专题 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题期末真题汇编之四大题型
特殊平行四边形中折叠问题
例题：如图已知长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 cm．
【答案】3
【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
求的长，应先设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，
根据题意得：，
，，，
设，则，
在中由勾股定理得：，
即，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
即，
，
，
即．
故答案为：3．
【变式训练】
1．如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是
【详解】解：四边形是边长为2的正方形，
，，
由折叠得点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
四边形是矩形，，
，
，
故答案为：．
2．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图中，求出等边的高即可．如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：如图中，
四边形是菱形，
，，
，都是等边三角形，
当点与重合时，是等边的高，
∴
∴
．
如图中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．
，，
，
，
四边形是矩形，
∵
∴
∴
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
的最大值为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
特殊平行四边形中旋转问题
例题：如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查中心对称及旋转的性质，菱形的性质．给出菱形的面积，结合的长即可解决问题．
【详解】∵四边形是菱形，
∴．
令菱形的面积为，
又∵，
∴，
∴．
又∵由绕点D旋转得到，
∴，，
∴．
在中，．
故答案为：，（答案不唯一）．
【变式训练】
1．已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，
求证：
(1)
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“”得到是解题关键．
（1）由平行线的性质可得，再证明，然后根据“”可得；
（2）由全等三角形的性质得，等量代换可证．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴．
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
2．【问题呈现】
四边形和都是正方形，直线，交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．
【答案】（1），，证明见解析；（2）①成立，见解析；②
【分析】（1）证明和全等，可得，即可求解；
（2）①证明设交于点I，则，和全等，可得，即可求解；
②连接．根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：（1），证明如下：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
∵点G在边AB上，
∴点E，A，D三点在同一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
如图，设交于点I，则，
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
特殊平行四边形中最值问题
例题：如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，过点作于，证明，推出，设，则，可得，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出直线的解析式即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则四边形是矩形，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，
设直线的解析式为，
∵，，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴时，的值最小，
∵定值，
∴当时，的值最小．
故答案为：．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．
(1)求点C和点D的坐标．
(2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先求出，由四边形是菱形，则，，在中，，求出，即可得到点C和点D的坐标．
（2）点B，D关于直线对称．设交于，连接，则，，即．则当点P和点重合时，的值最小．在中，，则，则，求出，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，
．，
四边形是菱形，
，，
在中，，
则，
∴，
∴，
∴，
，．
（2）四边形是菱形，
，D关于直线对称．
设交于，连接，则，
，即．
当点P和点重合时，的值最小．
在中，
，
∴，
则，即，
，
．
【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、点的坐标等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
2．如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．
(1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；
(2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值；
(3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值．
【答案】(1)4
(2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值
(3)作图见解析，的最小值为6
【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解；
（2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值；
（3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，
此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，则，均为等边三角形，
∴，
∵点为菱形对角线的交点，
∴点为的中点，
连接，，
∵为的中位线，
∴，也为的中位线，
则，，
∴；
（2）由（1）可知，均为等边三角形，
则，
∵，
∴，则为等边三角形，
∴，则，
由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，
∵，则，
又∵，
∴，
∴，则点为中点，
∵，，
∴，
∴，，由勾股定理可得：，，
∴，
∵，
∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号，
综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值；
