专题 平行（特殊平行）四边形中的动点问题
类型一：平行四边形中的动点问题
类型二：矩形中的动点问题
类型三：菱形中的动点问题
类型四：正方形中的动点问题
类型一：平行四边形中的动点问题
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或 B． C．或 D．
【分析】由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解．
【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，且P在BC上，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t，
∴16﹣t＝21﹣3t，
解得t，
∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形；
当点P在BC延长线上时，
∴16﹣t＝3t﹣21，
解得t，
∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形．
故选：C．
2．如图，等边三角形ABC的边长为8cm．动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2
【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
【解答】解：①当，点M、N、D的位置如图所示：
∵四边形ANDM是平行四边形，
∴DM＝AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB＝∠C＝60°，∠NDC＝∠B＝60°，
∴∠NDC＝∠C，
∴ND＝NC，
∴DM+DN＝AN+NC＝AC＝8，即：3t+5t＝8，
解得：t＝1，
②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形，
③当时，点M、N、D的位置如图所示：
∵四边形ANDM是平行四边形，
∴DN＝AM，AM∥DN，
∴∠NDB＝∠ACB＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠NDB＝∠B＝60°，
∴ND＝NB，
∴NB+MC＝AM+CM＝8，即：3t﹣8+5t﹣8＝8，
解得：t＝3，
综上所述，t的值为1或3，
故选：C．
3．如图， ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2t cm，CF＝t cm，然后分两种情况列方程求出t的值即可．
【解答】解：在 ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，
如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DGAD＝8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，
∵EF＝10cm，
∴EH6cm，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，
∴2t﹣2＝22﹣t，
解得t＝8，
当F点在E点左侧时，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，
∴2t﹣14＝22﹣t，
解得t＝12，
∵点E到达点B时，两点同时停止运动，
∴2t≤22，解得t≤11．
∴t＝12不符合题意，舍去，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A． B．3 C．3或 D．或
【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t，
综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D．
5．如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝ 3或5 时，四边形PDCQ是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝CQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过t秒，四边形PDCQ是平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t7.5，即0＜t≤7.5，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴DP＝CQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为4t＝15﹣t，
解得t＝3，
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为15﹣415﹣t，
解得：t＝5；
故答案为：3或5．
6．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段PD＝ 6﹣t ；CQ＝ 2t ；QE＝ 8﹣2t（0＜t＜4）或2t﹣8（4＜t＜6） （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，得PD＝6﹣AP，BE＝CE＝8，则QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，而CQ＝2t，AP＝t，则PD＝6﹣t；若点Q与点E重合，则2t＝8，求得t＝4；若点P与点D重合，则t＝6，所以当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，于是得到问题的答案；
（2）由PD∥QE，可知当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，再分两种情况讨论，一是当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t；二是当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，解方程求出相应的t值即可．
【解答】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD＝6﹣AP，BE＝CEBC＝8，
∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，
∴AP＝t，
∴PD＝6﹣t；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，
∴CQ＝2t，
若点Q与点E重合，则2t＝8，
解得t＝4；
若点P与点D重合，则t＝6，
当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，
当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，
故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8．
（2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD∥QE，
∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t，
