反比例函数（知识串讲+考点汇总+检测卷）
参考答案与试题解析
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练反比例函数的定义、图象与性质; 2.掌握K值的几何意义 3.掌握反比例函数与其他问题的综合。
反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
考点一：判断反比例函数
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝5x﹣1 B．xy＝4 C． D．
【解答】解：A．y＝5x﹣1，是反比例函数，故该选项不符合题意；
B．xy＝4，是反比例函数，故该选项不符合题意；
C．y，是正比例函数，不是反比例函数，故该选项符合题意；
D．y，是反比例函数，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、y不是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、y是反比例函数，故此选项符合题意；
C、y是正比例函数，故此选项不符合题意；
D、4是正比例函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B．y＝﹣x﹣1
C． D．xy＝﹣
【解答】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、，是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、，是正比例函数，故此选项符合要求；
D、xy＝﹣，，是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．下列关系中，y与x之间是反比例关系的是（ ）
A． B． C．y＝﹣x2 D．
【解答】解：y，y＝﹣x2，y不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数；
y符合反比例函数的定义，它是反比例函数；
故选：B．
考点二：反比例函数的图象
5．如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
B、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向上，则a＞0，对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＞0，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
C、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+bx（a≠0）开口方向向下，则a＜0，对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故选项符合题意；
故选：D．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，﹣k＜0，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，﹣k＜0，一次函数图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，﹣k＞0，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，﹣k＞0，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．已知a＜0＜b，则函数y＝ax﹣3和y在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵a＜0，﹣3＜0，
∴函数y＝ax﹣3得图象过第二、三、四象限，
∵b＞0，
∴函数y图象在第一、三象限，
故选项D符合题意．
故选：D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴反比例函数y的图象在第一、三象限，一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限．
故选：B．
考点三：反比例函数的性质
9．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则a的值可以是 1（答案不唯一） ．
【解答】解：由当x＜0时，y随x的增大而减小可知2﹣a＞0，
则a＜2，
∴不妨令a＝1．
故答案为：1（答案不唯一）．
10．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 k＜1 ．
【解答】解：由题意得，k﹣1＜0，
∴k＜1．
故答案为：k＜1．
11．关于反比例函数的图象，经过第 一、三 象限．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝4＞0，
∴此函数的图象经过第一、三象限．
故答案为：一、三．
12．已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．则k的值可以为 1（答案不唯一） .（写出一个即可）
【解答】解：∵反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k＞0，
∴k的值可以是1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
考点四：反比例函数系数K的几何意义
13．反比例函数的图象如图所示，若△POQ的面积是3，则k的值为 ﹣6 ．
【解答】解：∵四边形OAPB是矩形，
由题意，|k|＝△POQ的面积的二倍＝6，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
14．如图，反比例函数的图象经过 OABC的顶点C，A在y轴的负半轴上，若点B（3，1），S OABC＝3，则k的值为 6 ．
【解答】解：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵点B（3，1），S OABC＝3，
∴3 BC＝3，
∴BC＝1，
∴C（3，2），
∵反比例函数y的图象经过点C，
∴k＝6．
故答案为：6．
15．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴，若△ABO的面积为6，则k的值为 12 ．
【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴，若△ABO的面积为6，
∴|k|＝2×6＝12．
