相似三角形综合压轴题
模型梳理 2
【题型1】A字模型 9
【题型2】“8”字型 15
【题型3】三角形内接矩形 22
【题型4】倒数型（三平行结构） 26
【题型5】A字型与8字型相综合（用2次相似） 28
【题型6】射影定理 34
【题型7】子母相似模型（公共边公共角） 39
【题型8】一线三等角模型 49
【题型9】旋转相似模型（手拉手） 58
【题型10】作辅助线构造A字和8字型相似 74
【题型11】反“8”字型相似（两组相似，四点共圆） 84
【题型12】十字架模型 89
【题型13】对角互补模型 99
【题型14】双高模型 103
【题型15】折叠与相似综合 106
【题型16】结合已知条件作辅助线构造相似 122
【题型17】相似三角形探究性问题 131
模型梳理
一、A字模型
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．
结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等）
反A字型
结论：＝＝．（共线的边之积相等）
构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型
二、8字模型
已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD．
结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）．
构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型
三、反8字模型（两组相似，四点共圆）
性质一：如左图，∠A＝∠D △AOB∽△DOC ．
性质二：如右图，△AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似)
性质三：四点共圆 (圆周角定理)
四、三角形内接矩形型
三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．
若四边形DEFG为矩形，则：
特别地，
(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则：
(2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为
(3)
证明：把△FGC向左平移至△，则，∴
五、倒数模型（三平行结构）
倒数型相似 AB∥EF∥CD 示意图 结论
六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边) ＝共线的边之积）
补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型．
（2）在圆中也会出现射影定理模型．
七、母子相似模型
（一）基本模型
已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．
结论：△ACD∽△ABC， ＝＝，AC 2＝AD·AB．(公共边) ＝共线的边之积
（二）结论推导
结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC 2＝AD·AB．
证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC 2＝AD·AB．
母子相似模型也叫共边共角相似模型．
（三）解题技巧
如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积．
八、一线三等角模型
（一）基本模型
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．
结论1：△CAP∽△PBD．
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．
结论2：△APC∽△BDP．
（二）结论推导
结论1：△CAP∽△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．
结论2：△APC∽△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1=∠2=∠3=90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查
九、旋转相似模型(手拉手)
（一）基本模型
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A旋转．
结论：△ABD∽△ACE．
（二）结论推导
结论：△ABD∽△ACE．
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴＝．
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
（三）解题技巧
如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似．在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解．
十、十字架模型
【正方形内的十字架结构】 垂直相等，相等垂直
【十字结构在矩形中】
如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则，即CE和BD之比等于矩形邻边之比
一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上）
【十字结构在直角三角形中】
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可
如图，把边长为AB＝，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长
如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值
十一、对角互补模型
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。
十二、双高模型
双高模型：可谓“相似成灾”
【题型1】A字模型
【例题1】小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
【答案】路灯的高度为6.3米
【详解】解：且
，，
，
设，则，
又，
，即，
解得：，
经检验是原方程的解，
【例题2】如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2；(2)6
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
【例题3】如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：由作图方法可知是线段的垂直平分线，
∴点E是的中点，
∴是的中线，
又∵是的中线，且与交于点F，
∴点F是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∴
【巩固练习1】如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴
【巩固练习2】如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．
(1)求证：，(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，∵，
∴，，
∴，
解得，
∴．
【巩固练习3】如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵的面积是2，
∴点到的距离为，
在中，点到的距离为，
∴点到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，故答案为：
【巩固练习4】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
【题型2】“8”字型
【例题1】如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴
【例题2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴
【例题3】如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
【答案】
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去）
【巩固练习1】如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：设的距离为，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴
【巩固练习2】如图，在中，为边上的点，，连接交于点，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴
【巩固练习3】如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，同理可得：，再进一步证明即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，，
，
同理可得，，
∴
又，
即，
又，
．
【巩固练习4】如图，点为正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交于点，如果，那么的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理．先证明，得到与的数量关系，进而求得，设正方形的边长为，再根据勾股定理列出的方程求得结果便可．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
正方形关于对称，
，
，
，
设，则，
，
，
即，
解得
【巩固练习5】如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，记与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【题型3】三角形内接矩形
【例题1】如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【答案】
【详解】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，解得，∴
【巩固练习1】如图，是的高，点E、F在边上，点G在边上，点H在边上，，高，四边形是内接正方形，
(1)与相似吗？为什么？
求内接正方形边长．
【答案】(1)相似，理由见解析;(2)
【详解】（1）解：相似，理由如下：
∵四边形是内接正方形，
∴，
∴；
（2）设与的交点为M，
∵，
∴
∴,解得
【巩固练习2】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
【答案】矩形的长为mm，宽是mm．
【详解】解：∵PQMN是矩形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
设边PN为xmm，则PQ为2xmm，
即
∵AD是高，
∴PN∥AD，
∴△PBN∽△ABD，
∴
即，，
∵AP+BP＝AB，
∴＝1，
解得x＝，2x＝．
即长为mm，宽为mm．
答：矩形的长为mm，宽是mm
【巩固练习3】如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
【答案】（1）；（2），当x＝4时，S有最大值20
【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH＝GF：BC，
∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，
∴(8﹣y)：8＝y：10，
解得：y＝；
设EF＝x，则KH＝x．
∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，
由（1）可知：，
解得：GF＝10﹣x，
∴s＝GF EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，
∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20
【题型4】倒数型（三平行结构）
【例题1】如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
【巩固练习1】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴，
∴= ,=，
∴+=+==1.
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，∴EF=．
【巩固练习2】如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：、为边的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，是的中位线，
，
∵，则，
，
，
，即，解得：
【题型5】A字型与8字型相综合（用2次相似）
【例题1】如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
【答案】C
【详解】解：是的中位线，，，
，，，∴
【例题2】如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∵，
∴，即，
整理得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，∴，即，
整理得：，∴，∵，
∴，即，整理得：，故答案为：2，．
【例题2】如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
证明，得出，，求出，的长，证明，得出，则可得出答案．
【详解】解：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【巩固练习1】如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是得到，学会设参数，属于中考常考题型．
设，则，，由，得，求出，再由，得，求出，再通过计算即可得结论．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
∴．
【巩固练习2】如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可．
【详解】解：菱形的边长为6，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【巩固练习3】如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，连接BD，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
而，
∴四边形为平行四边形，
∴，
由，设，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型6】射影定理
【例题1】如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解．
【详解】解：∵，
设，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等，
∴，即
【例题2】在中，是斜边上的高．
证明：；
若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴
【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E，延长BD交AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求△BFC的面积．
解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．
∵∠ADB＝∠CEA＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE＝3，
∴BD＝AE＝AD＋DE＝4，
∴AB＝AC＝＝＝5．
∵∠ABD＝∠FBA，∠ADB＝∠FAB，
∴△ABD∽△FBA，∴＝＝，
∴AF＝，∴CF＝＝，
∴S△BFC ＝S△ABC ＝＝．
【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，则＝_________．
【答案】
【解析】过点B作BE⊥AC于点E．
∵∠DAC＝90°，∴∠BEO＝∠DAO．
∵∠BOE＝∠DOA，∴△BOE∽△DOA，
∴＝＝．
∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，∠BAE＝∠CBE＝∠CAB，
∴△AEB∽△BEC∽△ABC，∴＝＝＝，
∴CE＝2BE＝4AE．
设OE＝4a，则OA＝3a，AE＝7a，CE＝28a，OC＝32a，
∴＝＝＝．
【巩固练习3】如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）AF·GF=2EG，证明见解析；
BE的长为 .
