专题 平行四边形综合题分类练
(6种类型60道）
目录
【题型1平行四边形类】 1
【题型2 矩形类】 18
【题型3中位线】 36
【题型4直角三角形斜边上的中线】 55
【题型5菱形类】 74
【题型6正方形类】 94
【题型1平行四边形类】
1．如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立，⑤根据平行四边形的性质得到结合，即可得到．
【详解】解：①延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故①正确；
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
过点作交延长线于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，则为等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正确；
由勾股定理可知，，则，
过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
故④不正确；
，，
，
故⑤正确；
综上所述正确的结论共有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
2．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④正确；即可得出答案．
【详解】解：，，，
是直角三角形，
，故①正确；
，都是等边三角形
和都是等边三角形
，，
在与中
同理可证：
四边形是平行四边形，故②正确；
，故③错误；
过作于，如图所示：
则
四边形是平行四边形
，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
3．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算，利用上述性质，逐项判断即可解答，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
【详解】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
,
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，
，故②正确；
由②知：，
，
故③正确；
，
，故④错误；
，
为等腰三角形的角平分线，
平分，故⑤正确，
故正确的为：①②③⑤，
故选：B．
4．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，．若点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④，．则能判定四边形是平行四边形的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；连接，设，相交于点O，根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，设，相交于点O，
①∵四边形是平行四边形，
，，，，，
，
，
即，
∴结合，有四边形是平行四边形，故①符合题意；
②，不能判定，
∴无法证明，
则无法证明，
不能判定四边形是平行四边形；
③在和中，
，
，
，
∵，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
④∵，，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
又，
∴四边形是平行四边形；
一定能判定四边形是平行四边形的是①③④，即有3个满足条件，
故选：C．
5．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点，下列结论：；；；，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键．
证明四边形是平行四边形可判断①，，结合点E是的中点，可得，再利用四边形是平行四边形可判断②，通过证四边形是平行四边形，可判断③，由直角三角形的性质和三角形中位线定理即可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E、F、G分别是、、的中点，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵点E是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，故②正确；
∵四边形是平行四边形，
，
∵，，
，
故③正确；
G是的中点，为直角三角形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故④正确；
故选：D．
6．如图，在中，，，垂足为E，F是的中点，连结 ．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是得出．
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：是的中点，
，
在中，，
，
，
∵，
，
，
，故①正确；
延长，交延长线于M．
四边形是平行四边形，
∴，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
，故③错误；
设，则，
，
，
，
，
，故④正确．
故选：C．
7．如图，的对角线交于点平分交于点，连接，下列结论：①；②平分，③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到，结合勾股定理，即可判断①；依据，，可得，进而得出平分；由三角形的中位线定理可得出，则结合（斜边大于直角边）即可判断③；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及三角形的中位线定理的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
【详解】解：，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
∴
，即，
，
则
故①正确；
，，
，
平分，故②正确；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
则（斜边大于直角边）
，故③错误；
垂直平分．故④正确．
故选：C．
8．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故①错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，
∴E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
9．如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
连接，作于．首先证明，根据可证明，再证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：连接，作于．
，都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，故②正确，
，，，
，故①正确，
，故③正确，
，，
，，
，
，
故④正确，
①②③④都正确，
故选：D．
10．如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得，，，，即可得，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，，，，
∵
∴，且点E是中点
∴，
∴①正确
∵E、F分别是、中点
∴，
∵G是中点，
∴，且，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴②正确，
∵四边形是平行四边形，
∴，，且
∴
∴③正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
【题型2 矩形类】
11．如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，根据矩形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点P分别作于点F，于点E，
∵以为底边，以为底边，
∴此时两三角形的高的和为，即可得出矩形面积；
同理可得出矩形面积；
∴②正确；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，．
但P是矩形内的任意一点，所以该等式不一定成立．
故①不一定正确；
③若，只能得出与高度之比，不一定等于；
故此选项错误；
∵；若，则，
∴④正确．
故选：B．
12．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断①正确；根据30度的直角三角形的性质判断②正确；证明是等边三角形，根据菱形的判定定理可判断③正确；设，分别求得和，即可判断④正确．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∵将沿翻折，点C恰好与点O重合，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A
13．如图，矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论①；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题中矩形和等边三角形的性质证明出，即可证明①②；证明可得，即可得③结论错误．
【详解】解:连接，
∵四边形是矩形，
∴，、互相平分，
∵O为中点，
∴也过O点，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴与关于直线对称，
∴，；
∴①②正确，
∵
∴,
∴
在和中，
∴，
∴，
∴错误．
∴③错误，
正确的有2个，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形和等边三角形的判定和性质以及30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是会综合运用这些知识点解决问题．