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k＝12．
故答案为：12．
16．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值为 6 ．
【解答】解：如图设AB与y轴交于点C，
由条件可知：，，
∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB＝3，
∴，
∴k2﹣k1＝6．
故答案为：6．
考点五：反比例函数图象上点的坐标特征
17．已知反比例函数y．
（1）如果这个函数的图象经过点（k，﹣1），求k的值；
（2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y图象经过点（k，﹣1），
∴，
解得．
（2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，
∴2k+1＞0，
解得：．
18．已知反比例函数（k为常数，且k≠3）的图象在第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点（2，5）在该反比例函数的图象上，求k的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数（k为常数，且k≠3）的图象在第一、三象限，
∴k﹣3＞0，
解得，k＞3；
（2）∵点（2，5）在该反比例函数的图象上，
∴k﹣3＝2×5，
解得，k＝13．
19．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，正方形ABCD的边BC落在x轴正半轴上，A，D在第一象限，点D的坐标为，连接AO，射线AO绕点A逆时针旋转90°交DC于点E，点E在反比例函数y（x＞0）的图象上．
（1）求OA的长；
（2）求k的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠∠D＝∠DCB＝∠BAD＝90°，
∵点D的坐标为，
∴OC＝3，CD＝2，
∴BC＝AB＝2，
∴OB，
∵∠ABO＝90°，
∴AO5；
（2）∵射线AO绕点A逆时针旋转90°交DC于点E，
∴∠OAE＝90°，AO＝AE，
∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴Rt△ABO≌Rt△ADE（HL），
∴DE＝OB，
∴CE，
∴E（3，），
∵点E在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝315．
20．如图，已知点A（﹣1，m），点B（n，2）在反比例函数的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C，连接BC且BC∥x轴．
（1）求m，n的值；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，m），点B（n，2）分别代入得，m6，2，
∴m＝6，n＝﹣3；
（2）∵BC∥x轴．点B（﹣3，2），
∴C（0，2），
把点A（﹣1，6），C（0，2）代入y＝kx+b得，
∴，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝﹣4x+2．
考点六：用待定系数法求函数解析式
21．如图，矩形ABEF与反比例函数的图象相交于C，D两点，点C的坐标（m，2），点D的坐标为（1，m+3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若AB＝9，在反比例函数图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形ABEF面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由条件可知k＝2m＝m+3，
∴m＝3，
∴C（3，2）、D（1，6），
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数解析式为；
（2）存在，
∵C（3，2）、D（1，6），
∴BE＝2，
∵AB＝9，
∴S矩形ABEF＝2×9＝18，FC＝7，
∴S△PFC＝9，
设，则，
即，
解得或，
∴或．
22．如图，点A（1，6），B（m，n）在反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在反比例函数图象上是否存在点E，使△CDE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y，
将点A（1，6）代入y得，k＝6，
所以反比例函数的表达式为y．
因为CD＝5，
所以xD＝1+5＝6，
因为BD⊥x轴，
所以xB＝xD＝6．
将x＝6代入y得，y＝1，
所以点B的坐标为（6，1）．
（2）因为△CDE的面积等于5，
所以|yE|＝5，
解得yE＝±2．
将y＝2代入y得，x＝3，
所以点E的坐标为（3，2）；
将y＝﹣2代入y得，x＝﹣3，
所以点E的坐标为（﹣3，﹣2），
综上所述，点E的坐标为（3，2）或（﹣3，﹣2）．
23．如图，在平行四边形ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），
∴OA＝1，OB＝2，OD＝2，
∴AD＝OA+OD＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，BC∥AD，
∴点C的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数在第二象限内的图象经过点C，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）∵点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，
∴有以下两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1所示：
∴∠CED＝∠BOA＝90°，
∴CE∥OB，
∵BC∥AD，
∴四边形CEOB是矩形，
∴CE＝OB＝2，
设点E的坐标为（t，0），则DE＝﹣2﹣t，
∵CD2＝（﹣3+2）2+（2﹣0）2＝5，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+DE2＝CD2，
∴22+（﹣2﹣t）2＝5，
整理得：（2+t）2＝1，
∴2+t＝1，2+t＝﹣1，
由2+t＝1，解得：t＝1（不合题意，舍去），
由2+t＝﹣1，解得：t＝﹣3，
∴点E的坐标为（﹣3，0）；
②当∠DCE＝90°时，如图2所示：
设E（a，0），
则DE＝﹣2﹣a，
