专题 反比例函数章末七大题型总结【拔尖篇）】（解析版）
【题型 1 反比例函数中的动点问题】
1．如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】连接AO，BO，得出S△ABP＝S△ABO，进而根据反比例函数k的几何意义，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接AO，BO，
∵AB∥x轴，
∴S△APB＝1+3＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，P是反比例函数图象上的一个动点，连接PA，PB，当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，则点P到直线AB的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】过P作MN∥AB交y轴于M，交x轴于N，过N作NK⊥AB于K，设AB交x轴于T，根据当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，可知在AB左侧，过P与AB平行的直线与反比例函数的图象只有一个交点（交点为P），设直线MN解析式为y＝﹣x+b，可得x2﹣bx+4＝0，故Δ＝b2﹣16＝0，解得b＝4或b＝﹣4（舍去），有y＝﹣x+4，可求出N（4，0），T（5，0），从而NT＝5﹣4＝1，即可得点P到直线AB的距离为．
【解答】解：过P作MN∥AB交y轴于M，交x轴于N，过N作NK⊥AB于K，设AB交x轴于T，如图：
∵当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，
∴在AB左侧，过P与AB平行的直线与反比例函数的图象只有一个交点（交点为P），
设直线MN解析式为y＝﹣x+b，
联立得﹣x+b，
∴x2﹣bx+4＝0，
∴Δ＝b2﹣16＝0，
解得b＝4或b＝﹣4（舍去），
∴y＝﹣x+4，
令y＝0得x＝4，
∴N（4，0），
在y＝﹣x+5中，令y＝0得x＝5，
∴T（5，0），
∴NT＝5﹣4＝1，
由y＝﹣x+5可知，∠NTK＝45°，
∵NK⊥AB，
∴△NTK是的等腰直角三角形，
∴NK，
∴点P到直线AB的距离为；
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是读懂题意，求出△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个需满足的条件．
3．如图，A、B是函数y上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 ②③④ ．（填序号）
【分析】根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出①错误；设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
【解答】解：点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①错误；
设P（m，n），
∴BP∥y轴，
∴B（m，），
∴BP＝|n|，
∴S△BOP|n|×|m|＝|3mn|，
∵PA∥x轴，
∴A（，n）
∴AP＝|m|，
∴S△AOP|m|×|n|＝|3mn|，
∴S△AOP＝S△BOP，②正确；
如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，
∴PE＝PF，
∵PE＝PF，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB，③正确；
如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y上，
∴S△AMO＝S△BNO＝3，
∵S△BOP＝2，
∴S△PMO＝S△PNO＝1，
∴S矩形OMPN＝2，
∴mn＝2，
∴m，
∴BP＝|n|＝|3n﹣n|＝2|n|，
AP＝|m|＝||，
∴S△ABP2|n|×||＝4，④正确；
故答案为②③④．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，点D的横坐标为3．DE⊥x轴，垂足为 E．
（1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧，过点M作MF⊥x轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由一次函数的x＝0，y＝0，x＝3，分别求解对应的y，x，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式；
（2）如图，MF⊥AE于F，证明∠AOB＝∠EFM，由M在D的右侧，分两种情况：当△OAB∽△FEM时，设，当△OAB∽△FME时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知：
∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D的横坐标为3，
∴A（﹣3，0），B（0，1），D（3，2），
∵D（3，2）在反比例函数上，
∴，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，MF⊥AE于F，
∴∠AOB＝∠EFM，
∵点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似，M在D的右侧，
当△OAB∽△FEM时，
设，
∴，
解得：x1＝6，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴M（6，1），
当△OAB∽△FME时，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
综上：M（6，1）或．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【题型 2 反比例函数与 x=a 或 y=a】
5．平面直角坐标系xOy中，过点P（n，0）作平行于y轴的直线，分别交抛物线y＝x2和双曲线于点M，N，则满足PM﹣PN＝1的n的值有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】依据题意，过点P（n，0）作平行于y轴的直线，分别交抛物线y＝x2和双曲线于点M，N，从而可以作图，又PM﹣PN＝1，故可以判断得解．
【解答】解：由题意，过点P（n，0）作平行于y轴的直线，分别交抛物线y＝x2和双曲线于点M，N，
∴可以作出图象如下．
又∵PM﹣PN＝1，
∴如图，符合题意的有两种情形，分别是﹣2＜n＜﹣1和n＞1时．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
6．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为 ．
【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，先由点A和点B的坐标得到AF，BH，FH的长，然后求得△AOF，△BOH，梯形ABHF的面积，进而结合△AOB的面积列出方程求得x1和x2之间的关系，然后由AC∥BD∥x轴得到点C和点D的坐标，进而得到AC和BD的长，最后得到结果．
【解答】解：过点A作AE⊥y轴，交y轴于点E，过点B作BF⊥x轴，交x轴于点F，延长BF，交AC于点G，
∴四边形OEGF为矩形，
∴，，G（x2，y1），
S△AOB＝矩形OEGF面积﹣S△OEA﹣S△OFB﹣S△ABG
，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴2m2+3m﹣2＝0，
∴，或m＝﹣2，
∵0＜x1＜x2，
∴m＝﹣2不符合题意，
经检验，是原方程的解，
∴，
，，
∴，，
∴，
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
7．如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），与x轴，y轴分别相交于点B，C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标．
