专题 反比例函数
【考点01:反比例函数的定义】
【考点02:反比例函数系数K的几何意义】
【考点03:反比例函数的图像】
【考点04:反比例函数图像的对称性】
【考点05:反比例函数的性质】
【考点06: 待定系数法求反比例函数解析式】
【考点07:反比例函数与一次函数的交点问题】
【考点08:反比例函数与一次函数的综合】
【考点09:反比例函数的实际应用】
知识1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
知识点2 反比例的图像和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称
【考点01:反比例函数的定义】
【典例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若为关于的反比例函数，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式1-2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【考点02:反比例函数系数K的几何意义】
【典例3】如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．6
【变式3-1】如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （ ）．
A．10 B．8 C．5 D．4
【变式3-3】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C和边的中点D．若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点03:反比例函数的图像】
【典例3】函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．C． D．
【变式3-2】正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式3-3】函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【考点04:反比例函数图像的对称性】
【典例4】若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【考点05:反比例函数的性质】
【典例5】已知反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像必经过点 B．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
C．图像位于第二、四象限 D．若，则
【变式5-1】点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象既是轴对称图形又是中心对称图形
B．当时，y随x的增大而减小
C．若，则
D．若，则
【变式5-3】对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点在这个函数图象上
C．若图象上有两点，，且，则
D．当时，随的增大而减小
【考点06: 待定系数法求反比例函数解析式】
【典例6】若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【变式6-1】若反比例函数的图象经过点、，则的值是（ ）
A．1 B． C．6 D．
【变式6-2】若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（ ）
A． B． C． D．4
【考点07:反比例函数与一次函数的交点问题】
【典例7】如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ）
A． 或 B．或
C．或 D．或
【变式7-1】若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【变式7-3】如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【考点08:反比例函数与一次函数的综合】
【典例8】如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
【变式8-1】如图，直线与反比例函数交于点，连接．
(1)求反比例函数及直线的表达式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在一点P，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．
【变式8-2】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式，
(2)求的面积、
(3)结合函数图象直接写出不等式的解集．
【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式．
(2)直接写出当时，x的取值范围．
(3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标．
【考点09:反比例函数的实际应用】
【典例9】项目式学习
项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量．
项目素材：
素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）．
素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．
问题解决：
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______；
(2)求这个空矿泉水瓶的质量．
【变式9-1】千年壮刀文化，绝唱古今中外．广西非遗传承人黄冬鹏用自己的双手和匠心将“壮文化”与手工锻刀技艺结合，将传统美学与现代审美相融合，历时13载潜心钻研工艺，捍卫了即将失传的壮刀文化，并发扬光大．在制作锻刀的过程中，要进行材料煅烧和锻造的两个工序，即需要将材煅烧到700℃，然后停止煅烧．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是．
(1)求材料煅烧时和停止煅烧后y与x的函数关系式；
(2)根据工艺要求，当材料温度冷却低于时，可以进行锻造，那么材料需要冷却的时间有多长？
【变式9-2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为，第分钟时注意力指数为，前分钟内注意力指数是时间的一次函数．分钟以后注意力指数是的反比例函数．
(1)当时，求关于的函数关系式；
(2)当时，求关于的函数关系式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？
【变式9-3】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2 …
(1)______，______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______．
1．如图，点是反比例函数的图象上一点，则反比例函数的解析式（ ）
A． B． C． D．
2．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在
3．已知点，，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．若点，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，为的大小关系为 （用“”表示）．
6．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点逆时针旋转90°后得到，则过点的反比例函数中的值等于（ ）
A． B．8 C． D．4
10．如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ．
12．函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是 ．
13．为预防疾病传播，某小区业主对自己的家庭进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例；燃烧完，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为，根据以上信息解答下列问题：
(1)直接写出药物燃烧阶段y关于x的正比例函数表达式和药物燃烧完y关于x的反比例函数表达式．（需要写出各函数的自变量取值范围）
