几何压轴题 相似模型
（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）
【题型汇总】
类型一 A型模型
类型 A型模型 作平行线构造A型相似
条件 DE∥BC 点D在线段AB上
图示
结论 ADE∽ ABC 过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为 如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为
题型01 直接用A型相似
1．如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆， ，米，则两梯杆跨度、之间距离为（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
3．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
题型02 构造A型相似
1．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
2．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
3．如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
题型03 反A型模型
类型 条件 图示 结论
反A型模型 ∠1=∠2 ADE∽ ABC， AD AC=AE AB
作垂线构造反“A”字相似模型 ∠B=90°，E为AB上的一点 ADE∽ ABC，AD AC=AE AB
1．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ．
2．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．
3．如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
4．如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．
(1)求证：；
(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．
②当，时，试用含m，n，p的式子表示．
5．【问题背景】（1）如图1，中，，求证：．
【问题探究】（2）如图2，中，，平分，于点，过点作的平行线交于点，作于点，猜想与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当时，直接写出的正切值．
题型04 作垂线构造反“A”字相似模型
1．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 ．
类型二 X型模型
类型 X型模型 作平行线构造X型相似
条件 AB∥CD =k
图示
结论 AOB∽ COD 过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C，则可构造 AOB∽ COD，可得
题型01 直接用X型相似
1．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．
3．如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，．
(1)若，求的长；
(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值，
4．某小区的居民筹集资金元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2.当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若△AMB和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？
5．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
题型02 构造X型相似
1．如图，G为ABC的重心，AG=12，则AD= ．
2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ．
3．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF AB=BC DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF EG=AF DG．
题型03 双反X型模型（蝶形模型）
条件：∠OAB=∠ODC
图示：
结论： AOB∽ DOC ， AOD∽ BOC
1．已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)求证：DA OC＝OD CE．
2．探索发现：如图1，等边中，为中点，、分别是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)为上一点，若，求的值；
迁移拓展：
(3)如图2，等腰中，为斜边的中点，为中点，．是上的点，，为上一点，若，直接写出的长．
类型三 母子相似
题型01 母子相似模型
类型 母子相似模型 构造母子相似模型
条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C
图示
结论 ACD∽ ABC， 延长BE交AC于点F ABF∽ ACB 过点C作CG∥BF交AB延长线于点G, ABC∽ ACG
1．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
2．探索发现；（1）如图1，在中，；求证：；
初步应用：（2）如图2，在中，，，，连接、；求证：．
迁移拓展：（3）如图3，在中，，H为上一点使，过H作交AB于G，，求的值；
3．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
4．【探究发现】
（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．
①若．求的长度；
②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．
题型02 射影定理模型
类型 射影定理 作高用射影定理
条件 ∠ABC=∠ADB=90° F,A,B三点共线，C,A,E三点共线，∠ACB=∠AFE=90°
图示
结论 1） ABD∽ ACB∽ BCD 2) , , 3）AB BC=BD AC（面积法） 过点C作CD⊥AB于点D AFE∽ ADC∽ ACB∽ CDB
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
2．（·山东日照·一模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．
(1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______．
(2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接，
①试利用射影定理证明；
②若，求的长．
3．阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：
①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵是斜边上的高，∴．∵，，
∴．∴（依据）．∴．即．
(1)材料中的“依据”是指 ；
(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．
4．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
类型四 一线三等角模型
类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型）
条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90°
图示
结论 ABC∽ CDE 或BC CD=AB DE ABC∽ CDE 或BC CD=AB DE
【一线三等角/一线三垂直的出题样式】
题目中一般不会直接给出一线三等角模型/一线三垂直模型标准样式，需要结合题目信息，进行构建.以一线三垂直模型为例，当有直角三角形和过直角顶点的直线时，即可作垂线构造“一线三垂直”相似样型，当三个相等角不是直角时，亦可构造“一线三等角”相似模型.
题型01 一线三垂直模型
1．如图，四边形为正方形，．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
2．如图将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连结、、．
(1)求证：；
(2)如图，擦去折痕、线段，连结动点在线段上（点M与点P、A不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点探究：当点M、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由．
3.如图1，在边长为4的正方形中，点H为上一动点，且，截取，且交线段于M，过M作的垂线交于N．
(1)求证：；
(2)如图2，若点M是的中点，求的周长；
(3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，的周长如何变化？请说明理由．
题型02 一线三等角模型
1．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．
(1)证明：；
(2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
2．四边形中，点E在边上，连结．
(1)如图1，若，证明：．
(2)如图2，若四边形为矩形，，，且与E、B、C为顶点的三角形相似，求的长．
3．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
4．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
类型五 热考模型
题型01 对角互补模型
【基础模型】
条件：如图，在 ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE
图示：
解题策略：
方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明 EDM∽ EFN，所以,
由于,则.