∵CE2＝（﹣3﹣a）2+（2﹣0）2＝a2+6a+13，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2，
∴a2+6a+13+5＝（﹣2﹣a）2，
解得：a＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，0）．
综上所述：点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）．
24．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC＝6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连接DE、OD、OE．若△OAD的面积为2．
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）求△ODE的面积．
【解答】解：（1）由反比例函数k值几何意义可知k＝4，
∴反比例函数的表达式为；
（2）由矩形可知，OA＝BC＝3，OC＝AB＝6，
∵反比例函数的表达式为，OA＝3，
∴点D的纵坐标是3，
∴，解得：，
∴，
同理当x＝6时，，
∴，
∴，，，BE＝3，
∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE
．
考点七：反比例函数与一次函数的交点问题
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2相交于A（﹣2，1），B（m，﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数解析式；
（2）根据函数图象写出关于x的不等式k1x+b的解集．
【解答】解：（1）∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2相交于A（﹣2，1），B（m，﹣2）两点．
∴k2＝﹣2×1＝﹣2m，
∴k2＝﹣2，m＝1，
∴反比例函数解析式为y2，B（1，﹣2），
∵A（﹣2，1）和B（1，﹣2）在直线y1＝k1x+b图象上，
，
解得，
∴一次函数解析式为y1＝﹣x﹣1；
（2）根据图象可知，不等式k1x+b的解集为﹣2＜x＜0或x＞1．
26．如图，已知点A（﹣1，3），B（a，﹣1）是一次函数y1＝mx+n图象与反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量x的取值范围 ﹣1＜x＜0或x＞3 ．
【解答】解：（1）∵反比例函数图象经过A（﹣1，3），
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y；
∵反比例函数y图象经过A（a，﹣1），
∴a＝3，
∵一次函数y1＝mx+n图象经过A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）当时，自变量x的取值范围：﹣1＜x＜0或x＞3．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞3．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C．
（1）求点A的坐标和m的值．
（2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长．
【解答】解：（1）∵B（0，1）在直线y＝2x+b的图象上，
∴1＝0+b，即b＝1，
∴直线l的解析式为：y＝2x+1，
当y＝0时，y＝2x+1＝0，
解得：，
∴，
∵直线l经过双曲线的左端点C，
∴当x＝1时，y＝2x+1＝3，
∴C（1，3），
∴，即m＝3；
（2）∵m＝3，
∴反比例函数解析式为：，
当x＝3时，，
∴D（3，1），
∵平移直线y＝2x+1到直线l′，
∴设直线l′的解析式为：y＝2x+t，
∵直线l′经过D（3，1），
∴当x＝3时，y＝2×3+t＝1，
∴t＝﹣5，
∴设直线l′的解析式为：y＝2x﹣5，
∴当y＝0时，2 x﹣5＝0，
解得：，
∴，
∵，
∴．
28．已知一次函数y1＝x+n的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．其中A（m，6），C（3，m+1）
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限的图象上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵A（m，6），C（3，m+1）在反比例函数图象上，
∴6m＝3（m+1）＝k，
∴m＝1，k＝6，
即A（1，6），C（3，2），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+n＝6，解得n＝5，
∴一次函数的解析式为y1＝x+5；
（2）∵由（1）得m＝1，
∴点C﹣y+1﹣m＝0的坐标为（3，2），
如图，过点C﹣y+1﹣m＝0作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，
∴x+5＝2，解得x＝﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
点A到CD的距离为6﹣2＝4，
联立y＝x+5，y＝6x，
解得x1＝1，y1＝6（舍去），x2＝ 6，y2＝ 1，
∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）＝2+1＝3，
．
考点八：反比例函数与实际问题
29．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
【解答】解：（1）设，
将A（0.8，120）代入，得，
解得k＝96，
∴所求函数的表达式为；
（2）∵96＞0，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
当p＝140kPa时，．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.69m3．
30．某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间满足反比例函数关系，其图象如图所示：
（1）请写出这一反比例函数的解析式；
（2）当它所受牵引力F为牛时，汽车的速度为多少？
【解答】解：（1）设v与F之间的函数关系式为，
把（，20）代入得，P＝0，
∴反比例函数的解析式为；
（2）把F＝牛，代入（1）中解析式得：
v30（米/秒），
∴汽车的速度为30米/秒．
