勾股定理
【类型覆盖】
类型一、勾股定理中的几何最值
【解惑】如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【融会贯通】
1．如图，，动点P满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
2．如图，在中，，，点，分别为，上的动点，若，则的最小值是 ．
3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且，．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．求的最小值．
类型二、勾股定理中的数形结合最值
【解惑】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（）
A． B． C． D．6
【融会贯通】
1．已知均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ．
3．综合与实践
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
(1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理．
(2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
(3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离．
(4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
类型三、勾股定理与网格问题
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（）
A． B． C． D．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接．
（1） （度）；
（2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
3．图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请利用上述方法解决下面的问题：
(1)如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高；
(2)如图3，在中，是边上的高，求的值；
(3)如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______．
类型四、勾股定理与折叠问题
【解惑】如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ．
3．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度；
(2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度．
类型五、勾股定理的证明方法
【解惑】【问题情境】
（1）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”，他比严谨的数学证明更为优雅和有条理．图1为某数学活动小组在研究“勾股定理几何证明”时构造的“无字证明”图形：
点、、在同一条直线上，且，．设，，，根据四边形面积来完成证明．①整体方法：用含的式子表示四边形面积；②分别求解：借助、、的面积和，用含的式子再次表示四边形面积，建立等式，得到．请根据上述思路，完成勾股定理的推理过程．（注：）
【思想应用】
（2）如图2，在中，，，以边为斜边作，使得，且，连接，当时．求边的长．
【拓展迁移】
（3）如图3，点是四边形内一点，，，，判断和的面积是否相等？请你说明理由．
【融会贯通】
1．【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理．换句话说，“算两次”的思想就是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算得到的答案是B，那么等式成立．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请你用“算两次”的思想计算梯形的面积，化简后用含a、b、c的等式表示为________；
（2）如图2，边长为的正方形，按图2分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于a、b、c的等式：________；
【运用】
（3）如图3，已知中，，，，，点D是上一动点．请你用“算两次”计算的面积，从而得到线段的最小值是________；
（4）如图4，请你用3张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片和m张长为a，宽为b的长方形纸片，拼接出一个大长方形（无缝衔接）．请直接写出m的所有值，并画出你设计的大长方形的示意图（画出一种即可）．
2．综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
类型六、勾股定理中的航海问题
【解惑】上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）．
(1)求海岛B到海岛C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
(3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
【融会贯通】
1．某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程的长．
2．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度．
3．港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
类型七、勾股定理中的蚂蚁爬行最短问题
【解惑】如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
（一）理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线．
路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度；
路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度．
（二）实施计划
（1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子：
①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短；
②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短．
（2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？
（三）回顾反思
（3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？
【融会贯通】
1．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
2．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
3．【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取）
素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物．
若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）．
素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的．
（1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）：
圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小
（2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ；
（3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？
类型八、勾股定理的逆定理的实际应用
【解惑】如图1，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数；
(3)如图，当时，，，求四边形的面积．
【融会贯通】
1．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．
(1)求的长；
(2)求小路的长．
2．我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪．
(1)求四边形的空地的面积；
(2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
3．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．