方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G, 由已知条件易证明 ADE∽ GFE， BGE∽ BAC，所以，，由于AE=BE，则
结论：
1．p如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为 ；当时，的值为 ．（用含m，n的式子表示）
2．如图（1），在中，，点是边的中点．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，将三角板绕点旋转，使它的两条直角边分别与线段，交于点，．
(1)如图（2），当时，猜想线段，之间的数量关系，并给予证明．
(2)佳佳发现，在三角板旋转过程中，，请你利用图（1）证明这个结论．
(3)当点，重合时，如图（3），线段，，之间满足一定的等量关系，请你探索，，之间的数量关系．
3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系．
(1)【初步成知】
如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．
小亮： 证明：连接． 由题意，可知， 即为的中点． 平分， ． ． ． ． ． ． ． 小红： 证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形． ． 易得． ． ……
(2)【深入探究】
①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）
(3)【拓展运用】
在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
题型02 角含半角相似模型
90°含45° 120°含60°
条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°,BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°,AD=AE
图示
结论 BAE∽ ADE∽ CDA BAE∽ ADE∽ CDA
1．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ．
2．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，
∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．
3．如图，在中，C、D为边上的两个动点，．
(1)若，则与相似吗 为什么
(2)若（即C、D重合），则_______°时，；
(3)当和满足怎样的数量关系时， 请说明理由．
题型03 手拉手相似模型
条件：在 ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE，
图示：
解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明 ABD∽ ACE
结论： ABD∽ ACE， ADE∽ ABC
1．如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若 ，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
3．问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且．数学思考：
(1)在图1中，的值为 ；
(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；
(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．
4．综合与实践
问题情境：如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，连接并延长交于点F．
猜想验证：
(1)试猜想与是否相似？并证明你的猜想．
探究证明：
(2)如图，连接交于点H，与相交于点G，是否成立？并说明理由．
拓展延伸：
(3)若，直接写出的值．
5．问题背景：
如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．
6．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值．
题型04 5模型
模型简述：若两个锐角α、β满足tanα= ，tanβ=，则α+β=45°，上面的条件，只要其中两个条件成立，另一个条件也成立.（知二推一）
【结论1】如图所示，在正方形网格中已知
tan∠1=，tan∠2= ，则∠1+∠2=45°
【结论2】如图所示，已知tanα=，∠EAF=45°，则tan∠DAF =
正方形网格中构建如图所示矩形,
假设正方形网格边长为1，则DF=1，AD=BC=3
∴tan∠DAF =
【结论3】如图所示，已知tan∠DAF=，∠EAF=45°，则tanα=
⑥上右图，若两个锐角α、β满足tanα=2 ，tanβ=3，则α+β=135°
【总结】
1）需要强调α+β=45°是数量关系而非位置关系，如果这两个角距离很远，没有公共端点，但是满足tanα= ，tanβ=，就有α+β=45°.实际上，tanα= ，tanβ=α+β=45°这三个条件，只要知道其中两个就可以推出剩下的一个，即知二推一.
2）“5”模型的结论可在选择题、填空题中直接使用，但在解答题中不能直接使用.
1．如图所示的网格是正方形网格，则 （点A，B，C，D，E是网格线交点）．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ．
3．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
4．如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
5．如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点，点为线段的中点，连结，若，则的值为 ．
类型六 其它模型
题型01 三平行模型
条件 AB∥EF∥CD
图示
结论
1．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ．
2．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在相对的两栋楼、中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形．．．甲从点可以看到点处，乙从点可以看到点处．点是的中点．墙高5.5米，米，米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．
4．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
5．（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；
小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
题型02 三角形内接矩形模型
类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形
图示
解题大招 在 ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y
在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则
【提示】大招结论切勿死记硬背，解题时首先根据已知条件得到 AGF∽ ABC，从而得到，再将相关数值代入求解.
1．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ．
2．阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：如图1，在中，，作的角平分线，交斜边于点D；然后过点D，分别作，的垂线，垂足分别为F，E，则．（依据1）容易证明四边形是正方形．
用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．
如图2，如果的内接正方形的一边恰好在斜边上，我就可用如下方法，
第一步：过直角顶点C作，垂足为D；
第二步，延长到M，使得，连接；
第三步：作的平分线，交于点E；
第四步：过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，K，交于点F，的延长线交交于G；
第五步：分别过点F，G作的垂线，垂足分别为N，H．
则四边形就是的内接正方形，并且恰好在该直角三角形的斜边上．
理由如下：易证四边形是正方形，．
∵，，，，同理可得：．（依据2）
；．
学习任务：
(1)材料中画横线部分的依据分别是：
依据1：__________；依据2：__________．
(2)请完成图2说理过程的剩余部分．
(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形，再将正方形转化为正方形，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是__________．（填出字母代号即可）．
A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．位似
3．如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点E、F在边上，G、H分别在上，则内接矩形的最大面积为 ．
4．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段程比例时也可以推出DE∥BC．
理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．
（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；
（2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；
（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形．并求出对角线EG的最短距离（不要求证明）．
题型03 角平分线分线段成比例模型
条件：已知AD平分∠BAC
图示：
结论：（即三角形一个内角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例）
1．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
2．聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充：
角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D， 求证： ．
可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是得到，从而打开思路．
【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明；
【现学现用】 利用角平分线定理解决如下问题：
（2）已知，中，是角平分线，， 则的长为 ；
（3）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度．
【问题解决】
（4）如图③，已知反比例函数 ，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
3．一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．
已知AD是的内角平分线．求证：．
[初步探究]小慧的证明思路是：如图，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．
请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程；
[类比研究]小慧类比上面的研究思路继续学习，如图，已知是的一个内角相邻的外角平分线，又会得到类似的一个什么结论呢？请你写出这个结论，并予以证明；
[应用拓展]如图，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则的长为____________．
4．已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
题型04 十字架模型
矩形十字架模型 直角三角形十字架模型
条件 矩形ABCD，AE⊥BF，FG⊥AE ∠ACB=90°，CD⊥AE
图示
结论 作DF⊥BC于点F，，
1）矩形十字架模型
1．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
2．（1）证明推断：如图①，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边，上，．
①求证：；
②推断：的值为 _______；
（2）类比探究：如图②，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．连接，若，，求的长．
2）直角三角形的十字架模型
1．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接，，，则的值为___________．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在中，，点在边上，连结，过点作于点，的延长线交边于点．若，，，则___________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)几何压轴题 相似模型
（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）
【题型汇总】
类型一 A型模型
类型 A型模型 作平行线构造A型相似
条件 DE∥BC 点D在线段AB上
图示
结论 ADE∽ ABC 过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为 如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为
题型01 直接用A型相似
1．如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，，拉杆， ，米，则两梯杆跨度、之间距离为（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，米，
∴，
∴，
即两梯杆跨度、之间距离为米，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【详解】解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴，，
∴，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴，
∴S△ANQ=1，
∵，
∴S△AOB=9，
∴k=2S△AOB=18，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．
3．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见详解
(2)5
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质可得，继而可证明是的切线；
（2）连接，可证，则由可求，再运用勾股定理求得，最后由即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等角的三角函数值相等，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型02 构造A型相似
1．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
【答案】2
【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．
【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴在等腰直角三角形中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴ ，
∴ ，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
2．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
3．如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）①证明见解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．
【分析】设AM＝a，AN＝b．由＝m，＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b．
（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，利用ASA证明△OBH≌△OCN，得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式＝，求解即可；
②由①的结论m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，证明△OBG∽△OCN，根据相似三角形对应边成比例得出＝，那么BG＝b．由BG∥AN列出比例式＝，整理即可得出m，n之间的关系.
