专题 正方形中的三大模型
类型一：正方形中的十字架模型
类型二：正方形中的半角（45°）模型
类型三：正方形中手拉手模型
类型一：正方形中的十字架模型
1．如图，边长分别为1和2的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，点B、C、E共线，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB＝∠CGE＝45°，再求出∠GDT＝45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB＝∠CGE＝45°，
∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为1，2，
∴DG＝2﹣1＝1，
∴GT1．
故选：A．
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图，取AB中点O，根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，BDBD，∠DBC＝45°，求得BO＝OA＝2，根据全等三角形的性质得到∠AEB＝∠BFC，求得∠AGB＝90°，推出点G在以AB为直径的圆上运动，连接OP，当点G在OP上时，线段PG长度的值最小，过P作PH⊥AB于H，根据勾股定理得到OP，求得PG＝OP﹣OG2，于是得到结论．
【解答】解：如图，取AB中点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，BDBD，∠DBC＝45°，
∵点O是AB的中点，
∴BO＝OA＝2，
∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，
∴∠BFC+∠FBC＝90°＝∠AEB+∠FBC，
∴∠AGB＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆上运动，连接OP，当点G在OP上时，线段PG长度的值最小，
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝AD＝4，AH＝DP＝1，
∴OH＝1，
∴OP，
∴PG＝OP﹣OG2，
即线段PG长度的最小值为2，
故选：C．
3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（ ）
A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α
【分析】过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，证明△ABF和△DAH全等得AH＝BF，AF＝DH，再根据AE＝2BF得AH＝HE＝BF，再证明四边形DGEH是平行四边形得HE＝DG＝AH，进而再证明△AHD和△DGA全等得∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG，则∠FAG＝90°﹣2α，AF＝DH＝AG，进而得∠AFG＝∠AGF＝45°+α，根据EG⊥AF得∠AGE＝90°﹣∠FAG＝2α，然后根据∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE即可得出答案．
【解答】解：过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠CDA＝90°，AB∥CD，
∴∠BAF+∠FAD＝90°，
∵EG⊥AF，DH∥EG，
DH⊥AF，
∴∠ADH+∠FAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADH＝α，
在△ABF和△DAH中，
，
∴△ABF≌△DAH（ASA），
∴AH＝BF，AF＝DH，
∴AE＝AH+HE＝BF+HE，
∵AE＝2BF，
∴BF+HE＝2BF，
∴HE＝BF，
∴AH＝HE＝BF，
∵AB∥CD，DH∥EG，
∴四边形DGEH是平行四边形，
∴HE＝DG，
∴AH＝DG，
在△AHD和△DGA中，
，
∴△AHD≌△DGA（SAS），
∴∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG，
∴∠FAG＝∠BAD﹣（∠BAF+∠DAG）＝90°﹣2α，
∵AF＝DH，DH＝AG，
∴AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF（180°﹣∠FAG）＝45°+α，
∵EG⊥AF，
∴∠AGE＝90°﹣∠FAG＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∴∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α．
故选：B．
4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝α，则∠AFD的大小为（ ）
A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α
【分析】设AC，BD相交于点O，先证明BE＝CF，进而可证明△BCE和△CDF全等，则∠BCE＝∠CDF＝α，进而得∠ODF＝45°﹣α，然后在Rt△ODF中，可求出∠AFD的度数．
【解答】解：设AC，BD相交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，OB＝OC，∠EBC＝∠FCB＝∠FCD＝∠CDB＝∠45°，∠DOC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠EBC＝∠45°，∠OFE＝∠FCB＝∠45°，∠BCE＝∠CEF＝α，
∴OE＝OF，
∴OB﹣OE＝OC﹣OF，
∴BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF＝α，
∴∠ODF＝∠CDB﹣∠CDF＝45°﹣α，
在Rt△ODF中，∠DOC＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠ODF＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α．
故选：D．
5．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 25 ．
【分析】先证明△BAF和△ADE全等得BF＝AE＝15，则AB＝BC＝20，然后在Rt△ABF中，由勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠B＝DAB＝90°，
∴∠BAF+∠FAD＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠FAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE＝15，
∵CF＝5，
∴BC＝BF+CF＝20，
∴AB＝BC＝20，