(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为250元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
类型九、勾股定理的线段平方关系
【解惑】如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
【融会贯通】
1．如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
2．已知与都是等边三角形．
(1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，若，，．试求的度数．
3．在正方形中，点E，F分别在边上，且．
(1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：；
(2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：；
(3)若．求线段的长度．
(4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积．
类型十、勾股定理的新定义
【解惑】定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点．
(1)下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号）
(2)在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数；
(3)如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，，
①补全图形；
②求的长．
【融会贯通】
1．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”．
已知：在中，，，，．
(1)下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)；
(2)若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________；
(3)若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值．
2．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为该三角形的“周长平分线”．
(1)下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_____（只要填序号）：
①腰上的高；②底角平分线；③底边上的高．
(2)如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
(3)在（2）的基础上，分别取，的中点E，F，如图2．请在上找点M，N，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，．请直接写出的长．
3．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形，请解决下列问题：
(1)已知：如图1，四边形是等对角四边形．，，，则__________°，__________°．
(2)在探究等对角四边形性质时：小红画了一个如图2所示的等对角四边形，其中．，，此时她发现成立，请你证明该结论：
(3)图①、图②均为的正方形网格，线段、的端点均在网点上，按要求在图①、图②中以和为边各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
【一览众山小】
1．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，对折长方形纸片，使与重合，再展开，折痕为．如图2，再折叠一角，使点落在上的处，得到折痕，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
3．如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则 ．
5．如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段的长为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ．
7．观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1．
(1)如图1，求阴影正方形的面积和边长；
(2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由．
8．如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求线段的长．
9．由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子的最小值为______；
(2)已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？
(3)如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积．
10．如图1，在中，，，点是的中点，点、分别是边、上的动点，连接、，将、分别沿着、翻折，点和点的对应点都是点，连接、．
(1)__________，__________；
(2)如图2，当时，求点到的距离；
(3)连接、，试探究与的位置关系，并证明．
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【类型覆盖】
类型一、勾股定理中的几何最值
【解惑】如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短的性质．作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解．
【详解】解：在上取点，使，连接，，作于点，
∵平分，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
根据垂线段最短的性质知，当点与点重合时，的最小值为的长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即的最小值为，
故选：C．
【融会贯通】
1．如图，，动点P满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，轴对称最短路径问题．根据题意先求出的面积，再利用作对称分析线段相加最小值后用勾股定理即可求出本题答案．
【详解】解：设中边上的高是，
∴，即
∵，
∴动点P在与平行且与的距离是2的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，
则，
∴当点E，P，B三点共线时，的值最小，即的长度，
在中，∵，，
∴．
∴的最小值为．
故选：D．
2．如图，在中，，，点，分别为，上的动点，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
先找到点关于的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，然后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：延长到，使得，过点作于点，如图所示：
，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且，．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．求的最小值．
【答案】(1)是以B为直角顶点的直角三角形，理由见解析
(2)点P的坐标为或
(3)
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明；
（2）当，分别过点B，P作轴于E，轴于F，首先利用等积法求出的长，再利用证明，得，即可得出点P的坐标；当，同理可求；
（3）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，利用证明，得，则当A、C、H三点共线时，最小，即有最小值为的长．
【详解】（1）解：是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴是以B为直角顶点的直角三角形；
（2）解：存在，如图，当，分别过点B，P作轴于E，轴于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵P在第二象限，
∴；
如图，当，分别过点B，P作轴于E，的延长线于F，交y轴于D，
同理可求出，
同理可证明，
∴，
∴，
∵P在第二象限，
∴，
综上，存在点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，点P的坐标为或；
（3）解：如图，过点O作以为腰，的等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴要使最小，则最小，
∴当A、C、H三点共线时，最小，即有最小值为的长，
由（2）知，，
∴，
即有最小值为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