31．某饮水机，开机加热时水温每分钟上升15℃，水温到100℃时停止加热，此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x（min）成反比例关系．若水温在25℃时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
（1）水温从25℃加热到100℃，需要 5 min；
（2）求水温下降过程中，y与x的函数关系式；
（3）如果上午8点接通电源，请直接写出8：20之前水温不低于40℃的时长．
【解答】解：（1）∵某饮水机，开机加热时水温每分钟上升15℃，
∴水温从25℃加热到100℃，需要（100﹣25）÷15＝5（min），
故答案为：5；
（2）水温下降过程中，设y与x的函数关系式是y，
∵点（5，100）在该函数图象上，
∴100，
解得k＝500，
即水温下降过程中，y与x的函数关系式是y；
（2）设加热m分钟时，水的温度达到40℃，
25+15m＝40，得m＝1，
将y＝40代入y，得：40，得x＝12.5，
∴8：20之前水温不低于40℃的时长为12.5﹣1＝11.5（分钟），
答：8：20之前水温不低于40℃的时长为11.5分钟．
32．利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：（m0+x） l＝M （a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
如图，秤盘与零刻度线的距离AC为3厘米，零刻线与末刻线的距离CD为50厘米，秤盘质量m0＝10克，秤砣质量M＝50克．某兴趣小组利用等式（m0+x） l＝M （a+y）制作简易杆秤．
（1）确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值；
（2）确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）；
（3）制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为 600 克．
（4）该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为 602 克．
【解答】解：（1）∵l+a＝3，
∴l＝3﹣a，
把m0＝10，x＝0，M＝50，l＝3﹣a，y＝0代入（m0+x） l＝M （a+y）：
（10+0）×（3﹣a）＝50（a+0），
∴a＝0.5，
∴l＝3﹣0.5＝2.5；
（2）将m0＝10，M＝50，a＝0.5，l＝2.5代入（m0+x） l＝M （a+y），
（10+x）×2.5＝50（0.5+y），
∴；
当y＝50时，即，
∴x＝，
（3）÷10×6＝600克，
故答案为：600；
（4）由（1）知，l＝2.5cm，a＝0.5cm，
当重物质量为500克时，
（10+500）×2.5＝50（0.5+y），
∴y＝25cm，
而小组成员错误称量时，y值的长度为25cm，用了60克的秤砣进行称重，
所以有：（10+m）×2.5＝60（0.5+25），
解得，m＝602，
故答案为：602．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A D D B B
一．选择题（共6小题）
1．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
【解答】解：∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴k+2＜0，解得k＜﹣2．
故选：B．
2．学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例，当水温降至30℃时，饮水机再自动加热．若水温在30℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．水温从30℃加热到100℃时，需要7min
B．水温不低于30℃的时间为25min
C．水温从100℃降至30℃，所需时间为15min
D．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从30℃加热到100℃，所需时间为：7（min），
故A选项合题意；
由题可得，（7，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y，
代入点（7，100）可得，k＝700，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y，
故D选项不合题意；
令y＝100时，则y＝100，则x＝7，
当y＝30时，则y＝30，则x，
即100℃降至30℃，所需时间为7（min），
故C选项不符合题意；
水温从30℃加热到100℃，所需时间为：7（min），
令y＝30，则，
∴x，
∴水温不低于30℃的时间为min，故B不符合题意；
故选：A．
3．反比例函数y（k≠0）的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC 的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣6
【解答】解：设点A（x，y），
∵AB∥y轴，△ABC的面积为3，
∴|x|y＝3，
|x|y＝6，
∵反比例函数图象在三、四象限，
∴x＜0，y＞0，
∴xy＝﹣6，
∴k＝﹣6．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【解答】解：∵反比例函数y（k≠0），
∴当k＞0时，函数图象分布在第一，三象限，
当k＜0时，函数图象分布第二，四象限，
∵P，Q，M，N四个点，有两个点P，Q在第一象限，有一个点N在第二象限，有一个点M在第三象限，
且P，Q，M，N四个点中，恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴函数图象应分布在第一，三象限，
∴不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是点N，
故选：D．
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，
∴y1＝2，y2＝﹣2，y3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，tan∠BAO＝2，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A'O'B，若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．4 C．10 D．11
【解答】解：作A′D⊥OB于D，
设OA＝x，则OB＝2x，
∵∠ABO+∠A′BD＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠A′BD，