【详解】解：设AM＝a，AN＝b.
∵＝m，＝n，
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.
（1）①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN.
在△OBH与△OCN中，
，
∴△OBH≌△OCN（ASA），
∴BH＝CN＝（n﹣1）b.
∵BH∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，
∴∠OBG＝∠OCN.
在△OBG与△OCN中，
，
∴△OBG∽△OCN，
∴＝，即＝k，
∴BG＝b.
∵BG∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝，
∴n＝k﹣km+1.
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.
题型03 反A型模型
类型 条件 图示 结论
反A型模型 ∠1=∠2 ADE∽ ABC， AD AC=AE AB
作垂线构造反“A”字相似模型 ∠B=90°，E为AB上的一点 ADE∽ ABC，AD AC=AE AB
1．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ．
【答案】5
【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可．
【详解】解：∵∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAB，
∴△DAE∽△CAB，
∴S△DAE：S△CAB=，
∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，
∴△ABC的面积=9+16=25，
∴，
∴AC=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【分析】（1）连接，利用，，证得，易证，故为的切线；
（2）证得，求得，利用求得答案即可．
【详解】证明： 连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
3．如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【答案】（1）4;（2）①90°；②
【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．
(1)求证：；
(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．
②当，时，试用含m，n，p的式子表示．
【答案】(1)见解析
(2)0，1，0
(3)①等腰三角形，理由见解析，②
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；
（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得，即可得出0，根据已知条件可得，，即可得出根据相似三角形的性质可得，根据恒等式变形，进而即可求解．
（3）①记的面积为，则，，根据已知条件可得，进而可得，得出，结合同弧所对的圆周角相等即可证明是等腰三角形；
②证明，，根据相似三角形的性质，得出，则，，计算即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
即，
又，
；
（2） ，
，
，
，
∵
∴，
∴，
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：0，1，0
（3）①记的面积为，
则，
，
①
，
即，
②
由①②可得，
即，
，
，
即，
∴点D和点C到的距离相等，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
则，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键．
5．【问题背景】（1）如图1，中，，求证：．
【问题探究】（2）如图2，中，，平分，于点，过点作的平行线交于点，作于点，猜想与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当时，直接写出的正切值．
【答案】（1）证明过程见解析；（2），证明过程见解析；（3）
【分析】（1）证明即可．
（2）延长交于点，证明，得到为的中点且为等腰三角形，根据，可证，可得为中点，即，最后证明 即可得．
（3）设，，由（2）得为等腰三角形，且，为中点，可得，，已知，则可表示，，，，由（2）得，可得，即可得到与的关系式，可表示的值，最后在中，即可得到的值．
【详解】（1）∵在与中：
∴
∴．
（2）．
延长交于点，
∵，
∴，
∵在与中：
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴在与中：
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即为中点，
∴，
∴，即，
故．
（3）设，，
∵由（2）得为等腰三角形，且，为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
故．
【点睛】本题考查相似三角形性质和判定，全等三角形的性质与判定，熟记相似三角形的判定方法和性质运用是解题的关键．
题型04 作垂线构造反“A”字相似模型
1．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 ．
【答案】3.4cm．
【分析】作OH⊥BC于H，如图，则CH＝BH，先利用勾股定理计算出BC＝，则CH＝，再证明Rt△COH∽Rt△CBA，然后利用相似比计算OC即可．
【详解】解：连接BC，作OH⊥BC于H，
则CH＝BH，
在Rt△ACB中，BC＝，
∴CH＝BC＝，
∵∠OCH＝∠BCA，
∴Rt△COH∽Rt△CBA，
∴，即，
解得，OC＝3.4．
故答案为：3.4cm．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
类型二 X型模型
类型 X型模型 作平行线构造X型相似
条件 AB∥CD =k
图示
结论 AOB∽ COD 过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C，则可构造 AOB∽ COD，可得
题型01 直接用X型相似
1．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．
先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
，
，
∴
，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
2．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．
【答案】1.5
【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长．
【详解】解：∵AD与BC交于O点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式．
3．如图1是一张折叠型方桌子，图是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，．
(1)若，求的长；
(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．结果保留整数参考数值，
【答案】(1)AB的长为cm
(2)AB距离地面的高为48cm
【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形的应用，
（1）先证明，再由相似三角形的性质求出的长即可；
（2）过点作于点，于点，在中，，在中，，，进而作答即可．
【详解】（1）解：，，
与是等腰三角形，
，
，
，
即的长为；
（2）过点作于点，于点，如图，
∵，
∴E、O、F三点共线，
，与是等腰三角形，
，
在中，
，
在中，
，
，
距离地面的高为．
4．某小区的居民筹集资金元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2.当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若△AMB和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？
【答案】（1）640元；（2）茉莉花．
【分析】（1）由梯形的性质得到AD平行BC从而得到△AMD和△CMB相似，通过相似的性质即可得到△BMC的面积，即可算出所需费用；
（2）通过三角形等高时，得到面积比等于底的比，即可通过△AMD得到△AMB的面积，同理得到△DMC的面积，再分别算出种植两种花时所需的费用，比较大小即可求出结果．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴．
∵种满△AMD地带花费160元，∴S△AMD==20（m2），∴S△CMB=4S△AMD=80（m2），∴种满△BMC地带所需的费用为80×8=640（元）．
（2）∵△AMD∽△CMB，∴===．
∵△AMD与△AMB等高，∴，∴S△AMB=2S△AMD=40（m2）．
同理可求S△DMC=40m2．
当△AMB和△DMC地带种植玫瑰花时，所需总费用为160＋640＋80×12=（元），
当△AMB和△DMC地带种植茉莉花时，所需总费用为160＋640＋80×10=（元），
∴种植茉莉花刚好用完所筹资金．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、梯形的几何特征，熟知三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型02 构造X型相似
1．如图，G为ABC的重心，AG=12，则AD= ．
【答案】18
【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时△ABC的中位线，从而可以得到DE∥AC且DE=AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∵AG=12，
∴DG=6，
∴AD=AG+GD=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则 ．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中
，
∴△CEF≌△MAF（AAS），
∴CE＝AM，
∵CE＝AB，
∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，
∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
3．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF AB=BC DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF EG=AF DG．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由BC2=BF BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可．
【详解】证明：（1）∵BC2=BF BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF AB=BC DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
为的中位线，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，
∴，
∴，
即2DF EG=AF DG．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
题型03 双反X型模型（蝶形模型）
条件：∠OAB=∠ODC
