专题 相似三角形几何模型分类专题（20大模型）
【题型目录】
【题型1】“A字”模型.......................................................................................................................1;
【题型2】“反A字”模型..................................................................................................................2；
【题型3】“8字”模型.......................................................................................................................3;
【题型4】“反8字”模型..................................................................................................................3；
【题型5】“双A字”模型..................................................................................................................4；
【题型6】“双8字”模型..................................................................................................................5；
【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合....................................................................................6；
【题型8】“共边等角”模型..............................................................................................................6；
【题型9】“共顶点等角”模型..........................................................................................................7；
【题型10】“母子”模型....................................................................................................................8；
【题型11】“射影”模型....................................................................................................................9；
【题型12】“一线三直角”模型......................................................................................................10；
【题型13】“一线三等角”模型......................................................................................................12；
【题型14】“对角互补”模型..........................................................................................................13；
【题型15】“十字架”模型..............................................................................................................14；
【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型..................................................................................15；
【题型17】“双垂直等角”模型......................................................................................................16；
【题型18】“旋转相似”模型..........................................................................................................16；
【题型19】“旋转手拉手”模型......................................................................................................17；
【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”.......................................................................18.
【题型1】“A字”模型;
【1-1】如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【1-2】如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，则四边形的面积是 ．
【1-3】如图，在中，D在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【题型2】“反A字”模型；
【2-1】如图，中，，点D在边上，且交于点E．
(1)求证：；
(2)若，E是中点，求的长．
【2-2】如图，，分别是与边上的高．
求证：．
【2-3】如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【题型3】“8字”模型;
【3-1】如图，在菱形中，点E在上，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【3-2】如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于，则的面积等于（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【3-3】如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ．
【题型4】“反8字”模型；
【4-1】如图，已知在四边形中，与相交于点O，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【4-2】如图，，相交于点，．
(1)求证：；
(2)已知，，的面积为6，求的面积．
【4-3】已知：如图，在⊙O中，弦、相交于点P，，，，则 ．
【题型5】“双A字”模型；
【5-1】如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接．求证：．
【5-2】如图1，已知，是上一点，交于点，交于点，连接，与交于．求证：．
【5-3】如图，和相交于点，点在上，，．
(1)求的长；
(2)已知，求的面积．
【5-4】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为 ．
【题型6】“双8字”模型；
【6-1】如图，在中，点、分别在边、上，线段、相交于点，且，．若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【6-2】如图，平行四边形中，，，连交于，则 ．
【6-3】如图，平行四边形中，，，是对角线上的两点，且点，是线段的三等分点，交于点，交于点，则 ．
【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合；
【7-1】如图，，与相交于点E，若，，，则值是（ ）
A． B． C． D．
【7-2】如图，在平行四边形中，是边延长线上的一点，连结交边于点，交对角线于点G，若，则 ．
【题型8】“共边等角”模型；
【8-1】如图，平分，D为中点，，求证：．
【8-2】如图，在中，，，，于B，点D为射线上一点，连接，若与相似．
(1)求的长；
(2)请直接写出与的面积比．
【8-3】如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为 ．
【题型9】“共顶点等角”模”；
【9-1】在和中，，，求证：．
【9-2】在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【题型10】“母子”模型
【10-1】如图，的顶点A，B在上，边与相交于点D，，连接交于点E，．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
【10-2】如图，在正五边形中，连结交于点F
(1)求的度数．
(2)已知，求的长．
【10-3】如图，在中，D是上一点，已知．
(1)求证：；
(2)已知，，求的度数．
【10-4】如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【10-5】）探究：
(1)如图一，若，求证：；
(2)如图二，若，，求的长；
(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值．
【题型11】与“射影”模型；
【11-1】点G为的中点，，，△沿翻折使点落在上，四边形为矩形，求 ．
【11-2】如图，点是正方形边上一点，过作的垂线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为．点是的中点，求的长．
【11-3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结．
(1)如图，判断三角形的形状，并说明理由．
(2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间．
(3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型12】“一线三直角”模型；
【12-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（ ）
A．27 B．48 C．54 D．108
【12-2】（1）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由；
（2）如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