解得t＝2；
当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，
解得t，
综上所述，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
【分析】首先判定当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形，然后利用其性质PD＝QC，构建方程，即可得解．
【解答】解：当t＝4时，PQ∥CD，理由如下：
当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形，
此时PD＝QC，PD＝12﹣2t，QC＝t，
∴12﹣2t＝t，
∴t＝4，
∴当t＝4时，PQ∥CD．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm，AD＝12cm，EF是△ABD的中位线，G为BC上一动点，H为CD上一动点，点G以2cm/s的速度从C点向B点运动，同时点H以1cm/s的速度从D点向C点运动，用t（s）表示时间（0≤t≤6）．当t为何值时，四边形EFHG是平行四边形？
【分析】根据题意得出点G和点H分别同时运动到BC、DC的中点时，四边形EFHG是平行四边形，即可得到答案．
【解答】解：若四边形EFHG是平行四边形，
则EF＝GH，EF∥GH，
∵EF是△ABD的中位线，
∴，
∴，
此时点G和点H分别同时运动到BC、DC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm，AD＝12cm，
∴AD＝BC＝12cm，AB＝CD＝6cm，
∴，
∴点G运动到BC的中点所需时间6÷2＝3s，
同理，点H运动到DC的中点所需时间3÷1＝3s，
∴t＝3时，点G和点H分别同时运动到BC、DC的中点，
∴t＝3时，四边形EFHG是平行四边形．
9．已知：在 ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC＝∠DCP，得DP＝CD，又CD＝CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，
①当0≤t≤3时，6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0；
②当3＜t≤6时，6﹣0.5t＝2t﹣6，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，6﹣0.5t＝18﹣2t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，6﹣0.5t＝2t﹣18，解得t＝9.6．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝CD，
∵CD＝CP，
∴CP＝CD＝DP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴PD∥BC，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0≤t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，
∴6﹣0.5t＝6﹣2t，
解得：t＝0；
②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，
∴6﹣0.5t＝2t﹣6，
解得：t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，
∴6﹣0.5t＝18﹣2t，
解得：t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，
∴6﹣0.5t＝2t﹣18，
解得：t＝9.6；
综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
类型二：矩形中的动点问题
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA＝PB时，△APE≌△BQP，②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【解答】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，
∴BQ＝AP＝4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s，
∴v的值为：4÷2＝2cm/s；
②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，
∵5÷2＝2.5s，
∴2.5v＝6，
∴v．
故选：D．
11．如图，在长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，E为AD的中点，若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点C向点B匀速运动，当△AEP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度是（ ）
A． B．6或 C．或6 D．
【分析】根据四边形ABCD是长方形可得∠A＝∠B＝90°，设运动的时间为t s，点Q的运动速度是x cm/s，根据题意分别表示出AP＝2t（cm），PB＝AB﹣AP＝6﹣2t（cm），BQ＝8﹣tx（cm），再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当△AEP≌△BQP时，当△AEP≌△BPQ时，分别建立方程组求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8cm，AB＝6cm，
∴∠A＝∠B＝90°，BC＝AD＝8cm，
∵E为AD的中点，
∴AE＝4cm，
设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是x cm/s，
依题有：AP＝2t（cm），PB＝AB﹣AP＝6﹣2t（cm），BQ＝BC﹣CQ＝8﹣tx（cm），
①当△AEP≌△BQP时，
，
解得：；
即点Q的运动速度为时，△AEP与△BPQ全等，
②当△AEP≌△BPQ时，
，
解得：；
即点Q的运动速度为6cm/s时，△AEP与△BPQ全等，
综上可得，点Q的运动速度为或6cm/s时，△AEP与△BPQ全等，
故选：B．
12．矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为（ ）
A．7 B．20 C．7或25 D．7或20
【分析】分两种情况：①如果四边形APCQ是菱形，则AP＝AQ＝CQ＝t，在Rt△ABQ中，根据勾股定理得出AB2+BQ2＝AQ2，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝32﹣t，在Rt△ABP中，根据勾股定理得出AB2+AP2＝BP2，列出关于t的方程，解方程求出t的值．
【解答】解：分两种情况：
①如果四边形APCQ是菱形，则AP＝AQ＝CQ＝t．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABQ＝90°，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2+BQ2＝AQ2，