类型二、勾股定理中的数形结合最值
【解惑】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当， ，共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．
【详解】解：如图：
可以看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值，
连接，当， ，共线时，的最小值为，
∵，
∴的最小值为
故选：C．
【融会贯通】
1．已知均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【分析】将变形为，从而转化为点到与的距离，再利用几何法求最值即可得．
【详解】解：，
，
如图，这个式子可以理解为在平面直角坐标系中，轴上的点到与的距离之和，
作点关于轴的对称点，连接，
则与轴的交点即为点，此时的值最小，最小值为的长，
由两点之间的距离公式得：，
即的最小值为10，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间的距离公式等知识点，把代数问题转化成几何问题是解题关键．
2．在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称-最短路径问题．把式看成点到两点和的距离之和，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解：，
∵把式看成点到两点和的距离之和，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，
，
即的最小值为5，
故答案为：5．
3．综合与实践
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
(1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理．
(2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
(3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离．
(4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)千米
(4)
【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案；
（2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离；
（3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离；
（4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：依题意得：，，，，
，
，
四边形为直角梯形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理，得：，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
千米，千米，
千米，
千米，
两个村庄的距离为千米，
故答案为：；
（3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，
如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，
设千米，则千米，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得：，
即：千米；
（4）解：如图，，
先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，
设，
则就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得：，
，，，
四边形是矩形，
，，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值，
代数式的最小值为：
．
【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点．
类型三、勾股定理与网格问题
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由三角形的面积即可计算出答案．
【详解】解：，
，
在边上的高为，
故选B．
【融会贯通】
1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得：，
，
，
，
；
故选：C．
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，连接．
（1） （度）；
（2）若点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 45 如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答的关键．
（1）利用网格特点和等腰三角形直角三角形的判定与性质求解即可；
（2）利用勾股定理和和等腰直角三角形的判定与性质证得即可求解．
【详解】解：（1）由网格得，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45；
（2）如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作．
故答案为：如图，取格点H，连接交于点E，连接，易得，，则是等腰直角三角形，可得，则由可得，故点E即为所求作．
3．图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请利用上述方法解决下面的问题：
(1)如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高；
(2)如图3，在中，是边上的高，求的值；
(3)如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______．
【答案】(1)
(2)12
(3)
【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴：
（1）勾股定理求出的长，设边上的高为，等积法求出即可；
（2）设，则，利用双求法，列出方程进行求解即可；
（3）连接，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据勾股定理可得，，
设边上的高为，
，
，
，
；
（2）设，则，
是边上的高，
，
在中，，
在中，，
，解得，，
；
（3）如图所示，连接，
四边形是长方形，
，
在中，，
，
以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，
，
数轴上点表示的数是，
点表示的数为．
类型四、勾股定理与折叠问题
【解惑】如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理．
【详解】∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：D．
【融会贯通】
1．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，由折叠可知，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即线段的长为，
故选：C
2．如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】1或2
【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．
由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可．
【详解】解：由折叠知，，，，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
如图1，若，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵；
如图2，若，
则，
∴，
∴
∴为直角三角形时，的长为：1或2．
故答案为：1或2．
3．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．
请你运用所学知识，解决下面的问题：
(1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度；
(2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识．
（1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出．
（2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，
∴，，
∴，
由折叠得，，，
∴，，
在中，，
即
解得：
∴的长是．
（2）解：∵四边形是长方形，，，，
∴，，，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴的长是5．
类型五、勾股定理的证明方法
【解惑】【问题情境】