在△OAB和△A′BD中，
，
∴△OAB≌△A′BD（AAS），
∴A′D＝OB＝2x，BD＝OA＝x，
∴A（2x，x），
∵点C为斜边A′B的中点，
∴C（x，x），
∵反比例函数y的图象恰好经过斜边A′B的中点C．
∴x x＝6，
解得：x＝±2（负值舍去），
∴OA＝2，OB＝4，
∴S△ABOOA OB2×4＝4，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
7．若函数的图象经过点A（﹣1，2）和B（a，﹣1），则a的值为 2 ．
【解答】解：∵函数的图象经过点A（﹣1，2）和B（a，﹣1），
∴a＝2．
故答案为：2．
8．如图，函数y1＝x，y2，若y1＞y2，则x的取值范围是 x＞2或﹣2＜x＜0 ．
【解答】解：函数y1＝x与y2的交点坐标如图所示：
当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或﹣2＜x＜0．
故答案为：x＞2或﹣2＜x＜0．
9．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点C，且AC：CB＝2：3，则k的值为 ﹣4.5 ．
【解答】解：如图，连接OA、OB．
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点C，
∴S△AOM，S△BOM＝||，
∴S△AOM：S△BOM：||＝3：|k|，
∵S△AOM：S△BOM＝AM：MB＝2：3，
∴3：|k|＝2：3，
∴|k|＝4.5，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣4.5．
故答案为：﹣4.5．
10．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m，则这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是 F ．
【解答】解：∵杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m，
∴阻力和阻力臂的乘积为：800×0.3＝240，
∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴240＝动力×动力臂，
∴这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是F，
故答案为：F．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两端点分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，△AOB的面积为1，将线段AB绕平面内一点旋转180°，点A的对应点E在反比例函数第一象限的图象上，点B的对应点F在反比例函数的图象上，若点E的横坐标是点F的横坐标的倍，则k的值为 3 ．
【解答】解：令点O关于中心点的对应点为D，
由旋转的性质可知，OA＝DE，OA∥DE，DF＝OB，DF∥OB，∠EDF＝∠AOB＝90°，
设F（m，），则E（m，），
由题意可知（m﹣m）×（）＝1，
解得k＝3．
故答案为：3．
12．如图，点P为函数（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为 ．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BP交x轴于C，如图，
设P（t，），
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴B（t，），A（6t，），
∵S△OBC+S梯形ABCD＝S△OAD+S△AOB，
而S△OBC＝S△AOB，
∴S△AOB＝S梯形ABCD
（）（6t﹣t）
．
故答案为．
三．解答题（共6小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）与双曲线的交点是A（a，3）．
（1）求a和k的值；
（2）当x＞3时，对于x的每个值，函数y＝mx（m≠0）既大于函数的值，又小于函数y＝kx+1的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）由题知，
将点A（a，3）代入y得，
a＝2，
所以点A坐标为（2，3）．
将点A（2，3）代入y＝kx+1得，
2k+1＝3，
解得k＝1，
所以a的值为2，k的值为1．
（2）由（1）知，
一次函数解析式为y＝x+1，
因为当x＞3时，对于x的每个值，函数y＝mx（m≠0）既大于函数的值，又小于函数y＝kx+1的值，
所以且m≤1，
解得，
所以m的取值范围是：．
14．已知反比例函数y和一次函数y＝kx+b（k≠0）．
（1）当两个函数图象的交点的横坐标是﹣2和3时，求一次函数的表达式；
（2）当k时，两个函数的图象只有一个交点，求b的值．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y3；
当x＝3时，y2，
∴两个函数图象的交点为（﹣2，3），（3，﹣2），
把（﹣2，3），（3，﹣2）代入y＝kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵当k时，两个函数的图象只有一个交点，
∴方程x+b只有一个实数解，
整理得2x2+3bx+18＝0，
△＝（3b）2﹣4×2×18＝0，
∴b＝4或﹣4．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，n）和B（3，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOM的面积；
（3）在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵图象交于A（1，n）和B（3，1）两点，
∴m＝1×3＝1×n，
∴m＝3，n＝3，
∴A（1，3），
∴反比例函数解析式为y，
∵点A（1，3）在一次函数y＝kx+4图象上，
∴3＝k+4，
∴k＝﹣1，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）点A（1，3），
∴AM＝1，OM＝3，
∴S△AOM；
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P就是满足条件的点．
由点B的坐标可知，B′（3，﹣1），A（1，3），
设直线AB′的解析式为y＝mx+n，代入点A（1，3），B（3，﹣1）坐标得：
，解得，
∴直线AB′的解析式为y＝﹣2x+5，
当y＝0时，x．
∴P（，0）．
