专题 特殊平行四边形中的动态问题（原卷版）
类型一 动点求最值问题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
2．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：
①∠GEB与∠GFB一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为2．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
4．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等腰△EFG，其中EF＝EG，∠FEG＝45°，连接CG．当BF＝1时，CG＝ ；当F从A运动至B过程中，CG的最小值为 ．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°．
（1）菱形ABCD的面积为 ．
（2）若点E，F分别在AB，CD上，且DF＝BE，连接DE，AF，则DE+AF的最小值为 ．
6．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 ．
类型二 动点求路径长问题
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为 ．
9．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为 cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 cm．
类型三 存在性问题
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD＝PM时，t＝4或5s；④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是多少？
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值．
类型四 平移旋转问题
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，正方形ABCD的边长为1；将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．1 D．
15．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 特殊平行四边形中的动态问题（解析版）
类型一 动点求最值问题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
【分析】先由S△PABS矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即可得到PA+PB的最小值．
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PABS矩形ABCD，
∴AB hAB AD，
∴hAD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，
∴BE2，
即PA+PB的最小值为2．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2．如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边四边形ABCD是菱形，作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P′F最小，求出ME即可．
【解答】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P′F最小，此时P′E′+P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，
∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，
∴AC＝AD，BC＝BD，
∵AC＝BC，
∴AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ADBC是菱形，
∵AD∥BC，
∴ME′＝AN，
∵AC＝BC，
∴AHAB＝1，
由勾股定理可得，CH2，
∵AB×CHBC×AN，
可得AN，
∴ME′＝AN，
∴PE+PF最小为．
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：
①∠GEB与∠GFB一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为2．
其中正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝90°，又∠EGF＝90°，由四边形内角和为360°可判断①；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，根据GE＝GF且∠EGF＝90°，∠GEF＝∠GFE＝45°，可以求出∠GEM＝∠GFN，然后证明△GEM≌△GFN，可以判断②；
由AB＝4，AD＝5和②的结论可以判断③；
当四边形EBFG是正方形时，点G到AB的距离最大，从而可以判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB+∠GFB＝180°，
故①正确；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，
∵GE＝GF且∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEF+∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°﹣∠EFB，
∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB，
∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°，
∴∠GEM＝∠GFN，
在△GEM和△GFN中，
，
∴△GEM≌△GFN（AAS），
∴GM＝GN，
故②正确；
∵AB＝4，AD＝5，并由②知，
点G到边AD，DC的距离不相等，
故③错误：
在直角三角形EMG中，MG≤EG，当点E、M重合时EG最大，
∵EF＝AB＝4，
∴最大值GE＝EB＝BF＝FG＝42，
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等腰△EFG，其中EF＝EG，∠FEG＝45°，连接CG．当BF＝1时，CG＝ ；当F从A运动至B过程中，CG的最小值为 1 ．
【分析】当BF＝1时，得出∠GEC＝90°，进而勾股定理即可求解；当F从A运动至B过程中，由题意可知点F为主动点，G为从动点，则可知点G的运动轨迹，然后作垂线段即可求解．
【解答】解：当BF＝1时，∵BE＝BF，∠B＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，则，
∴∠BEF＝45°，
又∵∠FEG＝45°，
∴∠GEC＝∠GEB＝90°，
∵BC＝4，BE＝1，
∴EC＝3，
∵EF＝EG，
∴，
∴在Rt△CGE中，；
将△EFB绕点E顺时针旋转45°，使EF与EG重合，
∴△EBF≌△EHG，
∴BE＝EH＝1，∠EHG＝∠EBF＝90°，点G在垂直于EH所在直线HN上，
过C作CM⊥HN于点M，
∴当G与M重合时，CG最小，如图，
过E作EP⊥CG于点P，
∴∠EHG＝∠HGP＝∠GPE＝90°，
∴四边形HEPG是矩形，
∴GP＝HE＝1，∠HEP＝90°，
∴∠PEC＝∠PCE＝45°，
∴PE＝PC，
在Rt△PEC中，由勾股定理得：PE2+PC2＝EC2，
∴，
由题意得：BC＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，
∴，
则CG的最小值为，
故答案为：，．
【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段极值问题，垂线段最短，解题的关键是分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°．
（1）菱形ABCD的面积为 2 ．
（2）若点E，F分别在AB，CD上，且DF＝BE，连接DE，AF，则DE+AF的最小值为 4 ．
【分析】（1）由菱形的性质可得AD＝AB＝2，∠DAB＝60°，由直角三角形的性质可求DH的长，即可求解；