【分析】（1）将点A（1，a）代入y＝2x+2得a＝4，则点A（1，4），将点A（1，4）代入得k＝4，由此可得反比例函数的表达式；
（2）先求出点B（﹣1，0），设点P（t，2t+2），其中﹣1≤t≤1，再求出点Q，然后根据PQ得，由此求出t的值，进而可得点Q的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：点A（1，a）在一次函数y＝2x+2的图象上，
∴a＝2×1+2＝4，
∴点A（1，4），
∵点A（1，4）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）对于y＝2x+2，当y＝0时，x＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∵点P在线段AB上，
∴设点P的坐标为（t，2t+2），其中﹣1≤t≤1，
∵PQ∥x轴，
∴点P的纵坐标为2x+2，
∵点Q在反比例函数的图象上，
∴点Q的坐标为，
∵PQ，
∴，
整理得：2t2+11t+5＝0，
解得：t＝﹣0.5，t＝﹣2.5（不合题意，舍去），
当t＝﹣0.5时，4，2t+2＝2×（﹣0.5）+2＝1，
∴点Q的坐标为（4，1）．
【点评】此题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，理解函数图象上点的坐标满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上是解决问题的关键．
8．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC，点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2，设直线AC的解析式为y2＝kx+b．
（1）不等式的解集为 0＜x＜2 ；
（2）不等式的解集为 0＜x≤2或x≥4 ；
（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段EF的长为，求n的值．
【分析】（1）根据题意得出点A（2，3），然后由图象即可求解；
（2）由图可知点C的横坐标为4，然后再根据图象即可求解；
（3）先求出反比例函数解析式为，直线AC的解析式为，当x＝n时，点E的纵坐标为，点F的纵坐标为，则，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A，B的刻度分别为5，2，OB＝2，
∴点A（2，3），
根据图象可知，不等式的解集为0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2；
（2）由（1）得，点A（2，3），由图可知点C的横坐标为4，
∴不等式的解集为0＜x≤2或x≥4；
故答案为：0＜x≤2或x≥4；
（3）由条件可知点A（2，3），
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数解析式为，
由图可知点C的横坐标为4，且在反比例函数解析式为，
∴纵坐标为，
∴点C（4，1.5），
∵直线AC的解析式为y2＝kx+b过点A、C，
∴，解得：，
∴，
当x＝n时，点E的纵坐标为，点F的纵坐标为，
∴，
解得：n＝3或，
经检验n＝3或是原方程的解，
∴n的值为n＝3或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【题型 3 反比例函数中的存在性问题】
9．如图，反比例函数（k≠0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）相交于点A（1，3），B（0，﹣1）．在反比例函数图象上存在点C．使△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当OA为腰时，可以OA为半径分别以O和A为圆心画圆，与反比例函数图象的交点个数即为满足条件的点C；当AO为底时，可知点C在线段OA的垂直平分线上，画图可知不存在满足条件的点．
【解答】解：当OA为腰时，若AC为底，则以O为圆心，OA为半径画圆，如图1，
此时圆与反比例函数图象有3个交点，满足条件的点C只有2个；
若OC为底，则以A为圆心，OA长为半径画圆，如图2，
此时圆与反比例函数图象有2个交点，即满足条件的点C有2个；
当OA为底时，则点C在线段OA的垂直平分线上，如图3，
此时没有满足条件的点C．
综上可知满足条件的点C有4个．
故选：B．
【点评】本题为反比例函数的综合应用，利用圆的性质确定点C的个数是解题的关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝y1﹣y2，则称点A和点B互为“等距点”．已知点M是以O为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数y图象上存在点M的等距点N，则k的取值范围是 ﹣1≤k＜0或k＞0 ．
【分析】如图，作AC⊥x轴，BC⊥AC于C，令直线AB与x轴的夹角为α，则α＝∠ABC，由tan∠ABC1，可求α＝45°，如图，作直线y＝x，在直线y＝x上取点D（m，n），作DE⊥x轴于E，由tan∠DOE＝1，可得∠DOE＝45°，即直线y＝x与x轴的夹角为45°，A、B在直线y＝x上，然后分k＞0和k＜0两种情况讨论即可．
【解答】解：如图，作AC⊥x轴，BC⊥AC于C，
令直线AB与x轴的夹角为α，则α＝∠ABC，
∵tan∠ABC1，
∴α＝45°，
如图，作直线y＝x，在直线y＝x上取点D（m，n），作DE⊥x轴于E，
∴tan∠DOE＝1，即∠DOE＝45°，
∴直线y＝x与x轴的夹角为45°，A、B在直线y＝x上；
如图，当反比例函数在第一、三象限时，即k＞0，直线y＝x与y的交点，均能使反比例函数y图象上存在点M的等距点N；
当反比例函数在第二、四象限时，当y与⊙O相交时，能使反比例函数y图象上存在点M的等距点N；
如图，记y＝﹣x与⊙O的交点为C，设C（a，﹣a），
∴OC（﹣a），
解得a＝﹣1，
∴C（﹣1，1），
将点C代入y可得k＝﹣1，
∴﹣1≤k＜0；
综上，﹣1≤k＜0或k＞0．
故答案为：﹣1≤k＜0或k＞0．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，正切，勾股定理，圆等知识．熟练掌握反比例函数的图象与性质，正切，勾股定理，圆是解题的关键．
11．如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点N（a，1）是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；
（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于y轴的对称点N1，连接MN1与y轴的交点就是满足条件的P点位置，进而即可求解．
【解答】解：（1）由y＝2x+2可知A（0，2），即OA＝2．
∵tan∠AHO＝2，
∴OH＝1．
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1．
∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．
∵点M在上，
∴k＝1×4＝4．
∴．
（2）存在．过程如下：
过点N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P，连接PN，如图所示：
此时PM+PN最小．
∵点N（a，1）在反比例函数上，
∴a＝4，即点N的坐标为（4，1）．
由题意可得：N1的坐标为（﹣4，1）．
设直线MN1为y＝kx+b．
把（﹣4，1）和M（1，4）代入，
得，
解得，
∴．
令x＝0，得．
∴P点坐标为，
【点评】此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，熟练掌握以上知识点是关键．
12．如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，2），利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，将点C的坐标代入y2，即可求得反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（0，t）则S△CEOCE OE＝3，即可得到S△ABPBP OA|2﹣t|×4＝2×|2﹣t|＝3，解得t的值，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，