在Rt△ABF中，AB＝20，BF＝15，
由勾股定理得：AF25．
故答案为：25．
6．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连结AC交EF于点G，给出下面四个结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AG＝2CG；④．上述结论中，正确结论的序号有 ①②④ ．
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理，等边三角形的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质定理判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF故①正确；
∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°故②正确；
∵BC＝CD，BE＝DF，
∴CE＝CF，
∴CG＝EG＝FG，
∵AGEF，
∴AGCG，故③错误；
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEG＝∠ECG＝45°，
∴CGCE，故④正确；
故答案为：①②④．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
【分析】连接AH并延长交BC于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠C＝90°，AD∥BC，CD＝BC＝AD＝4，根据全等三角形的性质得到PB＝AF＝2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接AH并延长交BC于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，CD＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边CD，AD的中点，
∴CE＝AF4＝2，
∵AD∥BC，
∴∠BPH＝∠FAH，
在△PBH和△AFH中，
，
∴△PBH≌△AFH（AAS），
∴PB＝AF＝2，
∴CP＝BC﹣PB＝2，
∴PE2，
∵点G，H分别是AE，BF的中点，
∴GHEP．
故答案为：．
8．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．若，BF是∠DBC的平分线，求OE的长．
【分析】根据正方形的性质，可得∠COB＝90°，OC＝OB，易证△BOC是等腰直角三角形，根据可得BC＝2，根据三角形的内角和定理可得∠BCE＝∠BEC，则BC＝BE，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC＝OB，
∴∠COB＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴BC2，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝∠BFE＝90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠CBF＝∠EBF，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝2，
∴OE＝BE﹣OB＝2．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，连接AE，BF相交于点G，AE⊥BF．
（1）求证：∠AED＝∠FBC；
（2）连接BE，BF，若AE＝4，求四边形ABEF的面积．
【分析】（1）根据同角的余角相等，得到∠AFB＝∠FBC，证明△BAF≌△ADE，得到∠AFB＝∠AED，即可得出结论；
（2）分割法得到四边形ABEF的面积等于，进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AD，
∴∠ABF+∠AFB＝∠ABF+∠FBC＝90°，
∴∠FBC＝∠AFB，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAG＝90°，
∵∠DAE+∠BAG＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，
∵∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAF≌△ADE（ASA），
∴∠AFB＝∠AED，
∴∠AED＝∠FBC；
（2）解：∵△BAF≌△ADE，
∴BF＝AE＝4，
∵AE⊥BF，
∴四边形ABEF的面积．
10．如图，正方形ABCD中，点P在对角线BD上，点E在CB的延长线上，且PE＝PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H．
（1）求证：点F为AE的中点；
（2）若BE＝1，AB＝3，求PE的长；
（3）求证：DH＝AG+BE．
【分析】（1）证明△APE是等腰直角三角形可得结论；
（2）利用勾股定理求出AE，再利用等腰直角三角形的性质求解；
（3）在DC上截取DM＝BE，连接AM，证明四边形AGHM是平行四边形即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP 和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠3＝∠4，
∵PE＝PC，
∴PA＝PE，
∵PE＝PC，
∴∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
又∵∠ANP＝∠ENB，
∴∠3+∠ANP＝∠5+∠ENB＝90°，
∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，
又∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点；
（2）解：在Rt△AEB 中，∠ABE＝90°，
∵BE＝1，AB＝3，
∴，
又∵△APE是等腰直角三角形，
∴；
（3）证明：在DC上截取DM＝BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠ADM＝90°，AB＝AD，
在△ABE 和△ADM中，
，
∴△ABE≌ADM（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAM＝∠2+∠BAM＝90°，即AM⊥AE．
又∵PF⊥AE于F，\
∴AM∥FH，
又∵AB∥CD，
∴四边形AGHM是平行四边形，
∴AG＝MH，
∵DH＝DM+MH，
∴DH＝AG+BE．
类型二：正方形中的半角（45°）模型
11．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．当EF＝6时，△AEF的面积是（ ）
A．8 B．16 C．20 D．24