【12-3】如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．
(1)求证：； (2)若，，求的值；
【12-4】【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
【12-5】（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点．
【探究证明】求证：；
【特例分析】若，，为的中点，求的长．
【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值．
【题型13】“一线三等角”模型；
【13-1】如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【13-2】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
【13-3】[问题提出]
点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，（），交边于点G，H，连接．探究与的数量关系．
[问题探究]
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当时，的度数_____；当时，求与之间的数量关系．
[问题拓展]
当时，若，，则_____．
【题型14】“对角互补”模型；
【14-1】如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．
【14-2】如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为 ；当时，的值为 ．（用含m，n的式子表示）
【题型15】“十字架”模型；
【15-1】如图，在矩形中，是对角线，于点，交于点，，，求的长．
【15-2】如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ．
【15-3】（1）如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？
（2）如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值；
（3）如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长．
【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型；
【16-1】有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(2)当时，求加工成的矩形零件的周长．
【16-2】 如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为 ．
【16-3】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．
【16-4】如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证：
【题型17】“双垂直等角”模型
【17-1】如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长，交边于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【17-2】如图，在中，，，，E为线段上一动点，且，当点E从点B运动到点A时，点F的运动路径长为
【17-3】如图，和都是等腰直角三角形，，顶点在边上，与相交于点F，若，，则的面积为 ．
【题型18】“旋转相似”模型
【18-1】如图，和均为等腰直角三角形，，在内，．若，，则 ．
【18-2】如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：
（1）已知，则 （用含的代数式表示）；
（2）若，则的长为 ．
【题型19】“旋转手拉手”模型
【19-1】四边形和四边形有公共顶点A，连接和．
(1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，直接写出线段的长．
【19-2】【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出与的位置关系：_____________；与的数量关系为______________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并说明理由．（与的数量关系可用含式子表示）
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．
【19-3】如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ；
如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；
矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”.
【20-1】如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（ ）
A．8 B． C．4 D．10
【20-2】如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 相似三角形几何模型分类专题（20大模型）（专项练习）
【题型目录】
【题型1】“A字”模型.......................................................................................................................1;
【题型2】“反A字”模型..................................................................................................................4；
【题型3】“8字”模型.......................................................................................................................6;
【题型4】“反8字”模型..................................................................................................................8；
【题型5】“双A字”模型................................................................................................................11；
【题型6】“双8字”模型................................................................................................................15；
【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合..................................................................................18；
【题型8】“共边等角”模型............................................................................................................20；
【题型9】“共顶点等角”模型........................................................................................................23；
【题型10】“母子”模型..................................................................................................................24；
【题型11】“射影”模型..................................................................................................................31；
【题型12】“一线三直角”模型......................................................................................................37；
【题型13】“一线三等角”模型......................................................................................................47；
【题型14】“对角互补”模型..........................................................................................................53；
【题型15】“十字架”模型..............................................................................................................56；
【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型..................................................................................60；
【题型17】“双垂直等角”模型......................................................................................................64；
【题型18】“旋转相似”模型..........................................................................................................68；
【题型19】“旋转手拉手”模型......................................................................................................71；
【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”.......................................................................81.