16．如图是港珠澳大桥主体工程示意图．港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h．请根据这些数据回答下列问题：
（1）汽车在主桥上行驶th的路程是 92t km，若汽车在主桥行驶的速度一定，则路程与时间成 正 比例关系．若汽车在主桥行驶的路程一定，则速度与时间成 反 比例关系．
（2）如果汽车通过海底隧道需要ah，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍．请用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长为 192a km．
（3）如果汽车通过主桥需要bh，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h．请列式计算主桥与海底隧道的长度相差多少千米？计算结果如果是单项式，请写出它的系数和次数；如果是多项式，请写出它的次数和项数．
【解答】解：（1）汽车在主桥上行驶th的路程是92t（km），
速度一定，则路程与时间成正比例关系．若路程一定，则速度与时间成反比例关系．
故答案为：92t，正，反；
（2）汽车通过海底隧道需要ah，则从香港口岸到东人工岛的时间是1.25ah，香港口岸到西人工岛的全长为72a+96×1.25a＝192a（km），
故答案为：192a；
（3）汽车通过主桥需要bh，在主桥上行驶路程是92bkm；
汽车在海底隧道行驶的时间是（b﹣0.15）h，行驶路程为72（b﹣0.15）km，
因此，主桥与海底隧道的长度相差[92b﹣72（b﹣0.15）]＝（20b+10.8）km，
20b+10.8是多项式，次数为1，项数为2．
17．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1与反比例函数y（a≠0）的图象交于点A（2，m）和点B，与x轴交于点D．
（1）m＝ 3 ，a＝ 6 ；B点坐标为 （﹣3，﹣2） ；
（2）根据函数图象直接写出x+10时x的取值范围；
（3）P是x轴上一点，且满足△PAB的面积等于5，求点P坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（2，m），
∴m＝2+1＝3，
∴A（2，3），
∵点A在反比例函数y（a≠0）的图象上，
∴a＝2×3＝6，
∴反比例函数为y，
解得或，
∴B的坐标为（﹣3，﹣2）；
故答案为：3，6，（﹣3，﹣2）；
（2）观察图象可知：x+10时x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜2；
（3）设点P的坐标为（m，0），
在y＝x+1中，令y＝0，得x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
∵S△PAB＝S△PAD+S△PBD|m+1|×3|m+1|×2＝5，
∴|m+1|＝2，
∴m＝1或﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，0）或（1，0）．
18．【项目】小车沿斜面运动中路程s与时间t的关系．
图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小州共同填写了如下实验记录表．
t（秒） 0 2 3 ……
s（分米） 0 4 9 ……
（1）小温发现，路程s与时间t可采用一次函数、反比例函数、二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出s关于t的函数表达式．
（2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个5秒和第二个5秒通过的路程之差．
（3）小州说：把单位时间设为1秒，还可以研究第t秒内通过的路程s′（分米）与第t秒之间的函数关系．
请写出一个路程s′（分米）与第t秒之间的结论，并通过计算说明理由．
【解答】解：（1）将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
可以采用的函数模型是二次函数，
设路程s与时间t的函数关系式为：y＝at2+bt+c（a≠0），
将（0，0），（2，4），（3，9）代入，得：，
解得，
∴路程s与时间t的函数关系式为：s＝t2（t≥0）；
（2）当t＝5时，s＝52＝25（分米），
当t＝10时，s＝102＝100（分米），
∴第2个5秒小车通过的路程为：100﹣25＝75（分米），
∴路程差为：75﹣25＝50（分米）；
（3）第1秒通过的路程＝12＝1（分米），
第2秒通过的路程＝22﹣12＝3（分米），
第3秒通过的路程＝32﹣22＝5（分米），
……，
第t秒通过的路程＝t2﹣（t﹣1）2＝2t﹣1（分米），
∴第t秒内通过的路程s′（分米）与第t秒之间的函数关系为s′＝2t﹣1．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)反比例函数（知识串讲+考点汇总+检测卷）
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练反比例函数的定义、图象与性质; 2.掌握K值的几何意义 3.掌握反比例函数与其他问题的综合。
反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
考点一：判断反比例函数
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．y＝5x﹣1 B．xy＝4 C． D．
2．下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B．y＝﹣x﹣1
C． D．xy＝﹣
4．下列关系中，y与x之间是反比例关系的是（ ）
A． B． C．y＝﹣x2 D．
考点二：反比例函数的图象
5．如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a＜0＜b，则函数y＝ax﹣3和y在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y与一次函数y＝ax+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点三：反比例函数的性质
9．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则a的值可以是 ．
10．（秋 九龙坡区期末）反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 ．
11．（秋 太原期末）关于反比例函数的图象，经过第 象限．
