专题 相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型）
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题型一：A字模型（共8题）
1．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米．
（1）求明德楼的高；
（2）求塑像的影长．
【解答】解：（1），米，
米，
由题意得：，
，
，
，
，
解得：，
明德楼的高为12米；
（2）由题意得：，
，
，
，
，
解得：，
塑像的影长为4米．
2．学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）为，离小李处的小张拿一根高的标杆直立地面，小张离教学楼，此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼的高度．
【解答】解：如图，过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
即，
解得，
（米，
答：教学楼的高度为16.6米．
3．小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度．
【解答】解：，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
答：大树的高度为．
4．如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是20米，，两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退160米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？
【解答】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米．
5．如图，矩形中，，，是边上的点，以为直径的恰好与相切，切点为．
（1）求的半径；
（2）延长交的延长线于点，求的值．
【解答】解：（1）连接，并延长交于点，
与相切于点，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设的半径为，
在中，，
，
，
的半径为；
（2）由（1）得：
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
的值为15.6．
6．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度．
【解答】解：由题意得：米，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
灯杆的高度为3.8米．
7．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：
（1）取何值时，平分；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，，， ，，
是的直径，
，
在中，，
，，
，
，即，
，
，
当时，平分，
，
解得：，
当时，平分；
（2）如图，过点作于点，
，
，即，
，
，，
，即，
，
；
（3）存在某一时刻，使与相切．理由如下：
如图，过点作于点，
由（1）（2）知： ， ，， ， ， ，
，
，
，
与相切，
，
，
，
，
，即，
解得：，
当时，与相切．
8．如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：
（1）当为何值时，；
（2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，，
，，
，，
，
，
，即，
解得：，
当时，；
（2）存在某一时刻，使得的面积等于6．
理由如下：
过点作于，作于，如图1，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
当时，的面积等于6．
（3）存在，使得．
理由如下：
如图2，过点作于，于，交于，过点作于，
则，，
是的中点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，，
，
，即，
解得：；
存在，使得．
题型二：8字模型（共7题）
1．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
【解答】证明：（1）．
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．如图，在四边形中，对角线与交于点，平分，且．
（1）求证：；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
平分，
，
；
（2）由（1）中相似可得，，
，
，
，，
，
，
．
3．如图，已知锐角，以为直径画，交边于点，平分与交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，若，，求长．
【解答】（1）证明：如图，连接，
则，
，
平分，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，，
为直径，
，
，，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，即，
，
，
解得：．
4．已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，．
，．
，．
．
．
（2），
．
，
．
，
．
，即．
，
．
．
四边形是平行四边形，
．
，即．
平行四边形是菱形．
5．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积，
答：的面积为9．
6．如图，在中，是延长线上一点，连接交，于，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
又，
．
（2）解：设，则，
，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，
又，
．
即的值为．
7．小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪从观测出发点观测深坑底部，且观测视线刚好经过深坑边缘点，在深坑右侧用观测仪从测出发点观测深坑底部，且观测视线恰好经过深坑边缘点，点，，，在同一水平线上．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
【解答】解：过点作垂直，垂足为，如图：
，，，
，，
，，
，，
，，
，
，，，，，
设 ，则，
，
，
，
深坑深度5.5米．
题型三：一线三等角模型（共7题）
1．已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
，，
，，
；
（2）解：由（1）证得，
，
设，则，
，
或，
或．
2．如图，，，为上一点，，连接．
（1）若，求的长；
（2）若平分，求证：．
【解答】（1）解：，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
的长为；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
．
3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处．
（1）求证：；
（2）若时，求．
【解答】解：（1）证明：等边
将沿折叠，点落在边上的处．
又
；
（2）
设，则，
翻折，
设，
，，
由得：
①
由得：
②
由①②解得：，
．
4．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积，
答：的面积为9．
5．【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点．
（1）求证：．
（2）若，，为的中点，求的长．
【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 或2 ．
【解答】【探究】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：为的中点，
，
由（1）知，
，
即，
；
【应用】解：如果，则，，则点与点重合，点与点重合，不符合题意，
②如果，则，
为的外角，
，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，，
，
；
如果，则，
，
在中，，
，
，
又，
点为的中点，
，
综上，的长为或2，