（1）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字证明”，他比严谨的数学证明更为优雅和有条理．图1为某数学活动小组在研究“勾股定理几何证明”时构造的“无字证明”图形：
点、、在同一条直线上，且，．设，，，根据四边形面积来完成证明．①整体方法：用含的式子表示四边形面积；②分别求解：借助、、的面积和，用含的式子再次表示四边形面积，建立等式，得到．请根据上述思路，完成勾股定理的推理过程．（注：）
【思想应用】
（2）如图2，在中，，，以边为斜边作，使得，且，连接，当时．求边的长．
【拓展迁移】
（3）如图3，点是四边形内一点，，，，判断和的面积是否相等？请你说明理由．
【答案】（1）见解析，（2）（3）相等，证明见解析
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据全等可得，，，然后根据梯形的面积公式计算即可；
（2）先得到，，然后证明，即可得到，，然后利用勾股定理解题即可；
（3）过点作于点，过点作于点，证明即可解题．
【详解】（1）证明：，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作与点，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
在中，，
，
，
，
，，
在中，，
，
；
（3）相等；
证明：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
．
【融会贯通】
1．【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理．换句话说，“算两次”的思想就是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算得到的答案是B，那么等式成立．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请你用“算两次”的思想计算梯形的面积，化简后用含a、b、c的等式表示为________；
（2）如图2，边长为的正方形，按图2分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于a、b、c的等式：________；
【运用】
（3）如图3，已知中，，，，，点D是上一动点．请你用“算两次”计算的面积，从而得到线段的最小值是________；
（4）如图4，请你用3张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片和m张长为a，宽为b的长方形纸片，拼接出一个大长方形（无缝衔接）．请直接写出m的所有值，并画出你设计的大长方形的示意图（画出一种即可）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）图见解析，或7．
【分析】本题考查梯形、多项式乘多项式、完全平方公式的应用，用两种方法表示图形的面积是解题的关键．
（1）用两种方法表示图形的面积，即可得到等式，化简即可．
（2）用两种方法表示图形的面积，即可得到等式，化简即可．
（3）根据垂线段最短可知时，取得最小值，根据等积法求解的最小值即可．
（4）根据题意设计的大长方形的示意图即可．
【详解】解：（1）∵图1的面积，
图1的面积，
∴，
整理得，；
故答案为：；
（2）如图，图形如下：
则有：
即：，
故答案为：；
（3）当时，取得最小值，
设的最小值为h，
∵，
∴的面积，
的面积，
∴，
解得，
∴的最小值为．
（4）如图，
所以，或7
2．综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明是解本题的关键．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）利用割补法求出的面积，勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求出边上的高；
（3）运用勾股定理在和中表示出，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：，，，，
，
，
；
（2），，
，
，
即边上的高是；
（3）在中，由勾股定理得：
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
3．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)①3；②，证明见解析
(3)①；②，
【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，；
②作于点N，根据证明得，，同理可证，，从而可求出b与c的关系为，a与d的关系为．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
类型六、勾股定理中的航海问题
【解惑】上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）．
(1)求海岛B到海岛C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
(3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里
(2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短
(3)救援队先到
【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定：
（1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可；
（2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答；
（3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得：海里；
∵，
∴，
∴
∴海里；
答：海岛B到海岛C的距离为30海里；
（2）解：过C作于点H，
又，
∴，
∴（海里），
∴从B处到H处需要小时，
∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时；
（3）解∶ 由题意：海里，
由（1）知：海里，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴海里，
∴救援队所用时间为（小时），
救援队所用时间为（小时），
∵，
∴救援队先到．
【融会贯通】
1．某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程的长．
【答案】(1)见解析
(2)37海里
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
（1）根据题意，作出线段的垂直平分线，交于点，即可；
（2）连接，利用第（1）题中作图，可得，设为x海里，则也为x海里，则海里，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求：连接，作线段的垂直平分线，交于点，
（2）解：连接，设海里，则海里
∵
∴在中，
即：
解得：
答：我国海监船行驶的航程的长为37海里．
2．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度．
【答案】千米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
由题意得，，
∴，，
在中，千米，
∴千米，
∴千米，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴千米，
∴千米．
3．港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据题意得到，再利用勾股定理求出，即可解题；
（2）利用勾股定理求出，根据题意得到，进而得到，再利用勾股定理算出，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，，，，
工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，
，
，
此时游轮距离岸边还有；
（2）解：由题知，，，，
，
游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，
，
，
，
∴，
工作人员手中的绳子被收上来．
类型七、勾股定理中的蚂蚁爬行最短问题
【解惑】如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
（一）理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线．
路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度；
路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度．
（二）实施计划
（1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子：
①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短；