（3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，
作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，
∵为等边三角形，
∴，由对称可知：，
则，当，，，在同一条直线上时取等号，
此时点为中点，
∵，则
∴过点（点），且，
可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点，
∴此时，
作图，如下：
作法：取的中点为，作交于；
综上，的最小值为6．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键．
特殊平行四边形中新定义问题
例题：定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形．
(2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长．
(3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．
【答案】(1)矩
(2)
(3)答案不唯一，见解析
【分析】（1）由折叠的性质可得，可得四边形是矩形；
（2）由勾股定理可求，由“”可证，可得，由折叠的性质可得，，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）双层四边形为矩形，
理由如下：由折叠的性质可得，，
，
，
，
同理可得，
四边形是矩形，
故答案为：矩；
（2）四边形为矩形，
，，，
，，
又为平行四边形，
，，
由折叠得，，
，
在与中，
，
，
，
由折叠得，，
，
又，
，
又，，
．
（3）有以下三种基本折法：
折法1中，如图所示：
由折叠的性质得：，，，，，
四边形是叠合正方形，
，
，
，；
折法2中，如图所示：
由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，
，
四边形是叠合正方形，
，正方形的面积，
，
，
设，则，
梯形的面积，
，
，
，
，
，
解得：，
，．
折法3中，如图所示，作于，
则，分别为，的中点，
则，，正方形的边长，
，，
．
综上所述：或11或．
【点睛】本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式训练】
1．定义：若一个四边形只有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形中，，若平分，则四边形是近似菱形．
(1)如图②，在四边形中，，，．
求证：四边形是“近似菱形”，
(2)如图③，已知线段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且与互补．
要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(3)在（2）的条件下，“近似菱形”中的取值范围是________________．
【答案】(1)证明见解析
(2)见解析
(3) 且
【分析】（1）根据“近似菱形”的定义，平行线的性质和等边对等角，证明，进而得出结论；
（2）作菱形，以D为圆心，为半径画弧，交于点C，连接，则四边形为求作的“近似菱形”；
（3）根据菱形的性质得出，，进而得出，再证明，当最小时，最小，当时，，当时，不符合“近似菱形”的定义，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴四边形是“近似菱形”．
（2）解：作法：
①作菱形；
②以D为圆心，为半径画弧，交于点C；
③连接．
则四边形为求作的“近似菱形”；
（3）解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当最小时，最小，当时，，
∴
当时，不符合“近似菱形”的定义，
∴ 且．
【点睛】本题考查“近似菱形”的定义，平行线的性质，等边对等角，正确理解新定义是解题的关键．
2．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
理解：
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是__________（填写序号）；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形；
运用：
（3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：矩形、正方形的对角线相等，
矩形和正方形是“等角线四边形”，
故答案为②④；
（2）证明：连接，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是等角线四边形；
（3）解：当点在的上方时，如图，
是的中垂线，
，
，，，
，
四边形为等角线四边形，
，
，
；
当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于，
四边形为等角线四边形，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
综上所述：这个等角线四边形的面积为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解等角线四边形的定义并运用是解题的关键．
一、单选题
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，根据折叠的性质列式，解之可得答案．
本题考查了长方形，折叠．解决问题的关键是熟练掌握长方形的性质，折叠的性质，设未知数数构建方程．
【详解】设，则,
由折叠知，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：B．
2．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【分析】首先根据勾股定理的逆定理可以证明； 结合已知可以证明四边形是矩形，由此可得到对角线相等，M是的中点； 要求的最小值，实际上就是求的最小值，当，利用三角形面积，即可求得最小值．
【详解】连接，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴．
根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短， 可知当时，最短．同样也最短．
当时，有，
即，
解得．
∴的最小值为，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形，垂线段，直角三角形斜边上的中线，直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形，矩形的判定与性质、垂线段最短的性质，直角三角形斜边上的中线性质，由面积法求三角形的高，是解决问题的关键．
3．如图，在矩形中，，，点和是边上的两点，连结，将和沿折叠后，点和点重合于点，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
由折叠得，，
∴，
∴
∴
∴
过点作于点，则于点，如图，则，
∴
由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴即
∴,
故选：B．
4．如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出．
【详解】解：正方形，
，
，
，
，
，
，
故要使有最小值，即求的最小值，
当时，有最小值，，
，
，
线段的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误．
【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线．
又，
，
故选项A正确．
B.又点与点关于对称，
，
又，
，
故选项B正确．
C和D.如答图，过点作于点．
，
，
，
