专题 平行四边形中的折叠问题和动点问题（原卷版）
类型一 平行四边形中的折叠问题
1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝36°，则∠B为（ ）
A．126° B．132° C．144° D．156°
2．如图，将平行四边形ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．则下列结论中，错误的是（ ）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．DH＝CG D．EI＝FG
3．如图，将 ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为 ．
4．如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2+BE2．
5．我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
【发现与证明】：如图1：求证：①△AGC是等腰三角形；②B′D∥AC
【应用与解答】：如图2：如果AB＝2，BC＝1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积
【拓展与探索】：如果AB＝2，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
类型二 平行四边形中的动点问题
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，等边三角形ABC的边长为8cm．动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2
8．如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（ ）
A．始终不变 B．逐渐减小 C．先减小再增大 D．不能确定
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是 ．
11．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝ s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
12．如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝ 时，四边形PDCQ是平行四边形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 平行四边形中的折叠问题和动点问题（解析版）
类型一 平行四边形中的折叠问题
1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝36°，则∠B为（ ）
A．126° B．132° C．144° D．156°
【分析】由平行四边形ABCD，∠1＝∠2＝36°，得DC∥AB，∠1＝∠CAB+∠CAB'，得∠DCA＝∠CAB＝∠CAB'＝x，得2x＝36，得∠DCA＝x＝18°，即可得∠B＝180﹣∠DCA﹣∠2＝126°．
【解答】解：由平行四边形ABCD，∠1＝∠2＝36°，
得DC∥AB，∠1＝∠CAB+∠CAB'，
得∠DCA＝∠CAB＝∠CAB'＝x，
得2x＝36，
得∠DCA＝x＝18°，
得∠B＝180﹣∠DCA﹣∠2＝126°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了图形的对折，解题关键是正确应用对折的性质．
2．如图，将平行四边形ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．则下列结论中，错误的是（ ）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．DH＝CG D．EI＝FG
【分析】首先连接AC，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA＝OC，又由平行线的性质，可得∠1＝∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE＝CF，OE＝OF，然后根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI＝FG．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，AD＝BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，OE＝OF；故A、B选项不符合题意；
由折叠的性质可得：AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，
∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠BCD，∠B1＝∠B＝∠D，
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∵在△A1IE与△CGF中，，
∴△A1IE≌△CGF（AAS），
∴EI＝FG，故D选项不符合题意，
∵在△CFG与△HID中，只有∠6＝∠3，
不能判定△CFG与△HID全等，无法得到DH＝CG，故C符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
3．如图，将 ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为 ．
【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F＝EB，CF＝CE，设AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，
在 ABCD中，
∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB，
由于 ABCD沿EF对折，
∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB，
D′C＝AD＝BC，
∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF＝∠ECB，
在△D′CF与△ECB中，
∴△D′CF≌△ECB（ASA）
∴D′F＝EB，CF＝CE，
∵DF＝D′F，
∴DF＝EB，AE＝CF
设AE＝x，
则EB＝6﹣x，CF＝x，
∵BC＝4，∠CBG＝60°，
∴BGBC＝2，
由勾股定理可知：CG＝2，
∴EG＝EB+BG＝6﹣x+2＝8﹣x
在△CEG中，
由勾股定理可知：（8﹣x）2+（2）2＝x2，
解得：x＝AE
故答案为：
【点评】本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
4．如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．
（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2+BE2．
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
【解答】证明：（1）∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，
∴∠DAD′＝∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE＝AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，
∴CED′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AB2＝AE2+BE2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四边形DAD′E是平行四边形是解题关键．
5．我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
【发现与证明】：如图1：求证：①△AGC是等腰三角形；②B′D∥AC
【应用与解答】：如图2：如果AB＝2，BC＝1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积
【拓展与探索】：如果AB＝2，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
【分析】[发现与证明]：①由平行四边形的性质得出∠GAC＝∠ACB，由翻折的性质得出∠ACB＝∠ACB′，证出∠GAC＝∠ACB′，得出AG＝CG；
②得出DG＝B′G，证出∠CB′D＝∠B′DA（180°﹣∠B′GD），由∠AGC＝∠B′GD，得出∠ACB′＝∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
【应用与解答】：作CF⊥AB′于F，通过解直角三角形求得CF，B′F，进而求得AF＝2，设AE＝CE＝x，则EFx，根据勾股定理即可求得x值，即AE的值，然后根据三角形的面积公式即可求得△AEC的面积；
【拓展与探索】：先证得四边形ACB′D是等腰梯形，根据等腰梯形的性质得出∠AB′C＝∠CDA＝30°，∠B′AD＝∠DCB′＝90°，设∠ADB′＝∠CB′D＝y，则∠AB′D＝y﹣30°，根据∠AB′D+∠ADB′＝90°，得出y﹣30°+y＝90°，解得y＝60°，进而求得∠AB′D＝30°，通过解直角三角形即可求得BC．
【解答】解：【发现与证明】：如图1，