∴点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，2），
将点A，B的坐标代入直线的表达式，得，解得，
∴直线AB的表达式为y1x+2，
当x＝2时，y12＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
将点C的坐标代入y2得：3，解得m＝6，
∴反比例函数的表达式y2；
（2）存在，
设点P的坐标为（0，t）
则S△CEOCE OE3，
而S△ABPBP OA|2﹣t|×4＝2×|2﹣t|＝3，
解得t或，
∴点P的坐标为（0，）或（0，）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定PB的长度，属于中考常考题型．
13．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）设P（﹣1，a），当∠PAO＝90°，如图2，当∠APO＝90°，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为y，
则﹣2，
得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y，
∵点A的纵坐标是4，
∴4，
得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得：，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）存在，
∵直线AB于x轴交于D，
∴D（﹣1，0），
∴OD＝1，
设P（﹣1，a），
如图2，当∠APO＝90°，
∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2，
∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2，
解得：a＝2±，
∴P（﹣1，2）或（﹣1，2），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，2）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
【题型 4 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
（3）在x轴上存在一点p使得|PB﹣PA|有最大值，求出点P的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）关键还是图象与交点横坐标直接写出不等式解集即可；
（3）过点A作关于x轴的对称点A′，则A′（1，﹣2）连接A′B交x轴于点P，此时满足|PB﹣PA|有最大值，先求出A′B解析式，再求出点P坐标即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m），
∴k＝2＝﹣2m，
∴k＝2，m＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y，
∵A（1，2），B（﹣2，﹣1），
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
（2）由图象可知，y1＜y2时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＜﹣2．
（3）如图，过点A作关于x轴的对称点A′，则A′（1，﹣2）
连接A′B交x轴于点P，此时满足|PB﹣PA|有最大值，
设直线A′B解析式为y＝kx+b，
，解得
∴直线A′B解析式为y，
当y＝0时，x＝﹣5．
∴点P（﹣5，0）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
15．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
【分析】（1）根据图象信息可知A（﹣3，2），待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）由图象可知，BC的解析式为y，与反比例函数解析式联立方程组求出点C坐标即可．
【解答】解：（1）由图可知点A的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y；
（2）直线OA的解析式为yx，
由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y，
联立方程组，解得，（舍去），
∴C（，4）．
【点评】本题考查了反比例函数图象与性质，熟练掌握联立方程组求出交点坐标是关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D和点，且点E为BC的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点D的坐标；
（2）若一次函数y＝2x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到BC∥AO，BA⊥OA，再由E为BC的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可；
（2）求出直线y＝2x+m恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D和点，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥AO，BA⊥OA，
∵点，且点E为BC的中点．
∴B（3，4），
∴点D的横坐标为3，
在中，，
∴D（3，2）；
（2）当直线y＝2x+m经过点时，则，
解得m＝1；
当直线y＝2x+m经过点D（3，2）时，则2＝2×3+m，
解得m＝﹣4；
∵一次函数y＝2x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），
∴﹣4≤m≤1．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，能利用数形结合求解是解题的关键．
17．如图，一次函数y1＝k1x+b（k≠0）和交于A（1，6）、B（3，m）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图形，请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问△ABP能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；如不能，请说明理由．
【分析】（1）直接用待定系数法即可求解；
（2）观察图象可知，当y1＜y2，直线在反比例函数的下方，即可求解；
（3）设点P（0，y），分别求出AB2，PA2，PB2，分三种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）反比例函数过点A（1，6）、B（3，m），
把A（1，6）代入中，得：，
解得：k2＝6，
∴反比例函数的解析式为：，
把B（3，m）代入中，得：，
∴B（3，2），
把A（1，6），B（3，2）代入y1＝k1x+b中，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣2x+8；
（2）观察图象可知，当y1＜y2，直线在反比例函数的下方，
又∵A（1，6），B（3，2），
∴0＜x＜1，x＞3，
∴x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3；
（3）设点P（0，y），
∵A（1，6），B（3，2），
∵AB2＝（1﹣3）2+（6﹣2）2＝20，
PA2＝（0﹣1）2+（y﹣6）2＝y2﹣12y+37，
PB2＝（0﹣3）2+（y﹣2）2＝y2﹣4y+13，
当∠P1AB＝90°时，如图：
∴，即20+y2﹣12y+37＝y2﹣4y+13，
解得：，
∴点，
当∠AP2B＝90°时，如图：