②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短．
（2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？
（三）回顾反思
（3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？
【答案】（1）①，，1；②，，2；（2）当时，；（3）当时，此时选择路线1路程最短；当时，此时选择路线2路程最短
【分析】本题考查的是勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题关键，
（1）①根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；
（2）根据勾股定理分别求出，根据即可得出答案；
（3）结合（1）（2）结论得出答案即可；
【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，，
，
所以选择路线1路程最短；
②当圆柱的高，底面半径时，，，
，
所以选择路线2路程最短；
（2）由题意得：，，，
当时，，
解得：，
当时，；
（3）由题意得：当时，；
此时选择路线1路程最短；
当时，；
此时选择路线2路程最短．
【融会贯通】
1．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
【答案】蚂蚁爬行的最短距离是
【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离；
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图；
∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是，
；
要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
；
；
，
∴蚂蚁爬行的最短距离是．
2．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．
(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)
(3)最短为，方案见解析
【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：，
∴最短长度是；
（3）①把展开，如图此时总路程为，
②把展开，如图
此时的总路程为；
③如图所示，把展开，
此时的总路程为，
由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
3．【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取）
素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物．
若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）．
素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的．
（1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）：
圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小
（2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ；
（3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？
【答案】素材：，二；（），；（）当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
（）根据勾股定理以及线段长度得出即可；
（）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小；
（）构造方程即可得到结论．
【详解】解：（）图中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为，
根据勾股定理，此时最短路程为
∵，
由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二；
故答案为：，二；
（），
∵．
∴表格中表示的大小关系是，
故答案为：，；
（）根据题意可得，
即，
∴，
故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
类型八、勾股定理的逆定理的实际应用
【解惑】如图1，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数；
(3)如图，当时，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）由题意可得，，，，证明即可；
（）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可解决问题；
（）过点作于点，与相交于点，证明，根据勾股定理求出，然后根据即可求解；
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理及逆定理等知识，解题的关键是掌握知识点的应用，添加辅助线利用面积法证明线段相等是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：过点作于点，与相交于点，
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【融会贯通】
1．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．
(1)求的长；
(2)求小路的长．
【答案】(1)9米
(2)米．
【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶
（1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可；
（2）利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：∵米，米，米，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴，
故的长9米；
（2）解：∵，
∴，
∴（米），
故小路的长为米．
2．我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪．
(1)求四边形的空地的面积；
(2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】(1)24
(2)3840
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
在中，，米，米，
由勾股定理得米，
∵米，米，
，，
∴，
∴，
该区域面积 (平方米)，
（2）用该草坪铺满这块空地共需花费元．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元．
3．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．
(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为250元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)居民从点A到点C将少走路程
(2)绿化这片空地共需花费元
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解；
（2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，分割法求出绿地面积，再乘以单价，计算总费用即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
答：居民从点A到点C将少走路程．
（2）∵，．，
∴，
∴是直角三角形，，
∴， ，
∴，
∴（元）；
答：绿化这片空地共需花费元．
类型九、勾股定理的线段平方关系
【解惑】如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
（1）根据证明可得结论；
（2）连接，由对称性得，，，可得出
（3）作，垂足为．证明，再根据勾股定理可得结论
【详解】（1）证明：平分，，
，
，，
，
；
（2）解：连接．
点与点关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）解：，理由如下：
作，垂足为．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【融会贯通】
1．如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理．
（1）由勾股定理得，，根据，可得答案；
（2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则点P即为所求，理由如下：
∵直线为线段段的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
即点P符合题意．