【分析】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，根据旋转的性质可得AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，然后求出∠EAH＝∠EAF＝45°，再利用“边角边”证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等解答即可．
【解答】解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF6，
S△AEF＝S△AEH8×6＝24．
故选：D．
12．如图，正方形ABCO中，点E、F分别在AB、BC上，∠EOF＝45°，OD⊥EF于D，OA＝OD，DE＝2，DF＝3．则正方形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据OD⊥EF，OA⊥AE，OA＝OD，OE＝OE，利用“HL”可证△ODE≌△OAE，则AE＝ED，∠AOE＝∠DOE，又∠AOE+∠COF＝∠AOC﹣∠EOF＝90°﹣45°＝45°，∠DOE+∠DOF＝∠EOF＝45°，可证∠COF＝∠DOF，且OD＝OA＝OC，证明△DOF≌△COF，得CF＝DE，设正方形的边长为a，则BE＝a﹣2，BF＝a﹣3，EF＝DE+DF＝5，在Rt△BEF中，由勾股定理求a即可．
【解答】解：设正方形的边长为a，
∵OD⊥EF，OA⊥AE，OA＝OD，OE＝OE，
∴△ODE≌△OAE（HL），
∴AE＝ED＝2，∠AOE＝∠DOE，
又∵∠AOE+∠COF＝90°﹣∠EOF＝45°，∠DOE+∠DOF＝∠EOF＝45°，
∴∠COF＝∠DOF，
又∵OD＝OA＝OC，
∴△DOF≌△COF（SAS），
∴CF＝DF＝3，
∴BE＝a﹣2，BF＝a﹣3，EF＝DE+DF＝5，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（a﹣2）2+（a﹣3）2＝52，
解得a＝6．
故选：B．
13．如图，在边长为5的正方形ABCD中，∠EAF＝45°，则△CEF的周长是（ ）
A．12 B．10 C． D．8
【分析】延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，先证△ABG和△ADF全等，得到∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，再证△EAG和△EAF全等，得到EG＝EF，最后得到△CEF的周长＝CD+BC即可．
【解答】解：如图，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，∠ABC＝∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAE+BAG＝45°，
即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∴△CEF的周长是EF+CE+FC＝EG+CE+FC＝BG+BE+CE+CF＝DF+BE+CE+CF＝CD+BC＝5+5＝10，
故选：B．
14．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，若AD＝6，DF＝2，则S△AEF＝（ ）
A． B．15 C．12 D．16
【分析】在CD的延长线上取一点H，使DH＝BE，连接AH，设BE＝x，先证明△ADH和△ABE全等得AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，由此得∠HAF＝∠EAF＝45°，进而再证明△HAF和△EAF全等，则HF＝FE，S△HAF＝S△EAF，HF＝FE＝x+2，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x＝3，则HF＝5，最后再求出△HAF的面积即可得出答案．
【解答】解：在CD的延长线上取一点H，使DH＝BE，连接AH，如图所示：
设BE＝x，则DH＝BE＝x，
∵四边形ABCD是正方形，AD＝6，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，∠ADB＝∠BAD＝∠C＝∠B＝90°，CE＝BC﹣BE＝6﹣x，
∴∠ADH＝∠B＝90°，
在△ADH和△ABE中，
，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE，
∴∠HAF＝∠DAH+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAF＝45°，
在△HAF和△EAF中，
，
∴△HAF≌△EAF（SAS），
∴HF＝FE，S△HAF＝S△EAF，
∵DF＝2，DH＝BE＝x，
∴HF＝FE＝DH+DF＝x+2，CF＝CD﹣DF＝6﹣2＝4，
在Rt△EFC中，CE＝6﹣x，CF＝4，FE＝x+2，
由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得：x＝3，
∴HF＝x+2＝5，
∴S△HAFHF AD5×6＝15，
∴S△EAF＝15．
故选：B．
15．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（ ）
A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示：
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BAE＝α，
∴∠AEB＝90°﹣α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，
∴∠EFC＝180°﹣90°﹣∠FEC＝90﹣2a，
故选：B．
16．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝45°，BE＝6，CF＝8，则正方形的边长为 12 ．
【分析】延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG和EF，由△ABG≌△ADF（SAS），推出AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，由△AEG≌△AEF（SAS），推出GE＝EF，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°，
∴∠EAF＝∠GAE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE＝EF，
设正方形的边长为x，DF＝x﹣8，EC＝x﹣6，
GE＝EF＝BG+BE＝DF+BE＝x﹣8+6＝x﹣2，
在Rt△EFC中，
EF2＝EC2+CF2，
即（x﹣2）2＝（x﹣6）2+82，
解得：x＝12，
即正方形的边长为12，
故答案为：12．
17．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且∠EAF＝45°，下列结论中：
①∠DEA+∠BFA﹣∠EAF＝90°；
②AF＝CF；
③EF＝DE+BF；
