专题 相似三角形中的动点问题
【典例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）__________；
（2）当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值；
（3）设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解；
（3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：在中，由勾股定理，得,
∴，
故答案为：10．
（2）解：由题意，得，，
①当时，，
∴，
∴，
解得，
②当时，，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似．
（3）解：当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或或．
1．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A． B．或 C．或 D．
2．如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（ ）
A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或
3．如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（ ）
A．3 B． C．或4 D．4或
4．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ）
A． B． C．或 D．以上均不对
5．如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ．
7．如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
8．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ．
9．如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题：
（1）当t为何值时平行于；
（2）是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，与相似？
10．如图，在中，，，D为边上的动点（点D不与点B、C重合），以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）当时，求的长．
（2）当时，求的长．
（3）点D在边上运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
11．如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）当为何值时，与相似？
12．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
（1）如图1，当t为何值时，；
（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；
（3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
（1）若平分，求t的值；
（2）当时，求点E的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象．
（1）_______，________；
（2）当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？
15．在矩形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为点，交射线于点，连接，交于点，交于点．设运动时间为．
（1）当点与点重合时，求的值；
（2）当为何值时，点，，在一条直线上；
（3）是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动．
（1）若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值；
（2）当是等腰三角形时，求t的值；
（3）在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值．
17．在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．
（1）为何值时，？
（2）当时，求值；
（3）如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由．
18．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？
（2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）；
（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由．
19．已知矩形，边长，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿线段方向向终点C运动，动点Q同时以每秒3个单位的速度从A点出发，沿矩形的边方向运动，当点Q回到A点时P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当P、Q相遇时，_______．
（2）当时，求t的值；
（3）当或与垂直时，求t的值；
（4）当中点到矩形相邻两边距离相等时，直接写出t的值．
20．如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且．
（1）F点的运动速度为每秒________个单位；
（2）当时，求的面积；
（3）如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
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【典例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）__________；
（2）当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值；
（3）设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解；
（3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：在中，由勾股定理，得,
∴，
故答案为：10．
（2）解：由题意，得，，
①当时，，
∴，
∴，
解得，
②当时，，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似．
（3）解：当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或或．
1．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A． B．或 C．或 D．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【解题过程】
解：设经过秒时，与相似，则，，
∴，
∵，
∴当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得；
综上可知，经过或时，与相似，
故选：．
2．如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（ ）
A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或
【思路点拨】
设，则，分和两种情况讨论，结合相似三角形的性质列式求解，即可获得答案．
【解题过程】
解：根据题意，，
设，则，
分两种情况讨论：
①若，
则有，即，
整理可得，
解得，
∴的长为3或12；
②若，
则有，即，
解得，
∴的长为．
综上所述，的长为3或12或．
故选：D．
3．如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（ ）
A．3 B． C．或4 D．4或
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利用勾股定理计算出，再讨论：当时，则可证明，当时，则可证明，然后分别利用相似比求出对应的的长．
【解题过程】
解：如图，
，，，
，
当时，
，，
，
，即，
解得，
当时，
，，
，
，即，
解得，
综上所述，的长为4或．
故选：D．
4．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（ ）
A． B． C．或 D．以上均不对
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得．
【解题过程】
解：设运动时间为，
由题意得：，，
，
，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，
，
，
，
①当时，
则，即，
解得，符合题意；
②当时，
则，即，
解得，符合题意；
③当时，
则，即，
解得，符合题意；
④当时，
则，即，
解得，符合题意；
综上，运动时间为或，
故选：C．
5．如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解．
【解题过程】
解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，，
，，，
，
点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为
∴，
，，
，
∴，
，
，
，
，
又 ，
，
解得，
，
当四边形是菱形时，的值为；
故选A．
6．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ．
【思路点拨】
本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况．
【解题过程】
解：设运动时间为，
当时，有，
即，
解得：，
∴，
当时，有，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上所述，当或时，与相似，
故答案为：或20．
7．如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
【思路点拨】
本题考查相似三角形的判定与性质．一元二次方程的解法，根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．
【解题过程】
