专题 平行（特殊）四边形中的折叠问题
类型一：平行四边形中的折叠问题
类型二：矩形中的折叠问题
类型三：菱形中的折叠问题
类型四：正方形中的折叠问题
类型一：平行四边形中的折叠问题
1．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
2．如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°，进而可得∠ACD＝3x°，由折叠可知，∠E＝∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°，再根据三角形的内角和列出关于x的方程式即可得出答案．
【解答】解：令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°，
∴∠ACD＝3x°，
∵ABCD为平行四边形，
∴∠BAC＝3x°，
由折叠可知，∠E＝∠B＝80°，
∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°，
在△ACE中，∠E+∠EAC+∠ACE＝180°，
即80°+3x+2x＝180°，
解得：x＝20，
∴∠BAC＝20°×3＝60°．
故选：C．
3．如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 2或6 ．
【分析】如图1，当BF⊥AD时，如图2，当BF⊥AB时，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：如图1，当BF⊥AD时，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴BF⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠F＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AB＝4，
∴AM＝BM＝44，
∵BC＝AD＝10，
∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6；
如图2，当BF⊥AB时，
∵平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴BF⊥DC，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠EFB＝45°，
∴∠ABF＝90°，
此时F与点M重合，
∵AB＝BF＝4，
∴AF＝48，
∴DM＝10﹣8＝2．
综合以上可得DM的长为2或6．
故答案为：2或6．
4．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 24 ．
【分析】由题目的条件可推出四边形A1EBC是平行四边形，A1E＝A1D，所以四边形A1EBC的周长为2（A1E+A1C）＝2CD，从而求出四边形A1EBC的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠A1DE＝∠AED，
∵△A1DE是由△ADE折叠得到，
∴∠ADE＝∠A1DE，∠AED＝∠A1ED，AD＝A1D，AE＝A1E，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AE＝A1D＝A1E，
∴A1C＝EB，A1E+A1C＝A1D+A1C＝DC＝12，
∴四边形A1EBC是平行四边形，
∴四边形A1EBC的周长为2（A1E+A1C）＝2CD＝24，
故答案为：24．
5．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】首先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，可证出∠CAE＝45°，∠ADC＝60°，根据翻折可得∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，进而可得∠AEC＝90°，从而可得AE＝CE，再根据含30°角的直角三角形的性质求出B′E＝DE＝1，根据勾股定理即可得B′D的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CEAC，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝DE＝1，
∴B′D．
故选：B．
6．如图，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝ 65 °．
【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定义，根据∠AMF＝50°，求得∠DMF的度数，然后可求得∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，
∵∠AMF＝50°，
∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，
∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，
故答案为：65．
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ 135° ．
【分析】延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BC∥DE，结合∠ABC＝90°，即可得出∠ADE＝90°，再根据翻折的性质即可得出∠ADF＝∠EDF＝45°，从而得出∠BDC＝45°，由∠ADC、∠BDC互补即可得出结论．
【解答】解：延长CD到点F，如图所示．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BC∥DE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°．
∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，
∴∠ADF＝∠EDF∠ADE＝45°，
∴∠BDC＝∠ADF＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝135°．
故答案为：135°．
8．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB，将纸片沿对角线AC对折，BC边的对应边B'C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．
（1）求平行四边形ABCD中AD的长度；
（2）求重叠部分△AEC的面积．
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得DE＝DC＝EC，∠D＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，再利用平行四边形的性质证明∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得CD长，进而可得AD的长；
（2）利用三角函数值计算出AC，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△ACES△ACD，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵△CDE为等边三角形，
∴DE＝DC＝EC，∠D＝60°，
根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2；
（2）∵CD，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，
∴AC3，
∴S△ACEACCD．
9．综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
（1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长；
（2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
【分析】（1）由折叠知EC＝EC，则∠EC'C＝∠ECC'＝15°，推出∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°，因为EC⊥AB，则∠EC'B＝90°，所以BE＝2BC．由勾股定理得，EC′，则，所以，则BC＝2，推出；
（2）证明：由折叠知∠CEF＝∠CEF，∠EFD＝∠EFD．由 ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B，则∠CEF+∠EFD＝180°．所以∠C'EF+∠EFD'＝180°，推出CE∥DF．则∠BCE＝∠D′＝∠D＝∠B．所以BE＝CE＝CE．则，因为AD∥BC，点D在BA延长线上，则∠B＝∠DAF＝∠D．推出AF＝DF＝DF．则 ，因为AD＝BC，则CE＝DF．又因为CE∥DF，则四边形ECDF是平行四边形．