2．已知与都是等边三角形．
(1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，若，，．试求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线．
（1）先由等边三角形的性质得出，然后利用“边角边”定理证明两三角形全等，进而得到
（2）连接，由等边三角形性质证得，于是可证两三角形全等，则得出然后证得为直角，最后由勾股定理即可证得结论．
（3）作交的延长线于点F，利用全等三角形性质、勾股定理、等边对等角即可求得结果．
【详解】（1）证明：与都是等边三角形，
在和中，
，
（2）证明：如图2，连接，
∵与都是等边三角形，
在和中，
（3）解：如图3，作交的延长线于点F，则，
解得，
的度数是
3．在正方形中，点E，F分别在边上，且．
(1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：；
(2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：；
(3)若．求线段的长度．
(4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）证得，进一步得，即可求证；
（2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则，．由（1）知；根据题意可推出均为等腰直角三角形，结合即可求证；
（3）根据为等腰直角三角形即可求解；
（4）延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，可证；由题意得为等腰直角三角形，推出；证明四边形是矩形推出；根据，通过线段之间的等量关系可得出，即可求解；
【详解】（1）证明：由题意得：
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
（2）证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则，．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
（3）解：由（2）可知：为等腰直角三角形，
∴
（4）解：延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即
又∵，
∴
即：
∵，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴的面积
【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握举一反三的数学思想，作出正确的辅助线是解题关键．
类型十、勾股定理的新定义
【解惑】定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点是关于这个顶点的均分点．例如图中，点是关于顶点的均分点．
(1)下列图形中，点一定是关于顶点的均分点的是_______；（填序号）
(2)在中，，且，点是关于顶点的均分点，且，直接写出的度数；
(3)如图，在中，，，点是关于顶点的均分点，直线与交于点，当时，，
①补全图形；
②求的长．
【答案】(1)①
(2)
(3)①补图见解析 ②
【分析】（）根据均分点的定义判断即可求解；
（）如图，连接并延长交于点，由均分点的定义和等腰三角形的性质可得为的垂直平分线，即得，再根据勾股定理的逆定理即可求解；
（）①根据题意画出图形即可；②过点作交延长线于点，由均分点的定义可得，进而由勾股定理得，再证明，得到，，即得，最后利用勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴点是关于顶点的均分点；
②∵，
∴是的角平分线，
∴点到的距离相等，设为，
则，，
∵与不一定相等，
∴与也不一定相等，
∴点不一定是关于顶点的均分点；
故答案为：①；
（2）解：如图，连接并延长交于点，
∵点是关于顶点的均分点，
∴，
即为的中线，
∵，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴；
（3）解：①补全图形如下：
②过点作交延长线于点，
∴
∵点是关于顶点的均分点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线和角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【融会贯通】
1．我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形称为“关联三角形”．例如，下图中的两个三角形是“关联三角形”．
已知：在中，，，，．
(1)下列三角形中，的“关联三角形”是_______(填序号)；
(2)若的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是________；
(3)若是的“关联三角形”，且的面积是，直接写出的最大值．
【答案】(1)①③
(2)，，
(3)
【分析】（1）根据勾股定理求出，可得所对的角为，根据“关联三角形”的定义即可得答案；
（2）分顶角为时，顶角为时，顶角为时三种情况，分别根据“关联三角形”的定义即可得答案；
（3）当为直角三角形，且角所对的边为时，根据勾股定理及完全平方公式即可求出最大值为，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，有最大值，此时有最大值，得出是等边三角形，即可求出，当中有一角为，且所对边为时，可得当时，边上的高最大，则有最大值，根据勾股定理及含角的直角三角形的性质可得，比较即可得答案．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，所对的角为，
∵图①中角所对的边为，中角所对的边为，
∴图①是的“关联三角形”，
∵图②中角所对的边为，两个锐角都是，
∴图②不是的“关联三角形”，
∵图③中三边都为，
∴图③中三角形为等边三角形，三个角都为，
∴图③是的“关联三角形”，
∵图④中角所对的边不等于，
∴图④不是的“关联三角形”，
故答案为：①③
（2）解：当顶角为时，
∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边，
∴等腰三角形的底边长可以是，
当顶角为时，
∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边，
∴等腰三角形的底边长可以是，
当顶角为时，
∵的“关联三角形”是等腰三角形，，所对的边，
∴等腰三角形的底边长可以是，
故答案为：，，
（3）解：当为直角三角形，且角所对的边为时，设两直角边分别为、，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最大值为，
如图，当中有一角为，且所对边为时，过点作于，
由图可知，当时，有最大值，此时有最大值，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
当中有一角为，且所对边为时，过点作于，
由图可知：当时，边上的高最大，则有最大值，设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质及完全平方公式，正确理解“关联三角形”的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
2．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为该三角形的“周长平分线”．
(1)下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_____（只要填序号）：
①腰上的高；②底角平分线；③底边上的高．
(2)如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
(3)在（2）的基础上，分别取，的中点E，F，如图2．请在上找点M，N，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，．请直接写出的长．
【答案】(1)③
(2)见解析
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断；
（2）延长交于点M，连接，则是等腰直角三角形，再证明，进而即可得到结论；
（3）①连接，并延长交于点E，连接，并延长交于点F，即可；
②连接，，过点B作于点G，过点C作于点H，由等腰直角三角形的性质得的值，再证明，设，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解:∵等腰三角形底边上的高所在直线也是等腰三角形的对称轴，
∴等腰三角形底边上的高一定是所在等腰三角形的“周长平分线”，
故答案是：③；
（2）解：延长交于点M，连接，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵点Q是的中点，
∴，则
∴是的“周长平分线”；
（3）解：①连接，并延长交于点M，连接，并延长交于点N，
∵，，点Q是的中点，
∴，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴是的垂直平分线，是的垂直平分线，
连接，，
∴，，
∴为的“周长平分线”，为的“周长平分线”，
∴点M，N即为所求；
②连接，，过点B作于点G，过点C作于点H，
