专题 平行（特殊平行）四边形中的最值问题
类型一：平行四边形中的最值问题
类型二：矩形中的最值问题
类型三：菱形中的最值问题
类型四：正方形中的最值问题
类型一：平行四边形中的最值问题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作 ADCE，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为G，若S平行四边形ABCD＝12，则BG的最大值为 ．
6．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 ．
7．如图，四边形OABC为平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，c），其中a，b，c满足．
（1）求出a，b，c的值；
（2）若点E，F分别为线段OC，AB上的点，且OE＝BF，AD⊥DF，点H的坐标为（9，0），求出线段DH的最大值．
8．如图，在 ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC＝90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点P在直线BM上，若BM＝3，CM＝4，求△PND的周长的最小值．
9．如图，在 ABCD中，已知AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AD于点G，点P从B点开始，沿射线BG运动．
（1）计算BG的长度；
（2）点P运动到何处时与点D的距离最小，并求出最小距离；
（3）点P在运动过程中，PC+PD的最小值是 ．
类型二：矩形中的最值问题
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值．（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．3
11．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
12．如图，AB＝40，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（ ）
A．20 B．20 C．40 D．40
13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，若AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（ ）
A．5 B． C． D．
14．如图，矩形ABCD中，，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为射线BA上一动点，以BE为直径的圆与CE相交于点H，则DH长度的最小值为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG，点F在边BC上，连接EF，BG，若BF＝2，则EF+BG的最小值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD＝PE；
（2）连接PC，求PC的最小值．
类型三：菱形中的最值问题
18．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6 D．
19．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于（ ）
A．7 B．7.8 C．13 D．13.8
21．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE，EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠D＝45°，AD＝4，则GH的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
22．如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一个定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的长的最小值为3，则AE的长为 ．
23．如图，菱形ABCD的边长为分别是BC，BD上的动点，且CP＝DQ，则AP+AQ的最小值为 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC，则线段OC长度的最大值为 ．
25．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
类型四：正方形中的最值问题
26．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
27．如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，4），点P为线段OB上一个动点，连接AP，以AP为边在第一象限构造正方形APMQ，连接BM，当BM有最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．（，2） B．（3，2） C．（1，2） D．（21，2）
28．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2
29．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E在AB边上，以BE为边向上作正方形BEFG．在AE上取点H，连结HF，以HF为边作正方形NFHM，连结DN．若点M落在边AD上，则DN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，E为正方形ABCD内一点，EA⊥EB，垂足为E，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，若AB＝4，则FG的最小值是 ．
31．如图，已知正方形ABCD的边长为2．点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM，BN交于点P，则PC长的最小值为 ．