易知，，
设，
，，
点是的中点，折叠后点落到上，
点与点重合，．
易知点共线，
．
，
，
解得．
，，
，
故选项C正确，选项D错误．
综上，故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
6．如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】连接交于，当时，线段的值最小，根据矩形的性质得，，，，进而可得，再根据等边三角形的性质得，，再根据垂直平分线的判定及性质得，，在中利用勾股定理得，进而可得，再根据含角的直角三角形的特征即可求解．
【详解】解：连接交于，如图所示：
当时，线段的值最小，
四边形是矩形，且，
，，，，
，
是等边三角形，，
，，
是的垂直平分线，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的特征、勾股定理、等边三角形的性质、垂直平分线的判定及性质、矩形的性质，熟练掌握相关判定及性质，找准的最小值时的位置是解题的关键．
二、填空题
7．如图，将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形折叠中角度问题，根据折叠得到，，从而得到，结合三角形内外角关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
8．如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，过点作的平行线交于点，过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，利用翻折的性质和勾股定理求出，然后证明，得，证明，再利用勾股定理求出，进而即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过点作的平行线交于点，过点作交延长线于点，延长交于点，过点C作于点，
由翻折可知：，
∵点是的中点，，为菱形，
∴，
设，
在中，，
由勾股定理得：，
整理得，
解得(舍去负值)，
由翻折可知：，
设
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，难度大，考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键正确作出辅助线构造全等三角形．
9．如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的最小值为2，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了菱形的性质，线段的垂直平分线性质，含角的直角三角形，垂线段最短，依次计算即可．
【详解】∵P为菱形的对角线上的一定点，，的最小值为2，
∴，，
连接，过点P作，
则，，
∴，
∴
∴，
故答案为：4．
10．定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形中，，，点O为矩形对角线交点，，当矩形绕点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】当矩形绕点O旋转，矩形四个顶点在上时，求出此时d的最小值，当矩形的边或的中点在上时，求出此时d的最大值，即可求解．
【详解】解：连接对角线，
∵矩形，
∴，
由勾股定理，得
，
∵点O为矩形对角线交点，
∴，
∵矩形绕点O旋转，
∴当矩形四个顶点在上时，此时d值最小，若点A在上，如图1，
∴，
当矩形的边或的中点在上时，此时d值最大，如的中点E在上，如图2，
连接，，
∵矩形，点O为矩形对角线交点，
∴，
∵E为边的中点，
∴，，
在中，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，由题意得出当矩形四个顶点在上时，此时d的值最小，当矩形的边或的中点在上时，此时d的值最大是解题的关键．
11．如图，线段的长为12，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可．
【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O一定在射线上，
∵垂线段最短，
∴点O在点M处时，线段取最小值，
∵，，
∴，
∴线段取最小值为6．
故答案为：6．
12．小杰利用教材中的剪纸活动设计了一个魔术．他将一个长方形纸片对折两次，剪下一个角（图1），展平后得到一个带正方形孔洞的魔术道具（图2），这个正方形孔洞的边长为（图4）．他试图将一个直径为的圆形铁环（铁环厚度忽略不计）穿过这个孔洞，没有成功，于是他对这个道具进行折叠、旋转（图5、图6），并调整纸片产生一个新的“孔洞”（图3）．请你计算调整前后的孔洞最“宽”处的“宽度”来说明魔术的效果．图4中的“宽度” ；图6中的“宽度” ．
【答案】
【分析】①根据正方形的性质及勾股定理可知的长为；②由旋转性质及折叠的性质可知．
【详解】解：∵正方形孔洞的边长为，
∴对角线的长为，
故答案为，
如图，由旋转性质可知，
如图，由折叠的性质可知，
故答案为．
【点睛】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质及旋转的性质是解题的关键．
三、解答题
13．如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①四边形是菱形，理由见解析；②
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；
②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【详解】（1）证明：根据折叠，，，
四边形是矩形，
，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：①结论：四边形是菱形．
理由：四边形是矩形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：②，，
．
．
设，
．
在直角中，
，即，
解得，即，
．
【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、翻折不变性进行解答．
14．如图，已知菱形中，，，点为中点，连接，点为线段上动点，连接、．
(1)的最小值为______；
(2)在点运动过程中，能否为直角，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由；
(3)能否为，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由．
【答案】(1)12
(2)不能，理由见解析
(3)能，6
【分析】（1）连接，，交于点，交于点，连接，根据等腰三角形三线合一性可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，然后再根据两点之间线段最短可求出的最小值；
（2）连接，相交于点，在上任意取一点，连接，，连接并延长到点，根据菱形对角线互相垂直平分得，然后根据三角形外角大于任意一个与它不相邻的内角证明即可；
（3）根据菱形的对角线段，各边相等得到，从而得出，再根据三角形的三线合一性求出，用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图所示：连接，，交于点，交于点，连接，当点运动到点处时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
根据两点之间线段最短，
的最小值就是线段的长，是12，
（2）解：不能为直角，理由如下：
如图所示：连接，相交于点，在上任意取一点，连接，，连接并延长到点，
四边形是菱形，
，
，
，，
，即，
无论在的任何地方，，
点运动过程中，不能成直角；
（3）解：能为，理由如下：
四边形是菱形，
，，
是等边三角形
，，
为中点，
，，
，
，