【解答】解：（1）由折叠知EC＝EC，
∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°，
∴∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°，
∵EC⊥AB，
∴∠EC'B＝90°，
∴BE＝2BC．
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴BC＝2，
∴；
（2）证明：由折叠知∠CEF＝∠CEF，∠EFD＝∠EFD．由 ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B，
∴∠CEF+∠EFD＝180°．
∴∠C'EF+∠EFD'＝180°．，
∴CE∥DF．
∴∠BCE＝∠D′＝∠D＝∠B．
∴BE＝CE＝CE．
∴，
∵AD∥BC，点D在BA延长线上，
∴∠B＝∠DAF＝∠D．
∴AF＝DF＝DF．
∴，
∵AD＝BC，
∴CE＝DF．
又∵CE∥DF，
∴四边形ECDF是平行四边形．
类型二：矩形中的折叠问题
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝ 3 ．
【分析】在△ABF中，利用勾股定理可求得BF的长，进而可求得CF长；同理在△CEF中，利用勾股定理可求得CE长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝8．
∵△AEF是△ADE翻折得到的，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
∴BF＝6，
∴FC＝4，
∵FC2+CE2＝EF2，
∴42+CE2＝（8﹣CE）2，
解得CE＝3．
故答案为3．
11．如图，长方形ABCD，E在BC上，将△DCE沿DE翻折，点C落在点F位置，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 57.5° ．
【分析】根据矩形的性质∠C＝∠ADC＝90°，由翻折可得∠F＝∠C＝90°，∠EDF＝∠EDC＝32.5°，进而可以解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADC＝90°，
由翻折可知：∠F＝∠C＝90°，∠EDF＝∠EDC（90°﹣∠1）65°＝32.5°，
∴∠2＝90°﹣32.5°＝57.5°．
故答案为：57.5°．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，由矩形的性质及30°角的直角三角形的性质可求解AB，OE，AE，结合折叠的性质可求解AD的长，进而求解ED，由勾股定理可求解EF，DF，即可求解OF，进而求解D点坐标．
【解答】解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴，
∵四边形AOCB为矩形，
∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，
∵∠BAC＝30°，
∴AC＝12，OC＝AB，
由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB，
∴∠OAE＝30°，
∴OE，AE，
∴ED，
∵DF∥y轴，
∴∠EDF＝∠EAO＝30°，
∴EF，DF＝3，
∴OF＝OE+EF，
∴D点坐标为（，﹣3），
故选：B．
13．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（ ）
A．58° B．32° C．35° D．45°
【分析】由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，则∠AEA′＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，所以64°+2∠B′EM＝180°，求得∠B′EM＝58°，则∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝32°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，
∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，
∵点A′，B′，E在同一直线上，
∴∠AEA′+∠BEB′＝180°，
∴64°+2∠B′EM＝180°，
∴∠B′EM＝58°，
∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°，
故选：B．
14．如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝20°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由折叠性质和平行可得∠EFH＝160°，从而求得∠EFS∠EFH＝80，即可求解．
【解答】解：由折叠可得：∠GEF＝∠1＝25°，
∵AD∥BC，
∴FH∥EG．
∴∠GEF+∠EFH＝180°，
∴∠EFH＝160°，
∴∠EFS∠EFH＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠EFB＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠EFS﹣∠EFB＝60°，
故选：D．
15．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 30 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE；
（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF∠DAC，∠BCE＝∠MCE∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AF∥CE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
由（1）得：AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
16．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G．
（1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由；
（2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）先证明四边形AGCF是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判断即可；
（2）由折叠的性质可得∠ACG＝25°，∠ACB＝40°，从而可求出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵CG∥AF
∴四边形AGCF是平行四边形
∵AB∥CD，
∴∠FCA＝∠GAC，
由折叠得，∠GAC＝∠FAC，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴FC＝FA，
∴四边形AFCG是菱形，
∴小明说得对，
（2）∵四边形AFCG是菱形，
∴∠FCA＝∠GCA，
由折叠得，∠ACB＝∠ACE，
∴∠GCB＝∠FCE＝40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCG＝50°，
∴，
∴∠ACB＝∠ACG+∠GCB＝25°+40°＝65°．
17．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
【分析】（1）由折叠性质得AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
（2）连接C′E，证明Rt△EC′A≌Rt△C′EB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论．
【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEA′D是正方形；
（2）解：MC′＝ME．
证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中，
，
∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′（HL），
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME．
类型三：菱形中的折叠问题
18．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝4，由折叠的性质可得BE＝EC＝2，AE⊥BC，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