32．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC．
（1）若点E为BC的中点，PE＝6，，求PF的长；
（2）若正方形边长为4，直接写出PC的最小值 ．
33．如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上的动点，连接AE，过点B作BF⊥AE交CD于F，垂足为M，连接DM．
（1）当点E为BC的中点时，
①求FC的值；
②求证：∠AMD＝∠AEB；
（2）如图2，若N是DM的中点，连接CN，求CN的最小值．
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类型一：平行四边形中的最值问题
类型二：矩形中的最值问题
类型三：菱形中的最值问题
类型四：正方形中的最值问题
类型一：平行四边形中的最值问题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】过点A作AN⊥BC于点N，证△ABN是等腰直角三角形，得BN＝AN，再由三角形中位线定理可得EFAG，当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝135°，
∴AB∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣135°＝45°，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN＝90°﹣∠B＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∴BN＝ANAB2，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EFAG，
当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，
∴当点G与点N重合时，AG的最小值为，
∴EF的最小值为，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作 ADCE，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【分析】设AC，ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，勾股定理求得OB，等面积法求得OF，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，OD最小，进而求得DE的最小值，即可求解．
【解答】解：设AC，ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，连接OB，如图所示，
在平行四边形ADCE中，AO＝CO，EO＝DO，
∵AB＝BC＝15，
∴BO⊥AC，
∵AC＝18，
∴AO＝CO＝9，
在Rt△BOC中，BO12，
∵S△OBCCO BOBC OF，
∴OF＝7.2，
当点D与点F重合时，OD最小，
∴ED的最小值为2OD＝14.4．
故选：A．
3．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EFAG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC，
在Rt△ACN中，AC，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴ANAC，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EFAG，
∵点G在BC上，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H，由∠ACB＝90°，∠DAC＝30°，得AD＝2CD，则ACCD＝3，求得CD，则CG＝BD＝4，所以BG＝8，再证明四边形DGFE是平行四边形，则FG∥DE，可证明∠GBH＝30°，则GHBG＝4，而BG＝2GH，则BHGH＝4，所以BF的最小值为4，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠DAC＝30°，
∴AD＝2CD，
∵ACCD＝3，
∴CD，
∴CG＝BD＝4，
∴BG＝BC+CG＝4+48，
∵四边形BCFE是平行四边形，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∵DG∥EF，DG＝CG+CD+BD+CD＝BC＝EF，
∴四边形DGFE是平行四边形，
∴FG∥DE，
∴点F在经过点G且与DE平行的直线上运动，
∵∠BHG＝90°，∠BGH＝∠ADG＝90°﹣∠DAC＝60°，
∴∠GBH＝90°﹣∠BGH＝30°，
∴GHBG（8）＝4，
∵BG＝2GH，
∴BHGH（4）＝4，
∵BF≥BH，
∴BF≥4，
∴BF的最小值为4，
故选：C．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E，F分别是AD，BC上的动点，AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为G，若S平行四边形ABCD＝12，则BG的最大值为 ．
【分析】连接BD交EF于点L，作BH⊥DC交DC的延长线于点H，由平行四边形的性质得DC＝AB＝3，AD＝BC，AD∥BC，则∠EDL＝∠FBL，而AE＝CF，可证明DE＝BF，由S平行四边形ABCD＝DC BH＝3BH＝12，求得BH＝4，则CH3，所以DH＝6，则BD2，再证明△DLE≌△BLF，得DL＝BLBD，因为BG⊥EF于点G，所以BG的最大值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BD交EF于点L，作BH⊥DC交DC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5，