图示：
结论： AOB∽ DOC ， AOD∽ BOC
1．已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)求证：DA OC＝OD CE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B＝∠ADE，由于，根据SAS得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，于是得到∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到，由∠AOD＝∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠B＝∠ADE，
∵，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，
∵∠COD＝∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴，
∵∠AOD＝∠COE，
∴△AOD∽△EOC，
∴DA：CE＝OD：OC，
即DA OC＝OD CE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．探索发现：如图1，等边中，为中点，、分别是、上的两点，．
(1)求证：；
(2)为上一点，若，求的值；
迁移拓展：
(3)如图2，等腰中，为斜边的中点，为中点，．是上的点，，为上一点，若，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明可证的结论；
（2）连接，，如图，设、交点为M，根据全等三角形的性质和三角形的外角和求得，进而求得，再根据等边三角形性质求得，，则，证明，和得到，利用余弦定义求解即可；
（3）连接，，根据等腰直角三角形性质得到，，，，即，进而得到，证明，得到，进而求得，则，证明和得到，，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，又，
∴，
∴；
（2）解：连接，，如图，设、交点为M，
∵，
∴，
∵
∴，
∵等边中，为中点，
∴，，
∴，又，
∴，
∴，即，又，
∴，
∴，则，
∴，
则；
（3）解：连接，，
∵是等腰直角三角形，为斜边的中点，
∴，，，，即，
∵，，
∴，则，
∴，则，
∴，
∵，
∴，则，
∴，又为中点，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
∵为中点，,
∴ ，，又，
∴，
∴，∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的判定与性质探究边角关系是解答的关键．
类型三 母子相似
题型01 母子相似模型
类型 母子相似模型 构造母子相似模型
条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C
图示
结论 ACD∽ ABC， 延长BE交AC于点F ABF∽ ACB 过点C作CG∥BF交AB延长线于点G, ABC∽ ACG
1．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD=．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE BC，求出BC，则可求出AD．
【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2=BE BC，
∴BC===，
∴AD=．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
2．探索发现；（1）如图1，在中，；求证：；
初步应用：（2）如图2，在中，，，，连接、；求证：．
迁移拓展：（3）如图3，在中，，H为上一点使，过H作交AB于G，，求的值；
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质即可证明结论；
（2）先证明可得，进而得到即，再结合可证，则；由正弦的定义可得，再运用等量代换即可证明结论；
（3）由平行线等分线段和比的性质可得，即G是的中点；进而说明，设设，则 ，然后代入可得，最后代入计算即可
【详解】解：（1）在和中，，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即G是的中点，
∴，
设，则 ，
∵，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)为的理想点,理由见解析
(2)或
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
4．【探究发现】
（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．
①若．求的长度；
②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．
【答案】（1），；（2），见详解；（3）①；②
【分析】
（1）证，得，，再由平行线的判定得即可；
（2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论；
（3）①延长至，连接,先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质即可；②如图，过点作交的延长线于点，点从点向点动时，点从点向点运动，均同时减小，故点在点时，最小，再根据勾股定理即可．
【详解】
（1）解：为边的中点，
，
，，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）解：，理由如下：
如图2，延长至点，使，连接，
为的中点，
，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
；
（3）解：①延长至，连接,
为边的中点,，
，
，
，，
，
在中，，，，D为边的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
②如图，过点作交的延长线于点，
点从点向点动时，点从点向点运动，均同时减小，
故点在点时，最小，
此时，
，即，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，
．
故的最小值为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
题型02 射影定理模型
类型 射影定理 作高用射影定理
条件 ∠ABC=∠ADB=90° F,A,B三点共线，C,A,E三点共线，∠ACB=∠AFE=90°
图示
结论 1） ABD∽ ACB∽ BCD 2) , , 3）AB BC=BD AC（面积法） 过点C作CD⊥AB于点D AFE∽ ADC∽ ACB∽ CDB
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，∠A=∠ODA，则有∠A=∠COE=∠DOE=∠ODA，然后可得△COE≌△DOE，进而问题可求证；
（2）连接CD，由题意易得∠ADC=90°，然后可证△ADC∽△CDB，则有，进而可得CD=6，最后利用勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：连接OD，OE，如图所示：
∵，
∴∠A=∠ODA，
∵点E是边BC的中点，
∴OE∥AB，
∴∠DOE=∠ODA，∠A=∠COE，
∴∠DOE=∠COE，
∵，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ADC∽△CDB，
∴，即，
∵AD＝4，BD＝9，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
2．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．
(1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______．
(2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接，
①试利用射影定理证明；
②若，求的长．
【答案】(1)，
(2)见解析；
(3)①见解析；②．
【分析】（1）根据题意，即可解答；
（2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到；
（3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论；
（2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是．
故答案为：，；
（2）证明：如图，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：如图，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
而，
∴；
②∵，
而，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
3．阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：
①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵是斜边上的高，∴．∵，，
∴．∴（依据）．∴．即．
(1)材料中的“依据”是指 ；
(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．
【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似
(2)见解析
(3)顶点A的坐标为或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算．
（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答；
（2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明；
（3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标．
【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似，
故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似；
（2）证明：②，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
③，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴顶点A的坐标为或．
4．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
【答案】
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公式求得结果．
【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
∵∠ADC＝90°，CD=2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
类型四 一线三等角模型
类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型）
条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90°
图示
结论 ABC∽ CDE 或BC CD=AB DE ABC∽ CDE 或BC CD=AB DE
【一线三等角/一线三垂直的出题样式】
题目中一般不会直接给出一线三等角模型/一线三垂直模型标准样式，需要结合题目信息，进行构建.以一线三垂直模型为例，当有直角三角形和过直角顶点的直线时，即可作垂线构造“一线三垂直”相似样型，当三个相等角不是直角时，亦可构造“一线三等角”相似模型.