12．（秋 路桥区期末）已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．则k的值可以为 .（写出一个即可）
考点四：反比例函数系数K的几何意义
13．反比例函数的图象如图所示，若△POQ的面积是3，则k的值为 ．
14．如图，反比例函数的图象经过 OABC的顶点C，A在y轴的负半轴上，若点B（3，1），S OABC＝3，则k的值为 ．
15．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴，若△ABO的面积为6，则k的值为 ．
16．如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝3，则k2﹣k1的值为 ．
考点五：反比例函数图象上点的坐标特征
17．已知反比例函数y．
（1）如果这个函数的图象经过点（k，﹣1），求k的值；
（2）如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
18．已知反比例函数（k为常数，且k≠3）的图象在第一、三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点（2，5）在该反比例函数的图象上，求k的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，正方形ABCD的边BC落在x轴正半轴上，A，D在第一象限，点D的坐标为，连接AO，射线AO绕点A逆时针旋转90°交DC于点E，点E在反比例函数y（x＞0）的图象上．
（1）求OA的长；
（2）求k的值．
20．如图，已知点A（﹣1，m），点B（n，2）在反比例函数的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C，连接BC且BC∥x轴．
（1）求m，n的值；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式．
考点六：用待定系数法求函数解析式
21．如图，矩形ABEF与反比例函数的图象相交于C，D两点，点C的坐标（m，2），点D的坐标为（1，m+3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若AB＝9，在反比例函数图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形ABEF面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，点A（1，6），B（m，n）在反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在反比例函数图象上是否存在点E，使△CDE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平行四边形ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
24．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC＝6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连接DE、OD、OE．若△OAD的面积为2．
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）求△ODE的面积．
考点七：反比例函数与一次函数的交点问题
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2相交于A（﹣2，1），B（m，﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数解析式；
（2）根据函数图象写出关于x的不等式k1x+b的解集．
26．如图，已知点A（﹣1，3），B（a，﹣1）是一次函数y1＝mx+n图象与反比例函数图象的两个交点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量x的取值范围 ．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），且直线l经过双曲线的左端点C．
（1）求点A的坐标和m的值．
（2）平移直线l到直线l′的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E，求AE的长．
28．已知一次函数y1＝x+n的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．其中A（m，6），C（3，m+1）
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限的图象上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．
考点八：反比例函数与实际问题
29．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）
30．某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间满足反比例函数关系，其图象如图所示：
（1）请写出这一反比例函数的解析式；
（2）当它所受牵引力F为牛时，汽车的速度为多少？
31．某饮水机，开机加热时水温每分钟上升15℃，水温到100℃时停止加热，此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x（min）成反比例关系．若水温在25℃时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
（1）水温从25℃加热到100℃，需要 min；
（2）求水温下降过程中，y与x的函数关系式；
（3）如果上午8点接通电源，请直接写出8：20之前水温不低于40℃的时长．
32．利用杆秤称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得等式：（m0+x） l＝M （a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量x克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
如图，秤盘与零刻度线的距离AC为3厘米，零刻线与末刻线的距离CD为50厘米，秤盘质量m0＝10克，秤砣质量M＝50克．某兴趣小组利用等式（m0+x） l＝M （a+y）制作简易杆秤．
（1）确定秤纽的位置：当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请求出l，a的值；