④若正方形的边长为4，则△AEF的面积＝2EF．
正确的结论有 ①③④ ．（请把所有正确结论的序号写在横线上）
【分析】①由三角形的内角和可得出结论正确．
②利用直角三角形中斜边大于直角边AF＞AB，正方形性质AB＝BC，BC＞CF．
③延长CB到M，使BM＝DE，连接AM，可证△ABM≌△ADE，再证△EAF≌△MAF，从而得出结论正确．
④由△EAF≌△MAF，得S△AEF＝S△MAF．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠DEA+∠BFA＝90°﹣∠DAE+90°﹣∠BAF
＝180°﹣（∠DAE+∠BAF）＝180°﹣（90°﹣∠EAF）＝90°+∠EAF．
∴∠DEA+∠BFA﹣∠EAF＝90°，①正确；
AF＞AB＝BC＞CF、②错误；
延长CB到M，使BM＝DE，连接AM，可证△ABM≌△ADE，
∴AE＝AM，∠DAE＝∠BAM，
∴∠MAF＝∠BAM+∠BAF＝∠DAE+∠BAF＝45°＝∠EAF
∵AF＝AF，△EAF≌△MAF，
∴EF＝MF＝BF+BM＝DE+BF，③正确；
由△EAF≌△MAF，得S△AEF＝S△MAFFM ABEF×4＝2EF，④正确．
18．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF．
（1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程；
（2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）延长AB使得BG＝DF，连接CG，先证明△DCF≌△BCG，得出∠DCF＝∠BCG，CF＝CG，再证明△CFE≌△CGE得出GE＝EF即可解答；
（2）把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG．根据旋转的性质证明△CEF≌△CEG得出EF＝EG，由EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF即可解答．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF，
证明：如图，延长AB使得BG＝DF，连接CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°＝∠D＝∠CBG．CD＝CB，
∴△CDF≌△CBG（SAS），
∴∠DCF＝∠BCG，CF＝CG，
∵∠ECF＝45°，
∴∠BCE+∠DCF＝45°．
∴∠ECG＝∠BCG+∠BCE＝45°＝∠ECF，
∵CF＝CG，CE＝CE，
∴△CFE≌△CGE（SAS）．
∴GE＝EF．
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）EF＝BE﹣DF．
证明：如图，把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG．
由旋转可得BG＝DF，CF＝CG，∠BCG＝∠DCF，点A，G，B在同一直线上．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∵∠ECF＝45°，
∴∠DCE+∠DCF＝45°．
∴∠DCE+∠BCG＝45°．
∴∠ECG＝∠BCD﹣（∠DCE+∠BCG）＝90°﹣45°＝45°．
∴∠ECF＝∠ECG．
∵CF＝CG，CE＝CE，
∴△CEF≌△CEG（SAS）．
∴EF＝EG．
∵EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF．
19．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是直线BC，直线CD上一点，过点A作射线AE，射线AF，∠EAF＝α．
（1）若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，求证：AE＝AF；
（2）若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB＝8，时，求EF的长．
【分析】（1）连接AC，EF，证明△BAE≌△CAF，即可求得结论：
（2）分两种情况：当点E在线段BC上时，当点E在射线CB上时，分别求解即可．
【解答】（1）证明：连接AC．EF，如图：
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACF＝60°，
∵∠BAC＝∠EAF＝a＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE＝AF；
（2）解：如图，
当点E在线段BC上时，延长CB到K，使得BK＝DF，
∵AB＝AD，∠ABK＝∠ADF．BK＝DF
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴AK＝AF，BK＝DF，
∵AK＝AF，∠KAE＝∠EAF，AE＝AE，
∴△AEK≌△AEF（SAS），
∴EF＝EK＝BE+BK＝BE+DF，
∵BEBC，AB＝BC＝8，
∴BE＝4＝EC，
设EF＝x，则DF＝EF﹣BE＝x﹣4，CF＝DC﹣DF＝8﹣（x﹣4）＝12﹣x，
在Rt△ECF中，EF2＝EC2+CF2，
∴x2＝42+（12﹣x）2，
解得x，
∴EF；
如图，
当点E在射线CB上时，同理可证DF＝EF+BE，
设EF＝y，则DF＝y+4，CF＝DF﹣DC＝（y+4）﹣8＝y﹣4，
在Rt△ECF中，EF2＝EC2+CF2，
∵EC＝BE+BC＝4+8＝12，
∴y2＝122+（y﹣4）2，
解得y＝20，
∴EF＝20，
综上所述，满足条件的EF的值为或20．
20．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN．
（1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°，
①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长；
②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值；
（2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长．
【分析】（1）①利用勾股定理可直接得出结论；
②延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，可证明△ABE≌△ADM（SAS），所以∠BAE＝∠DAM，AE＝AM；进而可得△AEN≌△AMN（SAS），所以EN＝MN；设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b．所以CN＝BC﹣BN＝5a﹣b，在Rt△CMN中，利用股定理可得关于a和b的等式，解之即可得出结论；