(2)当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方才无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间业主才可以回家？
14．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b是常数，且）的图象与反比例函数（k是常数，且）的图象交于一、三象限内的两点，与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将直线沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于两点（点E在点F左侧），连接、，求的面积．
(3)在（2）的条件下，设D是反比例函数图象上一点，使得的面积是的，求点D的横坐标．
16．如图，已知点在反比例函数的图象上，点，，将沿方向平移，使点与点P重合，得到．过点作轴交反比例函数图象于点．
(1)直接写出的值；
(2)求直线的解析式；
(3)求平移前后线段扫过的图形面积．
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【考点01:反比例函数的定义】
【考点02:反比例函数系数K的几何意义】
【考点03:反比例函数的图像】
【考点04:反比例函数图像的对称性】
【考点05:反比例函数的性质】
【考点06: 待定系数法求反比例函数解析式】
【考点07:反比例函数与一次函数的交点问题】
【考点08:反比例函数与一次函数的综合】
【考点09:反比例函数的实际应用】
知识1 反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
知识点2 反比例的图像和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
注意：
（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
（2）反比例的图像关于原点的对称
【考点01:反比例函数的定义】
【典例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，据此即可求解．
【详解】A、函数中，y是x的反比例函数，符合题意；
B、函数中，y不是x的反比例函数，不符合题意；
C、函数中，y不是x的反比例函数，不符合题意；
D、函数中，y是x的一次函数，不符合题意．
故选：A．
【变式1-1】若为关于的反比例函数，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵为关于的反比例函数，
∴，
解得，
故选C．
【变式1-2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意，分别把各点的坐标代入进行验证即可．
【详解】解：根据题意，，
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
【考点02:反比例函数系数K的几何意义】
【典例3】如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度．根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点、点的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，设点的坐标为，点的坐标为，
∵轴，
∴的面积的面积 ，
故选：C．
【变式3-1】如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，将的面积转化为梯形的面积，进行求解即可．
【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，
∴，
∴，解得：，
∴，
过点作轴，过点作轴，则：，，
∴，
∴；
故选B．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （ ）．
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，解题的关键是根据进行计算．
设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，
，
∴，
点，在反比例函数的图象上，
，
∴，
，
，
，
故选：C．
【变式3-3】如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C和边的中点D．若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何应用，解题的关键是数形结合．
设点，，根据平行四边形的性质得出点，根据中点得出．再根据的图象经过点C，D，得出．根据，得出，从而得出，根据求解即可．
【详解】解：设点，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
则点，
∵点D是边的中点，
∴．
∵的图象经过点C，D，
∴，
解得：．
∵，即，
∴，
∴．
故选：C．
【考点03:反比例函数的图像】
【典例3】函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案．
【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意；
当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，
故选：C．
【变式3-1】正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可．
【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大，
∴，图象过一、三象限，
∴反比例函数在一三象限，
故选：A．
【变式3-2】正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，正比例函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据正比例函数的性质进行解答．
分别根据反比例函数及正比例函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：当时，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，故A，C选项错误；
当，则，
∴反比例函数在二四象限，正比例函数经过一、三象限，故B选项正确，D选项错误，
故选：B．
【变式3-3】函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】直线与y轴交于点，可否定A，D选项；
再根据k的取值符号是否一致（时，直线与双曲线都经过第一、三象限；时，直线与双曲线都经过第二、四象限）可以否定C，
故选：B．
【考点04:反比例函数图像的对称性】
【典例4】若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，据此求解即可．
【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，
∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，
∵反比例函数的图象经过点，
∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
【变式4-1】如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，扇形面积；根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点，即可求出圆的半径．
【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点，
∴可知圆的半径 ，
∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
∴图中两个阴影面积的和是圆的面积，
∴．
故选：C．
【变式4-2】如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解．
【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，
、两点关于原点对称，
点的坐标为，
点的坐标为．
故选D．
【变式4-3】若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将代入正比例求得，则正比例函数与反比例函数交点，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标．