【详解】(1)证明：∵△AEF是由△ADF折叠得到的
∴AD=AE，∠DAG=∠EAG
又∵AG=AG
∴△AGE≌△AGD
（2）AF×GF=2EG 证明如下：
连接DE交GF于点O
∵△AEF是由△ADF折叠得到的
∠DAG=∠EAG，DF=EF
∵△AGE≌△AGD
∴GD=GE，∠ AGD=∠AGE
∴∠ FGD=∠FGE
∵EG∥CD
∴∠DFG=∠FGE
∴∠ FGD=∠DFG
∴GD=DF
∴GD=EG=EF=DF
∴四边形DGEF是菱形
AF⊥DE，OF=GF
∴∠ADF=∠DOF =90°
又∵∠DFO=∠DFA
∴△DFO∽△AFD
∴
∴OF×AF=DF
∵OF=GF, DF=EG
∴GF×AF= EG
即：AF×GF=2EG
过点G作GH⊥CD于H
则四边形CHGE是矩形，
∴CE=GH
设GF=x，则AF=6+x
∵AF×GF=2EG EG=2
∴x(6+x)=40
解得：x=4
∴GF=4,
∴ AF=6+4=10
在Rt△AEF中
AE=
∴BC=AD=AE=4
∵GH∥AD
∴△FGH∽△FAD
∴
∴
∴CE=GH=
∴BE=BC-CE=4-=
【题型7】子母相似模型（公共边公共角）
【例题1】如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
【答案】
【详解】
法一图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．
法二：【解析】过点A作AH⊥BC于点H．
则BH＝＝3，AH＝．
∵BD＝2，∴DH＝1，∴AD＝＝．
∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠PBD．
∵∠ADB＝∠BDP，∴△ABD∽△BPD，
∴＝＝，∴＝＝，
∴BP＝，PD＝，∴AP＝，
∴△ABP的周长＝＝．
【例题2】如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为
【答案】
【分析】利用勾股定理求得和的长，证明，得到，推出，得到，设，，再证明，得到，据此求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，过点B作的垂线，垂足为点，如图，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
设，，，
∵，，
∴，
∴，即，
整理得，
解得或，
经检验或都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
∴
【例题3】如图1，在△ABC中，AD为中线，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）若AC＝CE，BC＝6，求EF的长；
（3）如图2，若BF＝，BC＝4，求EF的长．
【详解】（1）证明：∵∠ABC＝∠E，∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB．
（2）如图1，过点C作CG∥AF交EF于点G．
∵AD是中线，∴BD＝DC，∴BF＝FG．
∵AC＝CE，∴FG＝GE．
∵△ABC∽△AEB，∴＝＝，
∴AB 2＝AC·AE＝AC 2，∴AB＝，
∴＝，∴BE＝＝，
∴EF＝＝．
如图2，过点C作CH∥EF交AF于点H．
则∠BDF＝∠CDH，∠BFD＝∠CHD．
∵BD＝CD，∴△BDF≌△CDH，∴CH＝BF＝．
设AC＝a，AE＝k 2a，则AB 2＝AC·AE＝k 2a 2，AB＝ka．
∵CH∥EF，∴△ACH∽△AEF，∴＝，
∴＝，∴EF＝．
∵＝，∴＝，
解得k＝（舍去）或k＝，
∴EF＝＝．
【巩固练习1】如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解；(2)
【详解】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，解得：
【巩固练习2】如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明，可得,设，则,再证明，可得，可得，从而可得结论．
【详解】解：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴,而，，
∴,
设，则,
同理可得：，
∴,
∴,
∴,
∴,即，
∴.
【巩固练习3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，已知AD＝9，BD＝7，AC＝12．
（1）求证：AC 2＝AD·AB；（2）若AE＝8，求EF的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝16，AC 2＝144，
∴AD·AB＝9×16＝144，∴AC 2＝AD·AB．
解：∵AC 2＝AD·AB，∴＝．
∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACE＝∠ABF．
∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAF，
∴△ACE∽△ABF，∴＝，
∴＝，AF＝，EF＝．
【巩固练习4】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在A' 处，连接CA' 并延长交DE于点F，若A'C＝2，A'F＝3，求EF的长．
【详解】解：过点A' 作A'G∥DE，交CD于点G，延长EA' 交CD于点H．
则＝＝，∴DG＝＝．
由题意，∠HDE＝∠AED＝∠HED，
∴DH＝EH，∴DG＝A'E＝AE＝．
设∠ADF＝∠A'DF＝x，则∠A'DC＝60°－2x，
∠DA'C＝∠DCA'＝60°＋x，∴∠DFA'＝60°，
∴∠A'FE＝120°＝∠DA'E．
∵∠A'EF＝∠DEA'，∴△A'EF∽△DEA'，
∴＝，∴＝，∴EF＝．
【巩固练习5】 如图，等边△ABC 中，点D，E分别在边CA，CB上，且CD = AE，BD交CE于P，PF平分∠BPC交BC于点F,若AB 2，PF = 1,则 CE = 。
【简析】易知△黄≌黄，则△HCP∽△HFC，解得CE =3
【法二】
【法三】
【巩固练习6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°，过点B作BF⊥BC，交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：AE 2＝BE·DE；
（2）求证：△AFE∽△CAE；
（3）若tan∠BEF＝，CE＝2，求AF的长．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABE＝∠ACE＝45°．
∵∠DAE＝45°，∴∠ABE＝∠DAE．
∵∠AEB＝∠DEA，∴△ABE∽△DAE，
∴＝，∴AE 2＝BE·DE．
（2）如图1，过点A作AG⊥AF，交BC的延长线于点G．
则∠BAF＝∠CAG，∠ABF＝∠ACG＝135°．
∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACG．
∴AF＝AG，∠BFD＝∠G．
∵∠DAE＝45°，∴∠GAE＝45°．
∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，
∴∠AFE＝∠G＝45°－∠CAG＝∠CAE．
∵∠FAE＝∠ACE＝45°，∴△AFE∽△CAE．
（3）∵△ABF≌△ACG，∴BF＝CG．
由tan∠BEF＝，可设BF＝3a，则BE＝4a，
CG＝3a，EG＝EF＝5a，EC＝2a＝2，
∴a＝1，∴BE＝4，BF＝3，EF＝5．
∵△AFE∽△CAE，∴＝＝，
∴AE 2＝CE·EF＝2×5＝10，∴AE＝．
如图2，过点A作AH⊥BC于点H，则AH＝CH．
设AH＝CH＝x，则EH＝x－2．
在Rt△AHE中，( x－2 )2＋x 2＝10，
解得x＝－1（舍去）或x＝3，∴AC＝，
∴＝，∴AF＝．
【巩固练习7】在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，
（1）求证：：
（2）当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)①；②
【详解】（1）证明：，，
又，
且，
，
，
即：；
解：①过点做，
设，则，
又为中点且，
．
，
，
，，
又，
，
解得：；
过点做，垂足为点，
为等腰直角三角形，
且，
，
，
又，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【题型8】一线三等角模型
【例题1】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是边AB上一点，BD＝2，点F是边AC上一点，若在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，则CF的长为_________．
【答案】4.5
【解析】由题意，△BDE∽△CEF，∴＝，
∴＝，∴BE 2－6BE＋2CF＝0．
∵在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝6 2－4×2CF＝0，∴CF＝4.5．
【例题2】如图，将等边△ABC折叠，使点B落在AC边上的点F处，折痕为DE，若AF＝4，CF＝8，则CE的长为_________．
【答案】5
【解析】由题意，可知等边△ABC的边长为4＋8＝12．
设BD＝DF＝x，BE＝EF＝y，则AD＝12－x，CE＝12－y．
由∠A＝∠DFE＝∠C＝60°，可得△ADF∽△CFE，
∴＝＝，∴＝＝，
∴x＝，∴＝，
解得y＝7，∴CE＝12－y＝5．
【例题3】如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【简证】如图，出现一线两等角可构造一线三等角，作AF⊥AD交CD延长线于F，相似比为，故EC为
【巩固练习1】如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴
【巩固练习2】如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交于点M，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
过点O作交AD、BC于点H、N，根据题意得出，，确定，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，确定，利用等量代换得出，再次利用正切函数及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作交于点H、N，如图所示：
∵，E、F分别是边的中点，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【巩固练习3】如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H， ．若，，则菱形ABCD的边长为 ．
【答案】9
【详解】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则BH=a-7，BG=a-3，
∴∠ACB=60°，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH=∠ACG=60°，
∴∠BGH=∠CAG，
∵∠B=∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴，
∴，
∴a2-10a+9=0，
∴a=9或1（舍弃），
∴AB=9
【巩固练习4】如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
如图2，求证：CE CF＝2AB2．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵∠BCF＝∠DCE，
∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA，
∴∠ACF＝∠ACE，
∴AC平分∠EAF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（ASA），
∴CE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB，
∵∠EAF＝45°，
∴∠FAC＋∠EAC＝45°，
∵∠ACB是△ACE的一个外角，
∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°，
∴∠AEC＝∠FAC，
由（1）得：∠ACF＝∠ACE，
∴△ECA∽△ACF，
∴＝，
∴AC2＝CE CF，