（2）如图，延长AN、DC交于点E．可证△CEN≌△BAN，所以EN＝AN，由∠AMD＝2∠BAN＝2∠E，可得∠E＝∠MAE，所以AM＝EM，设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2，即82﹣x2＝122﹣（x+8）2，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）①在正方ABCD中，∠C＝90°，
在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8，
∴，
即MN的长为10．
②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，
在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△ADM中，
，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAN+∠DAM＝45°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN，
在△AEN和△AMN中，
，
∴△AEN≌△AMN（SAS），
∴EN＝MN，
∵DM：CM＝3：2，
设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b．
∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b，
在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2，
∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2，
∴4a（5a﹣4b）＝0，
∵a≠0，
∴5a﹣4b＝0，即，
∴AB：BN的值为4．
（2）如图，延长AN、DC交于点E．
∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BAN，
在△CEN和△BAN中，
，
∴△CEN≌△BAN（AAS），
∴EN＝AN，
∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E，
∠AMD＝∠E+∠MAE，
∴∠E＝∠MAE，
∴AM＝EM，
∵AN＝6，AM＝8，
∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8，
设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2，
即82﹣x2＝122﹣（x+8）2，
解得：x＝1，
∴．
类型三：正方形中手拉手模型
21．如图，在△ABC中，已知，BC＝5，以AC为一边作正方形ACDE，使得点B，E落在直线AC的两侧，连接BE，以AB为一边作正方形ABFG，使得点C，G落在直线AB的两侧，连接CG．若∠ABC＝45°，则BE的长为 13 ．
【分析】证明△ABE≌△AGC（SAS）得BE＝CG，过点C作CN⊥AB并延长交GF于M，则四边形AGMN是矩形，求出，，，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABFG和四边形ACDE为正方形，
∴AB＝AG，AE＝AC，∠BAG＝∠CAE＝90°，AB∥FG，
∴∠BAG+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAG＝∠BAE，
在△ABE和△AGC中，
，
∴△ABE≌△AGC（SAS），
∴BE＝CG，
过点C作CN⊥AB并延长交GF于M，则四边形AGMN是矩形，
∴CN⊥FG，AN＝GM，MN＝AG＝AB．
∵∠ABC＝45°，BC＝5，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：13．
22．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】如图所述，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥DC于点N，设CD，EF交于点H，可证四边形CMEN是正方形，可得Rt△DEN≌Rt△FEM（AAS）即可判断结论①；根据结论①可证矩形DEFG是正方形，根据全等三角形的判定方法可判断结论②；根据正方形的性质可得∠DAC＝∠DCA＝45，由结论②可得∠DCG＝45°，由此可判断结论③；根据点E在AC上，当AC⊥DE时，可判断结论④；由此即可求解．
【解答】解：结论①DE＝EF，
如图所述，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥DC于点N，设CD，EF交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，EM⊥BC，EN⊥DC，
∴∠BCD＝∠CNE＝∠CME＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°，
∴四边形CMEN是矩形，且∠CEM＝45°，∠CEN＝45°，
∴△CEM，△CEN都是等腰直角三角形，即ME＝MC，
∴矩形CMEN是正方形，
∴EN＝EM，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，则∠EDH+∠EHD＝90°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠DCF＝90°，则∠CHF+∠CFH＝90°，
∵∠EHD＝∠CHF，
∴∠EDH＝∠HFC，
在Rt△DEN和Rt△FEM中，
，
∴Rt△DEN≌Rt△FEM（AAS），
∴DE＝EF，故结论①正确；
结论②△DAE≌△DCG，
由结论①正确可知，DE＝EF，且四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，即∠EFN+∠CDG＝90°，且DG＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，即∠ADE+∠EDN＝90°，且DC＝AD，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△DAE和△DCG中，
，
∴△DAE≌△DCG（SAS），故结论②正确；
结论③AC⊥CG，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
由结论②正确可知，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝45°+45°＝90°，
∴AC⊥CG，故结论③正确；
结论④CE＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，点E是AC上的点，
∴当DE⊥AC时，点F于点C重合，
∴CE与CF不一定相等，故结论④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：B．
23．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：
①BE＝EF；
②矩形DEFG是正方形；
③CG＝AE；