∴，即y2﹣12y+37+y2﹣4y+13＝20，
整理得：y2﹣8y+15＝0，
解得：y2＝3或y2＝5，
∴点P2（0，3）或P2（0，5），
当∠ABP3＝90°时，如图：
∴，即20+y2﹣4y+13＝y2﹣12y+37，
解得：，
∴点，
综上所述，△ABP为直角三角形时，点P坐标为或（0，3）或（0，5）或．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
18．如图，已知一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（b，﹣2），点C在x轴上，△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标．
【分析】（1）将点A（1，6）代入反比例函数即可求得k的值，将点B（b，﹣2）代入反比例函数即可求得b的值，进而待定系数法求直线解析式即可求解；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，证明△ACD≌△CBE（AAS），进而求解即可．
【解答】解：（1）将A（1，6）代入反比例函数中，得，
解得k＝6，
故反比例函数的表达式为，
将B（b，﹣2）代入反比例函数中，
得，
解得b＝﹣3，
故B（﹣3，﹣2），
将A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y＝mx+n中得：
，
解得，
故一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
则∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，
∵A（1，6），B（﹣3，﹣2），
∴CE＝AD＝6，E（﹣3，0），
∴C（3，0）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，面积为4的正方形ABCD的中心与坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过A，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接BD，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交BD于点E，交y轴于点F，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）记AB与y轴交于点G，AD与x轴交于点H，根据|k|＝S正方形GOHA求解，即可解题；
（2）连接DF，记CD与y轴交于点M，根据题意得到∠MFD＝30°，利用勾股定理得到FM，从而得到∠FDM＝60°，以及OF，∠EDF＝15°，再根据S阴影＝S扇形DFE﹣S△FOD求解，即可解题．
【解答】解：（1）记AB与y轴交于点G，AD与x轴交于点H，如解图所示．
由题易得．
∴|k|＝1．
∵反比例函数图象在一、三象限，
∴k＝1，
∴反比例函数的表达式为．
（2）连接DF，记CD与y轴交于点M，如解图所示．
易得AB＝AD＝2，
∴AG＝AH＝DM＝OM＝1，DF＝2，．
在Rt△FMD中，DM＝1，DF＝2，
∴∠MFD＝30°，．
∴∠FDM＝60°，．
∴∠EDF＝60°﹣45°＝15°．
∴．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，正方形性质，勾股定理，扇形面积公式，直角三角形性质，熟练掌握相关性质求解，即可解题．
【题型 5 反比例函数与图形变换】
20．如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在反比例函数y（x≠0）的图象上，则k值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣18
【分析】此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
【解答】解：过E点作EF⊥OC于F，
由条件可知：OE＝OA＝5，，
所以EF＝3，OF＝4，
则E点坐标为（﹣4，3）
设反比例函数的解析式是y
则有k＝﹣4×3＝﹣12
故选：C．
【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
21．已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 （0，4） ．
【分析】依据题意，由A在yx上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函数y上，进而可得k＝2×24，进而可得反比例函数为y，再由翻折的性质，BC⊥OA，进而可设BC为yx+b，则B为（0，b），设直线BC与直线OA的交点为P，建立求出P（b，b），又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函数y上，最后可得bb＝4，求出b可以得解．
【解答】解：由题意，∵A在yx上，
∴m＝2．
∴A（2，2）．
又A在反比例函数y上，
∴k＝2×24．
∴反比例函数为y．
由翻折的性质，BC⊥OA，
∴可设BC为yx+b，
∴B为（0，b）．
设直线BC与直线OA的交点为P，
∴．
∴P（b，b）．
又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），
∴C（b，b）．
又C在反比例函数y上，
∴bb＝4．
∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．
∴B（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
22．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥y轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将△ABC绕点A旋转180°得到△AED，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若△AED的面积为6，则k的值为 12 ．
【分析】由将△ABC绕点A旋转180°得到△AED，得到△ABC≌△AED，求得△ABC的面积为6，得到k＝AB OB＝12．
【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转180°得到△AED，
∴△ABC≌△AED，
∵△AED的面积为6，
∴△ABC的面积为6，
∵AB⊥y轴于点B，
∴△ABC的面积AB OB＝6，
∴k＝AB OB＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，正确地识别图形是解题的关键是解题的关键．
23．如图，直线y＝3x与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若S△ABC＝14，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，证明△EOF≌△OAH，求出EF与AH的比，再求出MF的份数，证明出NC与MN的比，表示出NC的份数，利用△OAC的面积求出x的值，即可求出k．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，如图，
∵∠CAB＝45°，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴OA⊥OE，OA＝OE，
∴∠EOF+∠AOH＝90°，
∵∠OAH+∠AOH＝90°，
∴∠EOF＝∠OAH，
∴△EOF≌△OAH（AAS），
设OH＝EF＝x，
∵AB：y＝3x，
∴AH＝3x＝OF，
∴EF：AH＝1：3，
∵EF∥AH，
∴MF：MH＝1：3，即MF：（MF+4x）＝1：3，
∴MF＝2x，
∵CN∥EF，
∴NC：MN＝EF：MF＝1：2，
∵点C、A在反比例函数上，
∴NC ON＝OH AH，
设NC＝y，
∴MN＝2y，
∴y（2y+5x）＝x 3x，
解得：yx或y＝﹣3x（舍去），
∵OA＝OB，
∴S△OAC14＝7，
即OM（AH+CN）＝7，