【详解】解： 一个交点的横坐标为2，
将代入得：，
交点为，
反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为，
另一个交点为．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求得第一个交点坐标是解题的关键．
【考点05:反比例函数的性质】
【典例5】已知反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像必经过点 B．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
C．图像位于第二、四象限 D．若，则
【答案】ACD
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解决问题的关键．当时，，即可判断选项A的正误；根据，所以图象在二、四象限，在每一个象限内，y随x值的增大而增大，结合图象，即可判断B、C、D选项的正误．
【详解】A、当时，，所以图像必经过点，所以A选项正确，符合题意；
B、因为，所以图象在二、四象限，在每一个象限内，y随x值的增大而增大，所以B选项错误，不符合题意；
C、因为，所以图象在二、四象限，所以C选项正确，符合题意；
D、因为，图象在第四象限内，若，则，所以D选项正确，符合题意．
故选：ACD．
【变式5-1】点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质，先根据判断函数的增减性，再比较横坐标的大小即可．
【详解】解：∵，
∴在第一象限y随x的增大而减小，
又∵点和点都在直线上，且，
∴．
故选：A．
【变式5-2】关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象既是轴对称图形又是中心对称图形
B．当时，y随x的增大而减小
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质：当时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大．反比例函数的图象即是轴对称图形又是中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】A．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，该选项说法正确；
B．当时，y随x的增大而减小，该选项说法正确；
C．若，则，∵是第一象限 ∴，故该选项说法正确；
D．若，则 只在第一象限成立，在第三象限时，矛盾，故该选项不正确
故选：D
【变式5-3】对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点在这个函数图象上
C．若图象上有两点，，且，则
D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可．
【详解】解：A. 反比例函数中的这个函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确，不符合题意；
B. 点在这个函数图象上，故该选项正确，不符合题意；
C. 选项没有说明两点在同一象限，所以不正确，符合题意；
D. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
【考点06: 待定系数法求反比例函数解析式】
【典例6】若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，．
故选：B．
【变式6-1】若反比例函数的图象经过点、，则的值是（ ）
A．1 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式．
将代入反比例函数解析式即可求出的值，再将代入解析式求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
将代入反比例函数解析式，
解得：．
，
将代入解析式，得：
解得．
故选：B．
【变式6-2】若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先求出k的值，再根据同一个反比例函数图象上的点，横纵坐标的积都等于k，对所给选项依次进行判断即可，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵点在反比例函数的图象上，
∴，
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-3】点在反比例函数的图象上，则时，y的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】此题考查待定系数法求反比例函数解析式、求反比例函数值等知识．
先根据点在反比例函数的图象上得到，则，把代入即可求出y的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，，
故选：D
【考点07:反比例函数与一次函数的交点问题】
【典例7】如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ）
A． 或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据图像可得：要使，需图像在图像的上方，由此即可得解．
【详解】根据题图可得，
当或时，．
故选：C．
【变式7-1】若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称．
∵一个交点的坐标是，
∴另一个交点的坐标是．
故选D．
【变式7-2】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键．
【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，，
如函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集或，
故选：C．
【变式7-3】如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．利用函数图象得到当一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值即可．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围是：或，
∴不等式的解集是：或．
故选：D．
【考点08:反比例函数与一次函数的综合】
【典例8】如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，熟练的求解函数解析式是解本题的关键．
（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得反比例函数的解析式．
（2）根据（1）可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案
【详解】（1）解：在反比例函数的图象上，
，
，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：在反比例函数的图象上，
，
，故点的坐标是，
将两点坐标代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
在中，令，则，
∴点坐标，
．
【变式8-1】如图，直线与反比例函数交于点，连接．
(1)求反比例函数及直线的表达式；
(2)求的面积；
(3)在直线上是否存在一点P，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数得表达式为；直线的表达式为
(2)6
(3)存在，
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点、待定系数法求解析式、三角形的面积公式．
（1）把点代入即可求出反比例函数的表达式，把代入反比例函数的表达式，可求出m的值，再将点A、B得坐标代入，即可求出直线的表达式；
（2）根据直线的表达式可求出直线于x轴的坐标，进而即可求出的面积；
（3）过点O作，交直线于一点，则这个点即为点P，据此求解即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
将代入，得
，
解得，
直线的表达式为；
（2）直线的表达式为，
令，则，
；
（3）过点O作，交直线于一点，则这个点即为点P，
由平行线之间的距离处处相等，可以得出，
，直线的表达式为，
直线的表达式为，
当时，，
此时点．