④CG平分∠DCF．
其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【分析】连接BD，作EH⊥CB于点H，EL⊥CD于点L，由正方形的性质得CB＝CD＝AD，AC垂直平分BD，则BE＝ED，因为CA平分∠BCD，所以EH＝EL，再推导出∠HEF＝∠LED，进而证明△HEF≌△LED，得EF＝ED，所以BE＝EF，可判断①正确；由四边形DEFG是矩形，EF＝ED，证明四边形DEFG是正方形，可判断②正确；再证明△CDG≌△ADE，得CG＝AE，可判断③正确；可证明∠DCG＝∠DAE＝45°，则∠FCG＝∠DCG＝45°，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BD，作EH⊥CB于点H，EL⊥CD于点L，则∠EHF＝∠ELD＝∠ELC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝AD，AC垂直平分BD，
∵E为AC上一点，
∴BE＝ED，
∵CB＝CD，CA⊥BD，
∴CA平分∠BCD，
∴EH＝EL，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∵∠HEL＝180°﹣∠EHF﹣∠BCD﹣∠ELC＝90°，
∴∠HEF＝∠LED＝90°﹣∠FEL，
在△HEF和△LED中，
，
∴△HEF≌△LED（ASA），
∴EF＝ED，
∴BE＝EF，
故①正确；
∵四边形DEFG是矩形，EF＝ED，
∴四边形DEFG是正方形，
故②正确；
∴∠EDG＝∠ADC＝90°，GD＝ED，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，
在△CDG和△ADE中，
，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴CG＝AE，
故③正确；
∵∠DCE＝∠DAE＝45°，
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠FCG＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCF，
故④正确，
故选：D．
24．已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（ ）
A．2α B．45°+α C．22.5°+α D．90°﹣α
【分析】过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，先证明四边形AMEN为矩形，再证明△DME和△FNE全等得EM＝EN，则矩形AMEN为正方形，由此得∠EAF＝135°，则∠1＝∠2＝45°﹣α，进而得∠EDH＝∠1+∠ADB＝90°﹣α，则∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝α，由此可得∠BHF的度数．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：
则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90°，
∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，
∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，
∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，
∴四边形AMEN为矩形，
∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，
∵∠DTE＝∠FTA，
∴∠1＝∠2，
在△DME和△FNE中，
，
∴△DME≌△FNE（AAS），
∴EM＝EN，
∴矩形AMEN为正方形，
∴AE平分∠DAN，
∴∠EAD＝45°，
∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，
∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝∠2＝45°﹣α，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，
∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．
故选：D．
25．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G，连接AF，DE．给出下列结论：
①△AOF≌△DOE；
②△OBE≌△OCF；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④DF2+BE2＝EF2；
⑤AF⊥DE，
其中正确的为（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
【分析】利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴∠DOF＝∠COE，OF＝OE，
∴∠AOF＝∠DOE，
∵OA＝OD，
∴△AOF≌△DOE（SAS），
故①正确；
②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，
∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，
故④正确；
∵AD＝DC，∠ADF＝∠DCE，DF＝CE，
∴△ADF≌△DCE，（SAS），
∴∠DAF＝∠CDE，
∵∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴AF⊥DE，
故⑤正确；
综上所述，正确的是①②③④⑤，
故选：B．
26．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 ①②③④ ．
【分析】①根据正方形的性质得到OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，推出∠COE＝∠DOF，根据全等三角形的判定定理得到△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②根据全等三角形的性质得到CE＝DF，根据正方形的性质得到BC＝CD，求得BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，得到四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④根据勾股定理得到OE2+OF2＝EF2，等量代换得到DF2+BE2＝2OE2．故④正确．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2，
∵OE＝OF，
∴2OE2＝EF2，
∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2，