解：若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验符合题意，
若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验，符合题意，
综上所述，的长度为或2或10，
故答案为：或2或10．
8．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为 ．
【思路点拨】
本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据菱形的性质可计算出的长度，根据相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当点在上时；当点在上时；结合相似三角形的判定和性质即可求解．
【解题过程】
解：根据题意，作图如下，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，即，
在中，，，则，
①如图所示，当点在上时，当时，
∴，则，
∴；
②如图所示，当点在上时，当时，
连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形，
∴根据上述证明可得，点是的中点，且，
∴当时，点关于点对称，
∴，
∴点为的中点，且，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
9．如图，已知中，．如果点P由B出发治方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：s）解答下列问题：
（1）当t为何值时平行于；
（2）是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，与相似？
【思路点拨】
本题考查相似三角形的应用、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．
（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解；
（2）先利用勾股定理求得，进而求得的周长和，进而可得结论；
（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求解即可．
【解题过程】
（1）解：由题意，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
答：当时，平行于；
（2）解：不存在，
∵已知中，，
∴，
∴的周长为，
∵，
∴不存在某时刻，使线段恰好把的周长平分；
（3）解：当时，由（1）知，；
当时，，则，
解得，
综上，当t为或时，与相似．
10．图，在中，，，D为边上的动点（点D不与点B、C重合），以D为顶点作，射线交边于点E．
（1）当时，求的长．
（2）当时，求的长．
（3）点D在边上运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，求得，再由即可求解；
（3）由（2）可得，，即，当时，设，
则，可得，再由，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：不存在，理由如下：
由（2）可得，，
∴，
当时，设，
则，
∴，
整理得，,
∵，
∴方程无解，
即不存在某一时刻，使得．
11．如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）当为何值时，与相似？
【思路点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解；
（2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解；
（3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
（2）过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：．
综上所述或时，与相似．
12．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：
（1）如图1，当t为何值时，；
（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；
（3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可；
（2）分和分别讨论即可；
（3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可．
【解题过程】
（1）解：当时，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
当时，；
（2）∵，，，
∴当时，
同（1）可得：；
当时，
，即，
解得：；
综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；
（3）存在，理由是：
如图，过P作，垂足为D，作边上的高，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
解得：或，
当时，，故不合题意，
∴，即存在，使得的面积等于4．
13．如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
（1）若平分，求t的值；
（2）当时，求点E的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可．
【解题过程】
（1）解：当平分时，，
∴是等腰直角三角形，
（2）∵，
又
，
，
当时，，
∴，
∴点坐标为；
（3）存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下：
当点在点上方时，如图1，
若时，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得：(不合题意舍去)，
∴；
∴点；
当点在点下方时，如图2，
①若时，
又∵，
则，
解得：(不合题意舍去)，
②若，则，
整理得：，
∴这种情况不成立；
综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或．
14．如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象．
（1）_______，________；
（2）当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？
【思路点拨】
本题考查了相似的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质；会从函数图象中获取信息；会根据勾股定理和相似比进行几何计算；提高运用分类讨论的思想解决数学问题的能力．
（1）根据函数图象得到当点运动到点时，的面积为18，利用三角形面积公式可计算出，则，当 时，，点在点，作于，在中根据勾股定理计算出，再证明，利用相似比计算出，然后根据三角形面积公式得到，即；
（2）分类讨论：当，点在点，，若得到，利用相似比得值；当，，当时，，利用相似比得值；当时，，利用相似比得值；
【解题过程】
（1）解：当点运动到点时，的面积为18，
∴，
解得，
，
当时，，点在点，点在上，如图1，作于，
在中，，
，
∵，
，
∴，即，
解得，
∴，
即；
故答案为：；
（2）解：点在边上，
当，点在点，，
若，
∴，即，
解得；
当，则，
当时，，如图2，
∵，
∴，即，解得，不合题意舍去；
当时，，如图3，
∵，
∴，即，
解得，
综上所述，当为或时，与为相似．
15．在矩形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为点，交射线于点，连接，交于点，交于点．设运动时间为．
（1）当点与点重合时，求的值；
（2）当为何值时，点，，在一条直线上；
（3）是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，方程的应用；
（1）证明根据求解即可；
（2）可证，列比例线段，得到，，再证，列比例线段，列方程求解即可；
（3）由可得，由可得，即可得到，，再证明，列比例线段，得到，由得到，由，列比例线段，代入列方程即可．
【解题过程】
（1）由题意得，，
∵矩形中，，．
∴，，， ，．
∵当点与点重合时，，，
∴，
∵
∴，
∴，
即，
解得；
（2）如图，若，，在一条直线上，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得；
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，（舍）；
（3）若，则，，
由（2）可知，，
∵，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得；
∴，
∵
，
解得．
16．在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动．
（1）若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值；
（2）当是等腰三角形时，求t的值；
（3）在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论；
（2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）；
（3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，分两种情况分类讨论，当时，解得，当时，解得：即可得出结论．
【解题过程】
（1）在中，，，．
根据勾股定理，得．
∵以B、P、N为顶点的三角形与相似
∴当时，，或当时，
此时，即，解得，
当时，
此时，即，解得
答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似；
（2）是等腰三角形，
①当时，即，
解得：，
②当时，
如图1，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上，
则，，
，
，即，
解得：，
③当时，
如图2，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上，
则，，
，
，
，
即：，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述：当，或时，是等腰三角形；
（3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，
，即，
，
同理：，
∵动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∵以为直角边
∴当时，
∴
∴
解得：
当时，
∴
∴
解得：
综上所述：当，或时，是等腰三角形，以为直角边.