∴（AB）2＝CE CF，
∴CE CF＝2AB2
【巩固练习5】如图，点E是正方形 的对角线延长线上一点，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，交于点G．
求证：；
若正方形的边长为4，点G为的中点，求的长．
【答案】(1)检查详解；(2)
【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线，
∴，，，
∵，
，
∴，
∵绕点B顺时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
解：∵正方形的边长为4，点G为的中点，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴
【巩固练习6】如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.
试判断的形状，并说明理由；
若，，求及的长；
若，求的值.
【答案】(1)等边三角形，理由见解析；(2)，；(3)的值为或
【详解】（1）在菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形．
（2）过B点作，垂足为P，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将射线绕点逆时针旋转60°，得到线段，
∴，
∴，
又∵，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
设，，
如图，过E点作交于H，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴的值为或．
【题型9】旋转相似模型（手拉手）
【例题1】如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
【答案】
【详解】∵在中，，，，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【例题2】已知：如图，在四边形中，，，，连接、，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】作于点，作交的延长线于点，证明，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，证明为等腰直角三角形，求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，即可．
【详解】解：作于点，作交的延长线于点，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【例题3在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)一致；理由见解析
(3)
【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论；
（2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论；
（3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出．
【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示：
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下：
延长交于点H，如图所示：
∵将绕点旋转得到，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
又∵，，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作于点N，如图所示：
根据旋转可知：，
∴，
∵在中，，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
根据解析（2）可知：．
【巩固练习1】如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝，连接BD，CE，并延长CE交BD于点F，交AB于点G，求sin∠BFC的值为_________．
【答案】
【解析】∵∠ABC＝∠ADE＝90°，＝，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，∴∠ABF＝∠ACG．
∵∠BGF＝∠CGA，∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC＝∠sinBAC＝．
由＝，可设AB＝3m，则BC＝4m，AC＝5m，
∴sin∠BFC＝＝＝．
【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________．
【答案】5或
【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∠EDC＝90°，DE＝DC，
∴BC＝，EC＝，∠ACB＝∠DCE＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA，∴△BCE∽△ACD，
∴∠BEC＝∠ADC，∠EBC＝∠DAC．
设AD交BC于点F．
当点D在△ABC外部时，如图1．
∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠BEC，∴∠ACE＝∠ADC，
∴∠CAF＝∠DCE＝45°，∴∠AFC＝90°，
∴AF＝CF＝＝3．
∵AD＝1，∴DF＝4，
∴DC＝＝＝5．
当点D在△ABC内部时，如图2．
∵BE∥AC，∴∠EBC＝∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠EBC＝45°，∴∠AFC＝90°，
∴AF＝CF＝3，∴DF＝2，
∴DC＝＝＝．
综上所述，DC的长为5或．
【巩固练习3】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADC＝∠ACB＝60°，BD＝5，CD＝，则AD的长为_________．
【答案】2
【解析】过点A作AE⊥AD，过点D作DE⊥CD交AE于点E．
∵∠ADC＝60°，∴∠ADE＝30°．
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，
∴△ABC∽△ADE，∴＝．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，∴＝＝，
∴CE＝＝，∴DE＝＝，
∴AD＝＝2．
【巩固练习4】问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴
【巩固练习5】综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．
【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？
【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题．
（1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值．
【拓展应用】
（2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值．
（3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______．
【答案】（1）见解析，；（2）；（3）
【分析】（1）过点作于，交于，可证得，得出，由为定点，可得当时，即点与点重合时，最小，再利用解直角三角形求得即可；
（2）以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，可推出，，证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，利用解直角三角形求得，进而可求得的最小值；
（3）连接、交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，可证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，由点为定点，可得当，即点与点重合时，最小，运用解直角三角形即可求得答案．
【详解】解：（1）如图，过点M作于K，交于L，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，
∴
∴当最小时，最小，
∵M为定点，
∴当时，即点P与点K重合时，最小，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为；
（2）如图，以为边向下作正方形，连接交于点O，连接，过点O作于，交于T，
∵四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当BG取得最小值时，最小，
∵点O为定点，
∴当时，即点P与点重合时，最小，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
∴的最小值为，
（3）如图，连接交于O，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点Q，过点Q作于，交于K，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，最小，
∵点Q为定点，
∴当，即点P与点重合时，最小，
由（2）知：，
∴，
∴的最小值．
【巩固练习4】如图1，已知点为正方形内的一点，连接．将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
(1)如图1，直接写出线段与的关系；
(2)如图2，点为正方形外的一点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的面积．
【答案】(1)，理由见详解
(2)，理由见详解
(3)的面积为
【分析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质可证，得到，，如图所示，延长交于点，可得，，，由此即可求解；
（2）证明方法同（1）；
（3）如图所示，过点作交延长线于点，连接，过点作于点，证明，，设，则，分别表示出，，，在中运用勾股定理可得的值，由三角形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵四边形是正方形，
∴，
∵将线段绕点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，，
如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段与的关系为：；
（2）解：，理由如下，
∵四边形是正方形，
∴，
∵将线段绕点逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，，
如图所示，设与于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段与的关系为：；
（3）解：如图所示，过点作交延长线于点，连接，过点作于点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，即，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的面积为．
【题型10】作辅助线构造A字和8字型相似
【例题1】如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【答案】96
【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案．
【详解】解：作交于点H，则，
∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
【例题2】如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】解：延长AB、DE交于点H，如图所示：
在平行四边形中，，，
，
点为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
设，，
，，
将沿着直线翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
【例题3】如图，垂直外角角平分线于D点，过D作的垂线，交延长线于点E，连接交于点F，，那么的长为 ．
【答案】1