∵BE＝CF，
∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
27．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．有下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE+CGAD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中，正确的结论是 ①②③ ．
【分析】①过点E作EH⊥BC于H，ET⊥CD于T，先证明四边形EHCT为正方形，进而得∠HEF＝∠DET，由此可判定△HEF和△DET全等，则EF＝ED，据此可对结论①进行判断；
②先证明∠ADE＝∠CDG，进而可判定△ADE和△CDG全等，则AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，进而得CE+CG＝CE+AE＝AC，在Rt△ADC中由勾股定理得ACAD，据此可对结论②进行判断；
③根据∠DCF＝90°，∠DCG＝45°得∠GCF＝∠DCG＝45°，据此可对结论③进行判断；
④连接BD交AC于点O，OD＝OC，DO⊥OC，当点E与点O重合时，点F与点C重合，此时CE与CF不相等，据此可对结论④进行判断．综上所述即可得出答案．
【解答】解：①过点E作EH⊥BC于H，ET⊥CD于T，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴AD＝CD，∠DAE＝∠ECH＝∠ECT＝45°，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵EH⊥BC，ET⊥CD，
∴四边形EHCT为矩形，
∵∠ECH＝∠ECT＝45°，∠EHF＝∠ETD＝90°，
∴EH＝ET，
∴矩形EHCT为正方形，
∴∠HET＝90°，
∴∠HEF+∠FET＝90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DET+∠FET＝90°，
∴∠HEF＝∠DET，
在△HEF和△DET中，
，
∴△HEF≌△DET（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形，
故结论①正确；
②∵矩形DEFG是正方形，
∴DE＝DG，∠EDG＝90°，
∴∠EDC+∠CDG＝90°，
又∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC，
在Rt△ADC中，AD＝CD，由勾股定理得：ACAD，
∴CE+CGAD，
故结论②正确；
③∵∠DCF＝180°﹣∠DCB＝90°，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠GCF＝∠DCF﹣∠DCG＝45°，
∴∠GCF＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCF，
故结论③正确；
④连接BD交AC于点O，如图2所示：
则OD＝OC，DO⊥OC，
∵E为对角线AC上的一点，
∴当点E与点O重合时，点F与点C重合，
此时CE＝DE，CF＝0，
∴CE与CF不一定相等，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
28．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值．
【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4．
29．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．
【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）求出DF的长，由正方形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4．
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF2，
∴点E到DF的距离DF．
30．综合与实践
问题情境：
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
猜想证明：
（1）求证：四边形DEFG是正方形．
解决问题：
（2）求∠DCG的度数．
（3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．
【分析】（1）连接辅助线，由△DEN≌△FEM（ASA），得到ED＝EF，即可求解，
（2）由△ADE≌△CDG（SAS），得到∠DAE＝∠DCG，即可求解，
（3）由正方形EMCN，正方形ABCD，得到BM＝DN，由△DEN≌△FEM，得到FM＝DN，依次求出BM，FM，MC，EC，AC的长，由△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，即可求解，
本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是：连接辅助线构造全等三角形．
【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）解：∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
（3）解：∵正方形EMCN，正方形ABCD，
∴BC＝DC，MC＝NC，
∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN，
∵△DEN≌△FEM，
∴FM＝DN，
∴，
∴MC＝MF+FC＝1+2＝3，
∴，，
∵△ADE≌△CDG，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 正方形中的三大模型
类型一：正方形中的十字架模型
类型二：正方形中的半角（45°）模型
类型三：正方形中手拉手模型
类型一：正方形中的十字架模型
1．如图，边长分别为1和2的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，点B、C、E共线，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（ ）
A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α
4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝α，则∠AFD的大小为（ ）
A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α
5．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 ．