∴DC＝AB＝3，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDL＝∠FBL，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF，
∵S平行四边形ABCD＝DC BH＝3BH＝12，
∴BH＝4，
∴CH3，
∴DH＝DC+CH＝3+3＝6，
∴BD2，
在△DLE和△BLF中，
，
∴△DLE≌△BLF（AAS），
∴DL＝BLBD2，
∵BG⊥EF于点G，
∴BG≤BL，
∴BG，
∴BG的最大值为，
故答案为：．
6．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为 ．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，利用解直角三角形得AH＝AB sin∠ABC＝2，BH＝AB cos∠ABC＝2，CH＝BC﹣BH＝4，由勾股定理得AC＝2，再由AQ＝AB＝4，可得点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，即当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24．
【解答】解：如图3，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，
∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，
则AH＝2，BH＝＝2，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
在Rt△ACH中，AC2，
∵点B与点Q关于直线AP对称，
∴AQ＝AB＝4，
∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，
∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝24，
故答案为：．
7．如图，四边形OABC为平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，c），其中a，b，c满足．
（1）求出a，b，c的值；
（2）若点E，F分别为线段OC，AB上的点，且OE＝BF，AD⊥DF，点H的坐标为（9，0），求出线段DH的最大值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可解得a＝12，进而可得|16﹣b|+（c﹣10）2＝0，然后根据非负数的性质解得b＝16，c＝10即可；
（2）首先确定点C坐标，连接OE，CF，AC，AC与EF交于点G，取AG中点K，连接DK，HK，证明四边形AECF为平行四边形，进而可确定点G，K坐标，利用勾股定理可得AG，HK的值，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DK的值，在△DHK中，由三角形三边关系可得DH＞DK+HK，所以当点D、K、H在同一直线上时，DH取最大值，即可获得答案．
【解答】解：（1）根据题意，，
可知a﹣12≥0，24﹣2a≥0，
解得a＝12，
∴|16﹣b|+（c﹣10）2＝0，
∵|16﹣b|≥0，（c﹣10）2≥0，
∴16﹣b＝0，c﹣10＝0，
解得b＝16，c＝10；
（2）由（1）可知，A（12，0），B（16，10），
∴OA＝12，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC＝OA＝12，BC∥OA，
∴C（4，10），
如图，连接OE，CF，AC，AC与EF交于点G，取AG中点K，连接DK，HK，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴OC＝BA，OC∥BA，
∵OE＝BF，
∴OC﹣OE＝BA﹣BF，即CE＝AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴CG＝AG，
∴G（8，5），K（10，2.5），
∴，
∵AD⊥DF，点K为AG中点，
∴，
∵H（9，0），
∴，
∵在△DHK中，DH＞DK+HK，
∴当点D、K、H在同一直线上时，
DH取最大值，最大值为．
8．如图，在 ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC＝90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）点P在直线BM上，若BM＝3，CM＝4，求△PND的周长的最小值．
【分析】（1）利用平行四边形的性质首先得出AB＝CD，AM＝CN，进而得出△ABM≌△CDN；
（2）首先得出平行四边形ABNM为菱形，进而得出当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD，利用勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵在 ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴AB＝CD，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；
（2）解：∵在 ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM∥BN，AM＝NB，
∴四边形ABNM为平行四边形；
在Rt△BCM中，N为BC中点，
∴MN＝BN，
∴平行四边形ABNM为菱形．
∴BM垂直平分AN，
∴点N关于BM的对称点为点A．
∴当点P位于点M时，NP+DP取到最小值为AD．
在Rt△BCM中，BM＝3，CM＝4，
由勾股定理得BC＝AD＝5，
又由（1）知，BM＝DN＝3，
∴△PND的周长的最小值：5+3＝8．
9．如图，在 ABCD中，已知AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AD于点G，点P从B点开始，沿射线BG运动．
（1）计算BG的长度；
（2）点P运动到何处时与点D的距离最小，并求出最小距离；
（3）点P在运动过程中，PC+PD的最小值是 2 ．