14．如图，四边形是矩形，点在的延长线上，，，连接，交于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③若点是线段的中点，则是等腰直角三角形；其中正确结论的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】通过已知条件结合全等三角形的证明和性质推出，即可证明；通过连接，得到为等腰直角三角形，再判断出，即可证明；根据已证得的结论，推出，再证明，进一步得到，即可证得是等腰直角三角形；从而得出结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，①正确；
∵，
∴，
如图所示，连接，
则为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，②正确；
∵，点是线段的中点，点是线段的中点，
∴，，
∵，
∴，，即是等腰三角形，
又∵，，
∴
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，③正确；
综上，正确结论共有3个，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，掌握图形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA； ②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点F由A到O的运动过程中，点E的运动路径长为线段BC的长度．则正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．①②③④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【分析】①根据∠DAC=60°，OD=OA，得出△OAD为等边三角形，即可得出结论①正确；
②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④如图，延长OE至G，使OG=OD，连接DG，通过△DAF≌△DOE，∠DOE=60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OG运动到G，从而得出结论④正确．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC=BD，OD=OB，OC=OA，
∴OD=OB=OC=OA，
∵∠DAC=60°，OD=OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA=∠DAO=∠ODA=60°，AD=OD，故①正确，
连接OE．
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=DE，
∵∠BDE+∠FDO=∠ADF+∠FDO=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF=180°，
∴∠ADF+∠AFD=180°-∠DAF=120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠EFC+∠AFD=180°-∠DFE=120°，
∴∠ADF=∠EFC，
∴∠BDE=∠EFC，
在△DAF和△DOE中，，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE=∠DAF=60°，
∵∠COD=180°-∠AOD=120°，
∴∠COE=∠COD-∠DOE=120°-60°=60°，
∴∠COE=∠DOE，
在△ODE和△OCE中，，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED=EC=DF，故②正确；
∵∠ODE=∠ADF，
∴∠ADF=∠OCE，即∠ADF=∠ECF，
故结论③正确；
如图，延长OE至G，使OG=OD，连接DG，
∵△DAF≌△DOE，∠DOE=60°，
∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OG运动到G，
∵OG=OD=AD=BC，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键．
16．如图，在矩形中，，，O是对角线的交点，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F．给出下列四个结论，①；②；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】求出，求出，求出，得出等边三角形，求出，推出，求出，求出，根据以上结论推出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，与不垂直，
∴点F不是的中点，即，∴①错误；
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，∴②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴③正确；
∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，∴④正确；
所以其中正确结论有②③④，3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义，三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用．
17．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，点在线段上，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④．中正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①根据矩形的性质和，得出是等边三角形，即可得到结论①正确；
②连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确；
③由②证明过程可知：，，通过等量代换可得出结论③正确；
④在与中，利用三角形内角和求出和，即可判断出结论④正确．
【详解】解：①在矩形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，．
故结论①正确．
②连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故结论②正确．
③由②证明过程可知：，，
∴，即．
故结论③正确．
④设与交于点，
在与中，
∵，，
∴，
，
∴．
故结论④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，三角形内角和等知识．熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质是解题关键．
18．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】设正方形边长为4a，求出DE、EF、DF，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．
【详解】解：设正方形边长为4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵AE＝3a，EB＝a，CF＝FB＝2a，
∴ ，
，
，
∴ ，，
∴，
∴是直角三角形；
故②正确，
∵点F是BC的中点，
∴CF=BF，
在和中，
∵，
∴ ，
∴DF=HF，
又∵点G是DE的中点，
∴GF是的中位线，
∴，
故①正确，
在 中，点G是DE的中点，
∴，
故③正确，
∵DE=5a，EB+BC=a+4a=5a，
∴DE=EB+BC，
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
19．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④FH＝CH；⑤BC﹣BF＝EH．其中正确命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝AB＝CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE＝CD，得到等腰三角形求出∠AED＝67.5°，∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，得到①正确；设DH＝1，则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，求出HE＝﹣1，得到2HE＝2（﹣1）≠1，故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；连接BH，证明∠HBC＝∠HCB＝22.5°，推出BH＝CH，即可判断④正确；由△AFH≌△CHE，到AF＝EH，由△ABE≌△AHE，得到BE＝EH，于是得到BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，从而得到⑤错误．
【详解】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝AB＝CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝AB，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠AEB，
故①正确；
设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，
∴HE＝﹣1
∴2HE＝2（﹣1）≠1，
故②错误；
∵∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE，
∴OH＝AE，
故③正确；
连接BH．
∵∠HCB＝∠HBC＝22.5°，
∴HB＝HC，