17．在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．
（1）为何值时，？
（2）当时，求值；
（3）如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）利用勾股定理求得，用的代数式表示出线段，，的长度，利用平行线的判定与性质得出比例式解答即可；
（2）过点作于点，得到
利用相似三角形的判定与性质求得，再利用三角形的面积公式得到关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）过点作于点，过点作于点，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于的比例式，解方程即可得出结论；
本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，添加三角形的高线构造相似三角形是解题的关键．
【解题过程】
（1）由题意得，，，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴，，，
当，，
∴，
解得：，
∴为时，；
（2）由题意得：，，
∴，
当时， 则 ，
过点作于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴当或时，；
（3）沿折叠，得到，存在某一时刻，使四边形为菱形，值为理由：
过点作于点，过点作于点，如图，
由题意得：，，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
若四边形为菱形，只需，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴沿折叠得到，四边形为菱形时的值．
18．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？
（2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）；
（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由．
【思路点拨】
（1）如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长、、用时间表示，这需要利用相似三角形比例线段关系；
（2）分三种情形讨论，如图3中，当点在线段上时，；如图4中，当点在线段上时，；如图5中，当点在线段上时，；如图6中，当点在线段上时，．分别列出方程即可解决问题．
（3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻；点到的距离利用的面积公式得到．
【解题过程】
（1）解：如图1中，
在中，，，
．
、分别是、的中点．
∴，，且，
①时，
，，
∴，
∴，
由题意得：，，
即，
解得；
②如图2中，当时，，
，
，
，
当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
（2）解：如图3中，当点在线段上时，由，可得，．
如图4中，当点在线段上时，由，可得，解得．
如图5中，当点在线段上时，由，过点Q作于G，
∴，，
∴，即，
解得．
如图6中，当点在线段上时，由，过点P作于M，
∴，，
∴，即，
解得．
综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形．
（3）解：假设存在时刻，使，
则此时，如图，作于．
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
，
即，
解得，（舍去）．
当时，
，，
，，
．
，
．
此时的值为，．
19．已知矩形，边长，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿线段方向向终点C运动，动点Q同时以每秒3个单位的速度从A点出发，沿矩形的边方向运动，当点Q回到A点时P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当P、Q相遇时，_______．
（2）当时，求t的值；
（3）当或与垂直时，求t的值；
（4）当中点到矩形相邻两边距离相等时，直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）先判断出点P、Q相遇时，必在矩形的边上，利用运动路程之和为矩形的三边长建立方程即可；
（2）先判断出四边形是平行四边形，得出，进而表示出，，建立方程求解即可；
（3）分点在正方形的边点Q在上，点Q在上，点Q在上，建立方程求解即可得出结论；
（4）分点在正方形的边点Q在上，点Q在上，点Q在上分类讨论解题即可；
【解题过程】
（1）解：当P、Q相遇时，，
解得：，
故答案为：；
（2）如图，当时，
又∵是矩形，
∴，
∴为平行四边形，
∴，即，
解得：，
（3）解：∵是矩形，
∴，
当时，点Q在上时，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去），
当时，点Q在上时，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，不符合，舍去；
当时，点Q在上时，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去），
综上所述，当或与垂直时，t的值为或；
（4）当时，点Q在上，
则中点到的距离为，根据梯形的中位线得到：，
解得：；
当时，点Q在上时，
若中点到和的距离相等，则，
即，
解得，不符合题意，舍去；
当若中点到和的距离相等时，如图，
过点O作于点E，交于点G，作于点F，
则，
∴，
即，，
∴，，
∴，解得：，
当时，点Q在上时，
当点Q在点P的右侧时，不存在中点到相邻两边距离相等，
当点P在点Q的右侧时，，，
∴，
∴，
∴，
当中点到和的距离相等时，则，解得；
当中点到和的距离相等时，则，解得；
综上所述，当中点到矩形相邻两边距离相等时，t的值为：，或．
20．如图1，一动点E从矩形的顶点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿路线向终点B运动，另一动点F从B出发，沿边向终点C运动，两点同时出发同时到达终点，连接交于点M，已知，．设运动时间为t秒，且．
（1）F点的运动速度为每秒________个单位；
（2）当时，求的面积；
（3）如图2，过点M作，交直线于点，在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据E、F两点同时出发同时到达终点，即可求解；
（2）①过点M作直线交与点G、H，证，有相似三角形性质求 ，进而可解答；②当E在上时，证，，由相似三角形性质转换求解即可求面积；
（3）①当E在上时，证，结合勾股定理得，证，由相似性质得，，结合勾股定理可解答；②当E在上时，作，证，，，，由相似三角形性质转换求解即可；
【解题过程】
（1）解：∵E、F两点同时出发同时到达终点，
∴F点的运动速度为(单位/秒）．
故答案为：2．
（2）①当E在上时，过点M作直线交与点G、H．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
②当E在上时，，则，，
延长交于点T，过M作，
∵，
∴，，
∴，即，
∴
，即，
∴
∴，
∴．
（3）①当E在上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
②当E在上时，如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
同理，，
∵，
∴，
或（舍去）．
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