【分析】（1）过A作AH⊥BG于H，求出∠ABG＝∠CBG＝∠AGB＝30°，求出AH、BH，即可求出答案；
（2）过D作DP⊥BG于P，此时P点与点D的距离最小，求出DG，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（3）作D关于直线BG的对称点E，连接CE，交直线BG于P，则此时PC+PD的值最小，且等于CE长，求出EZ，即可求出CE的值，得出答案即可．
【解答】解：（1）过A作AH⊥BG于H，
∵∠ABC＝60°，BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB＝∠CBG＝30°＝∠ABG，
∴AG＝AB＝2，
在Rt△ABH中，AHAB＝1，由勾股定理得：BH，
∵AB＝AG，AH⊥BG，
∴BG＝2BH＝2；
（2）
过D作DP⊥BG于P，此时P点与点D的距离最小，
则∠DPG＝90°，
∵∠DGP＝∠AGB＝30°，DG＝AD﹣AG＝4﹣2＝2，
∴DPDG＝1，
即最小距离是1；
（3）
作D关于BG的对称点E，连接CE，交直线BG于P，交AD于Z，则此时PC+PD的值最小，且等于CE长，
由（2）知：DE＝2×1＝2，
∵CD＝AB＝2，
∴CD＝DE，
∵∠ABC＝60°，BG平分∠ABC，
∴∠GBC＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，AD∥BC，
∴∠PGD＝∠GBC＝30°，
∵DE⊥BG，
∴∠EDZ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
即∠EDG＝∠ADC，
∵DE＝DC＝2，
∴DZ⊥AD，CE＝2CZ，
在Rt△CDZ中，∠CDZ＝60°，DC＝2，∠DEC＝90°，
∴DZ＝1，CZ，
即CE＝2，
故答案为2．
类型二：矩形中的最值问题
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值．（ ）
A．2.5 B．5 C．2.4 D．3
【分析】连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，先求出AB＝5，证明四边形PECF是矩形，则EF＝PC，当PC的值最小时，EF的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，则EF的最小值是线段CH的长，然后根据三角形的面积公式求出线段CH的长即可得出答案．
【解答】解：连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC的值最小时，EF的值为最小，
∵点P在斜边AB上（不与A、B重合），
∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，
∴EF的最小值是线段CH的长，
∵S△ABCAB CHAC BC，
∴CH2.4，
∴EF长度的最小值为2.4．
故选：C．
11．如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【分析】连接CP，根据矩形的性质得到EF＝CP，AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，根据勾股定理得到AC，于是得到结论．
【解答】解：连接CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EF＝CP，
∴AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值，
当A，P，C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC，
∴AP+EF的最小值为，
故选：C．
12．如图，AB＝40，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（ ）
A．20 B．20 C．40 D．40
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解答】解，∵四边形CDGH是矩形，
∴CG＝DH，OCCG，ODDH，
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∵OA＝OA，
∴△ACO≌△ADO，
∴∠OAB＝∠CAO60°＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴OBAB40，
即OB的最小值为，
故选：A．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，若AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（ ）
A．5 B． C． D．
【分析】由对称性可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，根据三角形的面积公式可求HN的长，即可求解．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，
过点H作HN⊥AB于N，
∴AB＝AH＝6，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝6，BC＝3，
∴AC3，
∵S△ABCAB×BCAC×BO，
∴BO，
∴BH，
∵OC，
∴AO＝3，
∴S△ABHAB HNBH AO，
∴HN，
∴MN+BM的最小值为，
故选：C．
14．如图，矩形ABCD中，，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 1 ．
【分析】由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解．
【解答】解：连接AC，交EF于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝90°，
∵AB，BC＝1，
∴AC2，
∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，