即242+（32﹣t）2＝t2，
解得：t＝25，即运动时间为25秒时，四边形APCQ是菱形．
②如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝32﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，
即242+t2＝（32﹣t）2，
解得：t＝7，即运动时间为7秒时，四边形PBQD是菱形；
故选：C．
13．如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm．BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ∥CD和PQ＝CD的次数分别是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
【分析】根据题意分别求得PQ∥CD和PQ＝CD的情形，分类讨论，即可求解．
【解答】解：设点P的运动时间为t，
∵AD＝10，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．
∴秒，AP＝t，则PD＝10﹣t
∵BC＝12cm，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，
∴，
当PQ∥CD时，则四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ
当0≤t＜3时，点Q从C到B运动，CQ＝4t，
∴10﹣t＝4t，解得：t＝2，
当3≤t＜6时，点Q从B到C运动，CQ＝2×12﹣4t，
∴10﹣t＝2×12﹣4t，
4t﹣t＝24﹣10，
3t＝14，
解得：，
当6≤t＜9时，点Q从C到B运动，CQ＝4t﹣2×12，
∴10﹣t＝4t﹣2×12，解得：，
当9≤t≤10，点Q从B到C运动，CQ＝3×12﹣4t，
∴10﹣t＝3×12﹣4t，解得：（舍去），
∴PQ∥CD能出现三次，
如图所示，过点P，D分别作BC的垂线，垂足分别为F，E，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE＝AD＝10，CE＝BC﹣BE＝12﹣10＝2，DE＝AB＝8，
∴Rt△CDE中，，
当PQ＝CD时，
在Rt△PFQ中，，
∴FQ＝2，
当0≤t＜3时，点Q从C到B运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|12﹣4t﹣t|＝|12﹣5t|，
∴|12﹣5t|＝2，解得：t＝2或，
当3≤t＜6时，点Q从B到C运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|4t﹣12﹣t|＝|12﹣3t|，
∴|12﹣3t|＝2，解得：或，
当6≤t＜9时，点Q从C到B运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|12×3﹣4t﹣t|＝|36﹣5t|，
∴|36﹣5t|＝2，解得：或，
当9≤t≤10，点Q从B到C运动，FQ＝|BQ﹣BF|＝|BQ﹣AP|＝|4t﹣36﹣t|＝|3t﹣36|，
∴|36﹣3t|＝2，解得：（舍去）或（舍去），
∴PQ＝CD能出现6次，
故选：A．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连结PQ，当时间是1秒时，PQ的长度是（ ）
A． B．6 C． D．4
【分析】作QH⊥AB，由矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，得AC＝2AB＝8，CQ＝1×2＝2，得AQ＝8﹣2＝6，AH3，QH3，由AP＝1×1＝1，得PH＝3﹣1＝2，即可得PQ．
【解答】解：作QH⊥AB，由矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，
得AC＝2AB＝8，CQ＝1×2＝2，
得AQ＝8﹣2＝6，AH3，QH3，
由AP＝1×1＝1，
得PH＝3﹣1＝2，
得PQ．
故选：C．
15．如图，这是一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4cm，AD＝8cm，E是BC边上的一点，且BE＝3cm，点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 或3或6 s．
【分析】分三种情况进行讨论：当AE＝AP1＝5cm时，当AE＝EP2＝5cm时，当AE＝EP3＝5cm时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝4cm，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，
如图1，当AE＝AP1＝5cm时，
所以．
如图2，当AE＝EP2＝5cm时，过点E作EF⊥AP2于点F，
∵∠ABE＝∠AFE＝∠BAF＝90°，
∴四边形ABEF为长方形，
∴AF＝BE＝3cm，
∵AE＝EP2＝5cm，EF⊥AP2，
∴AP2＝2AF，
∴AP2＝6cm，
所以．
如图3，当AE＝EP3＝5cm时，此时点P3与点C重合，
所以点P3运动的距离＝AD+CD＝8+4＝12（cm），
所以．
综上所述，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或3s或6s．
故答案为：或3或6．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，AD＝4cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）填空：当t为 s时，四边形EGFH是菱形．
【分析】（1）证明△ADE≌△CBF，进而可得GE∥HF，且GE＝HF，即可得出结论；
（2）当四边形EGFH是菱形，点G是AE的中点，则，可得EF⊥AB，再根据DE＝AF，证明四边形AFED是矩形，列方程求解即可；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AB∥CD，AD＝CB，
∴∠DEA＝∠EAF，
∵点E、F同时分别从D，B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，∠DEA＝∠EAF＝∠CFB，
又∵点G、H分别为AE、CF的中点，
∴GE∥HF，且GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接EF，
∵四边形EGFH是菱形，点G是AE的中点，
∴，
∴∠FEG＝∠GFE，∠GAF＝∠GFA，
∵∠FEG+∠GFE+∠GAF+∠GFA＝2（∠GFE+∠GFA）＝180°，
∴∠AFE＝∠GFE+∠GFA＝90°，
∴EF⊥AB，
∵∠BAD＝∠D＝∠AFE＝90°，
∴四边形AFED是矩形，
∴DE＝AF，
∴t＝13﹣t，
∴，
故答案为：；
17．如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ．
（1）求证：PE＝DQ；
（2）当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）由垂直得∠BEP＝90°，在Rt△BEP中，BP＝2t，由∠CBD＝30°，可得PE＝t，即可证明结果；