题型01 一线三垂直模型
1．如图，四边形为正方形，．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
【答案】(1)见解析
(2)添加，证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定；
（1）证明有两对角相等即可判断；
（2）假设，可以推出即可．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：添加，
如果，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故添加：，能证明．
2．如图将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连结、、．
(1)求证：；
(2)如图，擦去折痕、线段，连结动点在线段上（点M与点P、A不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点探究：当点M、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，矩形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的折叠与性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可知得到，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）作交于Q，根据等角对等边，得，再见由等腰三角形的性质得，然后证明，得，得出，最后由求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
．
由折叠可得：，
．
，
∽；
（2）解：作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
3．如图1，在边长为4的正方形中，点H为上一动点，且，截取，且交线段于M，过M作的垂线交于N．
(1)求证：；
(2)如图2，若点M是的中点，求的周长；
(3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，的周长如何变化？请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)的周长；
(3)在点O的运动过程中，的周长P始终为8，是一个定值，理由见解析．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）由正方形的性质以及垂直的定义可得、，进而得到，再结合即可证明结论；
（2）由题意可得，设，则，由勾股定理可得，解得，即；再根据相似三角形的性质可得，进而得到、，最后根据三角形周长的定义即可解答；
（3）设，则，在中运用勾股定理可得，即、；再根据相似三角形的周长比等于相似比可得的周长的周长，最后代入数据化简即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴；
∵
∴，
∴，；
∴；
又∵；
∴．
（2）解：∵点M是的中点，正方形边长为4，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
∴
∵；
∴，即
∴，，
∴的周长．
（3）解：在点H的运动过程中，的周长P始终为8，是一个定值，理由如下：
设，则，
在中，
∴，即，
又∵，
∵；且相似比为：
∴的周长的周长．
∴在点H的运动过程中，的周长始终为8，是一个定值．
题型02 一线三等角模型
1．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．
(1)证明：；
(2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论；
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
，
；
（2）解： ，，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得：，
①当时，
，
，
，
，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上，
此情况不符合题意．
②当时，如图，
，
由（1）可知：，，
∴，
，
；
③当时，，
∵
是等腰三角形，，即，
．
综上，或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．
2．四边形中，点E在边上，连结．
(1)如图1，若，证明：．
(2)如图2，若四边形为矩形，，，且与E、B、C为顶点的三角形相似，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)或1或4
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识．
（1）由点E在边上，且，得，，所以，又因为，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明；
（2）分两种情况：或，设，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可．
【详解】（1）证明：∵点E在边上，且，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2、如图3，
分两种情况：
设，
∵，
当时，
∴，
∴，
解得；
时，
∴，
∴，
解得：，
综上，或1或4．
3．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
4．（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
故答案为：
（2）．
证明：同（1）可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，
则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键．
类型五 热考模型
题型01 对角互补模型
【基础模型】
条件：如图，在 ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE
图示：
解题策略：
方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明 EDM∽ EFN，所以,
由于,则.