∴CF＝AE，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
又∵∠COF＝∠AOE，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO＝1，
∵AG⊥EF，
∴点G在以AO为直径的圆上运动，
∴AG为直径时，AG有最大值为1，
故答案为：1．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为射线BA上一动点，以BE为直径的圆与CE相交于点H，则DH长度的最小值为 2 ．
【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点G，连接BH，HG，DG，可推出∠BHE＝∠BHC＝90°，，求出，根据DG﹣HG≤DH，即可求解；
【解答】解：取BC的中点G，连接BH，HG，DG，如图所示：
∵BE为直径，
∴∠BHE＝∠BHC＝90°，
∴，
∵CD＝AB＝4，
∴，
∵DG﹣HG≤DH，
∴DH≥5﹣3＝2，
故答案为：2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG，点F在边BC上，连接EF，BG，若BF＝2，则EF+BG的最小值为 ．
【分析】如图，连接DE，作D关于AB的对称点D′，连接D′F 交AB于E′，连接DE'，D'E，证明四边形BEDG为平行四边形，可得BG＝DE，当 D'，E，F三点共线时，D′E+EF＝D′F，此时EF+BG最小，过F作FH⊥AD于H，则四边形ABFH为矩形，再进一步可得答案．
【解答】解：如图，连接DE，作D关于AB的对称点D′，连接D′F交AB于E′，连接 DE'，D'E，
由轴对称的性质可得：DE＝D'E，DE'＝D'E'，AD＝AD′＝5，
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CG，
∴BE＝DG，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴BG＝DE，
∴EF+BG＝EF+DE＝EF+D′E，
∴当 D'，E，F三点共线时，D′E+EF＝D′F，此时EF+BG最小，
过F作FH⊥AD于H，则四边形ABFH为矩形，
∴FH＝AB＝4，AH＝BF＝2，
∴D′H＝7，
∴，
∴EF+BG的最小值为．
故答案为：．
17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD＝PE；
（2）连接PC，求PC的最小值．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAP＝∠EAP，利用SAS定理证明△DAP≌△EAP，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）作CP′⊥AP′，根据垂线段最短得到P′C最小，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠EAP＝45°，
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS）
∴PD＝PE；
（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，
则P′C最小，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠EAP，
∵∠DAP＝∠EAP，
∴∠DAP＝∠DFA＝45°，
∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，
∴P′C＝FC
∴PC的最小值为．
类型三：菱形中的最值问题
18．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A． B．3+3 C．6 D．
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
19．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
【分析】连接OE，由菱形的性质得AC⊥BD，OD＝OBBD，OC＝OAAC，利用勾股定理可以求得DC的长为5，又因为EF⊥OC，EG⊥OD，可证四边形OFEG为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得GF＝OE，当OE⊥CD时，OE最短，再利用面积法求出OE的长即可求解FG的最小值．
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ODBD＝3，OCAC＝4，
由勾股定理得CD5，
又∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴四边形OFEG为矩形，
∴GF＝OE，
当OE⊥CD时，OE值最小，
此时，S△OCDOC ODCD OE，
∴OE2.4，
∴FG的最小值为2.4．
故选：A．
20．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点P为线段BD上不与端点重合的一个动点．过点P作直线BC、直线CD的垂线，垂足分别为点E、点F．连结PA，在点P的运动过程中，PE+PA+PF的最小值等于（ ）
A．7 B．7.8 C．13 D．13.8
【分析】连接AC交BD于点O，连接PC，先通过菱形的性质和勾股定理，计算出OC的长度，再根据S△BCP+S△CDP＝S△BCD建立等式推算出PE+PF的值为定值，最后利用垂线段最短即可得到答案．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，AB＝BC＝CD＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，
∴OC＝OA＝3，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP+S△CDP＝S△BCD，
∴，
∴5PE+5PF＝8×3，
解得：PE+PF＝4.8，
即PE+PF的值为定值4.8，
当PA最小时，PE+PA+PF有最小值，