（2）分类讨论：①当∠EPQ＝90°，②当∠PQE＝90°，③当∠PEQ＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵PE⊥BC，
∴∠BEP＝90°，
在Rt△BEP中，BP＝2t，
∵∠CBD＝30°，
∴PE＝t，
又∵DQ＝t，
∴PE＝DQ；
（2）解：①当∠EPQ＝90°时，四边形EPQC为矩形，
∴PE＝QC，
∵PE＝t，QC＝4﹣t，
∴t＝4﹣t，即t＝2；
②当∠PQE＝90°时，∠DPQ＝∠PQE＝90°，
在Rt△DPQ中，∠PQD＝90°﹣60°＝30°，
∴DQ＝2DP，
∵DQ＝t，DP＝8﹣2t
∴t＝2（8﹣2t），
∴t，
③当∠PEQ＝90°时，此种情况不存在，
综上所述，当t＝2或时，△PQE为直角三角形．
18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．
【分析】（1）若△ABP与△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根据时间路程的关系可求t的值；
（2）根据题意可得：CD＝4，根据勾股定理可求DE的长；分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三种情况讨论，可求t的值．
【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，
∴BP＝CE或AP＝CE，
当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，
当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，
∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，
在Rt△DCE中，CE＝3，
∴DE5，
若△PDE为等腰三角形，
则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，
当PD＝DE时，
∵PD＝DE，DC⊥BE，
∴PC＝CE＝3，
∵BP＝BC﹣CP＝3，
∴t＝3÷1＝3，
当PE＝DE＝5时，
∵BP＝BE﹣PE，
∴BP＝9﹣5＝4，
∴t＝4÷1＝4，
当PD＝PE时，
∴PE＝PC+CE＝3+PC，
∴PD＝3+PC，
在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．
∴（3+PC）2＝16+PC2，
∴PC，
∵BP＝BC﹣PC，
∴BP，
∴t1，
综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．
19．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个内角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD＝9厘米，AB＝4厘米，E为边AD上一动点，从点D出发，以1厘米/秒向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a厘米/秒向终点C运动，运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，
①求线段CE的长；
②若此时EP平分∠AEC，求a的值；
（2）若a＝1，且△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值．
【分析】（2）①当t＝3时，则DE＝3厘米，BP＝3a厘米，在Rt△CDE中由勾股定理可求出CE的长；
②根据EP平分∠AEC及AD∥BC得∠CPE＝∠AEP＝∠CPE，则CP＝CE＝5厘米，由此得BP＝BC﹣CP＝4厘米，则3a＝4，由此可得a的值；
（2）根据a＝1厘米/秒得BP＝DE＝t厘米，则CP＝BC﹣BP＝（9﹣t）厘米，当△CEP是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当CE＝CP时，由勾股定理得CE2＝t2+16，则t2+16＝（9﹣t）2，由此可解出t；②当CE＝PE时，过点P作PF⊥AD于F，证四边形ABPF为矩形得AF＝BP＝t厘米，PF＝AB＝CD＝4厘米则EF＝AD﹣AF﹣DE＝（9﹣2t）厘米，证Rt△PEF和Rt△CED得EF＝DE，即9﹣2t＝t，由此可解出t，综上所述即可得出t的值．
【解答】解：（1）①当t＝3时，
依题意得：DE＝3厘米，BP＝3a厘米，如图1所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4厘米，AD＝BC＝9厘米，∠D＝90°，AD∥BC，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE5（厘米）；
②∵EP平分∠AEC，
∴∠AEP＝∠CEP，
∵AD∥BC，
∴∠CPE＝∠AEP，
∴∠CPE＝∠CEP，
∴CP＝CE＝5厘米，
∴BP＝BC﹣CP＝9﹣5＝4（厘米），
∴3a＝4，
∴a（厘米/秒）；
（2）∵a＝1厘米/秒，运动的时间为t秒，
∴BP＝DE＝t厘米，
则CP＝BC﹣BP＝（9﹣t）厘米，
当△CEP是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：
①当CE＝CP时，如图2所示：
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2＝t2+16，
∴t2+16＝（9﹣t）2，
解得：t（秒）；
②当CE＝PE时，过点P作PF⊥AD于F，如图3所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∴PF⊥AD，
∴四边形ABPF为矩形，
∴AF＝BP＝t厘米，PF＝AB＝CD＝4厘米
∴EF＝AD﹣AF﹣DE＝（9﹣2t）厘米，
在Rt△PEF和Rt△CED中，
，
∴Rt△PEF≌Rt△CED（HL），
∴EF＝DE，
即9﹣2t＝t，
解得：t＝3（秒），
综上所述：t的值为秒或3秒．
类型三：菱形中的动点问题
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.5 D．2
【分析】延长AB至点M，使BM＝AP，连接QM，易证△ADP≌△MPQ，即可推出△BMQ是等边三角形，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AB至点M，使BM＝AP，连接QM．
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AB＝AD，
∴∠APD+∠ADP＝120°，
∵BM＝AP，
∴AD＝MP，
∵△PDQ为等边三角形，
∴DP＝PQ，∠DPQ＝60°，
∴∠MPQ+∠APD＝120°，
∴∠ADP＝∠MPQ．
在△ADP和△MPQ中，
，
∴△ADP≌△MPQ（SAS），
∴AP＝MQ，∠M＝∠A＝60°．
又∵BM＝AP，
∴△BMQ是等边三角形，
∴BQ＝AP．
∵AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴BC＝CQ+BQ＝3t cm．
∵BC＝6cm．
∴3t＝6，
∴t＝2．
故选：D．
21．如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（ ）