方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G, 由已知条件易证明 ADE∽ GFE， BGE∽ BAC，所以，，由于AE=BE，则
结论：
1．如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为 ；当时，的值为 ．（用含m，n的式子表示）
【答案】
【分析】过点O作，，先证得，得，设，则，求得，，由勾股定理得，再证得，即可求解；同理，当时，求得，即可求解．
【详解】解：过点O作，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，若，则，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理，可得，
同理，．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线．
2．如图（1），在中，，点是边的中点．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，将三角板绕点旋转，使它的两条直角边分别与线段，交于点，．
(1)如图（2），当时，猜想线段，之间的数量关系，并给予证明．
(2)佳佳发现，在三角板旋转过程中，，请你利用图（1）证明这个结论．
(3)当点，重合时，如图（3），线段，，之间满足一定的等量关系，请你探索，，之间的数量关系．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的判定定理得到四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）过点作于，于，证明，根据相似三角形的性质证明即可；
（3）过点作于，于，根据相似三角形的性质得到，代入计算，证明结论．
【详解】（1）解：，
理由如下：，，，
四边形为矩形，
，，
点是边的中点，
，
；
（2）证明：如图（1），过点作于，于，
则四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，点是边的中点，
，，
，
；
（3）如图（3），，理由如下：
过点作于，于，则四边形为矩形，
点是边的中点，
，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
整理得，．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系．
(1)【初步成知】
如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．
小亮： 证明：连接． 由题意，可知， 即为的中点． 平分， ． ． ． ． ． ． ． 小红： 证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形． ． 易得． ． ……
(2)【深入探究】
①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）
(3)【拓展运用】
在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长．
【答案】(1)详见解析
(2)①，详见解析；②
(3)
【分析】（1）证明．由全等三角形的性质得出；
（2）①过点作于点于点，证出，证明．可则得出；
②分两种情况，方法同①，由相似三角形的性质可得出结论；
（3）连接，证出点M在线段的垂直平分线上运动．则可得出答案．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴．
．
，即．
又，
．
（2）过点作于点于点，如解图1所示，
则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．
．
易得
．
由四边形是矩形，得．
．
，即．
又
．
，
即．
②．
当点在线段上时，同①可得，即；
当点在的延长线上时，如解图2所示；当点在的延长线上时，如解图3所示．
在解图2，3中，过点作于点于点，则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．
．易得，
．
由四边形是矩形，得
．
．
又，
，
即．
（3）．
连接，如解图4所示．
的中点为
．
点在线段的垂直平分线上运动．
当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点；
当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点．
点运动的路径长为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
【答案】（1）1；（2）①；②成立，证明见解析
【分析】（1）先根据角互余求出∠A＝∠DCB，从而可得∠ADE＝∠CDF，再利用两次三角形相似的判定与性质即可得；
（2）①参照（1）的方法，利用两次三角形相似的判定与性质即可得；
②参照（1）的方法，先根据角互余求出∠A＝∠DCB，从而可得∠ADE＝∠CDF，再利用两次三角形相似的判定与性质即可得．
【详解】（1）当m＝n时，即BC＝AC
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵CD⊥AB
∴∠DCB+∠ABC＝90°
∴∠A＝∠DCB
∵∠FDE＝∠ADC＝90°
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE
即∠ADE＝∠CDF
∴△ADE∽△CDF
∴=
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°
∴△ADC∽△CDB
∴==1，即=1；
（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB
∴===，即=；
②成立．证明如下：
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
又∵CD⊥AB
∴∠DCB+∠ABC＝90°
∴∠A＝∠DCB
∵∠FDE＝∠ADC＝90°
∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE
即∠ADE＝∠CDF
∴△ADE∽△CDF
∴=
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°
∴△ADC∽△CDB
∴==
∴=．
【点睛】本题考查了角互余、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握并灵活运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
题型02 角含半角相似模型
90°含45° 120°含60°
条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°,BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°,AD=AE
图示
结论 BAE∽ ADE∽ CDA BAE∽ ADE∽ CDA
1．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ．
【答案】（1）成立；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可；
（2）根据正方形性质得出即可；
（3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可．
【详解】解：（1）结论成立
理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
又∵，
∴,
∴
∵,
∴,
故结论成立；
（2）证明：如图2，
∵四边形是正方形，
∴,
∵，
∴,
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）线段的长为cm
理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N，
又∵四边形为菱形,且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，，
∴
∵,
∴，
∴
∴,
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴cm，
∴ ，
∴线段的长为 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键．
2．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，
∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．
【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】
【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可；
【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解；
【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明；
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解；
【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
【知识迁移】．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．
过点作交边于点，连接．
由旋转的特征得．
由题意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
【拓展应用】．
证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，
将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则．
则，，
，
，
在和中
，
，
∴，
过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．
由旋转的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四边形为矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键．
3．如图，在中，C、D为边上的两个动点，．
(1)若，则与相似吗 为什么
(2)若（即C、D重合），则_______°时，；
(3)当和满足怎样的数量关系时， 请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)90；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）由条件可证明为等边三角形，结合可得到，可证明；
（2）由，知，则，当时，，进而可知，即可得结论；
（3）由，知，可得，则当时，，则，再结合三角形内角和可找到和之间的数量关系．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
则为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，则，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：90；
（3）当和满足时，，理由如下：
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
则，
又∵。
∴
即：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
题型03 手拉手相似模型
条件：在 ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE，
图示：
解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明 ABD∽ ACE
结论： ABD∽ ACE， ADE∽ ABC
1．如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若 ，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，从而利用等式的性质可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，再利用平移的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，最后证明，从而可得，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由平移得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
【答案】/0.8
【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵在中，，，，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
3．问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且．数学思考：
(1)在图1中，的值为 ；
(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；
(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
(3)∠APE=∠ABC，理由见解析
(4)结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）根据旋转的性质得到∠BAD=∠CAE，由（1）可证明△BAD∽△CAE，从而可证∠APE+∠ABC得到；
（3）由（2）可证∠ABD=∠ACE，证明△AFB∽△PFC和△AFP∽△BFC即可得到结论；
（4）证明∠ABD=∠ACE，推出A、B、C、P四点共圆即可得到结论；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：中结论仍然成立，理由如下：
∵旋转的性质，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