6．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连结AC交EF于点G，给出下面四个结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AG＝2CG；④．上述结论中，正确结论的序号有 ．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
故答案为：．
8．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G．若，BF是∠DBC的平分线，求OE的长．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD上，连接AE，BF相交于点G，AE⊥BF．
（1）求证：∠AED＝∠FBC；
（2）连接BE，BF，若AE＝4，求四边形ABEF的面积．
10．如图，正方形ABCD中，点P在对角线BD上，点E在CB的延长线上，且PE＝PC，过点P作PF⊥AE于F，直线PF分别交AB、CD于G、H．
（1）求证：点F为AE的中点；
（2）若BE＝1，AB＝3，求PE的长；
（3）求证：DH＝AG+BE．
类型二：正方形中的半角（45°）模型
11．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．当EF＝6时，△AEF的面积是（ ）
A．8 B．16 C．20 D．24
12．如图，正方形ABCO中，点E、F分别在AB、BC上，∠EOF＝45°，OD⊥EF于D，OA＝OD，DE＝2，DF＝3．则正方形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．如图，在边长为5的正方形ABCD中，∠EAF＝45°，则△CEF的周长是（ ）
A．12 B．10 C． D．8
14．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，若AD＝6，DF＝2，则S△AEF＝（ ）
A． B．15 C．12 D．16
15．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（ ）
A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
16．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝45°，BE＝6，CF＝8，则正方形的边长为 ．
17．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且∠EAF＝45°，下列结论中：
①∠DEA+∠BFA﹣∠EAF＝90°；
②AF＝CF；
③EF＝DE+BF；
④若正方形的边长为4，则△AEF的面积＝2EF．
正确的结论有 ．（请把所有正确结论的序号写在横线上）
18．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF．
（1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程；
（2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明．
19．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是直线BC，直线CD上一点，过点A作射线AE，射线AF，∠EAF＝α．
（1）若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，求证：AE＝AF；
（2）若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB＝8，时，求EF的长．
20．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN．
（1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°，
①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长；
②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值；
（2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长．
类型三：正方形中手拉手模型
21．如图，在△ABC中，已知，BC＝5，以AC为一边作正方形ACDE，使得点B，E落在直线AC的两侧，连接BE，以AB为一边作正方形ABFG，使得点C，G落在直线AB的两侧，连接CG．若∠ABC＝45°，则BE的长为 ．
22．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
23．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：
①BE＝EF；
②矩形DEFG是正方形；
③CG＝AE；
④CG平分∠DCF．
其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
24．已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（ ）
A．2α B．45°+α C．22.5°+α D．90°﹣α
25．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G，连接AF，DE．给出下列结论：
①△AOF≌△DOE；
②△OBE≌△OCF；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
④DF2+BE2＝EF2；
⑤AF⊥DE，
其中正确的为（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
26．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 ．
27．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．有下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE+CGAD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中，正确的结论是 ．
28．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值．
29．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．
30．综合与实践
问题情境：
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
猜想证明：
（1）求证：四边形DEFG是正方形．
解决问题：
（2）求∠DCG的度数．
（3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长．
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