∵∠BFH＝∠FBG＝67.5°，
∴HF＝HB，
∴HF＝HC，
故④正确；
∵AH＝DH，CD＝CE，
在△AFH与△EHC中，
，
∴△AFH≌△EHC（AAS），
∴AF＝EH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，
∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，
故⑤错误，
故选：C．
【点睛】此题主要考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质．
20．如图，在矩形纸片中， ，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处：点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，有下列结论：
①；②；③；④，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得，结合，可得①正确；在中，利用勾股定理求出AF，设，在中，利用勾股定理构建方程求出AG，进而可判断②③；设，在中，利用勾股定理构建方程求出CE，进而可得DE，然后判断④．
【详解】解：∵由折叠的性质可得，，
∴，所以①正确；
∵AF=BC=10，
∴在中，，
∴，
设，则，
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴，所以③正确；
∵，，
∴，所以②正确；
设，在中，，
解得，
∴，，
∴，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理的应用，运用方程思想结合勾股定理求出所需线段的长度是解题的关键．
【题型3中位线】
21．如图在中，，，分别是，的中点，以为斜边作直角三角形，若，则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识，根据等腰直角三角形的性质可判断①，根据平行线的性质可判断②，由①②的条件，通过角的转换即可判断③，根据勾股定理即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴．
∵中，，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，分别是，的中点，
∴，
∴．
∵F是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
故②正确，符合题意；
∵，
∴，
故③错误，不符合题意；
∵中，，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
22．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．下列五句判断：①；②；③；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ）
A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④
【答案】D
【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，得到，然后结合等边对等角得到，然后结合即可判断③；连接，证明出，得到，然后结合，即可证明出四边形是平行四边形，进而可判断④；由，，而，从而得到，即可判断⑤．
【详解】∵，但
∴，故①错误；
∵，
∴
∵平分
∴
又∵
∴
∴
∵中点为F
∴，故②正确；
如图所示，延长，交于点H
∵
∴
∵，
∴
∴
∵点F为的中点
∴是的中位线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的中位线
∴
∴，故③正确；
如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∵，，而
∴，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②③④．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键．
23．如图，中，，，分别是其角平分线和中线，过点C作于点F，交于点G，连接，则①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】由角平分线的定义可得出，即易证，得出，再根据中线的定义结合三角形中位线定理即可得出，故①正确；由全等三角形的性质可得出，结合三角形外角的性质可得出，最后根据，即可得出，故②正确；由全等三角形的性质可得出，进而得出，结合三角形中位线定理即可得出，故③正确；由题意可确定，即得出，从而得出．延长到M，使，连接．易证，即得出．由三角形三边关系可得出，即可证明，故④正确．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵为的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵F、E分别是的中点，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
延长到M，使，连接．
∵在和中，，
∴，
∴．
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上可知正确的是①②③④．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形中位线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系等知识．熟练掌握上述知识，并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
24．如图，在中，，，是中点，，交于，交于，若，则下面结论：①；②；③；④；正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】①证明与都是的余角，便可判断①的正误；
②设的中点为，连接，根据中位线的性质可得，，证明，再证明，得，进而得，再由等高的三角形的面积比等于底边之比求得的面积，便可判断②的正误；
③设，，则，,由，便可判断③的正误．
④由②得，便可判断④的正误．
【详解】解：①，，
，
，故①正确；
②设的中点为，连接，
是中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③设，，
则，
,
，
，
显然，故③错误；
④由②知，
，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，关键在于构造全等三角形．
25．如图，在RtABC中，AB=AC=10，∠BAC=90°，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN．①PMN为等腰直角三角形；②；③△PMV面积的最大值是；④PMN周长的最小值为．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】连接BD，CE，根据题意可证△ADB≌△EAC，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，由三角形中位线定理可证△MPN是等腰直角三角形，则S△PMN=PN2=BD2．可得BD最大时，△PMN的面积最大，由等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，可得D是以A为圆心，AD=4为半径的圆上一点，可求BD最大值，即可求△PMN的面积最大值．再利用等腰直角三角形的性质求出AM和AN的值，得出MN的最值，进一步解决问题．
【详解】解：连接BD，CE，
∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE且AB=AC，AD=AE
∴△ADB≌△AEC
∴DB=EC，∠ABD=∠ACE
∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点
∴MP∥EC，MP=EC，NP=DB，NP∥BD
∴MP=NP，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC
设∠ACE=x°，∠ACD=y°
∴∠ABD=x°，∠DBC=45°-x°=∠PNC，∠DCB=45°-y°
∴∠DPM=x°+y°，∠DPN=∠DCB+∠PNC=90°-x°-y°
∴∠MPN=90°且PN=PM
∴△PMN是等腰直角三角形．故①正确；
∵AB=AC=10，∠BAC=90°，∠DAE=90°，AD=AE=4，
由勾股定理得，
∵M，N为DE和BC的中点
∴
当A、N、M三点共线时，MN有最大值和最小值
的最小值为，的最大值为，
∴，故②错误；
∵S△PMN=PN2=BD2．
∴当BD最大时，△PMN的面积最大．
∵D是以A点为圆心，AD=6为半径的圆上一点
∴A，B，D共线且D在BA的延长线时，BD最大
此时BD=AB+AD=14
∴△PMN的面积最大值为，故③错误；
当MN最小时，即时，也最小，为3
∴的周长最小值为，故④正确，
∴正确的结论有①④，共2个
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26．如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，则下列正确的结论是有（ ）个
①平分；②是等腰三角形；③四边形是平行四边形；④
A．3 B．2 C．4 D．1
【答案】A
【分析】连接AE，根据线段之间的关系和梯形的性质即可证明③；同理证明四边形AECD为矩形，得到AE垂直平分BC，可得AB=AC，可证明②；过F作于G点，可得FG为△ABE的中位线，可得FG=AE，再根据三角形的底和高的关系可判断④；由于缺乏条件，故无法得到∠CDE和∠FDE的关系，可判断①．
【详解】解：连接AE，如图所示，
∵E为BC的中点，
∴，又，
∴，又，
∴四边形ABED为平行四边形，故③正确；
又∵，
∴四边形AECD为矩形，
∴，即，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故②正确；