（2）如图，连接CE，作D关于直线AB的对称点N，连接CN，BN，NE，DB，可得DE＝NE，DK＝NK，DN⊥AB，证明四边形AECF为平行四边形，可得AF＝CE，则DE+AF＝NE+CE≤CN，当E，N，C三点共线时，此时取等于号，DE+AF最小，证明当E，N，C三点共线时，E，B重合，从而可得答案．
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝120°，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AHAD＝1，DHAH，
∴菱形ABCD的面积＝AB DH＝2，
故答案为：2；
（2）如图，连接CE，作D关于直线AB的对称点N，连接CN，BN，NE，DB，可得DE＝NE，DK＝NK，DN⊥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∵DF＝BE，∠ABC＝120°，
∴AE＝CF，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE，
∴DE+AF＝NE+CE≥CN，
当E，N，C三点共线时，此时取等于号，DE+AF最小，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD＝BD，
∵DN⊥AB，
∴AK＝BK，
∵DK＝NK，∠AKD＝∠BKN，
∴△ADK≌△BNK（SAS），
∴∠NBK＝∠DAB＝60°，BN＝AD＝2，
∵∠ABC＝120°，△ADK≌△BNK，
∴∠NBK＝∠DAB＝60°，BN＝AD＝2，
∵∠ABC＝120°，
∴∠NBK+∠ABC＝180°，
∴N，B，C三点共线，
当E，N，C三点共线时，E，B重合，
∵BN＝BC＝2，
∴CN＝4，即DE+AF最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
6．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 ．
【分析】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP＝O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱形的性质可得AD＝AB＝3，∠BAC∠BAD，OA＝OCAC，OD＝OBBD，∠AOD＝90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE＝OAAC，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE∥AB，从而求出∠EOF＝90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，
∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP＝O′P，
∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，∠BAC∠BAD，OA＝OCAC，OD＝OBBD，∠AOD＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD＝AD＝3，
∴ODBD，
∴AO，
∴AC＝2OA＝3，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OAAC，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴OE∥AB，
∴∠EOF＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOF中，∠OAB∠DAB＝30°，
∴OFOA，
∴OO′＝2OF，
在Rt△EOO′中，O′E，
∴OP+PE，
∴OP+PE的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
类型二 动点求路径长问题
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是（ ）#ZZ01A
A． B． C．4 D．
【分析】先确定点E的始点和终点，进而确定点E的运动轨迹，最后利用直角三角形的性质求得结果．
【解答】解：连接BD，交AC于点O，矩形ABCD中，∠DCA＝30°，
∴三角形AOD为等边三角形，
∵AB＝4，AD＝OD＝AB tan．
当点F与点A重合时，点E在OD的中点E1处，DE1，
当点F与点C重合时，点E即E2在DC的上方．
连接E1E2，∠E1DE2＝∠ADC＝90°，∠DE1E2＝60°，
∴∠DFE＝∠DAE1＝30°，
，
又∵∠FDE＝∠ADE1＝60°，
∴∠FDA＝∠EDE1，
∴△ADF∽△EDE1，
∴∠DAF＝∠DE1E＝60°，
由此可知点E的运动轨迹为线段E1E2，
∵∠E1DE2＝90°，∠DE1E＝60°，
∴E1E2＝2DE1，
故选：A．
【点评】本题考查轨迹，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是确定点E的运动轨迹．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为 ①②③④ ．
【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠DOA＝∠DEF＝60°，再证明△DEG∽△FOG，即可得出结论①正确；
②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；
【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∴∠DOA＝∠DEF＝60°，
∵∠DGE＝∠FGO，
∴△DEG∽△FOG，
∴∠BDE＝∠EFC，
故结论①正确；
②如图，连接OE，
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，
故结论②正确；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，
∵OE′＝OD＝AD＝AB tan∠ABD＝6 tan30°＝2，
∴点E运动的路程是2 ，
故结论④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．
9．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为 cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 （） cm．
【分析】第一个问题证明BM＝MB′＝NB′，求出NB即可解决问题．第二个问题，探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【解答】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，
∴∠2＝∠3，
∴MB′＝NB′，
∵NB′（cm），
∴BM＝NB′（cm）．
如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x，
∴DE＝4（cm），
如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），
如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1（4）（cm），
∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝22﹣（4）＝（）（cm）．
故答案为，（）．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
类型三 存在性问题
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD＝PM时，t＝4或5s；
④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列出方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形时，根据DP＝CM，列出方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：四边形CDPM是平行四边形时；四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．