【题型1】“A字”模型;
【1-1】如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由折叠性质得，，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．求得，并且证明是解题的关键．
解：由折叠得，，
，，
，
，，
，
，
，
故选：B．
【1-2】如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，则四边形的面积是 ．
【答案】36
【分析】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．首先连接，交于，由将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，即可得，且，又由，易得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由，，即可求得四边形的面积．
解：连接，交于，
将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，
，且，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
．
故答案为：36．
【1-3】如图，在中，D在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）由题意得出，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意得出，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．
解：（1）∵，
∴,
，
．
（2）由（1）可知，
，
，
，
，
．
【题型2】“反A字”模型；
【2-1】如图，中，，点D在边上，且交于点E．
(1)求证：；
(2)若，E是中点，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）由可得出，再结合公共角相等，即可证出；
（2）在中，点E为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
解：（1）证明：∵
∴．
又∵，
∴；
（2）在中，
∴
∵E是中点，
∴
∵，
∴
即
∴．
【2-2】如图，，分别是与边上的高．
求证：．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
证明：，分别是与边上的高，
，
，
，
，
即，
，
．
【2-3】如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆周角定理及其推论、等腰三角形判定与性质、圆内接四边形性质、相似三角形的判定与性质等知识，先由直径所对的圆周角是直角，再由等腰三角形三线合一得到，根据圆内接四边形性质得到，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案，熟练掌握圆的性质及相似三角形性质求线段长是解决问题的关键．
解：连接，如图所示：
为的直径，
，即，
在中，，
则，
四边形是的内接四边形，
，
在中，，
，
，
，
即，解得，
故选：B．
【题型3】“8字”模型;
【3-1】如图，在菱形中，点E在上，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质，三角形相似的判定和性质解答即可．
本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
解：∵四边形是菱形，，，
∴ ，
∴，
∴，
故选：D．
【3-2】如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于，则的面积等于（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质，根据三角形的面积公式求出的面积的值是本题解题关键由中边上的高和中边上的高相等可求得，根据相似三角形的判定证得，根据相似三角形的性质即可求得结果．
解：∵中边上的高和中边上的高相等，且，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积等于
故选：．
【3-3】如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，结合可证明，再证明，由相似三角形的性质可得，即可获得答案．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型4】“反8字”模型；
【4-1】如图，已知在四边形中，与相交于点O，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析； (2)9
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．
（1）可证明，可得到，从而，即可求证；
（2）利用，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：， ，
，
，
．
【4-2】如图，，相交于点，．
(1)求证：；
(2)已知，，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题主要考查了对顶角相等，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
（1）由对顶角相等可得，然后结合已知条件，利用两角对应相等即可得出结论；
（2）由（1）可知，由相似三角形的性质可得，然后结合已知条件，即可得出答案．
解：（1）证明：，相交于点，
，
又，
；
（2）由（1）可知：，
，
的面积为6，
，
的面积为．
【4-3】已知：如图，在⊙O中，弦、相交于点P，，，，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了圆周角定理及相似三角形判定与性质．利用三角形相似得到，然后把，，代入计算即可．
解：连接，
由题意得，，
，
，
，
，，，
∴．
故答案为：4．
【题型5】“双A字”模型；
【5-1】如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接．求证：．
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键。
延长到，使，连接、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，于是，即，再根据平行线分线段成比例得出，同理，等量代换得到，然后证明，得到，即可证明．
证明：如图，延长到，使，
连接、．
是的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
同理，
，
∵，
∴，
∴
．
【5-2】如图1，已知，是上一点，交于点，交于点，连接，与交于．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练地变换比例式．根据，可证得，，从而，进而得出．
证明：，
，，
，
．
【5-3】如图，和相交于点，点在上，，．
(1)求的长；
(2)已知，求的面积．
【答案】(1) (2)4
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，利用面积比得对应线段比证明线段平行，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）过作于，由，可证，可得，由，可得，可证，可得，可证，可得即可；
（2）由，可得即可．
解：（1）解：过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
（2）解：，
，
，
．
【5-4】据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为 ．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意可得，，证得，，可得，，进而可得，即可求解．
解：由题意得，，
，，
，，
①+②得，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：9．
【题型6】“双8字”模型；
【6-1】如图，在中，点、分别在边、上，线段、相交于点，且，．若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】过点作交的延长线于点，证明，由相似三角形的性质得出，同理，则，求出．则可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