故答案为：或2．
6．如图1，在四边形中，是对角线，且．是边上一动点，连接，，交于点，其中，．
（1）求证：；
（2）若，．
①如图2，若，求的值；
②如图3，若，求的面积．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
，
，
即；
（2）解：①，
，
，
又，
，
，
，
，
，
；
②如图，过点，分别作，，垂足分别为，，过点作于点，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
又，则，
．
又，
，
，
则，
，
则，
，
，
，
由，
得，
，
，
．
7．【基础巩固】
（1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
．
．
，
，
．
．
（2）解：过点作于点．
由（1）得．
．
，，，
，
．
，
．
．
（3）解：过点作于点，过点作的延长线于点．
．
四边形是平行四边形，
，．
．
．
，．
，，
，
，
设，，．
，．
，
由（1）得．
，
，
，
，
，
，．
平行四边形的面积．
题型四：手拉手旋转模型（共9题）
1．已知：如图，在中，点在边上，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
【解答】（1）证明：，，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
．
2．如图，为内的一点，为外的一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，，直接写出线段的长度为 ．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
的长是2.4．
故答案为：2.4．
3．已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到△，点、点的对应点分别是点、点．
感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 （不需要证明）；
探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：如图③，若，、交于点，则 度．
【解答】解：感知：将绕点逆时针旋转得到△，
，
即，
又，，
，
即，
故答案为：相等；
探究：，证明如下：
将绕点逆时针旋转得到△，
，，，
，
，
；
应用：，
，
，
设与相交于点，
，
，
，，
，
．
4．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
（1）如图①，当点在线段上时，且，求证：；
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，时，求点、两点间的距离．（用含的代数式表示）
【解答】（1）证明：如图1中，
和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）如图2，
，即，
，
，
又，
；
（3）解：，
，
，
，
解得：，
，
，
，，
在中，．
5．已知在中，于点．
（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．
（2）已知，，将绕着点按顺时针方向进行旋转得到△，连接，．
①如图2，判断与之间的位置及数量关系，并证明；
②在旋转过程中，当点，，在同一直线时，求的长．
【解答】解：（1），
，
，；
（2）①，，理由如下：
由（1）知，在图1中，，
，
如图2，，
，
△，
，，
，
，
，
，；
②如图，当点、、在同一直线上时，
由①知，，，
设，，
在中，由勾股定理得，，
解得（负值舍去），
如图，当、、在同一直线上时，
同理可得，，
解得（负值舍去），
综上：或．
6．在中，，在中，，请探索解答下列问题．
【问题发现】
（1）如图1，若，点，分别在，上，则与的数量关系是 ，直线与的夹角为 ；
【类比探究】
（2）如图2，若，将绕点旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（1）的条件下，若，将绕点旋转过程中，当，，三点共线．请直接写出的长．
【解答】解：（1），，，
，
，，
，，
，
，
直线与的夹角为，
故答案为：，；
（2）不满足，，直线与的夹角为，
理由如下：如图2，过点作于，延长、交于点，
，
，
，，，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
同理可得：，
，
，
，
，，
，，
，直线与的夹角为；
（3）如图3，点在线段上，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，
如图4，点在线段上，
，
，
综上所述：当，，三点共线．的长为或．
7．在中，，点为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现：
如图①，若，则 ，与的数量关系是 ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度．
【解答】解：（1），
，，
，，
和是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
故答案为：，；
（2），，
理由如下：
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）连接，分两种情况：
①当时，如图③所示：
四边形是正方形，
，对角线与互相垂直平分，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
②当时，如图④所示：
同①得：，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
综上所述，线段的长度为或．
8.如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)若，求正方形的边长．
【详解】（1）∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即正方形的边长为．
9.如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．
(1)求证：；
(2)求的度数及的长；
(3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．
【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形，
∴
∴，
即，
∴
（2）解：∵；
∴，
设交于O，
∵，
∴；
如图①在上取点F，使，
同（1）可得
∴为等边三角形，
∴；
（3）解：
如图②，过点Q作于G，设，
∵点Q、R分别是等边和等边的重心，
∴
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴
题型五：三角形内接矩形模型（共3题）
1.如图，在中，，，点，，分别在、、上，且四边形是正方形，点，，分别在、，上，且四边形是正方形，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ．
【答案】
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得：∽，
即：，
又∵，
∴，
，
解得：，即：，
同理：∽，
，
解得：，即：，
同理：∽，
，
解得：，即：，
由此规律得：
线段的长为：，
故答案为：．
2.如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为
【答案】/
【详解】解：在中，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
，，
，
，
，
又，
，
，即，
解得，
故答案为：．
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t＝；
（3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
即S＝DP2＝4t2，
当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，
∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述，S与t之间的函数关系式为.
（4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴，
∴，
∴t＝，
如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或.