即5x（3xx）＝7，
∴x或x（舍去），
∴OH，AH，
∴k．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键．
24．如图，边长为2的正六边形ABCDEF的对称中心点P在函数的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形ABCDEF，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（ ）
A．左平移2个单位
B．右平移1个单位，上平移个单位
C．右平移2个单位
D．右平移个单位，上平移1个单位
【分析】过P作PH⊥CD于H，连接CP，过A作AG⊥y轴于G，由边长为2的正六边形ABCDEF的对称中心为点P，可得CHCP＝1，PHCH，AG＝1，BG，故把正六边形ABCDEF右平移1个单位，上平移个单位，C平移到P，B平移到A，此时点B、C恰好都落在该函数的图象上．
【解答】解：过P作PH⊥CD于H，连接CP，过A作AG⊥y轴于G，如图：
∵边长为2的正六边形ABCDEF的对称中心为点P，
∴CP＝AB＝CD＝2，∠BCD＝120°，
∴∠PCH∠BCD＝60°，∠CPH＝30°，
∴CHCP＝1，PHCH，
同理可得AG＝1，BG，
∴把正六边形ABCDEF右平移1个单位，上平移个单位，C平移到P，B平移到A，此时点B、C恰好都落在该函数的图象上，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标特征，涉及正多边形和圆，解题的关键是掌握正六边形的性质．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（8，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB沿x轴向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′．当这个函数的图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．
【分析】（1）根据题意，可以求得点A的坐标，从而可以求得该反比例函数的解析式；
（2）根据题意，可分两种情况，求出a的值，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵点B（8，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴点A的坐标为（4，4），
∴得k＝16，
即反比例函数的表达式是y；
（2）当反比例函数过边A′B′的中点时，A′（4+a，4），B′（8+a，0），
∵边A′B′的中点是（6+a，2），
∴2（6+a）＝16，
得a＝2；
当反比例函数过边O′A′的中点时，A′（4+a，4），O′（a，0），
∵边O′A′的中点是（2+a，2），
∴2（2+a）＝16
得a＝6；
由上可得，a的值是2或6．
【点评】本题考查反比例函数的图象、待定系数法求反比例函数解析式、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答．
26．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（n，3）和点B（1，﹣6），与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集；
（3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点C′，连接AC′，BC′，求△ABC′的面积．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据函数与不等式的关系，可得答案；
（3）根据三角形面积的和差，可得答案．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式得：﹣6，解得：m＝﹣6，
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：n＝﹣2，故点A（﹣2，3），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数的表达式为：y＝﹣3x﹣3；
（2）从图象看，当0＜x＜1或x＜﹣2时，kx+b，
故不等式的解集为0＜x＜1或x＜﹣2；
（3）设直线AB交x轴于点H，
对于y＝﹣3x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝﹣1，
故点H、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），
∵点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点C′，故其坐标为：（3，0），
△ABC′的面积S＝S△C′HB+S△C′HAC′H×（yA﹣yB）（3+1）（3+6）＝18．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，求三角形的面积，有一定的综合性，难度适中．
27．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求得点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC求得即可；
（3）过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E（a，）（a＞1），通过证得△ACF≌△EDA（AAS），得到F（2，4﹣a），代入y，即可求得a的值，从而求得点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上，
∴m＝1×3＝n×1，
∴m＝3，n＝3，
∴反比例函数为y，点B（3，1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为：y＝﹣x+4；
（2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4，
∴C（0，4），
∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC4；
（3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，
设E（a，）（a＞1），
∵A（1，3），
∴AD＝a﹣1，DE＝3，
∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠EAD+∠CAF＝90°，
∵∠EAD+∠AED＝90°，
∴∠CAF＝∠AED，
在△ACF和△EDA中，
，
∴△ACF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3，
∴F（2，4﹣a），
∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上，
∴（2）（4﹣a）＝3，
解得a＝6或a＝1（舍去），
∴E（6，）．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
【题型 6 反比例函数与定值、最值】
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【分析】由正方形OABC的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，3），根据三角形的面积列方程得到D（3，2），E（2，3），作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P，则DE′的长＝PD+PE的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵正方形OABC的边长是3，
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，
∴，，3），
∴，，
∵△ODE的面积为4，
∴，
∴k＝3或﹣3（舍去），
∴D（3，1），E（1，3），
作E关于y轴的对称点E′，连接DE′交y轴于P，则DE′的长＝PD+PE的最小值，
