专题 平行四边形中蕴含的数学思想（原卷版）
类型一 分类讨论思想
1．在 ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为 ．
2．在 ABCD中，，，点A到边BC，CD的距离分别为，AF＝1，则∠BAD＝ ．
3．在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则 ABCD的周长为 ．
4．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）如图①，当点D在线段BC上时，求证：DE+DF＝AC；
（3）如图②，当点D在边BC的延长线上时，请写出DE，DF，AC之间的数量关系，请说明理由．
类型二 整体思想
5．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A'落在CD上，△DEA'的周长为8，△CBA'的周长为18，则A'C的长为 ．
类型三 方程思想
6．如图， ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DCB＝60°，点E在AB上，BE＝2AE，点F为BC的中点，DP⊥AF，DQ⊥CE，则DP：DQ＝（ ）
A． B． C．3：4 D．1：1
7．（1）如图①， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．若AB，AC＝2，BD＝4，则AE＝ ．
（2）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图②，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是 ．
类型四 转化思想
8．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 ．
9．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BCCE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3＝10，则S＝ ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 平行四边形中蕴含的数学思想（解析版）
类型一 分类讨论思想
1．在 ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为 8或24 ．
【分析】由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得AB＝AE＝6，点E将AD分为1：3两部分，可得DE＝18或DE＝2两种情况，分别讨论即可求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE＝6．
∵点E将AD分为1：3两部分，
∴DE＝18或DE＝2，
∴当DE＝18时，AD＝24；
当DE＝2时，AD＝8；
故答案为：8或24．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，以及等角对等边，分类讨论是解题的关键．
2．在 ABCD中，，，点A到边BC，CD的距离分别为，AF＝1，则∠BAD＝ 45°或135° ．
【分析】首先根据题意画出图形，再根据勾股定理可得DF＝AF，然后再根据三角形内角和可得∠D＝45°，根据平行四边形的性质可得DC∥AB，进而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度数，同理可得出∠DAB的另一个度数．
【解答】解：如图1所示：
∵AF⊥DC，
∴∠DFA＝90°，
∵，
∴DF＝1，
∴∠D＝∠DAF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DAB＝135°，
如图2，过点A作AE⊥CB延长线于点E，点A作AF⊥CD延长线于点F，
同理可得：∠FDA＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DAB＝45°，
故答案为：45°或135°．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，同时涉及了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
3．在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则 ABCD的周长为 12或20 ．
【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图1所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC2，AB＝CD＝5，
BE3，
∴AD＝BC＝5，
∴ ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在 ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC2，AB＝CD＝5，
BE3，
∴BC＝3﹣2＝1，
∴ ABCD的周长等于：1+1+5+5＝12，
则 ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
4．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）如图①，当点D在线段BC上时，求证：DE+DF＝AC；
（3）如图②，当点D在边BC的延长线上时，请写出DE，DF，AC之间的数量关系，请说明理由．
【分析】（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出DF＝AE，由平行线的性质得出DE＝EC，则可得结论；
（3）方法同（2）由平行四边形的性质及平行线的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（2）证明：∵四边形AFDE是平行四边形，
∴DF＝AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC，
∴DE+DF＝EC+AE＝AC；
（3）解：DF＝AC+DE，
理由如下：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∴AE＝DF，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BDE，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE＝∠BDE，
∴CE＝DE，
∴AC+DE＝AC+CE＝AE＝DF．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
类型二 整体思想
5．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A'落在CD上，△DEA'的周长为8，△CBA'的周长为18，则A'C的长为 5 ．
【分析】由折叠可得EA′＝AE，BA′＝AB，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得A′C的长．
【解答】解：由折叠可得，EA′＝AE，BA′＝AB．
∵△DEA'的周长为8，△CBA'的周长为18，
∴DE+DA′+AE＝8，
∴DA′+AD＝8，A′C+CB+AB＝18．
∴平行四边形ABCD的周长＝DA′+AD+A′C+CB+AB＝8+18＝26，
∴AB+BC＝BA′+BC＝13，
∵△CBA'的周长为A′C+CB+BA′＝18，
∴A′C＝18﹣13＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查轴对称和平行四边形的性质，熟练掌握轴对称图形沿某直线翻折后能够相互重合、及平行四边形对边相等的性质是解此题的关键．
类型三 方程思想
6．如图， ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DCB＝60°，点E在AB上，BE＝2AE，点F为BC的中点，DP⊥AF，DQ⊥CE，则DP：DQ＝（ ）
A． B． C．3：4 D．1：1
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CBN＝∠DAB＝60°，根据勾股定理得到AFa，根据三角形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝∠DCB＝60°，
∴∠CBN＝∠DAB＝60°，
∴∠BFN＝∠MCB＝30°，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3a，BC＝2a，
∴CD＝3a，
∵BE＝2AE，F是BC的中点，
∴BF＝a，BE＝2a，
∵∠FNB＝∠CMB＝90°，∠BFN＝∠BCM＝30°，
∴BMBC＝a，BNBFa，FNa，CMa，
∴AFa，CE2a，
∵F是BC的中点，
∴S△DFAS平行四边形ABCD，S△CDES平行四边形ABCD，
即AF DPCD CM，CD CMCE DQ，
∴PD，DQa，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（1）如图①， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．若AB，AC＝2，BD＝4，则AE＝ ．
（2）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图②，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是 26° ．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，求出BC的长，利用三角形ABC的面积的两个不同计算方法可求出AE；
（2）根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AOAC＝1，BOBD＝2，
∵AB，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△BAC中，BC，
∵AE⊥BC，
∴S△BACAB×ACBC×AE，
∴2AE，
∴AE，
故答案为：；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，
∴∠BAC＝26°，
故答案为：26°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
类型四 转化思想
8．如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 ．
【分析】连接AC，OB，根据点O是平行四边形ABCD的对称中心可知点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD，再由EFAB，GHBC即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC，OB，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD，
令S△AOB＝S△BOC＝S，
∵EFAB，GHBC，
∴S△EOFS，S△GOHS，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的是中心对称，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BCCE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3＝10，则S＝ 4 ．
【分析】根据题意，可以证明S与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S的长相等，高是S3的一半，这样就可以把S1和S3用S来表示，从而计算出S的值．
【解答】解：根据正三角形的性质，∠ABC＝∠HFG＝∠DCE＝60°，
∴AB∥HF∥DC∥GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，
∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴BF＝MFACBC，CP＝PFABBC
∴CP＝MF，CQ＝BC，QG＝GC＝CQ＝AB，
∴S1S，S3＝2S，
∵S1+S3＝10，
∴S+2S＝10，
∴S＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S＝a h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．
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