（2）确定杆秤的最大称重质量：根据（1）中l，a的值，求y关于x的函数解析式，并求杆秤的最大称重质量（秤砣移至末刻线D处，秤得的物体质量）；
（3）制作杆秤的刻度：将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份（格），标注刻度值，则点E处应标注的刻度值为 克．
（4）该小组成员利用制作好的杆秤称重物时，误用了60克的秤砣进行称重，称得重物的质量为500克，则该重物的实际质量为 克．
一．选择题（共6小题）
1．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2
2．学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例，当水温降至30℃时，饮水机再自动加热．若水温在30℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．水温从30℃加热到100℃时，需要7min
B．水温不低于30℃的时间为25min
C．水温从100℃降至30℃，所需时间为15min
D．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
3．反比例函数y（k≠0）的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC 的面积为3，则k的值为（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣6
4．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．如图，在Rt△ABC中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，tan∠BAO＝2，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A'O'B，若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，则△AOB的面积为（ ）
A．8 B．4 C．10 D．11
二．填空题（共6小题）
7．若函数的图象经过点A（﹣1，2）和B（a，﹣1），则a的值为 ．
8．如图，函数y1＝x，y2，若y1＞y2，则x的取值范围是 ．
9．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点C，且AC：CB＝2：3，则k的值为 ．
10．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为800N和0.3m，则这一杠杆的动力F（N）与动力臂l（m）之间的函数关系式是 ．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两端点分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，△AOB的面积为1，将线段AB绕平面内一点旋转180°，点A的对应点E在反比例函数第一象限的图象上，点B的对应点F在反比例函数的图象上，若点E的横坐标是点F的横坐标的倍，则k的值为 ．
12．如图，点P为函数（x＞0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别与函数（x＞0）的图象交于点A、B，则△AOB的面积为 ．
三．解答题（共6小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）与双曲线的交点是A（a，3）．
（1）求a和k的值；
（2）当x＞3时，对于x的每个值，函数y＝mx（m≠0）既大于函数的值，又小于函数y＝kx+1的值，直接写出m的取值范围．
14．已知反比例函数y和一次函数y＝kx+b（k≠0）．
（1）当两个函数图象的交点的横坐标是﹣2和3时，求一次函数的表达式；
（2）当k时，两个函数的图象只有一个交点，求b的值．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，n）和B（3，1）两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOM的面积；
（3）在x轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出此时点P的坐标．
16．如图是港珠澳大桥主体工程示意图．港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72km/h和92km/h．请根据这些数据回答下列问题：
（1）汽车在主桥上行驶th的路程是 km，若汽车在主桥行驶的速度一定，则路程与时间成 比例关系．若汽车在主桥行驶的路程一定，则速度与时间成 比例关系．
（2）如果汽车通过海底隧道需要ah，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍．请用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长为 km．
（3）如果汽车通过主桥需要bh，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h．请列式计算主桥与海底隧道的长度相差多少千米？计算结果如果是单项式，请写出它的系数和次数；如果是多项式，请写出它的次数和项数．
17．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1与反比例函数y（a≠0）的图象交于点A（2，m）和点B，与x轴交于点D．
（1）m＝ ，a＝ ；B点坐标为 ；
（2）根据函数图象直接写出x+10时x的取值范围；
（3）P是x轴上一点，且满足△PAB的面积等于5，求点P坐标．
18．【项目】小车沿斜面运动中路程s与时间t的关系．
图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小州共同填写了如下实验记录表．
t（秒） 0 2 3 ……
s（分米） 0 4 9 ……
（1）小温发现，路程s与时间t可采用一次函数、反比例函数、二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出s关于t的函数表达式．
（2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个5秒和第二个5秒通过的路程之差．
（3）小州说：把单位时间设为1秒，还可以研究第t秒内通过的路程s′（分米）与第t秒之间的函数关系．
请写出一个路程s′（分米）与第t秒之间的结论，并通过计算说明理由．
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