过作于G点，可得，
又∵F为AB的中点，
∴G为BE的中点，
∴FG为的中位线，
∴，
又∵AE=DC，BE=AD，
∴，故④正确；
无法得出∠CDE和∠FDE的关系，
∴DE不一定平分，故①错误．
故选A．
【点睛】本题考查了梯形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，中位线定理，解题的关键是根据BC=2AD和梯形的性质证明平行四边形．
27．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（ ）
（1） EF=BE+CF； （2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S△AEF= mn；（5）S△AEF=S△FOC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故③错误；、不可能是三角形的中点，则不能为中位线故④正确．
【详解】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故（2）正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故（1）正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故（3）正确，（4）错误；
，，
，不一定等于，
不一定等于．故（5）错误，
综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），
故选：．
【点睛】此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
28．如图，在中，，点P在边上，，分别为的中点，连接．过点作的垂线，与分别交于，两点．连接，交于点．有以下判断：①；② 且； ③当时，的面积为；④的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，可求解；②由可证，全等，可得，，可求解；③由等腰三角形的性质和三角形中位线定理可求的长，再由三角形面积公式可求解；④利用勾股定理和相似三角形的性质分别求出，的值，即可求得解
【详解】解：①
，分别为的中点，
，
；
故①正确；
②，
是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴ ，
∵是的中点，
∴，
∴，故②正确；
③当时，
∵是的中点，
∴
，故③正确；
④设为，，
∴
即的最大值为
故④正确，
综上所述，①②③④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
29．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】延长交于M，作于N，由，可得，从而判断①；由，，得出，从而判断②；先证，可得，从而判断③，由结合等角的转化，得出，从而判断④．
【详解】解：延长交于M，作于N，则，
∵，
∴，故①不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理的含义，平行线分线段成比例的应用，关键是灵活应用这些知识点．
30．如图，在中，，射线平分，于点D，于点E，若F为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】延长交于G，延长交延长线于H，根据三角形中位线定理即可判断出①②③④的正确性，即可得出结果．
【详解】解：延长交于G，延长交延长线于H，
∵平分， ，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵F为的中点，
∴，，
同法可得：，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，，故①正确；
∴，故③正确；
连接，
∵，，
∴，
∵，
∴（直角边小于斜边），
即：，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理．解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，进而得到三角形的中位线．
【题型4直角三角形斜边上的中线】
31．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列个结论：①；②；③ ；④，其中说法正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，，，
，
，
点为中点，
，故①正确；
、、分别是、、的中点，
，，
，，
，
，
而不一定成立，故②不正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
即，故③正确；
，，
，，
，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
32．如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明，从而可以证明①③④正确，②不正确．
【详解】，
、分别是、的平分线，
，
，
，
如图，延长交延长线于，
，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，故①正确，
，
，即点为的中点，
∵为不一定相等，
∴为不一定相等，故②错误，
若，则是斜边上的中线，则，故③正确，
，
∴的取值范围为，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义等，证明并作出辅助线是解题的关键．
33．如图，已知：中，，，D为线段上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，F为中点，直线交射线于点G，下列说法：①若连接，则；②；③；④若，则，其中正确的序号有 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．
利用 “”证明，得到，从而，即可判断说法①；通过特殊值法，取时，得到，即可判断选项②；连接，利用直角三角形中线的性质证明，即可判断说法③；设，则，通过勾股定理求得，，即可判断说法④．
【详解】连接，
∵，
由题意可得，即，
∴，
∵，由旋转有，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，故说法①正确；
如图，当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故说法②错误；
连接，
∵，F为中点，
∴，
∵，F为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，故说法③正确；
设，则，
∴，
∵在中，，
∴，
在中，，，
∴
∵在中，
∴，
∵，，
∴，
∴，故说法④正确．
综上所述，说法正确的是①③④．
故答案为：①③④
34．如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①；②；③；④
【答案】①③
【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，由斜边上的中线，得到，，等边对等角推出，外角的性质得到，根据中线平分面积得到，又，得到，即可得出结论．
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故③正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵，，
∴，故②错误；
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴． 即：；故④错误；
综上：正确的是①③；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，斜边上的中线，三角形的外角的性质，熟练掌握平行四边形的性质，构造全等三角形，是解题的关键．
35．如图，将一张的纸按下图操作：（1）先把矩形对折，得折痕，（2）再把点折向（使点落在上），得到，延长线段交于点，过点作于点，交于点，对于图（2）得到以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】由（1）得出M、N分别是的中点，由（2）得出，，证出故②正确，因此，由可得出①正确，由角的关系求出，即可证出为等边三角形，进而可得出,假设③是成立的，由直角三角形的性质得出，得出假设不成立，进而可判定③不正确．
【详解】由操作（1）得：分别是的中点，在中，P为的中点，是斜边上的中线，
∴即，
在中，A是的中点，
∴，即，
∴，故②正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，故④正确；
∵，，
∴，，
假设③是成立的，
∴，
在和中，
∴，
∴，
与矛盾，
∴假设错误，故③不正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
36．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确结论有 ．
【答案】①②④
【分析】求出，，，证，即可判断①，证，推出，即可判断④；根据，得到，推出不是的中位线，于是得到不能垂直平分，故③错误；连接，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②．
【详解】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
①正确；
在和中，
，
，
，
，
，
④正确；
连接，如图，
∵，
，
∴，
∴．
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴为等腰三角形，
∴②正确；
若，则，若平分，则是的中位线，
，
，
不是的中位线，
不能垂直平分，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．
37．如图，在中，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则正确的有 （只填序号）.