∵当PA⊥BD时，PA的最小值＝OA＝3，
∴PE+PA+PF的最小值＝4.8+3＝7.8，
故选：B．
21．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE，EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠D＝45°，AD＝4，则GH的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】由三角形中位线定理可得AF＝2GH，则当AF有最小值时，GH有最小值，即当AF⊥BC时，AF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求AF的最小值，即可求解．
【解答】解：如图，连接AF，
∵G、H分别为AE、EF的中点，
∴AF＝2GH，
∴当AF有最小值时，GH有最小值，
∴当AF⊥BC时，AF有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝45°，AB＝AD＝4，
∴AF的最小值AB＝2，
∴GH的最小值为，
故选：D．
22．如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一个定点，Q为AD边上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，∠DAB＝30°，若PQ的长的最小值为3，则AE的长为 6 ．
【分析】过P作PK⊥AB于K，连接PE，由线段垂直平分线的性质推出AE＝PE，因此∠EAP＝∠EPA，由菱形的性质得到∠BAD＝2∠BAP＝30°，由三角形的外角性质得到∠PEK＝2∠BAP＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到PE＝2PK，由角平分线的性质推出PK＝3，得到PE＝2×3＝6，因此AE＝6．
【解答】解：过P作PK⊥AB于K，连接PE，
∵GE垂直平分AP，
∴AE＝PE，
∴∠EAP＝∠EPA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAP＝30°，
∴∠PEK＝∠EAP+∠EPA＝2∠BAP＝30°，
∵∠PKE＝90°，
∴PE＝2PK，
当PQ⊥AD时，PQ的长最小，最小值是3，
此时AC平分∠BAD，PK⊥AB，PQ⊥AD，
∴PK＝PQ＝3，
∴PE＝2×3＝6，
∴AE＝6．
故答案为：6．
23．如图，菱形ABCD的边长为分别是BC，BD上的动点，且CP＝DQ，则AP+AQ的最小值为 2 ．
【分析】如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝1，连接AT．证明△ADQ≌△TCP（SAS），推出AF＝ET，推出AP+AQ＝AP+PT≥AT，求出AT即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝1，连接AT．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB∠ADC＝30°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB，
∵AC⊥CT，
∴∠ECT＝30°，
∴∠ADQ＝∠PCT，
∵CP＝DQ，CT＝DA，
∴△ADQ≌△TCP（SAS），
∴AQ＝PT，
∴AP+AQ＝AP+QT≥AT，
∵∠ACT＝90°，AC＝CT，
∴AT2，
∴AP+AQ≥2，
∴AP+AQ的最小值为2．
故答案为：2．
24．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC，则线段OC长度的最大值为 ．
【分析】取AD的中点E，连接CE，OE，AC，先证明△ABC和△ADC是等边三角形，即可求出CE的长，再在Rt△ADO中利用斜边中线性质求出OE，最后根据OE+CE≥OC确定当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为OC＝OE+CE，据此求解即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，如图，连接AC，取AD的中点E，连接CE，OE，
由题意得AB＝BC＝AC＝4＝AD＝DC，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∵点E是AD的中点，
∴，CE⊥AD，
∴，
∵在Rt△ADO中，，
∴，
∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为，
故答案为：．
25．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
【分析】（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的周长会随着AE的变化而变化，求出当AE最短时，△CEF的周长即可．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC．
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4．
类型四：正方形中的最值问题
26．如图，正方形ABCD的边长为4，点E与点F分别为射线BC，CD上一点，且BE＝CF，连接AE，BF并交于点G，点P为边CD上一点，DP＝1，连接PG，则线段PG长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图，取AB中点O，根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，BDBD，∠DBC＝45°，求得BO＝OA＝2，根据全等三角形的性质得到∠AEB＝∠BFC，求得∠AGB＝90°，推出点G在以AB为直径的圆上运动，连接OP，当点G在OP上时，线段PG长度的值最小，过P作PH⊥AB于H，根据勾股定理得到OP，求得PG＝OP﹣OG2，于是得到结论．
【解答】解：如图，取AB中点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，BDBD，∠DBC＝45°，