∵CE＝CE′＝1＝AD，
∴BE′＝4，BD＝2，
∴DE′2，
即PD+PE的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
29．如图，平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且OA＝4，的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、反比例函数N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 5 ．
【分析】先求得，再由S正方形OABC＝S△BCN+S△OAM+S△OMN+S△MBN，列出方程，求得k＝12，可求得M（4，3），N（3，4），作点M关于x轴的对称点M′，连接M′N将x轴于点P，连接PM，此时PM+PN最小，再求解即可．
【解答】解：由条件可知：点M的横坐标及点N的纵坐标都是4，
∵点M、N在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵S正方形OABC＝S△BCN+S△OAM+S△OMN+S△MBN，
∴，
解得：k＝12（负值舍去），
∴M（4，3），N（3，4），
如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接M′N将x轴于点P，连接PM，此时PM+PN最小，
∵点M关于x轴的对称点M′，
∴M′（4，﹣3），
∴PM+PN＝M′N5，
故答案为：．
【点评】考查正方形的性质，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，及两点间距离公式等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
30．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）求一次函数的表达式和m值；
（2）请根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，则S的最小值为 ．
【分析】（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得b，即得一次函数的解析式，将A（m，3）代入一次函数解析式得m；
（2）求出A（1，3），由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解；
（3）由点P是线段AB上一点，可设P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得，根据二次函数的性质即可求得最小值．
【解答】解：（1）由条件可知：1＝﹣3+b，
解得b＝4，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+4，
A（m，3）在一次函数的图象上，
∴﹣m+4＝3，
∴m＝1，
（2）由（1）得点A（1，3），
由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点A（1，3）和B（3，1），
则不等式的解集为：0＜x≤1或x≥3；
（3）设P（n，﹣n+4），1≤n≤3，
∴，
∵且1≤n≤3，
∴当n＝1或n＝3时，有最小值，且最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
31．【阅读理解】对于任意正实数a、b．∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 3 时，有最小值 6 ；
（2）已知点Q（﹣2，﹣3）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
【分析】（1）根据阅读材料可得，当时，取得最小值，据此即可求解；
（2）连接PQ，设，根据四边形AQBP的面积＝△AQP的面积+△BQP的面积，从而利用x表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵m＞0，且，
∴当时，即m＝3或m＝﹣3（负值不符合题意，舍去），
此时取得最小值，最小值为：，
∴当m＝3时，有最小值6，
故答案为：3；6；
（2）连接PQ，
∵点Q（﹣2，﹣3）是双曲线上，
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴双曲线的解析式为，
设，
∵点Q（﹣2，﹣3），QA⊥x轴，作QB⊥y轴，
∴S四边形AQBP＝S△AQP+S△BQP
＝2×3+6
＝12，
∴四边形AQBP的面积的最小值为12．
【点评】本题考查反比例函数的性质，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形AQBP的面积是关键．
32．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标．
【分析】（1）直接用待定系数法即可求解；
（2）由点A（﹣2，1）、B（1，﹣2），结合图象即可求解；
（3）由一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1），可得PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入，
得m＝﹣2×1＝﹣2，则反比例函数解析式为，
把B（a，﹣2）代入，
得﹣2a＝﹣2，
解得a＝1，
则B点坐标为B（1，﹣2），
把A（﹣2，1）、B（1，﹣2）代入y＝kx+b得，
，
解得：，
则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）∵点A（﹣2，1）、B（1，﹣2），
∴由图可得，不等式解集范围是：x＜﹣2或0＜x＜1，
（3）一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1），
此时，PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，过点A作AD⊥x轴于点D，直线AB与x轴的交点为C，在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则x＝﹣1，即直线y＝﹣x﹣1与x轴交于点C（﹣1，0），
∵A（﹣2，1），
∴AD＝1，CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴
∴PA﹣PC的最大值，P点的坐标为P（0，﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
33．如图所示，P是反比例函数y的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N．
（1）求k的值；
（2）求证：矩形OMPN的面积为定值．
【分析】（1）由反比例函数y的图象上一点的坐标为（1，4），即可得到结论；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义得到：矩形PAOB的面积为|k|．
【解答】解：（1）如图，∵反比例函数y的图象上一点的坐标为（1，4），
∴k＝4×1＝4；
（2）∵k＝4，
∴反比例函数的解析式为：y，
∵P是反比例函数y的图象上任意一点，
PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴矩形OMPN的面积＝|k|＝4，
∴矩形OMPN的面积为定值
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
【题型 7 反比例函数的应用】
34．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【分析】设y（k＞0），过4班点，2班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，设1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点A为（x4，y4'），点B为（x2，y2'），由图象得到y1＞y4'，y3＜y2'，依题意得：x1y1，x2y2，x3y3，x4y4分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论．