【答案】②③④
【分析】根据等角的余角相等可证得∠BCF=∠CAE，无法证明∠BCF=∠DAE，可判断①错误；连接FM、CM，证明和可证得BF=CE，AE=CF，△EMF为等腰直角三角形，进而可得到∠DEM=45°，，即可判断②③正确；设CM与AE交于点N，连接DN，证明得到DF=NE，DM=MN，利用勾股定理可判断④正确；利用角平分线定义、直角三角形的性质和等腰三角形的判定证得DE=ME，再证明得到CE=DE=BF，结合可判断⑤错误．
【详解】解：∵AE⊥CD，
∴∠CEA=∠AEF=90°，又∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BCF=∠CAE，无法证明∠BCF=∠DAE，故①错误；
∵BF⊥CD，
∴∠BFC=∠CEA=90°，
在和中，
∴，
∴BF=CE，CF=AE，
∴AE-CE=CF-CE=EF，
连接FM、CM，
∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，
∴CM=BM=AM，CM⊥AB，
∴∠FBD+∠FDB=∠DCM+∠MDC=90°，又∠FDB=∠MDC，
∴∠FBD=∠DCM，
在和中，
∴
∴FM=ME，∠CME=∠BMF，
∴∠BMF+∠BME=∠CME+∠BME=∠CMB=90°，即∠EMF=90°，
∴△EMF为等腰直角三角形，
∴∠FEM=∠EFM=45°，
∴∠AEM=∠AEF-∠FEM=45°，
∴∠AEM=∠DEM，AE-CE=，故②③正确；
设CM与AE交于点N，连接DN，
在和中，
∴，
∴DF=NE，DM=MN，
∵∠DEN=∠DMN=90°，
∴，
即，故④正确；
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠DAE=22.5°，
∵∠DEM=45°，∠AED=90°，
∴∠ADE=∠EMD=67.5°，
∴DE=ME，
∵∠CAE=∠DAE，∠AEC=∠AED=90°，AE=AE，
∴，
∴CE=DE=BF，又
∴EF：BF=：DE=：1，故⑤错误，
综上，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，作为填空题，难度较大，解答关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
38．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：
①∠BOC＝90°＋∠A；
②设OD＝m，AE＋AF＝n，则；
③EF不能成为△ABC的中位线．
其中正确的结论是 ．
【答案】①③/③①
【分析】在中，和的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①，正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得②，设，，则，则②错误；当EF是△ABC的中位线时，OE=BE=AE，可得 B、O、C 在同一条直线上，与题意不符，所以EF不是△ABC的中位线．由此可判断③．
【详解】解：
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，，
∵，
∴，
故①正确；
连接AO，过点O作OH⊥AB于H，
∴AO是的角平分线，
∵OD⊥AC，
∴，
∴，
故②错误；
当EF是△ABC的中位线时，OE=BE=AE，∴∠AOB=90°同理，∠AOC=90°，即B、O、C 在同一条直线上，与题意不符，故③正确．
故答案为：①③．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用及辅助线的作法．
39．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG=BC；③OGE是等边三角形；④S△AOE=S矩形ABCD，问：学习委员得到结论正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出③正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．
【详解】解：∵，点是中点，
∴，
∵，
∴，
，
∴是等边三角形，故③正确；
设，则，
由勾股定理得，，
∵为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，故②错误；
∵，
，
∴，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设，然后用表示出相关的线段更容易理解．
40．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是斜边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接BE，DE，点O是DE 的中点，连接OB、OC，下列结论：①△ADC≌△BEC；②OB=OC；③DEBC；④AO的最小值为2．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②
【分析】先证明∠ACD=∠BCE，根据三角形全等判定定理SAS可证明△ADC≌△BEC；根据三角形全等性质可得∠EBC=∠A=45°，于是∠EBD=90°，然后根据直角三角形斜边中线性质可证得OB=OC；利用三角形三边关系可得；根据OB=OC可知点O在BC的垂直平分线上，找到点O的起始位置及终点位置，即可求出OA的最小值．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠DCE=90°
∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB
即∠ACD=∠BCE
∵CE是由CD旋转得到．
∴CE=CD
则在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
故①正确；
∴∠EBC=∠A=45°，
∴∠EBD=90°，
∵点O是DE 的中点，
∴
∴OB=OC；
故②正确；
∴，
故③错误；
如图2，∵CA=CB=4，∠ACB=90°，∴AB=，
当D与A重合时，△CDE与△CAB重合，O是AB的中点P；当D与B重合时，△CDE与△CBM重合，O是BM的中点Q；
前面已证OB=OC，所以点O在BC的垂直平分线上，
∴当D在AB边上运动时，O在线段PQ上运动，
∴当O与P重合时，AO的值最小为，
故④错误；
故答案是：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边中线性质，垂直平分线的判定定理，本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理以及性质．难点是判断点O的运动路线．
【题型5菱形类】
41．如图，菱形的边长为6，对角线相交于O，垂直平分，垂足为E；另有一动点P在上运动，过点P作垂直交于点M，垂直交于点N，连接，．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）
①；
②菱形的面积为；
③；
④的最小值为．
【答案】①②③④
【分析】先根据菱形，得，，，，，再根据垂直平妥线的性质可证得是等边三角形，得，从而可得出，查判定①正确；根据菱形的性质与勾股定理求得，则，根据菱形的面积公式可得，或判定②正确； 证明是的中位线，得，证明四边形是矩形，得 ，则，可判定③正确；根据动点P在上运动，所以当时，此时最小，利用面积法可求出最小值是，再根据矩形的性质知，所以当最小时，最小， 即可求得的最小值为，可判定④正确．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵菱形的边长为6，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，故②正确；
∵垂直平分，
∴是的中位线，
∴，
∵垂直交于点M，垂直交于点N，
∴
∴四边形是矩形，
∴
∴，故③正确；
∵动点P在上运动，
∴当时，此时最小，
在中，
∴
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴当最小时，最小，
∴的最小值为，故④正确．
综上，正确的有①②③④共4个，
故答案为①②③④．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形中位线性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键．
42．如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点（不与点重合），且，连接交延长线于点．
①：
②当为直角三角时，；
③当为等腰三角形时，或者；
④连接，当时，平分．
以上结论正确的是 ．（填正确的序号）
【答案】①③④
【分析】由菱形的性质以及三角形全等的判定与性质即可判断，②分两种讨论：，，③分别设或两种情况，根据三角形内角和定义可求得的度数，④证明垂直平分，根据等腰三角形的性质得证．
【详解】解：①四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
② 当是直角三角形时，分两种情况：
当时，
，
，
，
，
，
设与交于点，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
当时，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
或，故②错误
③设，
当时，则，
，
，
,
，
，
当时，则，
，
，
，
，
为或，故③正确；
④当时，则，
，
连接，，则点是三边垂直平分线的交点，
垂直平分，
，
，
平分，故④正确，
综上所述，结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
43．如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【分析】由菱形的性质，，可得，是等边三角形，结合是边的中点，根据三线合一可得，根据含角直角三角形的性质，可证③正确，
由，结合折叠的性质，可证①正确，
由折叠的性质得到的度数，结合，得到，根据三角形内角和，可证②正确，
连接，与交于点，由，，得，结合，由，可证④正确，
本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形．
【详解】解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，故③正确，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，故②正确，
连接，与交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
44．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 ．(填序号)
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
【答案】①②④
【详解】∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，
∴△BEP≌△PGB（SSS），
∴②正确；
∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，
∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EBP=∠GBP，
∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；
故答案为①②④．
45．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC＝∠EGC；③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④；⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是
【答案】①②③⑤
【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝；由勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF面积的EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AC＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，
∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，
∴△BEC≌△AFC（SAS）
∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△EFC是等边三角形，故①正确；
∵∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴∠ECG＝∠FCD，
∵∠FEC＝∠ADC＝60°，
∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；
若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴AO＝AB＝3，BO＝AO＝，
∴BD＝，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，
∴BE＝EM＝3，BM＝2EM，
∴BM＝，
同理可得DN＝，
∴MN＝BD BM DN＝，
∴BM＝MN＝DN，故③正确；
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE，
同理△ACE≌△DCF，
∴AE＝DF，
∵∠BAD≠90°，
∴EF2＝AE2＋AF2不成立，
∴EF2＝BE2＋DF2不成立，故④错误，
∵△ECF是等边三角形，
∴△ECF面积的EC2，
∴当EC⊥AB时，△ECF面积有最小值，
此时，EC＝，△ECF面积的最小值为，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．
46．如图，在一张菱形纸片ABCD中，，，点E在BC边上（不与B，C重合），将沿直线AE折叠得到，连接BF，EF，DF，有以下四个结论：①；②∠BFD的大小不变；③当时，；④当时，则FE平分∠AFB．以上结论中，其中正确结论是 ．（写出所有正确答案的序号）．
【答案】②③④
【分析】根据折叠的性质当且精当时，，即可判断①，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得即可判断②，当时，证明，即可证明，进而判断③，当时，可得为等边三角形，进而即可判断FE平分∠AFB．
【详解】解：① ，，如图设与交于点，当时，，
折叠，，
，
是等边三角形，
垂直平分，则，
若与不垂直，则，故①不正确；
②，
，
，
，
，
，
故②正确；
③如图，当时，根据折叠的性质可得在直线上，则共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
④如图，由①可得是等边三角形，，
折叠，
，
，
，
，
，
即平分∠AFB．故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
47．如图，点，在菱形的对角线上，，，与的延长线交于点则对于以下结论：； ；；其中正确结论的序号是 只填序号
【答案】
【分析】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
先由菱形的性质得，，，，再由三角形的外角性质得，则，然后证，得，进而得出①正确；由证，得②正确；证出，得，，③正确；连接交于O，由菱形的性质得，再由直角三角形的性质得,则，进而得出④正确即可．
【详解】
解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，故正确；
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，
，
，，
，
，
，，
，故正确，
故答案为：．
48．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论：
①；②四边形是菱形；③四边形与四边形面积相等．其中正确结论的有 个
【答案】3
【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，因此，则四边形是菱形，②正确；③由菱形的性质得，再由证明，得，由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中位线，
，故①正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
，四边形是菱形，故②正确；
，
由菱形的性质得：，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形与四边形面积相等，故③正确；
故正确的结论有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
49．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①；
②；
③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
【答案】①②③
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；
由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，③正确；由即可证明，则②正确．
【详解】证明：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
∵，
，
，
是的中位线，
，故①正确；
连接，
∵，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵、是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
综上，①②③都正确，
故答案为：①②③．
50．如图，在菱形中，，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边，向点C运动． 给出以下三个结论中，正确的是： （填写序号）
①；②； ③ 当点E，F分别为边，的中点时，是等边三角形．
【答案】
【分析】根据菱形的性质证明，即可判断；连接，先证明是等边三角形，即，根据“三线合一”可得．同理可得：， 即可得．进而可得是等边三角形．
【详解】∵在菱形中，，
∴，，
∴．
根据运动的特点有：，
∴．
∴，故①正确；
∵，，
∴．
∴，故②正确．
连接，如图，
∵，，
∴是等边三角形，即，
∵点E为边的中点，
∴为等边的中线，
∴平分．
∴．
同理可得：，
∴．
∵，
∴是等边三角形，故③正确，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质；由菱形的性质得线段相等是解题的关键．
【题型6正方形类】
51．如图，正方形的边长为，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ．(填序号)
【答案】①④/④①
【分析】
本题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；根据 ，即可判断②错误；在中，，，推出，则，推出，，则，判定③错误；根据，推出，即可判断④正确，进而得出答案．
【详解】
解：四边形为正方形，
，，
，
，
由折叠的性质可得，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，，
故①正确；
，
，故②错误；
在中，，
，
，
，
，
，，
，
故③错误；
，
，
故④正确；
综上所述：正确的是①④．
故答案为：①④．
52．如图，已知正方形，点M是边延长线上的动点（不与点A重合）且，由平移得到，若过点E作，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得时，；
②无论点M运动到何处，都有；
③在点M的运动过程中，四边形可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，一定大于．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
【答案】①②④
【分析】①正确．证明，即可得出结论．②正确．证明是等腰直角三角形即可．③错误．首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可判断．④正确．证明，即可判断．
【详解】解：如图，连接．
由题可得，，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，故②正确；
当时，，
∴，
∴中，，
即，故①正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形不可能是菱形，故③错误，
∵点M是边延长线上的动点（不与点A重合），且，
∴，
∴，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
53．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②③
【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2．
【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB＝∠EGB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EFBG为矩形．
∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
∴BE＝DE．
∴DE＝FG．
∴①正确；
②延长DE，交FG于M，交FB于点H，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
由①知：OB＝OF，
∴∠OFB＝∠ABE．
∴∠OFB＝∠ADE．
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠AHD＝90°．
∴∠OFB+∠AHD＝90°．
即：∠FMH＝90°，
∴DE⊥FG．
∴②正确；
③由②知：∠OFB＝∠ADE．
即：∠BFG＝∠ADE．
∴③正确；