∵将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合，
∴BE＝EC＝2，AE⊥BC，
∴AE2，
故选：C．
19．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵DC′是AB的垂直平分线，
∴P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：D．
20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是 75° ．
【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，然后再计算出∠FBC＝30°，再证明FB＝BC，再利用等边对等角可得∠BFC＝∠BCF，利用三角形内角和可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠FBC＝30°，
根据折叠可得AB＝BF，
∴FB＝BC，
∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
故答案为：75°．
21．如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据菱形的性质可得∠ABC＝120°，根据折叠的性质可得2∠ABE+∠FBC＝120°，再根据∠BFBC比∠ABE大80°可列出方程组．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°，
∴∠ABC＝120°，
由折叠的性质可得2∠ABE+∠FBC＝120°，
∵设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，∠BFBC比∠ABE大80°，
∴可列方程组．
故选：D．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2，点E、F在边AD、CD上，以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，则∠D′FC的度数为 30° ．
【分析】首先连接AC，BD，相交于点O，由在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2，可求得∠ADC＝60°，又由以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，即可求得∠DEF的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接AC，BD，相交于点O，
∵在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2，
∴OA＝1，0D，AC⊥BD，
∴tan∠ADO，
∴∠ADO＝30°，
∴∠ADC＝2∠ADO＝60°，
∵ED⊥ED′，
∴∠DEF∠DED′＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣∠DEF﹣∠ADC＝75°，
∴∠D′FE＝′DFE＝75°，
∴∠D′FC＝180°﹣∠DFE﹣∠D′FE＝30°．
故答案为：30°．
23．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝ 75 °．
【分析】先根据菱形的性质得出AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，由等边对等角得到∠DAC＝∠DCA，根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠DCA（180°﹣∠D）＝30°．根据平行线的性质得出∠BAD′＝∠DCA＝30°．由翻折的性质得出AD＝AD′，那么AB＝AD′，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠AD′B＝∠ABD′（180°﹣∠BAD′）＝75°．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠D＝120°，
∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣∠D）＝30°．
∵CD∥AB，
∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．
∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，
∴AD＝AD′，
∴AB＝AD′，
∴∠AD′B＝∠ABD′（180°﹣∠BAD′）＝75°．
故答案为75．
24．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，把这张纸片沿DE折叠，使点A与C重合，连接CE，过点B作CE的平行线，与DE的延长线交于点F．
（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．
（2）当四边形BCEF为菱形时，求∠A的度数．
【分析】（1）根据∠FDA＝90°，∠ACB＝90°，证明FD∥BC，得到结论；
（2）根据菱形的性质证明∠CBE＝2∠EAC，得到∠A的度数．
【解答】（1）证明：由题意得，∠FDA＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴FD∥BC，又BF∥CE，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）四边形BCEF为菱形，
∴CE＝CB，∴∠CEB＝∠CBE，
∵∠EAC＝∠ECA，∴∠CEB＝2∠EAC，
∴∠CBE＝2∠EAC，又∠ACB＝90°，
∴∠A＝30°．
类型四：正方形中的折叠问题
25．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出∠CAE的大小．
【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，
∴∠BEF＝69+45＝114°，
由折叠的性质可知：∠BEA∠BEF＝57°，
∴∠BAE＝90﹣57＝33°，
∴∠EAC＝45﹣33＝12°．
故选：B．
26．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】折叠后，四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，同时∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，所以∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°，根据四边形内角和360°即可求得∠MNC'的度数．
【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，
且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，
∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°
由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，
∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°
故选：B．
27．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝ 45° ．
【分析】由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，
由折叠的性质得：∠AEM＝∠B＝90°，
∴∠CEM＝90°，
∴∠CME＝90°﹣45°＝45°；
故答案为：45°．
28．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时．
求证：
（1）∠ECG＝45°；
（2）AF∥CG．
【分析】（1）根据HL证Rt△BCG≌Rt△FCG，再根据折叠的性质即可得出∠ECG∠BCD＝45°；
（2）根据（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG，即GF＝BG＝AG，再利用外角的性质可得出∠AFG＝∠CGF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）由折叠知，CD＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD＝CF，
在Rt△BCG和Rt△FCG中，
，
∴Rt△BCG≌Rt△FCG（HL），
∴∠BCG＝∠FCG，
又∵∠FCE＝∠DCE，
∴∠ECG＝∠FCG+∠FCE∠BCD＝45°，
即∠ECG＝45°；