题型六：双垂直模型（共2题）
1.如图1，在正方形中，长为，点和点分别是，边上一点，且，连接，，和相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，过作，垂足为．
①若，求的长；
②如图3，连接并延长交于点，若为的中点，求的值．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）①由（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴；
②∵为的中点，，
∴，，
∵，
同理可得：，
∴，
∴设，
∴，
∵，，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴．
2.【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC =AB·AD；(2)BC =AB·BD；(3)CD = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若，求OF的长．
【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
而∠A=∠A，∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC = AB·AD；
（2）①证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC2=BOBD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BFBE，
∴BOBD=BFBE，
即，而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，
∴CE=，
∴DE=BC-CE=2；
在Rt△OBC中，OB=BC=，
∵△BOF∽△BED，
∴，即，
∴OF=.
题型七：母子模型（共4题）
1．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
【答案】2
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴．
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
2.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2
∴，
∴
∵∠C =∠C
∴△ACD∽△BCA．
3.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BCCD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【详解】（1）证明： ，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
4.定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型）
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题型一：A字模型（共8题）
1．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米．
（1）求明德楼的高；
（2）求塑像的影长．
2．学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）为，离小李处的小张拿一根高的标杆直立地面，小张离教学楼，此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼的高度．
3．小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度．
4．如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是20米，，两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退160米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？
5．如图，矩形中，，，是边上的点，以为直径的恰好与相切，切点为．
（1）求的半径；
（2）延长交的延长线于点，求的值．
6．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度．
7．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：
（1）取何值时，平分；
（2）设的面积为，求与的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．
8．如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：
（1）当为何值时，；
（2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
题型二：8字模型（共7题）
1．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．
2．如图，在四边形中，对角线与交于点，平分，且．
（1）求证：；
（2）．
3．如图，已知锐角，以为直径画，交边于点，平分与交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，若，，求长．
4．已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形．
5．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
6．如图，在中，是延长线上一点，连接交，于，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
7．小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪从观测出发点观测深坑底部，且观测视线刚好经过深坑边缘点，在深坑右侧用观测仪从测出发点观测深坑底部，且观测视线恰好经过深坑边缘点，点，，，在同一水平线上．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
题型三：一线三等角模型（共7题）
1．已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
2．如图，，，为上一点，，连接．
（1）若，求的长；
（2）若平分，求证：．
3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处．
（1）求证：；
（2）若时，求．
4．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
5．【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点．易证：．（不需要证明）
【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点．
（1）求证：．
（2）若，，为的中点，求的长．
【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为 或2 ．
6．如图1，在四边形中，是对角线，且．是边上一动点，连接，，交于点，其中，．
（1）求证：；
（2）若，．
①如图2，若，求的值；
②如图3，若，求的面积．
7．【基础巩固】
（1）如图1，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、．求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，，是上一点，过作的垂线交于点．若，，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，，，求平行四边形的面积．
题型四：手拉手旋转模型（共9题）
1．已知：如图，在中，点在边上，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
2．如图，为内的一点，为外的一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，，直接写出线段的长度为 ．
3．已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到△，点、点的对应点分别是点、点．
感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 （不需要证明）；
探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：如图③，若，、交于点，则 度．
4．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
（1）如图①，当点在线段上时，且，求证：；
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，时，求点、两点间的距离．（用含的代数式表示）
5．已知在中，于点．
（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．
（2）已知，，将绕着点按顺时针方向进行旋转得到△，连接，．
①如图2，判断与之间的位置及数量关系，并证明；
②在旋转过程中，当点，，在同一直线时，求的长．
6．在中，，在中，，请探索解答下列问题．
【问题发现】
（1）如图1，若，点，分别在，上，则与的数量关系是 ，直线与的夹角为 ；
【类比探究】
（2）如图2，若，将绕点旋转至如图2所示的位置，则与之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（1）的条件下，若，将绕点旋转过程中，当，，三点共线．请直接写出的长．
7．在中，，点为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现：
如图①，若，则 ，与的数量关系是 ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图③，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度．
8.如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)若，求正方形的边长．
9.如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．
(1)求证：；
(2)求的度数及的长；
(3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长．
题型五：三角形内接矩形模型（共3题）
1.如图，在中，，，点，，分别在、、上，且四边形是正方形，点，，分别在、，上，且四边形是正方形，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ．
2.如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
题型六：双垂直模型（共2题）
1.如图1，在正方形中，长为，点和点分别是，边上一点，且，连接，，和相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，过作，垂足为．
①若，求的长；
②如图3，连接并延长交于点，若为的中点，求的值．
2.【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC =AB·AD；(2)BC =AB·BD；(3)CD = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若，求OF的长．
题型七：母子模型（共4题）
1．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
2.（春·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．
3.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BCCD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
4.定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
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