∵点O是AB的中点，
∴BO＝OA＝2，
∵BE＝CF，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，
∴∠BFC+∠FBC＝90°＝∠AEB+∠FBC，
∴∠AGB＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆上运动，连接OP，当点G在OP上时，线段PG长度的值最小，
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝AD＝4，AH＝DP＝1，
∴OH＝1，
∴OP，
∴PG＝OP﹣OG2，
即线段PG长度的最小值为2，
故选：C．
27．如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，4），点P为线段OB上一个动点，连接AP，以AP为边在第一象限构造正方形APMQ，连接BM，当BM有最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．（，2） B．（3，2） C．（1，2） D．（21，2）
【分析】过点M作MN⊥y轴于点N，过点Q作QE⊥x轴于点E，可证明△MNP≌△POA（AAS），△POA≌△AEQ（AAS），所以MN＝OP＝AE，NP＝OA＝QE＝2，设OP＝t，则MN＝t，BN＝OB﹣OP﹣NP＝2﹣t，在Rt△BMN中，由勾股定理可得，BM2＝BN2+MN2＝（2﹣t）2+t2＝2t2﹣4t+4＝2（t﹣1）2+2，则当t＝1时，BM的值最小，由此可求出OE的长为3，进而可得出点Q的坐标．
【解答】解：如图，过点M作MN⊥y轴于点N，过点Q作QE⊥x轴于点E，
∴∠MNP＝∠AOP＝∠QEA＝90°，
∵四边形APMQ是正方形，
∴∠APM＝∠PAQ＝90°，AP＝PM＝AQ，
∴∠MPN+∠NMP＝∠MPN+∠APO＝90°，∠APO+∠OAP＝∠OAP+∠QAE＝90°，
∴∠NMP＝∠APO，∠APO＝∠QAE，
∴△MNP≌△POA（AAS），△POA≌△AEQ（AAS），
∴MN＝OP＝AE，NP＝OA＝QE＝2，
设OP＝t，则MN＝t，BN＝OB﹣OP﹣NP＝2﹣t，
在Rt△BMN中，由勾股定理可得，BM2＝BN2+MN2＝（2﹣t）2+t2＝2t2﹣4t+4＝2（t﹣1）2+2，
∴当t＝1时，BM2的最小值为2，即BM的最小值为，
∴OP＝MN＝AE＝1，
∴OE＝OA+AE＝3，
∴Q（3，2）．
故选：B．
28．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2
【分析】由SAS可证△ADE和△CDG全等得AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长，由∠DAC＝45°，MT⊥CK得△CMT为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得GH的最小值．
【解答】解：连接CG并延长与AD的延长线交于点K，过点M作MT⊥CK于T，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，
∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，
∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，
即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，
根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，
即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长．
∵∠DAC＝45°，MT⊥CK，
∴△CMT为等腰直角三角形，即MT＝CT，
∵AB＝8，点M为CD的中点，
∴MC＝4，
由勾股定理得：MT2+CT2＝MC2，
∴2MT2＝16，
∴MT＝2．
∴GM的最小值为2，
故选：C．
29．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E在AB边上，以BE为边向上作正方形BEFG．在AE上取点H，连结HF，以HF为边作正方形NFHM，连结DN．若点M落在边AD上，则DN的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点N作SN⊥AD于点N，证明△SMN≌△AHM≌△EFH，得SM＝AH＝EF＝BE，AM＝HE，设BE＝EF＝SM＝SD＝x，根据勾股定理用x表示DN，进而求得CH的最小值．
【解答】解：如图，过点N作SN⊥AD于点N，
∵正方形BEFG，正方形NFHM，正方形ABCD，
∴∠A＝∠NMH＝90°，MN＝MH，AB＝AD＝1，EF＝EB，
∴∠SMN+∠AMH＝∠AHM+∠AMH，
∴∠SMN＝∠AHM，
∴△SMN≌△AHM（AAS），
同理可得：△SMN≌△AHM≌△EFH，
∴SM＝AH＝EF＝BE，AM＝HE，
∴SD＝AD﹣AM﹣SM＝AB﹣HE﹣AH＝BE，
设BE＝EF＝SM＝SD＝x，则AM＝AD﹣SD﹣SM＝1﹣2x
∴，
∵0≤x≤1，
∴当时，DN有最小值为．
故选：B．
30．如图，E为正方形ABCD内一点，EA⊥EB，垂足为E，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，若AB＝4，则FG的最小值是 1 ．
【分析】连接CE，根据三角形中位线定理得到FGCE，当CE取得最小值时，FG的值最小，得到点E在以AB为直径的圆上，设AB的中点为O，连接OC，当点E在OC上时，CE的值最小，根据勾股定理得到OC2，求得CE＝OC﹣OE＝22，于是得到FG的最小值1．
【解答】解：连接CE，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGCE，
∴当CE取得最小值时，FG的值最小，
∵EA⊥EB，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为O，连接OC，