解：如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
同理，
，
．
，
的面积为2，
的面积为7． 故选：D
【6-2】如图，平行四边形中，，，连交于，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，延长交的延长线于，证明，可得到，根据得到，再证明，即可利用相似三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：延长交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【6-3】如图，平行四边形中，，，是对角线上的两点，且点，是线段的三等分点，交于点，交于点，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据已知条件，先证明，则；然后证明，则，计算求解即可．
解：∵，是线段的三等分点，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合；
【7-1】如图，，与相交于点E，若，，，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握是解题的关键．
先利用得到，求得，然后利用，可证，根据相似三角形的性质可即求出的值．
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，解得，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【7-2】如图，在平行四边形中，是边延长线上的一点，连结交边于点，交对角线于点G，若，则 ．
【答案】2
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，进一步得到，证明，进一步得到，则，即可得到答案．
解：在平行四边形中，，，
，
；
∴
即
∵，
∴，
∴
∴，
∴
∴
故答案为：2
【题型8】“共边等角”模型；
【8-1】如图，平分，D为中点，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据D为中点，得，证明，根据相似三角形的性质即可证明结论．
证明：∵D为中点，
，
∵平分，
，
∵，
，
∴，
．
【8-2】如图，在中，，，，于B，点D为射线上一点，连接，若与相似．
(1)求的长；
(2)请直接写出与的面积比．
【答案】(1)6或； (2)或3．
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；
（2）分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可．
解：（1）在中，，，，
∴，
当时，，即，
解得：；
当时，，即，
解得：；
的长为6或；
（2）当时，面积比；
当时，面积比，
则与的面积比为或3．
【8-3】如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为 ．
【答案】
解得，，
答：水果园的面积为．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质．由相似三角形的性质得出，进而求出，设，则，由二次函数的性质可得出答案．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
设，
时，的最大值为．
故答案为：．
【题型9】“共顶点等角”模”；
【9-1】在和中，，，求证：．
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．
由，可得，由，可得，进而结论得证．
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【9-2】在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）此题主要考查相似三角形的判定，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据，即可得到，又因为，即可证明.
（2）此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比即可求解.
（1）证明：于点,于点
又为公共角
（2）解：,于点,于点
,,
【题型10】“母子”模型
【10-1】如图，的顶点A，B在上，边与相交于点D，，连接交于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质．
（1）利用圆周角定理求得，再推出，得到，据此即可证明是的切线；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
（1）证明：连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【10-2】如图，在正五边形中，连结交于点F
(1)求的度数．
(2)已知，求的长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据五边形是正五边形，判断出，，求出，进而可求出的度数；
（2）证明得，设，则，列出方程，解方程即可求出的长．
解：（1）∵五边形是正五边形，
，，
∴，
同理可求，
∴．
（2）∵，
∴，
同理可证，
∴四边形是菱形，
，
同理，
∴，
∵，
，
，即，
设，则，
，即，
解得（舍去负值），
的长是．
【点拨】本题考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．
【10-3】如图，在中，D是上一点，已知．
(1)求证：；
(2)已知，，求的度数．
【答案】(1)见解析； (2)．
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似；
（2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解
解：（1）证明：，，
，
（2）解：，，
，
，
．
【10-4】如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相关结论即可．
（1）证即可求解； （2）证得即可求解；
解：（1）证明：∵，
∴.
∵,
∴
∴.
（2）∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ,
∴,
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
【10-5】探究：
(1)如图一，若，求证：；
(2)如图二，若，，求的长；
(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值．
【答案】(1)见解析 (2) (3)5
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．
（1）证明，即可得出结论；
（2）作平分，证明，推出，等积法证明，进行求解即可；
（3）在上截取，连接，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的值即可得出结果．
解：（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）作平分，则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴点到距离相等，设点到距离均为，
∴，
又∵（同高三角形的面积比等于底边比），
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
（3）在上截取，连接，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
在中，，
∴，
∴的最小值为5．
【题型11】与“射影”模型；
【11-1】点G为的中点，，，△沿翻折使点落在上，四边形为矩形，求 ．
【答案】
【分析】连接，结合矩形的性质、旋转的性质可得，根据全等三角形的判定证明，可得．再证明，可得，即可求得，利用勾股定理可得，进而可得答案．
解：连接，
四边形为矩形，
．
点为的中点，
．
由翻折得，，，，
，，
，
∴，
，．
，
即，
．
，
．
，
，
，
即，
．
由勾股定理得，．
故答案为：．