④∵点E为AC上一动点，
∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．
∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝4．
∴DE＝AC＝2．
由①知：FG＝DE，
∴FG的最小值为2，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
54．如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD=EC，其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④．
【分析】连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，对应角相等可得∠BAP=∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC，对边相等可得PF=EC，再判断出△PDF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可．
【详解】解：如图，连接PC，在正方形ABCD中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB，
∵在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，∠BAP=∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，∠BCP=∠PFE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①③正确；
∵PF⊥CD，∠BDC=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD=PF，
又∵矩形的对边PF=EC，
∴PD=EC，故④正确；
只有点P为BD的中点或PD=AD时，△APD是等腰三角形，故②错误；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，但难度不大，连接PC构造出全等三角形是解题的关键．
55．如图，点E在正方形外，连接、、， 过点A作的垂线交于点 F．若 ，则下列结论：
①；
②；
③点B到直线的距离为；
④
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】利用正方形性质得到，结合题干条件推出，即可证明①，记交于点，利用全等三角形性质和等量代换，即可证明②，作于点，利用勾股定理得到，，证明，利用勾股定理建立等式求解，即可得到点B到直线的距离，对③作出判断，根据即可证明④．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
；故①正确，
，
记交于点，
，，
，
，
，故②正确；
作于点，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
点B到直线的距离为，故③错误；
，
故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键．
56．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：
；；一定是等腰三角形； ；．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
作，垂足为点N，延长，交于点M，根据矩形的性质证明即可得出①和④正确；再根据三角形内角和定理即可判断②正确；在根据点P的任意性可以判定③和⑤．
【详解】解：过点P作，垂足为点N，延长，交于点M，
，
∵四边形是正方形，
∴，
∴△DFP为等腰直角三角形，
∴，又，
∴，
又∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
四边形为矩形，
∴，
∴，故①正确；
在与中
则，
∴，故④正确；
与中，，，
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴，故②正确；
P是上任意一点，因而不一定是等腰三角形，故③错误；
∵在中，，
在矩形中，，
∴，故⑤错误；
故答案为：①②④．
57．点为正方形的对角线上一点．连接，并延长交于点，交于，下列结论：①；②时，平分；③；④．其中正确的有： （填写所有正确选项的序号）．
【答案】①②③
【分析】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用．根据正方形的性质得，，然后利用“边角边”证明和全等，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得，当时，则，，再求出，从而得到，根据角平分线的定义可得平分，判断②正确；过作交正方形于、，交正方形于、，四边形、四边形都为正方形，根据同角的余角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断③正确；由①可得，则，再利用等腰三角形三线合一的性质可得，则，然后根据正方形的边长与对角线的关系求出，判断④错误．
【详解】
解：四边形为正方形，
，，
，故①正确；
，
当时，，
，
所以，，
所以，，
即平分，故②正确；
如图，过作交正方形于、，交正方形于、，
则四边形、四边形都为正方形，
，
，
又，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
又，
，故④错误；
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
58．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴四边形不可能是菱形，故②错误；
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∵N为的中点，
∴，
∵G为上一动点（不与端点B，C重合），
∴点D，F，G不可能共线，
∴不平行，
即四边形不可能是正方形，故③正确；
如图，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵G为中点，点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题主要查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
59．如图，正方形的边长为4，E是上一点，且，过点E作交点P，过点P作于点G，连接，下列结论：①；②；③；④正确的是： ．
【答案】②③④
【分析】连接，证明四边形是矩形，则，由正方形是轴对称图形得到，即可判断②；过点E作于点F，进一步求得，即可判断①；在中，由勾股定理得到，求得，由得到，求得，即可判断③；利用勾股定理和等腰直角三角形得到，，由四边形是矩形，得到，则，由得到，则，即可判断④．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵正方形是轴对称图形，对角线所在直线是对称轴，
∴，
∴，
故②正确；
过点E作于点F，则，
∵正方形的边长为4，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故①错误；
在中，由勾股定理得到，
∴，
∵，，
∴，
整理得，
解得，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④正确．
故答案为：②③④
【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，添加适当的辅助线和正确计算是解题的关键．
60．如图，正方形的边长为2，以对角线为边作菱形．点C，E，F在同一条直线上，连接．有下列结论：① ；②；③；④．其中，正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】由正方形可求出对角线的长，即可得出菱形的边的长，由平行线间的距离相等求出的高，即可求出，在直角三角形中由边的关系求出的度数，即可求出，运用角的关键得出，从而得出．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．故①正确，
∵，
∴的高为的一半，即，
∴，故②正确，
作于点M，
∵，
∴，
∴，故③错误，
∵，
∴，
∴，故④正确．
∴结论正确的序号有①②④．
故答案为： ①②④．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质及菱形的性质，解题的关键是熟练的运用正方形的性质及菱形的性质求角及边的关系．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 平行四边形综合题分类练
(6种类型60道）
目录
【题型1平行四边形类】 1
【题型2 矩形类】 4
【题型3中位线】 7
【题型4直角三角形斜边上的中线】 10
【题型5菱形类】 13
【题型6正方形类】 17
【题型1平行四边形类】
1．如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，⑤，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
4．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，．若点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④，．则能判定四边形是平行四边形的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，，E、F、G分别是、、的中点，下列结论：；；；，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，，垂足为E，F是的中点，连结 ．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
7．如图，的对角线交于点平分交于点，连接，下列结论：①；②平分，③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④
9．如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【题型2 矩形类】
11．如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．如图，矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论①；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．如图，四边形是矩形，点在的延长线上，，，连接，交于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③若点是线段的中点，则是等腰直角三角形；其中正确结论的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA； ②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点F由A到O的运动过程中，点E的运动路径长为线段BC的长度．则正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．①②③④ C．②③④ D．①②③