A．恒等于6 B．恒等于9
C．逐渐增加 D．先增加再减小
【分析】连接BD，由菱形的性质推出AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°，判定△ABD、△CDB是等边三角形，得到∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD，由∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°，推出∠CBF＝∠EBD，由ASA判定△CBF≌△DBE，得到CF＝DE，于是得到AE+CF＝AE+DE＝AD＝6．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD、△CDB是等边三角形，
∴∠CBD＝∠ADB＝60°，BC＝BD，
∵∠EBF＝60°，
∴∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°，
∴∠CBF＝∠EBD，
在△CBF和△DBE中，
，
∴△CBF≌△DBE（ASA），
∴CF＝DE，
∴AE+CF＝AE+DE＝AD，
∵AB＝6，
∴AE+CF＝6．
故选：A．
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点P在菱形OABC的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿A→B→C→O→A…的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），
∴A（3，3），C（3，﹣3），
第1秒时，点P在OA上，OP＝2，此时P（1，），
第2秒时，点P在OA上，OP＝4，此时P（2，2），
菱形每12秒一个循环，2024÷12＝168...8，
∴2024秒时，点P在第四象限，
∵2024÷12＝168…8
∴点P在BC上，P（4，﹣2），
故选：B．
23．在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 3或或． ．
【分析】本题分三种情况：①当点P在AB边上时，②当点P在AD边上时，③当点P在CD边上时，需分别画出图形，再求值．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝60°．
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴AE，AF，
∴AE＝AF＝2．
连接EF，△AEF是等边三角形；
①当点P在AB边上时；如图，
当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形，
此时APAF＝1，
∴BP＝AB﹣AP＝4﹣1＝3；
②当点P在AD边上时；如图，
连接PF，
当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形，
此时，
连接BD，BE，BP，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BE⊥AD，
由勾股定理得，
由勾股定理得：；
③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图，
当点P是CD的中点时，此时，
∵AC⊥BD，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线，
∴PE∥AC，EF∥BD，
∴PE⊥EF，
∴△PEF为直角三角形，
∵CD＝BC，∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BP⊥CD，
由勾股定理得；
综上，PB的长为3或或．
故答案为：3或或．
24．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN．
（1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
（2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由．
【分析】（1）连接AC，证明△BAM≌△CAN（ASA），推出AM＝AN可得结论；
（2）利用全等三角形的性质得到四边形AMCN的面积不发生变化．
【解答】解：（1）△AMN是等边三角形，
证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∴AM＝AN，
∵∠MAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形；
（2）四边形CMAN的面积不发生变化，理由如下：
∵△BAM≌△CAN，
∴S△BAM＝S△CAN，
∴四边形AMCN的面积＝S△ACD2，
∴四边形AMCN的面积不发生变化．
25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长．
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，
（2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解．
【解答】（1）证明：连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AFAB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）解：作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°，CH，
cos60°，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH，FH＝3+m，
CF2＝CH2+FH2，
即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，
整理得：3m2+2m﹣8＝0，
解得：m1，m2＝﹣2（舍去），
∴．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，∠C＝30°．点E从点B出发沿BA方向以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC交BC于点F，连接DE、EF．
请问：（1）若t＝3，请问点D每秒运动多少个单位时，四边形AEFD是平行四边形？
（2）若四边形AEFD为菱形，此时t＝ 2 ，点D每秒运动 4 个单位．（请直接写出结果，不说明理由）
【分析】（1）设点D每秒运动x个单位，由平行四边形的性质得DF＝AE＝3，再由含30°角的直角三角形的性质得CD＝2DF＝6，即3x＝6，解得x＝2即可；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AB＝12，再由菱形的性质得DF＝AD＝AE＝6﹣t，然后由含30°角的直角三角形的性质得CD＝2DF＝12﹣2t，利用AD+CD＝AC得6﹣t+12﹣2t＝12，解得t＝2，即可解决问题．
【解答】解：（1）设点D每秒运动x个单位时，四边形AEFD是平行四边形，
当t＝3时，BE＝3×1＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝3，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴CD＝2DF＝6，