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，延长交于点H，延长，相交于点G，证明，则，，证明，求出，证明，求出，则，证明，得到,则，，得到，则，在中， ，则，即可求出的长．
【详解】解：延长交于点H，延长，相交于点G，
∵垂直外角角平分线于D点，
∴
∵
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
在中，
即,
解得（负值已舍去），
故答案为：1
【巩固练习1】如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．
解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果；
解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到．
【详解】解：解法一：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
解法二：作交于点H
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【巩固练习2】如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18
【巩固练习3】为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【答案】 /30度 /
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
【巩固练习4】如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 ．
【答案】12
【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出,
【巩固练习5】如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，经检验符合题意
【巩固练习6】如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：过点作，交延长线于点，如下图：
由题意可得：，，
∴
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴
【题型11】反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）
【例题1】如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
点四点共圆，在以为直径的圆上，
如图，连接，
由圆周角定理得：，，
，
，
，
在和中，，
，
，
【巩固练习1】如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则 ．
【答案】
【详解】连接PQ，
∵绕点D顺时针旋转与完全重合，
∴DF=DE，∠EDF=90°，，
∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAQ=∠BAQ=45°，
∴∠DFQ=∠DAQ=45°，
∴∠DFQ、∠DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角，
即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆，也可以用两次相似），
∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF，
∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°，
∴FQ=DQ=EQ，
∵A、B、C、D是正方形顶点，
∴AC、BD互相垂直平分，
∵点Q在对角线AC上，
∴BQ=DQ，
∴BQ=DQ=FQ=EQ，
∵∠AQF=∠ADF， ∠ADF=∠CDE，
∴∠AQF=∠CDE，
∵∠FAQ=∠PED=45°，
∴，
∴，
∴，
∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°，
∴，
∴，
∴
【巩固练习2】如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则线段的长是 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵将沿翻折，得到，
∴，
∴，，
∴，
∴
【巩固练习3】如图，以的斜边为一边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【详解】如图，取的中点，连接，以为半径为圆心作，过点作，
中，，，
四边形是正方形
，
，
四点共圆，
是等腰直角三角形
又
【题型12】十字架模型
【例题1】如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
【例题2】如图，在正方形中，点E是边上一点，其中．线段的垂直平分线分别交于点F，G，H，则的值为 ．
【答案】2
【12345模型秒杀】（和角公式，详情见本专辑“12345模型”）
设AE＝3t，则FB＝FE＝5t，故HC＝2t
【常规法详解】解：过H点作于M点，交于N，如图，设，
∵四边形为正方形，
∴，，
在中，，
∵垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，
∴，∴
【巩固练习1】【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．
请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】
如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，
由（1）中结论可得：，
∵，
∴设，，
∵点为的中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴，则，，
解得：，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
设，
则，，
∴，整理得：，
∴，
由（1）中结论可得：．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【巩固练习2】（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
【巩固练习3】我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
（1）如图1，在正方形中，，交于点，则 （填比值）；
【探究证明】
（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
【拓展运用】
（4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）；（4）．
【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值；
（2）甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；由矩形的性质得到，，，，，则四边形、均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据直角三角形的性质可得，则，根据相似三角形的性质求解即可；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点；根据矩形的判定与性质得出，，结合直角三角形的性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解：
（3）由矩形的性质可得，由勾股定理求得，由（2）可知，，据此计算求解即可；
（4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，连接，由“”可证，可得，通过证明，可得，，由勾股定理可求、、的长，结合（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2）证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；
四边形是矩形，
，，，，
四边形、均为平行四边形，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
；
乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点，
四边形是矩形，
，，，
四边形、均为矩形，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：由矩形的性质可得，，
由勾股定理得，
由（2）可知，，
即，
解得，
的长为；
（4）解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
（不合题意舍去），，
，
由（2）知，，
又，
，
，
，，
．
【题型13】对角互补模型
【例题1】已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、．
问题发现
（1）如图1，当为的中点，且，时，______；
（2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接，当______时，与相似．
【答案】（1）2；（2）2；（3）；（4）或
【详解】解：（1），，，
，，
点是的中点，
，是的中位线，
，，
则，故答案为：2；
（2）如图2，过点作于点，作于点，
则，
，即，
，
，即，
，
，
，
由（1）知，，，故答案为：2；
（3）如图3，过点作于点，于点，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
同（2）的方法知，知，；
如图3，连接，
在中，由勾股定理得：，
，
与相似有如下两种情况：
（Ⅰ），
则，
由（3）可知，，
整理，得：，
即，，
（Ⅱ），
则，由（3）可知，，
整理，得：，
；
综上，当或时，与相似
【巩固练习1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE=2PF时，AP=
【答案】6
【详解】解：如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝6∶8∶10=3∶4∶5，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝6，
∴x＝，
∴AP＝5x＝6．
【题型14】双高模型
【例题1】如图，锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，则AC边上的高为 ．
【答案】6
【详解】解：∵AD，CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC，
∴Rt△ABD∽Rt△CBE，
∴，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBE，
∵相似三角形面积比为相似比的平方，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，
∴= 9，
∴=3 ，
∴AC=3DE=3×2=6，
∴AC边上的高是
【巩固练习1】如图．已知锐角，AD、CE分别是BC、AB边上的高，和的面积分别是27和3，DE＝6．
（1）证明：；
（2）求点B到直线AC的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴，
∵，
，
，即，
在和中，，
∴；
由（1）知，，
∴，
∵和的面积分别为27和3，，
∴，
解得或（不符题意，舍去），
设点B到直线AC的距离为x，
，即，
解得，
即点B到直线AC的距离．
【巩固练习2】如图，是边上的高，点E在边上，联接交于点O，．
（1）求证：；
（2）联接，作平分，交于点F，交于点G．求证：．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
所以，
因为是边上的高，
所以，
所以即，
所以，
所以，
因为，
所以．
（2）证明：根据（1）得，
所以，
所以；
因为，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
【题型15】折叠与相似综合
【例题1】（广东省深圳市龙岗区统考）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，延长，交的延长线于点，根据正方形的性质和折叠的性质得出，得到是等边三角形，设， ，，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：延长，交的延长线于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中， ，