【解答】解：设y（k＞0），
过4班点，2班点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，
设1班点为（x1，y1），2班点（x2，y2），3班点为（x3，y3），4班点（x4，y4），点A为（x4，y4'），点B为（x2，y2'），
由图象可知：y1＞y4'，y3＜y2'，
依题意得：x1y1，x2y2，x3y3，x4y4分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．
由题意可得：
k＝x4y4'＝x2y2'＝x1y1，
∵y1＞y4'，y3＜y2'，
∴x1y1＞x4y4'＝k，x3y3＜x2y2'＝k，
∴x4y4＞x1y1＝x3y3＞x2y2，
即：4班优秀人数＞1班优秀人数＝3班优秀人数＞2班优秀人数，
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
35．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
【分析】可设，由于点（4，9）代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R＝1求得I的值即可．
【解答】解：根据电压＝电流×电阻，设，
将点（4，9）代入得，解得U＝36，
∴；
若该电路的最小电阻值为1Ω，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
36．我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示．
（1）a＝ 8 ，b＝ 40 ．
（2）直接写出图中y关于x的函数表达式．
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？
（4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）由（1）中的计算可直接得出；
（3）分别求出函数值为50时的两个时间，求时间差即可解决问题；
（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，算出从开机到第一节课下课的时间差，并利用循环求出对应时间的水温即可．
【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从20℃到100℃需要8分钟，
设一次函数关系式为：y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入y＝k1x+b，得k1＝10，b＝20．
∴y＝10x+20（0≤x≤8），
设反比例函数关系式为：y，
将（8，100）代入，得k＝800，
∴y，
当y＝20时，代入关系式可得x＝40；
故答案为：8；40．
（2）由（1）中计算可得，y．
（3）在y＝10x+20（0≤x≤8）中，
令y＝50，解得x＝3；
反比例函数y中，令y＝50，解得：x＝16，
∴学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟．
（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，
上午七点到上午第一节下课时（8：40）的时间是100分钟，是2个40分钟多20分钟，
∴40（℃），
∴学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水．
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37．如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
桌面所受压强P（Pa） 100 200 400 500 800
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.4 a
（1）根据数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式及a的值；
（2）现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式，令P＝800可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【解答】解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设P，将（400，0.5）代入得：
0.5，
解得k＝200，
∴P，
当P＝800时，800，
∴a＝0.25，
答：P，a＝0.25；
（2）这种摆放方式不安全，理由如下：由图可知S＝0.1×0.2＝0.02（m2），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P＝200÷0.02＝0（Pa），
∵0＞，
∴这种摆放方式不安全．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 反比例函数章末七大题型总结【拔尖篇】（原卷版）
【题型 1 反比例函数中的动点问题】
1．如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，P是反比例函数图象上的一个动点，连接PA，PB，当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，则点P到直线AB的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，A、B是函数y上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 ．（填序号）
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，点D的横坐标为3．DE⊥x轴，垂足为 E．
（1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧，过点M作MF⊥x轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．
【题型 2 反比例函数与 x=a 或 y=a】
5．平面直角坐标系xOy中，过点P（n，0）作平行于y轴的直线，分别交抛物线y＝x2和双曲线于点M，N，则满足PM﹣PN＝1的n的值有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为 ．
7．如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），与x轴，y轴分别相交于点B，C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标．
8．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC，点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD为2，OB＝2，设直线AC的解析式为y2＝kx+b．
（1）不等式的解集为 ；
（2）不等式的解集为 ；
（3）平行于y轴的直线x＝n（2＜n＜4）与AC交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段EF的长为，求n的值．
【题型 3 反比例函数中的存在性问题】
9．如图，反比例函数（k≠0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）相交于点A（1，3），B（0，﹣1）．在反比例函数图象上存在点C．使△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1﹣x2＝y1﹣y2，则称点A和点B互为“等距点”．已知点M是以O为圆心，为半径的圆上一点，若反比例函数y图象上存在点M的等距点N，则k的取值范围是 ．
11．如图，直线y＝2x+2与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点N（a，1）是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．