当点E在OC上时，CE的值最小，
∵AB＝BC＝4，
∴OBAB＝2，
∴OC2，
∴CE＝OC﹣OE＝22，
∴FG的最小值1，
故答案为：1．
31．如图，已知正方形ABCD的边长为2．点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM，BN交于点P，则PC长的最小值为 1 ．
【分析】先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，证出∠APB＝90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP＝OB＝1，由勾股定理求出OC，得出PC＝OC﹣OP1即可．
【解答】解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝2，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝2，
∴OP＝OB＝1，
在直角三角形OCB中，由勾股定理得：OC，
∴PC＝OC﹣OP1，
故答案为：1．
32．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC．
（1）若点E为BC的中点，PE＝6，，求PF的长；
（2）若正方形边长为4，直接写出PC的最小值 22 ．
【分析】（1）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，先证点F是CD的中点，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）取AD的中点M，连接PM，CM，由直角三角形的性质求出PM＝2，由勾股定理求出CM＝2，当C、P、M共线时，PC的值最小，则可求出答案．
【解答】解：（1）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠APD＝∠DPF＝90°，
∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°，
∴∠DAF＝∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌DCE（AAS），
∴DF＝CE，
∵ECBC，BC＝DC，
∴DFDC，
∴F点为DC的中点；
∵∠AFD＝∠DEC，
∴∠CEN＝∠CFP，
又∵E，F分别是BC，DC的中点，
∴CE＝CF，
在△CEN和△CFP中，
，
∴△CEN≌△CFP（SAS），
∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，
∵∠PCF+∠BCP＝90°，
∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°，
∴△NCP是等腰直角三角形，
∴PN＝PE+NE＝PE+PFCP，
∴PFPC﹣PE＝8﹣6＝2．
（3）取AD的中点M，连接PM，CM，
∵∠APD＝∠EPF＝90°，
∴MP＝MDAD＝2，
∴CM2，
∵PM+PC≥CM，
∴C、P、M共线时，PC的值最小，最小值为22．
33．如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上的动点，连接AE，过点B作BF⊥AE交CD于F，垂足为M，连接DM．
（1）当点E为BC的中点时，
①求FC的值；
②求证：∠AMD＝∠AEB；
（2）如图2，若N是DM的中点，连接CN，求CN的最小值．
【分析】（1）①利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
②延长BF交AD的延长线于点G，利用全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质解答即可；
（2）取AB的中点G，连接EG，DG，取DG的中点H，过点H作HK⊥AG于点K，延长KH交CD于点L，连接HN，CH，利用全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，勾股定理求得HN，CH的长度，再利用两点之间线段最短的性质解答即可．
【解答】（1）①解：∵正方形ABCD的边长为5，E为BC的中点，
∴AB＝BC＝5，BE＝2.5，∠ABC＝∠C＝90°．
∴∠BAC+∠BEA＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠BEA+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE．
在△CBF和△BAE中，
，
∴△CBF≌△BAE（ASA），
∴CF＝BE＝2.5；
②证明：延长BF交AD的延长线于点G，如图，
由①知：CF＝BE，
∵点E为BC的中点，
∴BEBCCD，
∴CFCD，
∴CF＝DF．
在△BCF和△GDF中，
，
∴△BCF≌△GDF（ASA），
∴BC＝DG，
∴AD＝DG，
∵∠AMG＝90°，
∴MD＝AD＝DGAG，
∴∠AMD＝DAM．
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AEB，
∴∠AMD＝∠AEB；
（2）解：取AB的中点G，连接EG，DG，取DG的中点H，过点H作HK⊥AG于点K，延长KH交CD于点L，连接HN，CH，如图，
则AGAB＝2.5，
∵HK⊥AB，AD⊥AB，
∴HK∥AD，
∵H为DG的中点，
∴KH为△GAD的中位线，
∴AK＝KG，GH＝DH，KHAD＝2.5．
∵HK⊥AB，AD⊥AB，AD⊥CD，
∴四边形AKLD为矩形，
∴DL＝AK，
∴KG＝DL．
在△KGH和△LDH中，
，
∴△KGH≌△LDH（AAS），
∴HK＝HL＝2.5，KG＝DL，
∴AK＝KG．
∴DL＝AK，
∴CL＝CD﹣DL，
∴CH．
∵∠AMB＝90°，AG＝GB，
∴MGAB＝2.5．
∵GH＝DH，DN＝MN，
∴HNMG．
∵CN+HN≥CH，
∴CN≥CH﹣CN．
∴CN的最小值为．
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