设，则，，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∴
【例题2】如图，在中，，，，点分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，于点．证明，推出，推出平分，推出，推出，，设，利用面积法构建方程求出，再利用勾股定理求出即可．本题考查翻折变换，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形等面积，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点，
平分，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
设，
，
，
，
，，
．
【例题3】如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
过E作于H，设与相交于M，
则，又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，则，
解得，（舍去），
即
【例题4】（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【巩固练习1】如图，在中，，，点、分别是、边上的点，将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上，且平分，若，则长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，延长交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出则，进而得出，证明得出，证明，得出，设，则，在中，得出，则，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，
∵将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上，
∴，，，
∵，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
∴
又，
∴
设，则
在中，
∴，又
∴
解得：
∴，
∴在中，
∴
【巩固练习2】在矩形中，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，连接并延长，交边于点，的延长线交于点，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】连接，设，则，证明，得出，求出，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，求出x的值即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
根据折叠可知：，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理得：
，
在中，，
∴，
解得：，负值舍去，
∴．
【巩固练习3】已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，则，即，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值．
【详解】解：如图，记的交点为F，设，，则，，，
由翻折的性质可知，，，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
【巩固练习4】如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长，，交于点M，结合，可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点G，
设
由折叠，可知，
∵，
∴，
∴，
延长，，交于点M，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【巩固练习5】如图，在中，，，，点为边上的一个点，连接，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在边上，过点作，交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长、交于点，作交的延长线于点，因为，所以，则，由，求得，由折叠得，则，得出，再证明，则，求得，再证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：延长、交于点，作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
，
由折叠得，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
【巩固练习6】在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；
（2）根据，求得的长度，从而得出长度；
（3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系．
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
【题型16】结合已知条件作辅助线构造相似
【例题1】如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
连接，交于点O，先证明，，进而可得，由，求出，，再由，得，即可求出的长．
【详解】解：连接，交于点O；
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴
【例题2】如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
【答案】
【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】解：连接，过E作于F，设，，
∵，为中点，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，则，又，
∴，
∴，，
∴，
则；
∵是的一条角平分线，
∴，又，
∴，
∴
∴，则，
∴，即，
解得（负值已舍去）
【巩固练习1】如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ．
【答案】
【分析】过点B作于M，过点D作，交的延长线于M，连接，根据题意易得为等边三角形，利用勾股定理求出，证明，易得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点B作于M，过点D作，交的延长线于N，连接，如下图所示：
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
【巩固练习2】如图，点E为中点，连接，若，，，求的长为 ．
【答案】
【分析】作于点，连接，由，得，，则，求得，由点为中点，点为中点，得，则，所以，而，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，连接，则，
，
，，
，，
，
点为中点，点为中点，
，
，
，
，，
，
，
，
【巩固练习3】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)①见解析；②或．
【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；
（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案；
（3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；
在延长线上取点F，使，连接；
②根据①中的三种情况讨论：
第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得；
第三种情况无交点，不符合题意．
【详解】（1）解：，为的中点，，，，
，，
，即，解得，
，
；
故答案为：1；；
（2）解：，理由如下：
根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点，
，；
又，
，
；
设，则，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：①第一种情况：
作的平行线，使，连接，
则四边形为平行四边形；
延长交于点，
，
，
，
，，
，即，
为的中点；
故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，
故为的中点；
同理可证明：，
则，
则四边形是平行四边形；
故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：
作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；
在延长线上取点F，使，连接，
则为的中点，
同理可证明，从而，
故四边形是平行四边形；
故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图，
由题意可知，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
过P作于H，则，
，，
，，
，
；
,，
，
，即
∴
若按照图2作图，
延长、交于点，
同理可得：是等腰三角形，
连接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
故答案为：或．
【题型17】相似三角形探究性问题
【例题1】数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究
如图2，若，求证：；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证；
（2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案；
（3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点为中点，
∴设，
由（1）知，
∴，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∵
∴；
（3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示：
∵点为中点，
∴设，
∵，
∴，，
在中，，则由勾股定理可得，
过点作于点，如图2所示：
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，点为中点，
∴，，，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【例题2】问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．
【答案】问题探究（1）；（2）；问题拓展：
【分析】
问题探究（1）在上截取，使得，证明得到，进一步证明，，即可求出；
（2）在上截取，使，连接，证明得到，求出得到，进而得到；
问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，先计算出，．在中，，，再求出，进而证明，得到，即可求出．
【详解】
解：问题探究（1）如图2中，在上截取，使得．
∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
∵，，
，
∵，
，
，
∵，，
∴，
，
，
；
（2）结论：；
理由：如图1中，在上截取，使，连接．
∵，，
．
∵，
，
．
∵，，
．
∵，
，
∴，
；
问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P．
∵，，
，．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴在中，，
，，
∴．
∵，
∴由（2）知，，
∴，
又∵，
，
，
，
．
【例题3】如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证；
（2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设正方形的边长为，则：，
延长交于点，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【例题4】【探究发现】