即3x＝6，
解得：x＝2，
答：点D每秒运动2个单位时，四边形AEFD是平行四边形；
（2）∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝6，
∴AC＝2AB＝12，
由题意可知，BE＝t，
∵四边形AEFD是菱形，
∴DF＝AD＝AE＝6﹣t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴CD＝2DF＝12﹣2t，
∵AD+CD＝AC，
∴6﹣t+12﹣2t＝12，
解得：t＝2，
∴CD＝12﹣2t＝12﹣4＝8，
设点D每秒运动y个单位，
则2y＝8，
解得：y＝4，
故答案为：2，4．
27．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF；
（2）四点A、C、F、E能否组成平行四边形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由题意得到BG＝DG，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EDG＝∠FBG，∠DEG＝∠BFG，
∵G为BD的中点，
∴BG＝DG，
∵在△GDE和△GBF中，
，
∴△DGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝5﹣2t（cm），
∵AD∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AFCE是平行四边形，
即t＝5﹣2t，
解得：t；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣5（cm），
∵AD∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝2t﹣5，
解得：t＝5；
综上可得：当t或5s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
类型四：正方形中的动点问题
28．如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝2cm，点F在边BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动；同时，点G在边CD上以x cm/s的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t s，连结EF，FG．当△EBF与△FCG全等时，t的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
【分析】由正方形的性质得AB＝BC＝8cm，∠B＝∠C＝90°，而AE＝2cm，则BE＝6cm，再分两种情况讨论，一是当BE＝CF＝6cm，BF＝CG时，可根据“SAS”证明△EBF≌△FCG，由8﹣t＝6，求得t＝2；二是当BE＝CG，BF＝CF时，可根据“SAS”证明△EBF≌△GCF，由t＝8﹣t，求得t＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形，
∴AB＝BC＝8cm，∠B＝∠C＝90°，
∵E为边AB上一点，且AE＝2cm，
∴BE＝8﹣2＝6（cm），
当BE＝CF＝6cm，BF＝CG时，
在△EBF和△FCG中，
，
∴△EBF≌△FCG（SAS），
∵8﹣t＝6，
∴t＝2；
当BE＝CG，BF＝CF时，
∴在△EBF和△GCF中，
，
∴△EBF≌△GCF（SAS），
∵t＝8﹣t，
∴t＝4，
故选：C．
29．如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠FAE+∠EPC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【分析】过点P作PH⊥BC交BC的延长线于H，先证明△ABE和△DAF全等得AE＝DF，再根据平行四边形性质得DF＝EP，DF∥EP，进而得AE＝EP，EP⊥AE，再证明△ABE和△EHP全等得AB＝BH，BE＝PH，由此可得BE＝CH＝PH，则△PCH为等腰直角三角形，进而得∠PCH＝∠3+∠EPC＝45°，据此即可得出答案．
【解答】解：过点P作PH⊥BC交BC的延长线于H，如图所示：
则∠H＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝DA，∠B＝∠DAB＝90°，
∴∠FAE+∠1＝90°，
∵DF⊥AE，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠FAE＝∠2，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AE＝DF，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF＝EP，DF∥EP，
∴AE＝EP，EP⊥AE，
∴∠3+∠AEB＝90°，
又∵∠FAE+∠AEB＝90°，
∴∠FAE＝∠3，
在△ABE和△EHP中，
，
∴△ABE≌△EHP（AAS），
∴AB＝BH，BE＝PH，
∴BC＝EH，
∵BC＝BE+CE，EH＝CE+CH，
∴BE＝CH，
∴BE＝CH＝PH，
∴△PCH为等腰直角三角形，
∴∠PCH＝45°，
∴∠3+∠EPC＝45°，
∴∠FAE+∠EPC＝45°．
故选：B．
30．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是边BC上的一点且CE＝3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动．设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM＝2t﹣4＝3和AM＝16﹣2t＝3即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝∠DCE＝90°，
如图，当点M在BC上时，
∵△ABM′和△DCE全等，
∴BM'＝CE＝3，
由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，
所以t＝3.5；
当点M在AD上时，
∵△ABM″和△CDE全等，
∴AM″＝CE＝3，
由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，
解得t＝6.5．
所以，当t的值为3.5或6.5时．△ABM和△DCE全等．
故选：D．
31．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，动点P从B点开始，以1cm/s的速度沿折线B→A→D→C做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→C→E→C做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 2≤t＜4 ．
【分析】结合所给的条件，观察图形可知，当点P在AD上运动，同时点Q在CE上运动，四边形PQED是平行四边形，由PD＝4﹣t，且0＜PD≤2，得0＜4﹣t≤2，则2≤t＜4，于是得到问题的答案．