【变式8-2】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式，
(2)求的面积、
(3)结合函数图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案；
（3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：反比例函数过点，
，即；
将，代入，得，
点的坐标为，
将点，的坐标代入一次函数中，得，解得，
；
（2）解：在直线中，当时，，
点的坐标为，即，
；
（3）解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、，
或．
【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、第三象限内的，两点，与x轴交于点C．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式．
(2)直接写出当时，x的取值范围．
(3)在y轴上找一点P使最大，求的最大值及点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求的取值范围；
（3）根据一次函数，求得与轴的交点，此交点即为所求．
【详解】（1）解：把代入，可得，
∴反比例函数的解析式为；
把点代入，可得，
∴；
把，代入，
可得，
解得，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：根据图象可得，当时，或．
（3）解：一次函数的解析式为，令，则，
∴一次函数与y轴的交点为，
此时，最大，P即为所求，
令，则，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【考点09:反比例函数的实际应用】
【典例9】项目式学习
项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量．
项目素材：
素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）．
素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．
问题解决：
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______；
(2)求这个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)；
(2)这个空矿泉水瓶的质量为
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得与的关系式，取值范围是；
（2）设空瓶的质量为，向空瓶中加入的水，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程，求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：由题意可知，即，的取值范围是，即，
故答案为：；；
（2）解：设这个空矿泉水瓶的质量为，
根据题意，得，
解得，
所以这个空矿泉水瓶的质量为．
【变式9-1】千年壮刀文化，绝唱古今中外．广西非遗传承人黄冬鹏用自己的双手和匠心将“壮文化”与手工锻刀技艺结合，将传统美学与现代审美相融合，历时13载潜心钻研工艺，捍卫了即将失传的壮刀文化，并发扬光大．在制作锻刀的过程中，要进行材料煅烧和锻造的两个工序，即需要将材煅烧到700℃，然后停止煅烧．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是．
(1)求材料煅烧时和停止煅烧后y与x的函数关系式；
(2)根据工艺要求，当材料温度冷却低于时，可以进行锻造，那么材料需要冷却的时间有多长？
【答案】(1)，
(2)6分钟
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式、以及一次函数与反比例函数的性质，
（1）当时，设一次函数解析式为，利用待定系数法求得的值；当时，设反比例函数解析式为，利用待定系数法求得的值即可；
（2）把代入得求得，即可求得冷却的时间．
【详解】（1）解：当时，设一次函数解析式为，
把代入得，
解得，
所以一次函数解析式为；
当时，设反比例函数解析式为，
把代入得，
所以反比例函数解析式为；
（2）解：把代入得，，
解得，
故冷却的时间为．
答：材料需要冷却到400℃的时间要6分钟．
【变式9-2】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数上课时间（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为，第分钟时注意力指数为，前分钟内注意力指数是时间的一次函数．分钟以后注意力指数是的反比例函数．
(1)当时，求关于的函数关系式；
(2)当时，求关于的函数关系式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？
【答案】(1)；
(2)；
(3)在第至第分钟讲完这道题．
【分析】（）根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；
（）根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；
（）分别令一次函数和反比例函数值大于等于求得的取值范围后相减即可得到答案；
本题考查了一次函数和反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
【详解】（1）解：当时，设，
将、两点代入得：，
解得：，，
∴关于的函数关系式是；
（2）解：当时，
当时，，
则反比例函数经过点，
设反比例函数关系式为，
将代入得：，则，
∴关于的函数关系式是；
（3）解：当时，，解得：，
当时，；
解得：，
∴老师本节课应该在第至第分钟讲完这道题．
【变式9-3】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2 …
(1)______，______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______．
【答案】(1)2；
(2)①见解析；②逐渐减小
(3)
【分析】（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由得，
当时，；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，
由图知，当时，，
即当时，的解集为．
【点睛】本题主要考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．
1．如图，点是反比例函数的图象上一点，则反比例函数的解析式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了求反比例函数解析式．根据点在曲线图上点的坐标满足函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：把代入，
得：，即，
那么这个函数的解析式是．
故选：D．
2．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限，
，
解得：，
故选：．
3．已知点，，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，比较反比例函数值的大小，先把点的坐标代入反比例函数的解析式，求出函数值后再比较即可．
【详解】解：把点，，，代入反比例函数的关系式得，
，，，
∵，
∴，
故选：D．
4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例关系，根据题意设，再把数值代入求出即可．
【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系
∴设
∵已知400度近视眼镜镜片的焦距为
∴
解得：
∴
故选：C．
5．若点，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，为的大小关系为 （用“”表示）．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，、在第三象限内，在第一象限内，分别判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴、在第三象限内，在第一象限内，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求反比例函数解析式、反比例函数的性质，先求出反比例函数的解析式，再逐项分析即可得解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