（1）如图（a），正方形的边长为6，E为边的中点，F是边上的一点，将沿对折，点B的对应点为点G，当点G恰好落在上时，求的长．
【能力提升】
（2）如图（b），E，F分别是矩形的边，上的点，，，F为的中点，将沿对折，点B的对应点为点G．连接，当时，求四边形的面积．
【拓展应用】
（3）菱形的边长为6，，E是边上一点，F是边上一点，将沿对折，点B的对应点为点G．当点G落在菱形的一条边或一条对角线上，且时，直接写出BF的长度．
【答案】（1）；（2）；（3）4，或
【分析】（1）连接，由可判定，由全等三角形的性质得，设，有勾股定理得，即可求解；
（2）连接，过作交于，交于，过作交于，设，则，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，，由勾股定理得，可求出、、，由即可求解；
（3）①当在边上时，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解；②当在边上时，延长交的延长线于，过作交于，交于， 设，，，由勾股定理得，可求出，进而求出、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ③当在对角线上时，设，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，
四边形是正方形，
，
是的中点，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
设，
，
，
，
在中
，
，
解得：，
；
（2）如图，连接，过作交于，交于，过作交于，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
，
，
，
F为的中点，
，
由折叠得：，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
在中，
，
，
解得：，
，
，
，
；
（3）①当在边上时，
，
由折叠得：，
，
是等边三角形，
；
②当在边上时，
如图，延长交的延长线于，过作交于，交于，
，
，
，
设，，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
在中
，
，
解得：，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
③当在对角线上时，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
设，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
经检验：是此方程的根；
；
综上所述：的长度为或或．
【巩固练习1】【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点，则点为边的三等分点．
证明过程如下：连接， 正方形沿折叠， ，① ， 又， ， ． 由题意可知是的中点，设（个单位），，则， 在中，可列方程：② ，（方程不要求化简） 解得：③ ，即是边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①： ，②： ，③： ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，，是上的一个三等分点且，连接，作点关于的对称点为，连接并延长与菱形的边交于点，请依照上述描述在图3中将图补全，并直接写出的长___________．
【答案】（1）①，②，③2；（2）是，见解析；（3）见解析，．
【分析】过程思考：（1）先根据两个三角形全等，可得到第一个空的条件，然后根据直角三角形的勾股定理可得到第二个空，最后求得结果即可；
（2）根据两个三角形相似以及平行线分线段成比例可得到边长之间的关系，即可证得结果；
拓展提升：根据E是上的一个三等分点，先根据对称性得到边长，然后根据三角形相似以及直角三角形的勾股定理可求得结果．
【详解】过程思考：解：（1）结合①下面两个三角形全等，可以得到该空为，此时可根据推断出两个三角形全等；
根据在直角三角形中三边满足勾股定理，即，
则；
将化简可得，
移项合并同类项得：，
解得：，
即，
故答案为：①，②，③2；
（2）点是边的三等分点，
证明如下：由第1步的操作可知，分别是，的中点，
是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
即，
点是边的三等分点；
拓展提升：（3）解：连接交于点，如图，
，，
四边形为菱形，
，
，
，
∴，
如图，连接，，与交点，
由对称性可知，，，，
，
，
设，则，即，
在中，，
即，
解得：（舍去），，
，
，，
，
．
，
．
【巩固练习2】问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证；
问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】问题背景：∵四边形是矩形，
∴，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
问题探究：如图所示，取的中点，连接，
∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵，是的中点，
∴
∴
∴，
∴；
问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．
【巩固练习3】如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
(3)将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作，交的延长线于点，如图，证明，得到，再通过线段的代换得出，即得，进而求解；
（2）延长并截取，如图，证明，得到，，再通过线段的代换得出，即得，进而求解；
（3）证明都是等边三角形，可得，，进而得，可证，设，则，根据相似三角形的性质求出，进而可得，过点作，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解.
【详解】（1）解：作，交的延长线于点，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延长并截取，连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延长并截取，连接，如图，由（2）可得，，
∴都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，，
∴，
∴，，
过点作
∴，
在中，，
在中，，
∵，则是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴.
【巩固练习4】【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出，
（2）作于点，由，得到，设，则，，，由，得到，，，由，得到，求出，，同理，，得到，，即可求解，
（3）作于H，交于G，则，，结合（2）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，
，
即，，
，
又，
，
在和中
，
．
．
（2）作于点，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）作于H，交于G，
平分，且，
，，
∵，，
∴，
，
，
过点，交于点M，
则四边形是平行四边形，，
∵，
∴
∴，
，，，
．
【巩固练习5】【问题发现】
（1）如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点沿着小明的思路思考下去，则的面积_____________；
【变式应用】
（2）如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，若，求的面积：
【问题拓展】
（3）如图3，在四边形中，，且，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用，求出，则有，再三角形面积公式求出即可；
（2）过点作，交于点，过点E作于点．则．再由（1）同理解决问题；
（3）过点作，作，交延长线于点，交于点，设，则，；，，，利用，即，列方程解决问题．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
∴，，，
将绕点顺时针旋转至，点E为 中点，
，，
，
点、、三点共线，
∵，
，
，
，
，
由图可知：，
∴；
故答案为：；
（2）在菱形中，，，
是等边三角形，，
由旋转可知：，，
，
，，三点共线，
如图，过点作，交于点，过点E作于点．
，，．
是等边三角形，．
，，
．
，．
．
，
．
．
在中，，
．
（3）过点作，作，交延长线于点，交于点，
∵，
∴，
，，
，
，
，
，则，
设，则，；，，，
将绕点顺时针旋转 至，
，
，
，
即，
过点作，过点作，
∴四边形矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，，
，
，
，
解得 （负值舍去），
经检验： 是方程的解，
．
【巩固练习6】问题提出
如图（1），是边上一点，将沿翻折至，延长交斜边于点，若，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当平分时，若，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；
【分析】（1）根据折叠的性质得到，从而根据题干得出，再利用求解即可；
（2）利用折叠产生角平分线，再过点构造平行线，从而产生等腰三角形，这样就将转化成了，再利用平行线分线段成比例和已知条件即可求解；
（3）延长交延长线于点，从而得到，再根据，设参表示出和，然后构造“8字型”相似建立方程即可得解．
【详解】（1）解：折叠，
，
，
，
，
；
（2）证明：过作交于点，则，
折叠，
，
，
，
；
（3）如图，延长交延长线于点，过作于点，
平分，
，
折叠，
，，
，
，
，
，
设，，
，
由（2）知，
，
，
∵，
，
，
，
，，
，
，即，
整理得，
解得（负值舍去），
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)相似三角形综合压轴题
模型梳理 2
【题型1】A字模型 9
【题型2】“8”字型 12
【题型3】三角形内接矩形 14
【题型4】倒数型（三平行结构） 16
【题型5】A字型与8字型相综合（用2次相似） 17
【题型6】射影定理 19
【题型7】子母相似模型（公共边公共角） 20
【题型8】一线三等角模型 24
【题型9】旋转相似模型（手拉手） 27
【题型10】作辅助线构造A字和8字型相似 31
【题型11】反“8”字型相似（两组相似，四点共圆） 34
【题型12】十字架模型 35
【题型13】对角互补模型 38
【题型14】双高模型 39
【题型15】折叠与相似综合 40
【题型16】结合已知条件作辅助线构造相似 44
【题型17】相似三角形探究性问题 46
模型梳理
一、A字模型
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．
结论：△ADE∽△ABC，＝＝．（共线的边之比相等）
反A字型
结论：＝＝．（共线的边之积相等）
构造A字模型：遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型
二、8字模型
已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD．
结论：△OAB∽△OCD，＝＝（共线的边之比相等）．
构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型
三、反8字模型（两组相似，四点共圆）
性质一：如左图，∠A＝∠D △AOB∽△DOC ．
性质二：如右图，△AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似)
性质三：四点共圆 (圆周角定理)
四、三角形内接矩形型
三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形．
若四边形DEFG为矩形，则：
特别地，
(1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则：
(2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为
(3)
证明：把△FGC向左平移至△，则，∴
五、倒数模型（三平行结构）
倒数型相似 AB∥EF∥CD 示意图 结论
六、射影定理模型（直角三角形和斜边上的高）