当点与点重合时，，．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定与性质，勾股定理等．解题关键是添加辅助线．
15．已知矩形（如图1）的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合，连接，取的中点，连接，试探索解决下列问题：
(1)求证：；
(2)如图2，若将（1）中的矩形绕点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)成立，理由见详解
【分析】（1）先由矩形的性质得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，，即可证明；
（2）连接交于点，连接交于点，连接．根据矩形性质得到相等且互相平分，相等且互相平分．根据中位线的性质和矩形性质证明，再证明，，即可得到，即可证明，即可证明．
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
∵为中点，
，，
；
（2）解：若将（1）中的矩形绕着点旋转一定的角度，其它条件不变，则（1）中的结论还成立．
理由：如图2，连接交于点，连接交于点，连接．
∵四边形，四边形都是矩形，
∴相等且互相平分，相等且互相平分．
∵，分别为，的中点，
，；
同理，．
∵相等且互相平分，相等且互相平分，
∴，
∴，
∴
由题意得，
，
又∵，，
，
∴，
在与中，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，综合性较强，难度较大，熟知相关定理，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
16．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．
求证：四边形是“直等补”四边形．
②若，求四边形的面积．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．
【答案】(1)①详见解析；②1
(2)周长的最小值：
【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得，，，即可解答；
②过点作于点，交的延长线于点，“”可证，所以，即，由正方形的面积公式，即可解答；
（2）先证四边形是正方形，利用勾股定理求出，，即可解答．
【详解】（1）证明：①如图1中，
四边形是菱形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
四边形是“直等补”四边形；
②如图1中，过点作于点，交的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
即，
，
在和中，，
，
，，
四边形是正方形，
；
（2）周长的最小值：；
延长到点，过作于点，
四边形是“直等补”四边形，，，
，
，即，
，，
，，
四边形是矩形，
，
又，，
，
在和中，，
，
，
矩形是正方形，
，；
∵，
即当点C、P、三点共线时，的最小值是，
在中，，，
，；
在中，，，
，
周长的最小值为：；
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图1，四边形为菱形，．，，．
(1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①证明见解析；的最小值为；②不变，点F的横坐标为
【分析】（1）先求出，，再由菱形的性质得到，则，进而由梯形面积公式可得
（2）设交于J，由菱形的性质结合题意易证，都是等边三角形，即得出，从而可证．再结合，即可证，得出，即说明当时，的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可；②过点F作于H．由全等的性质可得，即易证，得出，即说明点F的横坐标为，不变．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）①证明：如图，设交于J．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴AF的最小值为．
②点F的横坐标不变，理由如下：
如图，过点F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为，不变．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键．
18．如图，已知四边形为正方形，，点E为平面内一动点（不与点D重合），连接，以为边作正方形，连接．
(1)如图1，当点E在对角线上移动时：
①求证：；
②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线上．
(2)如图2，连接，则的最小值等于_______．
【答案】(1)①证明见解析；②的值为定值，；③证明见解析
(2)
【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明；②根据可得，进而可得；③过点E分别做，，垂足分别为点P、点Q，通过证明，推出，结合，可证点F在直线．
（2）连接，，同（1）①可证，推出，进而可得．
【详解】（1）①证明：∵四边形、四边形均为正方形，
∴，，．
∴，
即，
∴；
②的值为定值．
∵，
∴．
∴．
∵正方形中，，
∴，
∴；
③如图，过点E分别做，，垂足分别为点P、点Q．
，，平分，
∴，，
又，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴点F在直线．
（2）解：如图，连接，，
∵四边形、四边形均为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当E，F在线段时，取最小值，最小值为的长，即最小值为．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用等量代换思想．
19．定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．
(1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ；
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论；
(3)问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中正四边形”．
【答案】(1)D
(2)①，②
(3)见解析
【分析】（1）根据中正四边形的概念得出结论即可；
（2）根据三角形中位线的性质得出结论即可；
（3）先根据三角形中位线的性质证四边形是平行四边形，再证≌，得出四边形是菱形，然后得出四边形是正方形即可得证结论．
【详解】（1）平行四边形的“中点四边形”仍然是平行四边形，矩形的“中点四边形”是菱形，菱形的“中点四边形”是矩形，正方形的“中点四边形”是正方形，
根据中正四边形的概念知，正方形的“中点四边形”一定是“中正四边形”，
故答案为：；
（2）性质探究：四边形是“中正四边形”，
四边形是正方形，
，且，
且，且，
，；
（3）问题解决：如图，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为、、、，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
又，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
是菱形，
，
，
又，，
，
，
又，，
，
菱形是正方形，
即原四边形是“中正四边形”．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形与正方形的判定等知识是解题的关键．
20．【特例感知】如图，点是正方形对角线上一点，于点，于点.
（1）求证：四边形是正方形；
（2）= ；
【规律探究】将正方形绕点旋转得到图，连接，，.