【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【11-2】如图，点是正方形边上一点，过作的垂线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为．点是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；
（1）根据题意两个都是直角，再得出，即可证出；
（2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵
∴．
（2）∵，
∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵为中点，
∴
∴．
【11-3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结．
(1)如图，判断三角形的形状，并说明理由．
(2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间．
(3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2) (3)存在，P点坐标为，，，
【分析】（1）先解方程，得出，，再由，即，又，得到，则，证明，判断出为直角三角形；
（2）由于为定值，所以最小时，周长最短．由（1）知，那么延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短．求出的解析式，与直线的解析式联立组成方程组，解方程组求出点坐标，进而得到点运动的时间；
（3）由于，所以分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，分别求出的长，再分点在线段与线段的延长线上确定点的坐标．
解：（1）为直角三角形，理由如下：
，
，
，，
，．
，
，
，
又，
，
，
，
，
为直角三角形；
（2）设直线的解析式为，
，，
，解得，
．
如图，延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短．
与关于对称，
是的中点，
，，
．
设直线的解析式为，
，
故的解析式为，
由，解得：，
，
，
；
（3）在点的运动过程中，存在点，能够使以点，，为顶点的三角形与相似．
分两种情况：
①当时，，
则，解得．
，
如果点在线段上，那么，此时点与点重合，即；
如果点在线段的延长线上，此时点P与点C关于点B对称，
即；
②当时，，
则，解得．
．
如果点在线段上，过点作轴，则，
可得，
，
，
，
，
，
，
如果点在线段的延长线上，此时点与点关于点B对称，
即．
综上所述，所求点坐标为，，，．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．
【题型12】“一线三直角”模型；
【12-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（ ）
A．27 B．48 C．54 D．108
【答案】D
【分析】过作于F，交于E，设，，，通过证明，得到 ，解方程组求得m与n的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中k的值．
解：如图所示
过A′作于F，交于E，由折叠性质以及正方形性质可得：，
，
设，
∴，．
∵ 正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，
∴ ，．
∵，
即
解得：，．经检验符合题意；
∴
∴ 反比例函数中，
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键．
【12-2】（1）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由；
（2）如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）的值是定值，
【分析】（1）过点作，交于，证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）过点作，交于点，证明，得出，由直角三角形的性质得出结论．
解：．理由：
过点作，交于，
四边形是正方形，
，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴
∴，
，
，
；
的值定值．
过点作，交于点，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴四边形是矩形，
，
∴
∵，
∴
∴
∴，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【12-3】如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．
(1)求证：；
(2)若，，求的值；
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质等知识．
（1）可证得，，进而得出；
（2）由（1）得出，设，，由得出，求得k，进而得出结果．
解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵沿折叠为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
设，，
∵，，
∴，
∴，（舍去），
∴．
【12-4】【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或
【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可；
[深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可；
[拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可．
解：[初步感知]解：∵为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
解得，，
∴；
[深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H，
同理，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，，
∴，整理得，，
解得，或（舍去）；
∴；
[拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解；
当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
同理，，，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上所述：的值为或或．
【12-5】（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点．
【探究证明】求证：；
【特例分析】若，，为的中点，求的长．
【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值．
【题型13】“一线三等角”模型；
【13-1】如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得，得出答案．
解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的长是．
【13-2】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．
（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
【13-3】[问题提出]
点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，（），交边于点G，H，连接．探究与的数量关系．
[问题探究]
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当时，的度数_____；当时，求与之间的数量关系．
[问题拓展]
当时，若，，则_____．
【答案】[问题探究]（1）；（2），；[问题拓展]
【分析】[问题探究]：（1）在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，，则，可得到，则，进而得到；
（2）在上截取，使，连接．证明，得到，利用即可求解．
[问题拓展]：延长至，使，连接，，证明，设，则，，在中，根据勾股定理，得，再代入计算即可．
解：[问题探究]：（1）解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
，
，
∴
；
（2）解：如图，在上截取，使，连接．