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边) ＝共线的边之积）
补充：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射影定理模型．
（2）在圆中也会出现射影定理模型．
七、母子相似模型
（一）基本模型
已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．
结论：△ACD∽△ABC， ＝＝，AC 2＝AD·AB．(公共边) ＝共线的边之积
（二）结论推导
结论：△ACD∽△ABC，＝＝，AC 2＝AD·AB．
证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC 2＝AD·AB．
母子相似模型也叫共边共角相似模型．
（三）解题技巧
如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段的乘积．
八、一线三等角模型
（一）基本模型
已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3．
结论1：△CAP∽△PBD．
已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3．
结论2：△APC∽△BDP．
（二）结论推导
结论1：△CAP∽△PBD．
证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．
结论2：△APC∽△BDP．
证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．
（三）解题技巧
在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1=∠2=∠3=90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查
九、旋转相似模型(手拉手)
（一）基本模型
已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A旋转．
结论：△ABD∽△ACE．
（二）结论推导
结论：△ABD∽△ACE．
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，∴＝．
∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．
（三）解题技巧
如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似．在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解．
十、十字架模型
【正方形内的十字架结构】 垂直相等，相等垂直
【十字结构在矩形中】
如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则，即CE和BD之比等于矩形邻边之比
一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上）
【十字结构在直角三角形中】
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可
如图，把边长为AB＝，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长
如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值
十一、对角互补模型
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似。
十二、双高模型
双高模型：可谓“相似成灾”
【题型1】A字模型
【例题1】小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度m，窗高m，某一时刻，m，m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
【例题2】如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
（1）若，求线段AD的长．
（2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【例题3】如图，中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．
【巩固练习1】如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ．
【巩固练习2】如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．
(1)求证：，(2)当，时，求的长．
【巩固练习3】如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ．
【巩固练习4】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【题型2】“8”字型
【例题1】如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．
【例题2】如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
【巩固练习1】如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
【巩固练习2】如图，在中，为边上的点，，连接交于点，的面积为，则的面积为 ．
【巩固练习3】如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【巩固练习4】如图，点为正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交于点，如果，那么的长为 ．
【巩固练习5】如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】三角形内接矩形
【例题1】如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
【巩固练习1】如图，是的高，点E、F在边上，点G在边上，点H在边上，，高，四边形是内接正方形，
(1)与相似吗？为什么？
求内接正方形边长．
【巩固练习2】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
【巩固练习3】如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．
【题型4】倒数型（三平行结构）
【例题1】如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【巩固练习1】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A． B． C． D．
【巩固练习2】如图，在中，点、为边三等分点，点、在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ．
【题型5】A字型与8字型相综合（用2次相似）
【例题1】如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
【例题2】如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
【例题2】如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F，连接交于点G．若，，则的长为 ．
【巩固练习1】如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【巩固练习3】如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】射影定理
【例题1】如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】在中，是斜边上的高．
证明：；
若，求的长．
【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E，延长BD交AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求△BFC的面积．
【巩固练习2】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，＝，＝，则＝_________．
【巩固练习3】如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.
（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长.
【题型7】子母相似模型（公共边公共角）
【例题1】如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
【例题2】如图，在中，，，，为中点，为上一点，连接、交于点，若，则的长为
【例题3】如图1，在△ABC中，AD为中线，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）若AC＝CE，BC＝6，求EF的长；
（3）如图2，若BF＝，BC＝4，求EF的长．
【巩固练习1】如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
求证：；(2)若，，求的长．
【巩固练习2】如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．
【巩固练习3】如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，已知AD＝9，BD＝7，AC＝12．
（1）求证：AC 2＝AD·AB；（2）若AE＝8，求EF的长．
【巩固练习4】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在A' 处，连接CA' 并延长交DE于点F，若A'C＝2，A'F＝3，求EF的长．
【巩固练习5】 如图，等边△ABC 中，点D，E分别在边CA，CB上，且CD = AE，BD交CE于P，PF平分∠BPC交BC于点F,若AB 2，PF = 1,则 CE = 。
【巩固练习6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°，过点B作BF⊥BC，交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：AE 2＝BE·DE；
（2）求证：△AFE∽△CAE；
（3）若tan∠BEF＝，CE＝2，求AF的长．
【巩固练习7】在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，
（1）求证：：
（2）当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
【题型8】一线三等角模型
【例题1】如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是边AB上一点，BD＝2，点F是边AC上一点，若在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，则CF的长为_________．
【例题2】如图，将等边△ABC折叠，使点B落在AC边上的点F处，折痕为DE，若AF＝4，CF＝8，则CE的长为_________．
【例题3】如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【巩固练习1】如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交于点M，若，则的长为 ．
【巩固练习3】如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H， ．若，，则菱形ABCD的边长为 ．
【巩固练习4】如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF．
如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF．
如图2，求证：CE CF＝2AB2．
【巩固练习5】如图，点E是正方形 的对角线延长线上一点，连接，将绕点B顺时针旋转至，连接，交于点G．
求证：；
若正方形的边长为4，点G为的中点，求的长．
【巩固练习6】如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转60°，分别交边于点，交对角线于点.