A、当时，，故在反比例函数图象上，符合题意；
B、当时，，故不在反比例函数图象上，不符合题意；
C、当时，，故不在反比例函数图象上，不符合题意；
D、当时，，故不在反比例函数图象上，不符合题意；
故选：A．
7．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的综合判断，分和两种情况，进行分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴当时，的图象过一，三，四象限，的图象过一，三象限；
当时，的图象过一，二，四象限，的图象过二，四象限；
故只有选项D符合题意；
故选：D．
8．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了比例系数k的几何意义∶在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
根据比例系数k的几何意义得到，由得，然后计算．
【详解】解：根据题意得，
而，
所以．
所以．
故答案为∶B．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点逆时针旋转90°后得到，则过点的反比例函数中的值等于（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标，旋转的性质，反比例函数的解析式，先根据一次函数与坐标轴交点可得，，然后根据旋转得到点，代入反比例函数解析式即可解题．
【详解】解：当时，；令，解得；
∴ ，，
由旋转可得：，，
∴点，
代入可得，
故选：C．
10．如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，设轴于点，轴于点，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，，然后代入即可求值，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，设轴于点，轴于点，
∵，的纵坐标分别是和，
∴代入函数关系式可得横坐标分别为，，
∴，，
∴，，，
由反比例函数的几何意义可得，
∴，
故选：．
11．已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．将点代入反比例函数，即可求出k的值．
【详解】解：将点代入反比例函数，得，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是反比例图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即反比例图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可．
【详解】解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，
则，
解得．
故符合条件的点的坐标是：、．
故答案为：、．
13．为预防疾病传播，某小区业主对自己的家庭进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例；燃烧完，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为，根据以上信息解答下列问题：
(1)直接写出药物燃烧阶段y关于x的正比例函数表达式和药物燃烧完y关于x的反比例函数表达式．（需要写出各函数的自变量取值范围）
(2)当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方才无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间业主才可以回家？
【答案】(1)；
(2)从消毒开始，经过业主才可以回家
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出药物燃烧后，时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为，
∴，
∴，
∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为；
设药物燃烧后y关于x的函数表达式为，
∴，
∴，
∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为；
（2）解：对于，当时，，
∴从消毒开始，经过业主才可以回家．
14．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)8
(3)存在，或或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分割法求出的面积即可；
（3）分两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
∴，，
把、代入，得：
，解得：，
∴；
（2）设直线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∴；
（3）存在；
设，
∵，
∴，，，
是以为腰的等腰三角形，分两种情况：
①，则：，
∴，
∴或；
②，则：，
解得：（舍去）或；
∴；
综上：存在或或，使是以为腰的等腰三角形．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a，b是常数，且）的图象与反比例函数（k是常数，且）的图象交于一、三象限内的两点，与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将直线沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于两点（点E在点F左侧），连接、，求的面积．
(3)在（2）的条件下，设D是反比例函数图象上一点，使得的面积是的，求点D的横坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）代的坐标入，求出，即可求出反比例函数解析式，求出的坐标，把的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）将直线沿轴向下平移6个单位长度后的解析式为，解方程组得到，，于是得到结论；
（3）分为①点在第一象限，且在直线的上方，②点在第一象限，且在直线的下方，③点在第三象限，且在点的上方，④点在第三象限，且在点的下方，四种情况讨论即可．
【详解】（1）将代入，
解得，
将代入，得，
又将，代入
，
解得，
．
（2）由（1）可知直线，，
直线沿y轴向下平移6个单位长度后，
得到直线，
联立，即，
整理得，
解得，
，，
如图，设直线与轴交点为，
．
（3），
设，
当点在第一象限，且在直线的上方时，
整理得，
解得（负值舍去），
当点在第一象限，且在直线的下方时，
整理得，
解得（负值舍去），
当点在第三象限，且在点的上方时，
，
整理得，
解得（正值舍去），
当点在第三象限，且在点的下方时，
，
整理得，
解得（正值舍去），
综上所述，或
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题解直角三角形，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的交点的求法和分类讨论思想．
16．如图，已知点在反比例函数的图象上，点，，将沿方向平移，使点与点P重合，得到．过点作轴交反比例函数图象于点．
(1)直接写出的值；
(2)求直线的解析式；
(3)求平移前后线段扫过的图形面积．
【答案】(1)8
(2)
(3)22
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化——平移，求出点坐标和函数解析式是解决本题的关键．
（1）把点代入直线，即可求值；
（2）根据平移的性质，求得，再运用待定系数法，即可得到直线的表达式；（3）延长交轴于，过作轴于，根据，可得线段扫过的面积 的面积平行四边形的面积，据此可得线段扫过的面积．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：，，
，，
由平移可得，，
轴，，
点的横坐标为，
当时，，即，
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（3）如图，延长交轴于，由平移可得，，又轴，，
点的纵坐标为4，即，
如图，过作轴于，
轴，，
点的横坐标为2，即，
又，
线段扫过的面积平行四边形的面积平行四边形的面积．
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