【题型 4 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
（3）在x轴上存在一点p使得|PB﹣PA|有最大值，求出点P的坐标．
15．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；（2）点C坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D和点，且点E为BC的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点D的坐标；
（2）若一次函数y＝2x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
17．如图，一次函数y1＝k1x+b（k≠0）和交于A（1，6）、B（3，m）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图形，请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问△ABP能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；如不能，请说明理由．
18．如图，已知一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（b，﹣2），点C在x轴上，△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，面积为4的正方形ABCD的中心与坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象经过A，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接BD，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交BD于点E，交y轴于点F，求图中阴影部分的面积．
【题型 5 反比例函数与图形变换】
20．如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在反比例函数y（x≠0）的图象上，则k值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣18
21．已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 ．
22．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥y轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将△ABC绕点A旋转180°得到△AED，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若△AED的面积为6，则k的值为 ．
23．如图，直线y＝3x与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若S△ABC＝14，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，边长为2的正六边形ABCDEF的对称中心点P在函数的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形ABCDEF，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（ ）
A．左平移2个单位 B．右平移1个单位，上平移个单位
C．右平移2个单位 D．右平移个单位，上平移1个单位
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（8，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB沿x轴向右平移a个单位长度，对应得到△O′A′B′．当这个函数的图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．
26．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（n，3）和点B（1，﹣6），与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）请直接写出关于x的不等式kx+b的解集；
（3）把点C绕着点O逆时针旋转90°，得到点C′，连接AC′，BC′，求△ABC′的面积．
27．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【题型 6 反比例函数与定值、最值】
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
29．如图，平面直角坐标系中正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且OA＝4，的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、反比例函数N两点，且△OMN的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 ．
30．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）求一次函数的表达式和m值；
（2）请根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，则S的最小值为 ．
31．【阅读理解】对于任意正实数a、b．∵，∴，∴，（只有当a＝b时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则，只有当a＝b时，a+b有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝ 时，有最小值 ；
（2）已知点Q（﹣2，﹣3）是双曲线上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值．
32．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标．
33．如图所示，P是反比例函数y的图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N．
（1）求k的值；
（2）求证：矩形OMPN的面积为定值．
【题型 7 反比例函数的应用】
34．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
35．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
36．我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）直接写出图中y关于x的函数表达式．
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？
（4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由．
37．如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
桌面所受压强P（Pa） 100 200 400 500 800
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.4 a
（1）根据数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式及a的值；
（2）现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体A相同重量的长方体按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
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