴是直角三角形，，
，
，
解得：，
∴，
故选：B．
5．下列条件中，不能判定是直角三角形的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误．
【详解】解：A、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵
∴设
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
C、，即，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵，
∴设，，，
∵
∴，
解得：，
则，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
二、填空题
6．如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：，
，
，
三角形是直角三角形．
∵，
∴，
∴这个三角形的面积是，
故答案为：．
8．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积．
【详解】解：连接，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
9．已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“” “”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，取格点，连接，可得为等腰直角三角形，即得，得到，进而可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：取格点，连接，
由网格得，，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的余角为，
∴，
故答案为：．
10．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键．
根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可．
【详解】解：设，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上.
(1)是直角三角形吗 请说明理由；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)是，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理得出，，,再根据勾股定理的逆定理，即可得到结论；
（2）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
，
,
，
，
，
是直角三角形；
（2）解：四边形的面积
．
12．若实数x的立方根是2，且实数y、z满足．
(1)分别求x、y、z的值；
(2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由；
(3)求其最大边上的高．
【答案】(1)，，
(2)直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由立方根的定义可求出x的值，由平方和算术平方根的非负性可求出y和z的值；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可；
（3）设最大边上的高为，根据三角形面积公式可得出，代入数据求解即可．
【详解】（1）解：∵实数x的立方根是2，
∴．
∵，则，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴的形状为直角三角形；
（3）解：设最大边上的高为，
∵，
∴，即最大边上的高为．
【点睛】本题考查立方根的定义，非负数的性质，勾股定理逆定理，代数式求值，三角形的面积计算．熟练掌握上述知识是解题关键．
13．如图．线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作等腰直角三角形，使线段为底边，点格点上；
(2)在图2中作等腰直角三角形，使线段为腰，点格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1），那么，则，故为所求；
（2）由勾股定理可求，则，则，故为所求．
【详解】（1）解：为所求，
（2）解：为所求，
14．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由：
(2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：）
【答案】(1)，理由见解析
(2)路线更短
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出，分别计算两条路线的长度，即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
由题意可知，米，米，点在点的正东方米处，即米
∵，
∴是直角三角形，，
即；
（2）由题意可知，，
∴（米），
∴（米）
而（米）
∵，
∴路线更短
15．如图，，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 勾股定理的逆定理
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【题型一 由三边长度判断直角三角形】 1
【题型二 勾股数】 2
【题型三 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 2
【题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值】 3
【题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明】 3
【题型六 网格中判断直角三角形】 4
【题型七 勾股定理的逆定理的应用】 5
【题型八 勾股定理及其逆定理的综合运用】 6
【题型一 由三边长度判断直角三角形】
例题：下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【变式训练】
1．的三边分别为a、b、c，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
2．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形．
【题型二 勾股数】
例题：下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，，
【变式训练】
1．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．1，，2 C．9，40，41 D．，，
2．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
【题型三 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
例题：在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【题型四 利用勾股定理的逆定理进行求值】
例题：在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（ ）
A．48 B．24 C．30 D．40
【变式训练】
1．如图，，则阴影部分的面积（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
2．如图所示，已知，，，则的长为 ．
【题型五 利用勾股定理的逆定理进行证明】
例题：三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【变式训练】
1．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（ ）
A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上
C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上
2．如图，在四边形中，，
(1)证明：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
【题型六 网格中判断直角三角形】
例题：如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度．
【题型七 勾股定理的逆定理的应用】
例题：城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（ ）
A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北
2．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米．
【题型八 勾股定理及其逆定理的综合运用】
例题：如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（ ）．
A．4 B． C．5 D．
【变式训练】
1．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形．
2．如图，在中，，是上一点，且，．
(1)求证：；
(2)求的长．
一、单选题
1．如图，已知．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1， ，3 C．1，2， D．6，8，10
3．在 中， ，则 的面积为 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．下列条件中，不能判定是直角三角形的是
A． B．
C． D．
二、填空题
6．如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ．
7．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ．
8．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为 ．
9．已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“” “”或“”）
10．如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ．
三、解答题
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上.
(1)是直角三角形吗 请说明理由；
(2)求四边形的面积.
12．若实数x的立方根是2，且实数y、z满足．
(1)分别求x、y、z的值；
(2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由；
(3)求其最大边上的高．
13．如图．线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作等腰直角三角形，使线段为底边，点格点上；
(2)在图2中作等腰直角三角形，使线段为腰，点格点上．
14．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由：
(2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：）
15．如图，，，，，求的度数．
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