∵，
，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
当时，
∵，
∴，
∴，
，
即；
[问题拓展]
解：由（1）中结论：是等腰直角三角形，则，
∴，
如图所示，延长至，使，连接，，
∵菱形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵是等腰三角形，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
∴，解得，即，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的长为．
【点拨】此题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合运用以上知识点，作出正确的辅助线是解题的关键．
【题型14】“对角互补”模型；
【14-1】如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．
过点D分别作于点N，于点H，得和是等腰直角三角形，进而可证，即可解答．
解：如解图，过点D分别作于点N，于点H，
，，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
设，则，
，，
，
∵，，，
四边形是矩形，
，
，
又∵，
，
，
，
．
【14-2】如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为 ；当时，的值为 ．（用含m，n的式子表示）
【答案】
【分析】过点O作，，先证得，得，设，则，求得，，由勾股定理得，再证得，即可求解；同理，当时，求得，即可求解．
解：过点O作，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，若，则，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理，可得，
同理，．
【点拨】此题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线．
【题型15】“十字架”模型；
【15-1】如图，在矩形中，是对角线，于点，交于点，，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，由同角的余角相等得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解。
解：四边形是矩形，
∴
∵，，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【15-2】如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
解：四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
【15-3】（1）如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？
（2）如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值；
（3）如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长．
【答案】（1），理由见详解（2）（3）
【分析】（1）先判断出，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论；
（2）构造出正方形，同（1）的方法得出，进而得出，再判断出，即可得出结论；
（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，，进而判断出，即可求出，再证明，建立方程即可得出结论．
解：（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2：过点A作， 过点C作，两线相交于M，延长交于G，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是矩形，
，
∴矩形是正方形，
，
同（1）的方法可得，，
，
又∵D为边的中点，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3：
在中，，
，
∵点D是的中点，
，
过点A作， 过点C作，两线相交于N，延长交于P，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是矩形，
∴，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型；
【16-1】有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(2)当时，求加工成的矩形零件的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，结合了平行线性质、相似三角形的判定和性质，注意数形结合的运用．
（1）根据题意得，，则．可证得，有化简即可；
（2）把代入，化解得，进一步求得y，经检验，x，y的取值均符合题意，利用周长公式求解即可．
解：（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，
则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
【16-2】 如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为 ．
【答案】/12平方厘米
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理；分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、M；由勾股定理求得的长，由面积关系即可求得高；由题意得，由相似三角形的性质可求得，由平行四边形面积计算公式即可求解．
解：分别过A、D作的垂线，垂足分别为H、M，交于N，
∵，，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【16-3】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．
【答案】
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，
，
，
解得：，
．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．
【16-4】如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证：
解：本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，先根据正方形的性质得到， ，进而得到，，利用对应边成比例解题即可．
证明：∵ 四边形是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴ ．
∴ ①
∵ ，
∴ ，
∴
∵，
∴ ②
①+②得，
∴
【题型17】“双垂直等角”模型
【17-1】如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长，交边于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于M，于N，证明，得出；
（2）根据勾股定理求出，证明，得出，即，求出，根据勾股定理求出，即可求出．
解：（1）证明：过点E作于M，于N，如图所示：
在正方形中，，平分，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在正方形中，，，
在中， 由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中， 由勾股定理得：，
∴．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定方法．
【17-2】如图，在中，，，，E为线段上一动点，且，当点E从点B运动到点A时，点F的运动路径长为
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点F的运动轨迹，属于中考常考题型．先判断，再求出点F的运动轨迹，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
解：证明：如图，连接，并延长，
∵，
∴，
∴，