【解答】解：根据题意，当PD∥EQ，且PD＝EQ时，四边形PQED是平行四边形，
∵AB＝BC＝2cm，AB+AD＝BE＝4cm，且点P、点Q的速度都是1cm/s，
∴当点P在AD上运动，同时点Q在CE上运动，四边形PQED是平行四边形，
∵PD＝4﹣t，且0＜PD≤2，
∴0＜4﹣t≤2，
解得2≤t＜4，
∴t的取值范围是2≤t＜4，
故答案为：2≤t＜4．
32．如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？
【分析】（1）由“SAS”可证△BPE≌△CQP；
（2）由全等三角形的性质可得BP＝PC，列出方程可求t的值，即可求解．
【解答】解：（1）△BPE≌△CQP，理由如下：
经过1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ．
∵BC＝10㎝，
∴PC＝6cm．
PC＝6cm，
∴BE＝PC，
在△BPE和△CQP中，
，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）设经过t秒后，
△BPE≌△CPQ，
当点Q与点P速度不相同时，BP＝PC，此时△BPE≌△CPQ，
∴4t＝10﹣4t，
解得，
又CQ＝BE＝6cm，
∴．
当△PBE≌△QCP时，BP＝QC，此时，点P和点Q的运动速度相同，不存在这种全等．
33．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）．
（1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；
（2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．
【分析】（1）根据题意用t表示CQ与AP，证明四边形APCQ为平行四边形，得AP＝CQ，由此列出t的方程即可；
（2）根据题意用t表示CQ与BP，证明△ABP≌△BCQ得BP＝CQ，由此列出t的方程即可．
【解答】解：（1）由题意得DQ＝t cm，AP＝2t cm，
∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形，
∴CQ＝（8﹣t）cm，
当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴2t＝8﹣t，
解得t，
即t的值为s；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵AP⊥BQ，
∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP≌△BCQ（ASA），
∴BP＝CQ，
∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t，
∴2t﹣8＝8﹣t，
解得t，
即t的值为s．
34．如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，，直接写出BE的长．
【分析】（1）运用AAS证明△AEB≌△BFC解题即可；
（2）分别延长AG与BC交于点P，可以证得△PCG≌△BCF，得到PC＝BC，进而证明△ADH≌△PCH得到结论；
（3）过点C作CM⊥FG于点M，作CN⊥EF于点N，连CG，则四边形CMFN为矩形，根据△AEB≌△BNC得到CM、GM的长，在Rt△GMC中利用勾股定理解题即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是矩形，
∴AB＝BC，AE＝GF，∠E＝∠F＝∠ABC＝90°．
又∵∠EBA+∠FBC＝∠BCF+∠FBC＝90°，
∴∠EBA＝∠BCF．
∴△AEB≌△BFC（AAS）．
∴AE＝BF．
∴GF＝BF．
∴∠FBG＝∠BGF＝45°；
（2）证明：如图1，分别延长AG与BC交于点P．
∵∠PGC＝∠BFC＝90°，CG＝FC，∠PCG＝∠BCF，
∴△PCG≌△BCF，
∴PC＝BC．
∵AD＝BC，
∴AD＝PC．
又∵∠ADH＝∠PCH＝90°，∠AHD＝∠PHC，
∴△ADH≌△PCH（AAS）．
∴DH＝CH．
（3）解：过点C作CM⊥FG于点M，作CN⊥EF于点N，连CG，
则四边形CMFN为矩形，
由（1）可得△AEB≌△BNC，
∴BN＝AE＝2，CN＝BE，
设：CN＝BE＝x
则：CM＝FN＝|2﹣3+x|＝|x﹣1|，FM＝CN＝x，
∴GM＝|2﹣x|
在Rt△GMC中，
GC2＝MC2+MG2＝（x﹣1）2+（2﹣x）2＝2，
解得：或．
∴或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 平行（特殊平行）四边形中的动点问题
类型一：平行四边形中的动点问题
类型二：矩形中的动点问题
类型三：菱形中的动点问题
类型四：正方形中的动点问题
类型一：平行四边形中的动点问题
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或 B． C．或 D．
2．如图，等边三角形ABC的边长为8cm．动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2
3．如图， ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A． B．3 C．3或 D．或
5．如图，在 ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝ 时，四边形PDCQ是平行四边形．
6．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段PD＝ ；CQ＝ ；QE＝ （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝6cm，AD＝12cm，EF是△ABD的中位线，G为BC上一动点，H为CD上一动点，点G以2cm/s的速度从C点向B点运动，同时点H以1cm/s的速度从D点向C点运动，用t（s）表示时间（0≤t≤6）．当t为何值时，四边形EFHG是平行四边形？
9．已知：在 ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
类型二：矩形中的动点问题
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
11．如图，在长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，E为AD的中点，若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点C向点B匀速运动，当△AEP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度是（ ）
A． B．6或 C．或6 D．
12．矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为（ ）
A．7 B．20 C．7或25 D．7或20
13．如图．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm．BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ∥CD和PQ＝CD的次数分别是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连结PQ，当时间是1秒时，PQ的长度是（ ）