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACB′，
∴AG＝CG，
∴△AGC是等腰三角形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C＝BC，
∴B′C＝AD，
∴B′G＝DG，
∴∠CB′D＝∠ADB′，
∵∠AGC＝∠B′GD，∠ACB′＝∠CAD，
∴∠ADB′＝∠DAC，
∴B′D∥AC；
【应用与解答】：如图2，
作CF⊥AB′于F，
∵∠B＝30°，
∴∠AB′C＝30°，
∴CFB′CBC，B′FB′CBC，
∵AB′＝AB＝2，
∴AF＝2，
设AE＝CE＝x，则EFx，
∵CF2+EF2＝CE2，
∴（）2+（x）2＝x2，
解得x，
∴AE，
∴△AEC的面积AE CF；
【拓展与探索】：如图2，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B＝30°，∴∠AB′C＝∠CDA＝30°，
∵△AB′D是直角三角形，
当∠B′AD＝90°，AB＞BC时，
设∠ADB′＝∠CB′D＝y，
∴∠AB′D＝y﹣30°，
∵∠AB′D+∠ADB′＝90°，
∴y﹣30°+y＝90°，
解得y＝60°，
∴∠AB′D＝y﹣30°＝30°，
∵AB′＝AB＝2，
∴AD22，
∴BC＝2，
当∠ADB′＝90°，AB＞BC时，如图3，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′＝90°，
∴四边形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴BCAB23；
当∠B′AD＝90°AB＜BC时，如图4，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°，
∴∠B′GC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴∠AB′C＝30°，
∴GCB′CBC，
∴G是BC的中点，
在RT△ABG中，BGAB23，
∴BC＝6；
当∠AB′D＝90°时，如图5，
∵AD＝BC，BC＝B′C，
∴AD＝B′C，
∵AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D＝90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝2，
∴BC＝AB24；
∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答，【拓展与探索】中能够分类讨论，准确画出各种情况的图形是解题的关键．
类型二 平行四边形中的动点问题
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】过点A作AN⊥BC于点N，证△ABN是等腰直角三角形，得BN＝AN，再由三角形中位线定理可得EFAG，当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝135°，
∴AB∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣135°＝45°，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN＝90°﹣∠B＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∴BN＝ANAB2，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EFAG，
当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，
∴当点G与点N重合时，AG的最小值为，
∴EF的最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，等边三角形ABC的边长为8cm．动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
【解答】解：①当，点M、N、D的位置如图所示：
∵四边形ANDM是平行四边形，
∴DM＝AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB＝∠C＝60°，∠NDC＝∠B＝60°，
∴∠NDC＝∠C，
∴ND＝NC，
∴DM+DN＝AN+NC＝AC＝8，即：3t+5t＝8，
解得：t＝1，
②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形，
③当时，点M、N、D的位置如图所示：
∵四边形ANDM是平行四边形，
∴DN＝AM，AM∥DN，
∴∠NDB＝∠ACB＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠NDB＝∠B＝60°，
∴ND＝NB，
∴NB+MC＝AM+CM＝8，即：3t﹣8+5t﹣8＝8，
解得：t＝3，
综上所述，t的值为1或3，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列出方程求解是解题的关键．
8．如图，l1∥l2，直线l1与直线l2之间的距离为4，点A是直线l1与l2外一点，点A到直线l1的距离为2，点B，D分别是直线l1与直线l2上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】过C作CK∥l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，得到CK∥l2，因此AM＝2，MN＝4，由平行四边形的性质推出，△ABM≌△CDQ（ASA），CP＝AM＝2，得到HN＝2，求出AH＝8，由AC≥AH，即可求出AC的最小值．
【解答】解：过C作CK∥l1，过A作AH⊥CK，交l1于M，交l2于N，作CP⊥l2于P，
∵l1∥l2，
∴CK∥l2，
∴AH⊥l1，AH⊥l2，
∴AM＝2，MN＝4，
由题意得：BC＝AD，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠BAM＝∠QCD，AB＝CD，
∵l1∥l2，
∴∠ABM＝∠CDQ，
∴△ABM≌△CDQ（ASA），
∴CP＝AM＝2，
∴HN＝CP＝2，
∴AH＝2+4+2＝8，
∵AC≥AH，
∴点A与点C之间距离的最小值是8．
故选：B．
【点评】本题考查平行线之间的距离，点到直线的距离，关键是通过作辅助线，得到AC≥AH，求出HN即可解决问题．
9．如图，点E是平行四边形ABCD的CD边上一动点，以BE为一条边作平行四边形BEFG，使点A始终在GF边上，在动点E从点C向点D的运动过程中，关于平行四边形BEFG的面积，下列说法正确的是（ ）
A．始终不变 B．逐渐减小
C．先减小再增大 D．不能确定
【分析】设点E到AB的距离为m，点A到BE的距离为n，则S ABCD＝AB m，S BEFG＝BE n，而S△ABEAB mBE n，S BEFG＝S ABCD＝2S△ABE，可知平行四边形BEFG的面积始终不变，于是得到问题的答案．
【解答】解：设点E到AB的距离为m，点A到BE的距离为n，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是平行四边形，
∴S ABCD＝AB m，S BEFG＝BE n，
∵S△ABEAB mBE n，
∴S ABCD＝2S△ABE，S BEFG＝2S△ABE，
∴S BEFG＝S ABCD，
∴平行四边形BEFG的面积始终不变，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式等知识，证明S ABCD＝S BEFG＝2S△ABE是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是 6 ．
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴ODAB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
11．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝ 2或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
12．如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝ 3或5 时，四边形PDCQ是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝CQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过t秒，四边形PDCQ是平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t7.5，即0＜t≤7.5，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴DP＝CQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为4t＝15﹣t，
解得t＝3，
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为15﹣415﹣t，
解得：t＝5；
故答案为：3或5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
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