则，
∵，
∴和都是等腰直角三角形，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
设，则，
设，则，
∵在中，，
∴，解得：，
∵在中，，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键．
3．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形，请解决下列问题：
(1)已知：如图1，四边形是等对角四边形．，，，则__________°，__________°．
(2)在探究等对角四边形性质时：小红画了一个如图2所示的等对角四边形，其中．，，此时她发现成立，请你证明该结论：
(3)图①、图②均为的正方形网格，线段、的端点均在网点上，按要求在图①、图②中以和为边各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查多边形的内角和，等腰三角形的判定及性质，
（1）根据四边形是“等对角四边形”得出，根据四边形内角和求出即可；
（2）连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
（3）根据“等对角四边形”的定义画出图形，使即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”， ，，，
，
；
故答案为：；
（2）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图所示：
在图①中，，符合题意；
在图②中，，符合题意；
∵图①中的不等于图②中的，
∴两个四边形不全等．
【一览众山小】
1．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理计算是解题关键．
设，由折叠的性质可得：，从而在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴由折叠的性质可得：，
∵，
，
即，解得：，
．
即的长度为，
故选：C
2．如图1，对折长方形纸片，使与重合，再展开，折痕为．如图2，再折叠一角，使点落在上的处，得到折痕，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换及其性质．①由折叠性质得， 1，由此得，则为等边三角形，进而得，由此可对结论①进行判断；②在中，，由此可对结论②进行判断；④根据得，再根据得，则，由此可对结论④进行判断，③由和在都是等边三角形，根据直角三角形的性质勾股定理求得，，则，由此可对结论③进行判断；综上所述即可得出答案．
【详解】解：①连接，如图所示：
∵四边形为矩形纸片，
∴，
由折叠性质得：，，，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故结论①正确；
②在中，，
∴，故结论②不正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故结论④正确，
③∵是等边三角形，，
∴，
由勾股定理求得，
∵是等边三角形，
同理，
∴
∴，故结论③正确；
综上所述：正确的结论是①③④．
故选：C．
3．如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
4．以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为，，，如果，，则 ．
【答案】14或22
【分析】本题考查勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系．
分两种情况画出图形，由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：如图1，
∵，
∴勾股定理得，，
∴，
如图2，
∵，
∴勾股定理得，，
∴，
故答案为：14或22．
5．如图，在中，，，为的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线分别交边，于点E，F，连接，．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则，结合角平分线的定义可得，则，进而可得，，则
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标．
【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作．
设，由题意可得，，，
与关于直线对称，
，，
在中，，
．
在中，，
，
即，
解得，
点D的坐标是．
②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则，
这时，，
；
③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，，
在中，，则，
中，设，
利用勾股定理得到，
解得，
D点坐标为，
故D的坐标为或或．
故答案为：或或．
7．观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1．
(1)如图1，求阴影正方形的面积和边长；
(2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由．
【答案】(1)5；
(2)画图见解析；理由见解析
【分析】题目主要考查算术平方根的应用及网格与勾股定理．
（1）利用网格与勾股定理求出的平方即正方形的面积，再利用算术平方根即可求出边长的值．
（2）利用网格与勾股定理画出的线段即可．
【详解】（1）解：因为，
所以阴影正方形的面积是5；
边长长为．
（2）解：如图，线段就是长为的线段．
理由：
8．如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】（1）由题意知，，则，由是的垂直平分线，可得，由，可得，则，然后作答即可；
（2）如图，连接，设，则，由，可得，，由勾股定理得，，，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下；
由题意知，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
9．由，得；如果a，b是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子的最小值为______；
(2)已知，当x多大时，分式有最大值，最大值为多少？
(3)如图，四边形的对角线于点O，，，的面积为，的面积为，当最大时，求四边形的面积．
【答案】(1)8
(2)当时，有最大值
(3)
【分析】（1）根据题意即，，则有不等式，当且仅当时取到等号，即可得出答案；
（2），令，，则由，得，得出当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为，说明当时，有最大值，且最大值为；
（3）四边形的对角线于点O，得出，，，，根据题意得出当，时，有最大值，求出此时，，即可得出结论．
【详解】（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为8．
（2）解：，
∵，
∴，，
令，，则由，得，
∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为，
∴当时，有最大值，且最大值为，
即当时，有最大值．
（3）解：∵四边形的对角线于点O，
∴，，
，
，
根据题意得：，，
∴，，当且仅当，时，等号成立，
∴当，时，有最大值，
∵，，
∴此时，，
∴，，
∴此时
．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，勾股定理应用，三角形面积计算，基本不等式的应用，解题关键是运用题中，，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号．
10．如图1，在中，，，点是的中点，点、分别是边、上的动点，连接、，将、分别沿着、翻折，点和点的对应点都是点，连接、．
(1)__________，__________；
(2)如图2，当时，求点到的距离；
(3)连接、，试探究与的位置关系，并证明．
【答案】(1)；
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，进而根据折叠的性质可得，即可得出，连接，证明，进而得出；
（2）过点作于点，设交于点，同理可得，进而证明，在中，根据勾股定理得出，，根据等面积法求得；
（3）根据全等三角形的性质可得，，根据等边对等角以及三角形内角定理，等量代换得出，即可证明．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵将、分别沿着、翻折，点和点的对应点都是点，
∴，
∴，
如图所示，连接，
由题意：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；．
（2）如图所示，过点作于点，设交于点，
由(1)，
，
，
同理，，
又，
，
又，，
，
，，
设，则，
在中：
，即，
，
，；
在中：
，
，
；
（3），
连接 、 ，
，
， ，
，，
，
，
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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