（2）由（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG，
即GF＝BG＝AG，∠CGF＝∠CGB，
∴∠GAF＝∠GFA，
∵∠BGF＝∠CGF+∠CGB＝∠GAF+∠GFA，
∴∠CGF＝∠CGB＝∠GAF＝∠GFA，
∴AF∥CG．
29．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？
【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理得出AE的长，进而求出EN的长，再利用勾股定理求出FN的长，进而求出DF即可．
【解答】解：作FN⊥BC，FM⊥DC，垂足分别为N，M，连接BF，交AE于K，
∵正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，
∴BE＝2，
∴AE＝2，
∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，
∴BF⊥AE，
∴AB×BE＝BK×AE，
∴KB＝KF，
设EN＝x，则22﹣x2＝（）2﹣（2+x）2，
解得：x，
故FN，
则DM＝6，FM＝NC＝6﹣2，
则DF．
30．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足 ∠B+∠D＝180° 关系时，仍有EF＝BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证得△AFE≌△AFG，由∠B+∠D＝180°时，得出EF＝BE+DF，
（2）把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．通过证明△AEG≌△AED得到：DE＝EG．结合
CG＝BD，利用勾股定理推知BD2+EC2＝DE2．则易求．
【解答】解：（1）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；
如图，
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
（2）如图，
∵AB＝AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．
∠B＝∠ACG，
BD＝CG，
AD＝AG
∵△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ACG＝∠ACB+∠B＝90°．
即∠ECG＝90°．
∴EC2+CG2＝EG2．
在△AEG与△AED中，
∠EAG＝∠EAC+∠CAG＝∠EAC+∠BAD＝90°﹣∠EAD＝45°＝∠EAD．
又∵AD＝AG，AE＝AE，
∴△AEG≌△AED．
∴DE＝EG．
又∵CG＝BD，
∴BD2+EC2＝DE2．
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 平行（特殊）四边形中的折叠问题
类型一：平行四边形中的折叠问题
类型二：矩形中的折叠问题
类型三：菱形中的折叠问题
类型四：正方形中的折叠问题
类型一：平行四边形中的折叠问题
1．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
2．如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
3．如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 ．
第3题 第4题
4．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 ．
5．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝ °．
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ ．
8．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB，将纸片沿对角线AC对折，BC边的对应边B'C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．
（1）求平行四边形ABCD中AD的长度；
（2）求重叠部分△AEC的面积．
9．综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′．
（1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长；
（2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形．
类型二：矩形中的折叠问题
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝ ．
11．如图，长方形ABCD，E在BC上，将△DCE沿DE翻折，点C落在点F位置，如果∠1＝25°，那么∠2＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（ ）
A．58° B．32° C．35° D．45°
14．如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝20°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
15．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
16．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G．
（1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由；
（2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数．
17．（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；
（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图2．线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由．
类型三：菱形中的折叠问题
18．如图，在菱形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE．将菱形沿直线AE折叠，点B恰与点C重合．若菱形的边长为4，则AE的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
19．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
20．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是 ．
21．如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线长AC＝2，BD＝2，点E、F在边AD、CD上，以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，则∠D′FC的度数为 ．
23．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝ °．
24．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，把这张纸片沿DE折叠，使点A与C重合，连接CE，过点B作CE的平行线，与DE的延长线交于点F．
（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．
（2）当四边形BCEF为菱形时，求∠A的度数．
类型四：正方形中的折叠问题
25．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
26．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
27．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝ ．
28．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时．
求证：
（1）∠ECG＝45°；
（2）AF∥CG．
29．如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长度是多少？
30．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足 关系时，仍有EF＝BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，EC＝2，求DE的长．
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