（3）的比值是否会发生变化？说明理由；
【拓展应用】如图，在图的基础上，点，，分别是，，的中点；
（4）四边形是否是正方形 说明理由.
【答案】（1）详见解析；
（2）
（3）不变，理由见解析；
（4）是，理由见解析．
【分析】（）根据正方形的性质和判定即可；
（）根据正方形的性质求解即可；
（）过作于点，过作交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质证明是等腰直角三角形即可；
（）根据正方形的性质和判定即可；
此题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，平分，
∵，，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
（2）由（）得：四边形是正方形，
∵四边形是正方形，
∴设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（）不变，理由：
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过作于点，过作交于点
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
易得：，
∴，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（4）四边形是正方形，理由：
由（）得：，
∴，
∵点，，分别是，，的中点；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 特殊平行四边形中折叠、旋转、最值、新定义问题期末真题汇编之四大题型
特殊平行四边形中折叠问题
例题：如图已知长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 cm．
【变式训练】
1．如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为 ．
2．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．
特殊平行四边形中旋转问题
例题：如图，菱形的对角线交于点O，将绕点D旋转得到，若菱形的面积为 ，，则 ．
【变式训练】
1．已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，
求证：
(1)
(2)．
2．【问题呈现】
四边形和都是正方形，直线，交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．
特殊平行四边形中最值问题
例题：如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．
(1)求点C和点D的坐标．
(2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标．
2．如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．
(1)若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；
(2)当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值；
(3)当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值．
特殊平行四边形中新定义问题
例题：定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形．
(2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长．
(3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·江苏南京·期末）定义：若一个四边形只有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形中，，若平分，则四边形是近似菱形．
(1)如图②，在四边形中，，，．
求证：四边形是“近似菱形”，
(2)如图③，已知线段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且与互补．
要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
(3)在（2）的条件下，“近似菱形”中的取值范围是________________．
2．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
理解：
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是__________（填写序号）；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形；
运用：
（3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
一、单选题
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
3．如图，在矩形中，，，点和是边上的两点，连结，将和沿折叠后，点和点重合于点，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
4．如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
7．如图，将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，若，则的度数为 ．
8．如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为 ．
9．如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的最小值为2，则的长为 ．
10．定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形中，，，点O为矩形对角线交点，，当矩形绕点O旋转时，点P到矩形的距离d的取值范围是 ．
11．如图，线段的长为12，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ．
12．小杰利用教材中的剪纸活动设计了一个魔术．他将一个长方形纸片对折两次，剪下一个角（图1），展平后得到一个带正方形孔洞的魔术道具（图2），这个正方形孔洞的边长为（图4）．他试图将一个直径为的圆形铁环（铁环厚度忽略不计）穿过这个孔洞，没有成功，于是他对这个道具进行折叠、旋转（图5、图6），并调整纸片产生一个新的“孔洞”（图3）．请你计算调整前后的孔洞最“宽”处的“宽度”来说明魔术的效果．图4中的“宽度” ；图6中的“宽度” ．
三、解答题
13．如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
14．如图，已知菱形中，，，点为中点，连接，点为线段上动点，连接、．
(1)的最小值为______；
(2)在点运动过程中，能否为直角，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由；
(3)能否为，若可以，求出的长度，若不可以，请说明理由．
15．已知矩形（如图1）的一边和对角线分别与矩形的对角线及边重合，连接，取的中点，连接，试探索解决下列问题：
(1)求证：；
(2)如图2，若将（1）中的矩形绕点旋转一定的角度，其它条件不变，你认为（1）中的结论是否成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由．
16．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连接．
求证：四边形是“直等补”四边形．
②若，求四边形的面积．
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．
17．如图1，四边形为菱形，．，，．
(1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．
18．如图，已知四边形为正方形，，点E为平面内一动点（不与点D重合），连接，以为边作正方形，连接．
(1)如图1，当点E在对角线上移动时：
①求证：；
②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线上．
(2)如图2，连接，则的最小值等于_______．
19．定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”．
(1)概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ；
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论；
(3)问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中正四边形”．
20．【特例感知】如图，点是正方形对角线上一点，于点，于点.
（1）求证：四边形是正方形；
（2）= ；
【规律探究】将正方形绕点旋转得到图，连接，，.
（3）的比值是否会发生变化？说明理由；
【拓展应用】如图，在图的基础上，点，，分别是，，的中点；
（4）四边形是否是正方形 说明理由.
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