【解答】解：根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，
即10﹣t＝t，解得t＝5，故①不正确；
当四边形CDPM为平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，故②不正确；
当CD＝PM时，分两种情况：
当四边形CDPM是平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，
当四边形CDPM是等腰梯形时，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，
则∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵CD＝PM，GM＝HC，
∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∴，
又BM＝t，∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD，
∴AG＝BM，
即，
解得t＝6，
综上可得，当CD＝PM时，
t＝6或t＝4，
故③错误，④正确，
∴正确的结论有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）整个运动当中，线段PQ扫过的面积是多少？
【分析】（1）由矩形性质得出BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）由t＝6时，BQ＝6，DP＝6，得出CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，AP＝CQ，AP∥CQ，四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，由勾股定理求出AQ＝10，得出AQ＝CQ，即可得出结论；
（3）连接AC、BD，AC、BC相交于点E，线段PQ扫过的面积＝△AED的面积+△BEC的面积，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，
解得：t＝8，
∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）四边形AQCP为菱形；理由如下：
∵t＝6，
∴BQ＝6，DP＝6，
∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，
∴AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ10，
∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
∴当t＝6时，四边形AQCP为菱形；
（3）连接AC、BD，AC、BC相交于点E，
则整个运动当中，线段PQ扫过的面积是：△AED的面积+△BEC的面积，如图3所示：
∵△AED的面积+△BEC的面积矩形ABCD的面积，
∴整个运动当中，线段PQ扫过的面积矩形ABCD的面积AB×BC8×16＝64．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值．
【分析】（1）由矩形性质得出BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）t＝6时，BQ＝6，DP＝6，得出CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，AP＝CQ，AP∥CQ，四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，由勾股定理求出AQ＝10，得出AQ＝CQ，即可得出结论；
（3）分两种情况：求出正方形的边长为4，则对角线PQ为8，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可；
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，
解得：t＝8，
∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
故答案为：8
（2）结论：四边形AQCP为菱形；理由如下：
∵t＝6，
∴BQ＝6，DP＝6，
∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，
∴AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ10，
∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
∴当t＝6时，四边形AQCP为菱形；
（3）∵正方形面积为96，
∴正方形的边长为：4，
∴PQ48；
分两种情况：
①如图1所示：作PM⊥BC于M，
则PM＝AB＝8，DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t，
由勾股定理得：QM8，
BM＝BQ+QM，
∴t+816﹣t，
解得：t＝8﹣4；
②如图2所示：DP＝BQ＝t，AP＝BM＝16﹣t，
∵BQ＝BM+QM，
∴16﹣t+8t，
解得：t＝8+4；
综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：8﹣4或8+4；
【点评】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键．
类型四 平移旋转问题
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为，∠AOC＝60°，将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，根据菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质，再求出B点坐标，然后根据平移的性质求出B′的坐标即可．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝2，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠COA＝60°，
∴ADAB，
∴BD3，
∴OD＝AD+OA＝3，
∴B（﹣3，3），
∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，
∴B'（﹣31，3﹣1），
即B'（1﹣3，2），
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．
14．如图，正方形ABCD的边长为1；将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．2 C．1 D．
【分析】依据△BFH、△CEF为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF，
∴BF1，
∵∠BFE＝45°，
∴BH＝BF1，
∴阴影部分的面积1×1（1）21，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用△BFH、△CEF为等腰直角三角形求解线段的长．
15．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为 2 ．
【分析】由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，作出图形，根据三角形面积公式列出方程即可得出答案．
【解答】解：∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED4，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4）；
∴矩形CODE的面积为42＝8，
∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6
∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2，
如图，设ME′＝x，则FE′x，依题意有
xx÷2＝2，
解得x＝±2（负值舍去）．
故矩形CODE向右平移的距离为2．
故答案为：2．
【点评】考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
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