试判断的形状，并说明理由；
若，，求及的长；
若，求的值.
【题型9】旋转相似模型（手拉手）
【例题1】如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
【例题2】已知：如图，在四边形中，，，，连接、，若，，则的长为 ．
【例题3】在中，，，．
(1)问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【巩固练习1】如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝，连接BD，CE，并延长CE交BD于点F，交AB于点G，求sin∠BFC的值为_________．
【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________．
【巩固练习3】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADC＝∠ACB＝60°，BD＝5，CD＝，则AD的长为_________．
【巩固练习4】问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【巩固练习5】综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．
【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？
【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题．
（1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值．
【拓展应用】
（2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值．
（3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______．
【巩固练习4】如图1，已知点为正方形内的一点，连接．将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
(1)如图1，直接写出线段与的关系；
(2)如图2，点为正方形外的一点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的面积．
【题型10】作辅助线构造A字和8字型相似
【例题1】如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ．
【例题2】如图，在平行四边形中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果点为边的中点，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例题3】如图，垂直外角角平分线于D点，过D作的垂线，交延长线于点E，连接交于点F，，那么的长为 ．
【巩固练习1】如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A． B．3 C． D．4
【巩固练习2】如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【巩固练习3】为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．
【巩固练习4】如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 ．
【巩固练习5】如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】如图，等腰中，，点在上，且，连接，过点作于点，连接，则的值是 ．
【题型11】反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）
【例题1】如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【巩固练习1】如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将绕点D顺时针旋转与恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若，则 ．
【巩固练习2】如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则线段的长是 ．
【巩固练习3】如图，以的斜边为一边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则的长为 ．
【题型12】十字架模型
【例题1】如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【例题2】如图，在正方形中，点E是边上一点，其中．线段的垂直平分线分别交于点F，G，H，则的值为 ．
【巩固练习1】【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．
请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
【初步运用】
如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．
【灵活运用】
如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．
【巩固练习2】（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【巩固练习3】我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思，优化解法，多题归一，推陈出新．
【问题提出】
对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．
【图特殊化】
（1）如图1，在正方形中，，交于点，则 （填比值）；
【探究证明】
（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲方案：过点作交于点，过点作交于点；
乙方案：过点作交于点，过点作交于点．
请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论）
【结论应用】
（3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
【拓展运用】
（4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值．
【题型13】对角互补模型
【例题1】已知在中，，，，为边上的一点．过点D作射线，分别交边、于点、．
问题发现
（1）如图1，当为的中点，且，时，______；
（2）若为的中点，将绕点D旋转到图2位置时，______；
类比探究
（3）如图3，若改变点D的位置，且时，求的值，并写出解答过程；
问题解决
（4）如图3，连接，当______时，与相似．
【巩固练习1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB与点E，PN交BC与点F，当PE=2PF时，AP=
【题型14】双高模型
【例题1】如图，锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，则AC边上的高为 ．
【巩固练习1】如图．已知锐角，AD、CE分别是BC、AB边上的高，和的面积分别是27和3，DE＝6．
（1）证明：；
（2）求点B到直线AC的距离．
【巩固练习2】如图，是边上的高，点E在边上，联接交于点O，．
（1）求证：；
（2）联接，作平分，交于点F，交于点G．求证：．
【题型15】折叠与相似综合
【例题1】（广东省深圳市龙岗区统考）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ．
【例题2】如图，在中，，，，点分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为 ．
【例题3】如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
【例题4】（广东深圳·中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【巩固练习1】如图，在中，，，点、分别是、边上的点，将沿翻折，点的对应点恰好落在 的延长线上，且平分，若，则长为 ．
【巩固练习2】在矩形中，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，连接并延长，交边于点，的延长线交于点，若，，则的长为 ．
【巩固练习3】已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ．
【巩固练习4】如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ．
【巩固练习5】如图，在中，，，，点为边上的一个点，连接，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在边上，过点作，交于点，连接，则的长为 ．
【巩固练习6】在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【题型16】结合已知条件作辅助线构造相似
【例题1】如图，在矩形中，，，点、分别是、边上一点，连接、，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】p如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
【巩固练习1】如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ．
【巩固练习2】如图，点E为中点，连接，若，，，求的长为 ．
【巩固练习3】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
【题型17】相似三角形探究性问题
【例题1】数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点为边上一点，连接．
(1)初步探究
如图2，若，求证：；
(2)尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
(3)创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【例题2】问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．
【例题3】如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【例题4】【探究发现】
（1）如图（a），正方形的边长为6，E为边的中点，F是边上的一点，将沿对折，点B的对应点为点G，当点G恰好落在上时，求的长．
【能力提升】
（2）如图（b），E，F分别是矩形的边，上的点，，，F为的中点，将沿对折，点B的对应点为点G．连接，当时，求四边形的面积．
【拓展应用】
（3）菱形的边长为6，，E是边上一点，F是边上一点，将沿对折，点B的对应点为点G．当点G落在菱形的一条边或一条对角线上，且时，直接写出BF的长度．
【巩固练习1】【综合与实践】在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：将边沿翻折到的位置；
第3步：延长交于点，则点为边的三等分点．
证明过程如下：连接， 正方形沿折叠， ，① ， 又， ， ． 由题意可知是的中点，设（个单位），，则， 在中，可列方程：② ，（方程不要求化简） 解得：③ ，即是边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是①： ，②： ，③： ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，，，是上的一个三等分点且，连接，作点关于的对称点为，连接并延长与菱形的边交于点，请依照上述描述在图3中将图补全，并直接写出的长___________．
【巩固练习2】问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
【巩固练习3】如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系．
(3)将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值.
【巩固练习4】【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长．
【巩固练习5】【问题发现】
（1）如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点沿着小明的思路思考下去，则的面积_____________；
【变式应用】
（2）如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，若，求的面积：
【问题拓展】
（3）如图3，在四边形中，，且，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，直接写出的长．
【巩固练习6】问题提出
如图（1），是边上一点，将沿翻折至，延长交斜边于点，若，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图（2），当点E与点F重合时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当平分时，若，直接写出的长．
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