16．如图，在矩形中，，，O是对角线的交点，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F．给出下列四个结论，①；②；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，点在线段上，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④．中正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
18．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④FH＝CH；⑤BC﹣BF＝EH．其中正确命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，在矩形纸片中， ，点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处：点在上，将沿折叠，点恰好落在线段上的点处，有下列结论：
①；②；③；④，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3中位线】
21．如图在中，，，分别是，的中点，以为斜边作直角三角形，若，则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连接．下列五句判断：①；②；③；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ）
A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④
23．如图，中，，，分别是其角平分线和中线，过点C作于点F，交于点G，连接，则①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③④
24．如图，在中，，，是中点，，交于，交于，若，则下面结论：①；②；③；④；正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
25．如图，在RtABC中，AB=AC=10，∠BAC=90°，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN．①PMN为等腰直角三角形；②；③△PMV面积的最大值是；④PMN周长的最小值为．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
26．如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，则下列正确的结论是有（ ）个
①平分；②是等腰三角形；③四边形是平行四边形；④
A．3 B．2 C．4 D．1
27．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（ ）
（1） EF=BE+CF； （2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S△AEF= mn；（5）S△AEF=S△FOC．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
28．如图，在中，，点P在边上，，分别为的中点，连接．过点作的垂线，与分别交于，两点．连接，交于点．有以下判断：①；② 且； ③当时，的面积为；④的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
29．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
30．如图，在中，，射线平分，于点D，于点E，若F为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④
【题型4直角三角形斜边上的中线】
31．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列个结论：①；②；③ ；④，其中说法正确的是 ．
32．如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ．
33．如图，已知：中，，，D为线段上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，F为中点，直线交射线于点G，下列说法：①若连接，则；②；③；④若，则，其中正确的序号有 ．
34．如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①；②；③；④
35．如图，将一张的纸按下图操作：（1）先把矩形对折，得折痕，（2）再把点折向（使点落在上），得到，延长线段交于点，过点作于点，交于点，对于图（2）得到以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）
36．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确结论有 ．
37．如图，在中，，是的中点，点在上，，，垂足分别为，，连接则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则正确的有 （只填序号）.
38．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：
①∠BOC＝90°＋∠A；
②设OD＝m，AE＋AF＝n，则；
③EF不能成为△ABC的中位线．
其中正确的结论是 ．
39．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG=BC；③OGE是等边三角形；④S△AOE=S矩形ABCD，问：学习委员得到结论正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
40．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是斜边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接BE，DE，点O是DE 的中点，连接OB、OC，下列结论：①△ADC≌△BEC；②OB=OC；③DEBC；④AO的最小值为2．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【题型5菱形类】
41．如图，菱形的边长为6，对角线相交于O，垂直平分，垂足为E；另有一动点P在上运动，过点P作垂直交于点M，垂直交于点N，连接，．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）
①；
②菱形的面积为；
③；
④的最小值为．
42．如图，在菱形中，，，点为对角线上一动点（不与点重合），且，连接交延长线于点．
①：
②当为直角三角时，；
③当为等腰三角形时，或者；
④连接，当时，平分．
以上结论正确的是 ．（填正确的序号）
43．如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
44．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 ．(填序号)
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
45．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC＝∠EGC；③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④；⑤△ECF面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是
46．如图，在一张菱形纸片ABCD中，，，点E在BC边上（不与B，C重合），将沿直线AE折叠得到，连接BF，EF，DF，有以下四个结论：①；②∠BFD的大小不变；③当时，；④当时，则FE平分∠AFB．以上结论中，其中正确结论是 ．（写出所有正确答案的序号）．
47．如图，点，在菱形的对角线上，，，与的延长线交于点则对于以下结论：； ；；其中正确结论的序号是 只填序号
48．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论：
①；②四边形是菱形；③四边形与四边形面积相等．其中正确结论的有 个
49．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①；
②；
③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
50．如图，在菱形中，，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边，向点C运动． 给出以下三个结论中，正确的是： （填写序号）
①；②； ③ 当点E，F分别为边，的中点时，是等边三角形．
【题型6正方形类】
51．如图，正方形的边长为，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是 ．(填序号)
52．如图，已知正方形，点M是边延长线上的动点（不与点A重合）且，由平移得到，若过点E作，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得时，；
②无论点M运动到何处，都有；
③在点M的运动过程中，四边形可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，一定大于．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
53．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 ．
54．如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD=EC，其中正确结论的序号是 .
55．如图，点E在正方形外，连接、、， 过点A作的垂线交于点 F．若 ，则下列结论：
①；
②；
③点B到直线的距离为；
④
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）
56．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：
；；一定是等腰三角形； ；．其中正确结论的序号是 ．
57．点为正方形的对角线上一点．连接，并延长交于点，交于，下列结论：①；②时，平分；③；④．其中正确的有： （填写所有正确选项的序号）．
58．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
59．如图，正方形的边长为4，E是上一点，且，过点E作交点P，过点P作于点G，连接，下列结论：①；②；③；④正确的是： ．
60．如图，正方形的边长为2，以对角线为边作菱形．点C，E，F在同一条直线上，连接．有下列结论：① ；②；③；④．其中，正确的是 （填序号）．
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