专题 一次函数与反比例函数的综合
学习目标
1. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
2. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
对知识点的解读
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐
标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的
x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的
取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3.反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
解题思维方法
1.判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负。
2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称。
类型题例题解析
【例题1】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
【例题2】如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【答案】（1） （2）1
【解析】【分析】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：当y=0时，即x-1=0，
∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA=1=AD，
又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的图象为y=；
（2）解：方程组的正数解为，
∴点B坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，
∴EC=3-1=2，
∴S△BCE=×2×（3-2）=1，
答：△BCE的面积为1．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
专题达标训练
1.已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明．
【小问1详解】
∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
【小问2详解】
∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得．
【小问3详解】
如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
2．若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为，将点（1,2）代入，得，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：.
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
3.如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围
是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
4．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）把点代入可得，∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．设点B的坐标为，∴．
∵点A的坐标为，∴．
∴．
∵A，B两点均在双曲线上，∴．
∴．
∵的面积为8，∴，整理得．
∴．解得（舍去）．∴．∴点B的坐标为．
设直线的函数关系式为，则．解得．
∴直线的函数关系式为．
（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，
当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，把代入，得．
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．
5. 已知：点 A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（ m≠0）的一个交点．
（1）求k 、m的值：
（2）在第一象限内，当时，请直接写出x的取值范围
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）把点A（1，3）分别代入和，求解即可；
（2）直接根据图象作答即可．
【详解】（1）点A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（m≠0）的一个交点，
把点A（1，3）分别代入和，
得，
；
（2）第一象限内，，
由图像得．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，图象法解不等式，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
6. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）或
【解析】【分析】（1）分别将，代入反比例函数解析式，即可求得，的值，再将，两点坐标代入一次函数解析式，求得，的值；
（2）若四边形是平行四边形，则，且，即，由此进行求解．
【小问1详解】
解：将点，代入，
得，解得，
点，反比例函数的解析式为；
将点，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：将代入，得，
，．
若四边形是平行四边形，
则，且，
设，，
则，
解得．
或．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键．
7.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），∵直线交轴于点，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，∴∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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学习目标
1. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
2. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.
对知识点的解读
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐
标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的
x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的
取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
3.反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
解题思维方法
1.判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负。
2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称。
类型题例题解析
【例题1】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
专题达标训练
1.已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：．
2．若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
3.如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围
是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
5. 已知：点 A（1，3）是反比例函数（k≠0）的图象与直线（ m≠0）的一个交点．
（1）求k 、m的值：
（2）在第一象限内，当时，请直接写出x的取值范围
6. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
7.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
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