在图2中，由旋转的性质可知，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴；
（3）解：∠APE=∠ABC，理由如下：
由（2）得△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵∠AFB=∠PFC，
∴△AFB∽△PFC，
∴，
∴，
又∵∠AFP=∠BFC，
∴△AFP∽△BFC，
∴∠CBF=∠PAF，
∵∠APE=∠ACE+∠PAF，∠ABC=∠ABF+∠CBF，
∴∠APE=∠ABC；
（4）解：（3）结论不成立，∠APE+∠ABC=180°，理由如下：
由（2）知，△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴A、B、C、P四点共圆，
∴∠APE+∠ABC=180°．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟练掌握相关三角形的性质与判定是解题的关键．
4．综合与实践
问题情境：如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，连接并延长交于点F．
猜想验证：
(1)试猜想与是否相似？并证明你的猜想．
探究证明：
(2)如图，连接交于点H，与相交于点G，是否成立？并说明理由．
拓展延伸：
(3)若，直接写出的值．
【答案】(1)，见解析
(2)成立，见解析
(3)
【分析】（1）利用旋转的性质，以及两组对应边对应成比例，夹角相等，证明三角形相似即可；
（2）证明，即可得证；
（3）利用等腰三角形的判定和性质，得到，进而得到，利用，对应边对应成比例，即可得解．
【详解】（1）．
证明：由旋转的性质可得，，，
，，
．
（2）成立．
理由如下：，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
．
（3）解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，证明三角形相似，是解题的关键．
5．问题背景：
如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．
【答案】（1），30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸：或
【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解；
（2）通过证明，可得，，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，，，，
，
如图2，设与交于点，与交于点，
绕点按逆时针方向旋转，
，
，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为，
故答案为：，；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设与交于点，与交于点，
将绕点按逆时针方向旋转，
，
又 ，
，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为．
拓展延伸：如图4，当点在的上方时，过点作于，
，，点是边的中点，，
，，，
，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
的面积；
如图5，当点在的下方时，过点作，交的延长线于，
同理可求：的面积；
故答案为：或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值．
【答案】（1）见解析；（2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可；
（2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；
（3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD，
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG，
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。
证明：∵四边形ABCD菱形
∴AB=AD
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG
∵∠EAG=∠BAD
∴
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H
∵四边形AEFG和ABCD为矩形
∴
∴
∵
∴△EAB∽△GAD
∴
∴
∴
∴
，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
题型04 5模型
模型简述：若两个锐角α、β满足tanα= ，tanβ=，则α+β=45°，上面的条件，只要其中两个条件成立，另一个条件也成立.（知二推一）
【结论1】如图所示，在正方形网格中已知
tan∠1=，tan∠2= ，则∠1+∠2=45°
【结论2】如图所示，已知tanα=，∠EAF=45°，则tan∠DAF =
正方形网格中构建如图所示矩形,
假设正方形网格边长为1，则DF=1，AD=BC=3
∴tan∠DAF =
【结论3】如图所示，已知tan∠DAF=，∠EAF=45°，则tanα=
⑥上右图，若两个锐角α、β满足tanα=2 ，tanβ=3，则α+β=135°
【总结】
1）需要强调α+β=45°是数量关系而非位置关系，如果这两个角距离很远，没有公共端点，但是满足tanα= ，tanβ=，就有α+β=45°.实际上，tanα= ，tanβ=α+β=45°这三个条件，只要知道其中两个就可以推出剩下的一个，即知二推一.
2）“5”模型的结论可在选择题、填空题中直接使用，但在解答题中不能直接使用.
1．如图所示的网格是正方形网格，则 （点A，B，C，D，E是网格线交点）．
【答案】
【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．
【详解】连接AD，如图：
∵，，，
即，
∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC，
∴∠ACD，
∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ．
【答案】
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x=
∴AF=
故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
3．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
在中,
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
4．如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：如图所示，连接AE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90°
∵G为BC的中点
∴BG=GC=4
由折叠的性质可得AF=AB=8，BG=GF=4，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
∵AE=AE，AF=AD=8
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL）
∴DE=EF
设DE=EF=x，则EC=8-x
在Rt△CEG中，
GC2+EC2=GE2，即
解得
故选：C．
【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键．
5．如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接交于N，过点F作于H，由正方形的性质得，，，，由勾股定理得，再证明，得，从而求得，，继而求得，，，然后证明，得，即，从而求得，继而求得，最后证明，得∴，即，从而可求得．
【详解】解：连接交于N，过点F作于H，如图，
∵正方形，
∴，，，，
∴，
∵点，分别为，的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题词考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点，点为线段的中点，连结，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】构造相似三角形，对的取值分析进行讨论，在时，点在轴的负半轴，而此时，，不合题意；故．由相似比求得边的相应关系．
【详解】解：作，连接．则，,如图，
由可得．
∴，
∴．
当时，，
所以，此时，故不合题意．
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，即
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形．
类型六 其它模型
题型01 三平行模型
条件 AB∥EF∥CD
图示
结论
1．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ．
【答案】
【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 ,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．
【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB，
∴ ，
∴
即,
又∵，
∴，
解得,
故填：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．
2．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．
【详解】解：、，，
∴，
，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，
点是的中点，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．
3．如图，在相对的两栋楼、中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形．．．甲从点可以看到点处，乙从点可以看到点处．点是的中点．墙高5.5米，米，米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．
【答案】米
【分析】首先可证，得，则（米，再证，根据对应边成比例可得的长，用即可得出答案．
【详解】解：，，
，
又，
，
同理可得，
点是的中点，
（米，
，
（米，
米，
（米，
，
（米，
甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：（米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形，还要注意数形结合思想的应用．
2．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．
【详解】解：、，，
∴，
，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，
点是的中点，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．
3．如图，在相对的两栋楼、中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形．．．甲从点可以看到点处，乙从点可以看到点处．点是的中点．墙高5.5米，米，米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．
【答案】米
【分析】首先可证，得，则（米，再证，根据对应边成比例可得的长，用即可得出答案．
【详解】解：，，
，
又，
，
同理可得，
点是的中点，
（米，
，
（米，
米，
（米，
，
（米，
甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：（米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形，还要注意数形结合思想的应用．
4．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，．即可得出，即证明；
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．由（1）同理可得，变形为，即．
【详解】（1）证明：∵AB∥EF
∴．
∵CD∥EF
∴，
∴，
∴；
（2）关系式为：，
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．
由（1）同理可得：
∴
即．
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．
5．（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；
小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得．
（2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；
（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
同理可得：，
∴，
两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
两边同时除以得，，
∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，
∴，解得，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件．
题型02 三角形内接矩形模型
类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形
图示
解题大招 在 ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y
在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则
【提示】大招结论切勿死记硬背，解题时首先根据已知条件得到 AGF∽ ABC，从而得到，再将相关数值代入求解.