A． B．6 C． D．4
15．如图，这是一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4cm，AD＝8cm，E是BC边上的一点，且BE＝3cm，点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 s．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，AD＝4cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）填空：当t为 s时，四边形EGFH是菱形．
17．如图，矩形ABCD中，CD＝4，∠CBD＝30°．一动点P从B点出发沿对角线BD方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿DC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．过点P作PE⊥BC于点E，连接EQ，PQ．
（1）求证：PE＝DQ；
（2）当t为何值时，△PQE为直角三角形？请说明理由．
18．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．
（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？
（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．
19．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个内角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD＝9厘米，AB＝4厘米，E为边AD上一动点，从点D出发，以1厘米/秒向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a厘米/秒向终点C运动，运动的时间为t秒．
（1）当t＝3时，
①求线段CE的长；
②若此时EP平分∠AEC，求a的值；
（2）若a＝1，且△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值．
类型三：菱形中的动点问题
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.5 D．2
21．如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（ ）
A．恒等于6 B．恒等于9
C．逐渐增加 D．先增加再减小
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点P在菱形OABC的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿A→B→C→O→A…的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
23．在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 ．
24．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN．
（1）△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
（2）在M、N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由．
25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，∠C＝30°．点E从点B出发沿BA方向以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点C出发沿CA方向向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC交BC于点F，连接DE、EF．
请问：（1）若t＝3，请问点D每秒运动多少个单位时，四边形AEFD是平行四边形？
（2）若四边形AEFD为菱形，此时t＝ ，点D每秒运动 个单位．（请直接写出结果，不说明理由）
27．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝5cm，点E从点A出发沿射线AD以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF；
（2）四点A、C、F、E能否组成平行四边形？若能，求出t值；若不能，请说明理由．
类型四：正方形中的动点问题
28．如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝2cm，点F在边BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动；同时，点G在边CD上以x cm/s的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t s，连结EF，FG．当△EBF与△FCG全等时，t的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
29．如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠FAE+∠EPC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
30．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是边BC上的一点且CE＝3，连结DE，动点M从点A以每秒2个单位的速度沿AB—BC—CD—DA向终点A运动．设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．3.5或5.5 D．3.5或6.5
31．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，动点P从B点开始，以1cm/s的速度沿折线B→A→D→C做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→C→E→C做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 ．
32．如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？
33．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）．
（1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；
（2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．
34．如图，正方形ABCD的顶点B在矩形AEFG的边EF上运动．
（1）如图1，点C在FG上，求∠FBG的大小；
（2）如图1，C是FG的中点，求证：CH＝DH；
（3）如图2，若AE＝2，EF＝3，，直接写出BE的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