∵， ，，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴点F的运动轨迹是射线，
∴当E从B运动到A时，F运动路径的长为 ，
故答案为：．
【17-3】如图，和都是等腰直角三角形，，顶点在边上，与相交于点F，若，，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是能熟练掌握相似三角形的判定与性质，作于点H，先求出，再证明，根据相似三角形的性质求出，则可求出，进而可以利用三角形的面积公式解答即可．
解：作于点H，如图所示；
，
即，
又
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
即，
在和中，
，，
，
，
在和中，
，，
，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
【题型18】“旋转相似”模型
【18-1】如图，和均为等腰直角三角形，，在内，．若，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意证明出，得到，，再根据勾股定理即可求得的长．
解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用等腰直角三角形的性质进行等比转化是解题的关键．
【18-2】如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：
（1）已知，则 （用含的代数式表示）；
（2）若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到，推出，即可得到答案；
（2）根据旋转的性质证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出答案．
解：（1）点B的对应点恰好落在点O处，
，
，
由旋转的性质可知，，
，
；
（2）由旋转的性质可知，
，B，O，D，E四点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
【题型19】“旋转手拉手”模型
【19-1】四边形和四边形有公共顶点A，连接和．
(1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，直接写出线段的长．
【答案】(1)相等，垂直； (2)数量关系：；位置关系：． (3)3或
【分析】（1）先证明得到和的数量关系，同时得到．然后延长交、于点E、F，在和中用三角形内角和公式即可得到和的位置关系；
（2）由已知条件可推出，得到和的数量关系，同时得到．然后同（1）中相同的方法可得到和的位置关系；
（3）当时，由已知条件可证得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时存在两种位置情况，故进行分类讨论：①当位于上方时， 由平行四边形的性质可推出，再利用小问（2）的结论可求出的长；②当位于下方时，由平行四边形的性质可推出，且能证明B、N、P在同一直线上，因此可在中使用勾股定理求出BM的长，再利用小问（2）的结论可求出的长．
解：（1）相等，垂直．理由如下：
如图：
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即：，
∴，
∴，．
延长交、于点E、F，
在和中，
∵，，且，
∴，
∴．
（2）数量关系：，位置关系：．理由如下：
如图：延长交于点O，交于点H，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，即；
（3）∵，，，
∴，
分类讨论：连接．
①如图：当位于上方时，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
②如图：当位于下方时，连结，
同理可得，四边形是平行四边形，
∴，，
∴
又，
∴B、N、P在一条直线上，
∴，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴．
综上所述，的长为或．
【19-2】【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出与的位置关系：_____________；与的数量关系为______________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并说明理由．（与的数量关系可用含式子表示）
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）；；（2）当时，成立，不成立，应为．理由见解析；（3）的长为或
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况：当D在线段上时，同（2）知，，故，得，根据勾股定理得，解得；当E在线段上时，，解得．
解：（1）如图，延长交于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）成立，不成立，应为．
理由如下：延长交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，则，
∵，
，
∴，
∴；
（3）当D在线段上时，如图：
同（2）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍去）；
当E在线段上时，如图：
同理可得，
解得（舍去）；
综上所述，的长为或．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
【19-3】如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ；
如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；
矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
【答案】相等，垂直； 不成立，，，理由见解析；．
【分析】根据正方形的性质可得：，，，从而可得：，利用可证，利用全等三角形的性质即可求解；
根矩形的性质可证：、，据根据两边对应成比例且夹角相等证明，利用相似三角形的性质即可求解；
根据旋转的性质可分两种情况求解，当点在线段上时，证明，列比例式可得的长；当点在线段上时，仿照可解．
解：解：，，
理由如下：
如图所示，
在正方形和正方形中，
，，，
，
即，
在和中
，
，
，，
，
，
，
故答案为：，；
不成立，，，
理由如下：
如图，由知，，
，，，
，
，
，即，，
又，
，
；
当点在线段上时，如图所示，
在中，，，则，
过点作于点，
，，
，
，
，
解得：，，
在中，，
，
；
当点在线段上时，如图所示，
过点作于点，
，，
由可得：，，
在中，，
，
；
综上所述，的长为．
【点拨】本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中要分两种情况求解，正确画图和分类讨论是解题的关键．
【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”.
【20-1】如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于Q，当时，（ ）
A．8 B． C．4 D．10
【答案】A
【分析】延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线的性质可得，从而得到，即，得到，根据，求出，最后根据三角形相似的性质进行计算即可．
解：如图，延长交射线于，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，等角对等边，熟练掌握三角形中位线定理、角平分线的定义、三角形相似的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
【20-2】如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B
【分析】由勾股定理得，，由平分，平分，可得，由，可得，即，如图，，，设，则，，，由，可知，即，可求，，进而可求．
解：由勾股定理得，，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，即，
如图，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，即，
解得，，，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键．
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