1．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：设正方形的边长为，则，．
四边形是正方形，
．
．
又，
∴，
．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，，，，
，
解得．
故答案为：．
2．阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：如图1，在中，，作的角平分线，交斜边于点D；然后过点D，分别作，的垂线，垂足分别为F，E，则．（依据1）容易证明四边形是正方形．
用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．
如图2，如果的内接正方形的一边恰好在斜边上，我就可用如下方法，
第一步：过直角顶点C作，垂足为D；
第二步，延长到M，使得，连接；
第三步：作的平分线，交于点E；
第四步：过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，K，交于点F，的延长线交交于G；
第五步：分别过点F，G作的垂线，垂足分别为N，H．
则四边形就是的内接正方形，并且恰好在该直角三角形的斜边上．
理由如下：易证四边形是正方形，．
∵，，，，同理可得：．（依据2）
；．
学习任务：
(1)材料中画横线部分的依据分别是：
依据1：__________；依据2：__________．
(2)请完成图2说理过程的剩余部分．
(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形，再将正方形转化为正方形，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是__________．（填出字母代号即可）．
A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．位似
【答案】(1)角平分线的性质；两个角对应相等的两个三角形相似
(2)证明见解析
(3)B
【分析】（1）根据角平分线的性质定理与相似三角形的判定定理可得答案；
（2）由（1）得：四边形是正方形，．证明，．；，证明，，证明，从而可得结论；
（3）由作图可得答案．
【详解】（1）解：依据1：角平分线的性质；
依据2：两个角对应相等的两个三角形相似；
（2）理由如下：由（1）得：四边形是正方形，．
∴，
∵，
∴，．（依据2）
∴；，
∴，
∵，
∴，
∴，
由作图可得：四边形，四边形是矩形，
∴，
∵是的角平分线，且
∴
∴，
∴四边形，四边形是正方形，
∴四边形就是的内接正方形，并且恰好在该直角三角形的斜边上．
（3）由作图可得：先做图形，再将正方形转化为正方形，由于这两个正方形的边，在同一直线上，因此在转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是平移；
故选：B．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，平移变换的理解，掌握基础作图的方法及相似三角形的判定是解本题的关键．
3．如图，已知在中，，高，内接矩形的顶点E、F在边上，G、H分别在上，则内接矩形的最大面积为 ．
【答案】80
【分析】利用矩形的性质和平行线之间的距离相等的性质可得，设，则；利用相似三角形的判定与性质、对应高的比对应相似比求得线段的长度，再利用矩形的面积公式求得用含x的代数式表示的矩形的面积，最后利用配方法和二次函数的性质解答即可解答论．
【详解】解：∵四边形矩形，
∴．
∵，
∴，
设，则．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
∴矩形的面积为，
∵，
∴当时，内接矩形的最大面积为80．
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、用二次函数求最值等知识点，列出矩形的面积函数解析式是解题的关键．
4．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段程比例时也可以推出DE∥BC．
理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．
（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；
（2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；
（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形．并求出对角线EG的最短距离（不要求证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图形见解析，最短距离为
【分析】（1）根据题意，利用平移的性质画出矩形PBQH即可；
（2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR，利用平行线分线段成比例，由PH∥BC，DG∥BC，可得对应线段成比例，再由PH=DG可证RH，BC，AG，AC四条线段对应成比例，可得到AR∥GH，再由HG∥BC，利用平行线的传递性，可证得结论；
（3）如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F ，易得到四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短即就是EG的长，利用勾股定理求出GR的长，再求出BH的长，然后利用平行四边形的对边相等，可求出EG的长．
【详解】（1）解：矩形PBQH如图1所示
（2）解：如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR
∵PH∥BC，
∴
∵DG∥BC，
∴
∵PH=DG，
∴
∴AR∥HG，
∵HG∥BC，
∴AR∥BC
（3）解：如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F
则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG=BH，故此时矩形的对角线EG最短）．
在Rt△RBC中，
∵BC=600，BR=200
∴CR=
∴BH=
由（2）可知EG=BH=．
【点睛】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用（2）中的添加辅助线的方法解决问题（3），灵活应用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
题型03 角平分线分线段成比例模型
条件：已知AD平分∠BAC
图示：
结论：（即三角形一个内角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例）
1．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
【答案】(1)详见解析
(2)①DE=；②
【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；
（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折叠可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
2．聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充：
角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D， 求证： ．
可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是得到，从而打开思路．
【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明；
【现学现用】 利用角平分线定理解决如下问题：
（2）已知，中，是角平分线，， 则的长为 ；
（3）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度．
【问题解决】
（4）如图③，已知反比例函数 ，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或；（4）
【分析】（1）根据题目所给的思路进行证明即可；
（2）由角平分线定理 得到，则；
（3）由折叠的性质可得，由角平分线定理得到，，设，再分当时， 当时， 两种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
（4）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则，进而求出，得到，则由角平分线定理得到；由反比例函数的对称性可得，则，证明，得到，，证明，得到，可设，则，求出（负值舍去），得到，则．
【详解】解：（1）如图所示，过点B作交延长线于点E，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵中，是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）由折叠的性质可得，
∴，，
∴；
设
当时，由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
当时，同理可得，
解得（负值舍去），
∴
综上所述，的长为或；
（4）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
由反比例函数的对称性可得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴可设，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线定理，证明角平分线定理是解题的关键．
3．一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．
已知AD是的内角平分线．求证：．
[初步探究]小慧的证明思路是：如图，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．
请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程；
[类比研究]小慧类比上面的研究思路继续学习，如图，已知是的一个内角相邻的外角平分线，又会得到类似的一个什么结论呢？请你写出这个结论，并予以证明；
[应用拓展]如图，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则的长为____________．
【答案】[初步探究]见解析；[类比研究]见解析；[应用拓展]
【
