反比例函数（6大压轴考法100题专练）
目录
题型一：反比例函数的图象 1
题型二：反比例函数的性质 12
题型三：反比例函数k的几何意义 20
题型四：反比例函数的解析式 38
题型五：反比例函数与一次函数综合 105
题型六：反比例函数与几何综合 171
题型一：反比例函数的图象
1．如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
(3)上；1
(4)0或或
【分析】（1）由题意中和代入求值即可．
（2）①观察图表，利用计算即可；②根据图表的数据，利用描点法画图即可．
（3）利用函数解析式的变化规律与函数图像的平移规律解答即可．
（4）利用函数与方程的关系，结合图像分析根的情况，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）①解：当时，
∴，
∴
②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象
（3）解：当，，
当时，，
当时，，
结合图像，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位．
（4）解：由函数与方程的关系可知，
当时，的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，的函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴
化简得：
∴
当时，的图像恰好有两个交点．
∴或或．
【点睛】本题主要考查函数图像的平移，利用函数与方程的关系解方程，掌握描点法画图以及函数与方程的关系，根的判别式是解决本题的关键．
2．我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”．
(1)判断下列函数是“五好函数”吗 如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”；
， ；
(2)求出“五好函数”的“五好距”；
(3)①已知“五好函数”左侧的“五好点”位于和之间(含 A，B 两点),求 a 的取值范围；
②不论m取何值，不等式恒成立，在①的条件下，函数 (b为常数)的最小值为，求b的值．
【答案】(1)①；②
(2)4
(3)或
【分析】（1）根据解析式判断函数图象与x轴的交点情况，再根据“五好函数”的定义进行判断；
（2）利用因式分解法求出的两个根，即可求解；
（3）①由（2）可知函数G的图象与x轴的交点坐标，根据左侧的“五好点”的位置即可求解；②根据不等式恒成立，可得关于m的一元二次方程没有实数根，根据求出b的取值范围，将看作y关于a的二次函数，化为顶点式，分和两种情况，结合函数的对称轴和增减性即可进行解答．
【详解】（1）解：的图象与x轴没有交点，不是“五好函数”；
中，，
有两个不相等的实数根，
的图象与x轴有2个不同的交点，是“五好函数”，
故答案为：①；②．
（2）解：是“五好函数”，
有两个不相等的实数根，
因式分解，得，
解得，，
的图象与x轴的交点坐标为：，，
“五好距”为；
（3）解：①由（2）知的图象与x轴的交点坐标为：，，
左侧的“五好点”为，
左侧的“五好点”位于和之间(含 A，B 两点),
，
；
②令，
不论m取何值，不等式恒成立，
该函数图象开口向上，与x轴没有交点，
关于m的一元二次方程没有实数根，
，
解得，
函数，
该函数图象开口向上，
当时，
此时时，函数有最小值，
函数的最小值为，
，
解得；
当时，
函数的对称轴为直线，
当时，y随a的增大而减小，当时，y随a的增大而增大，
，，
，
时，函数取最小值，
最小值为，
解得或（舍），
综上，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐标的求法，根据二次函数的对称轴分析增减性和最值．
3．小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到．
(3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)①是的反比例函数，；②；③减小，减小，下；
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数及画图等．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象的画法，反比例函数的性质，反比例函数图象的平移．
（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；
（2）①观察表格数据可知，是x的反比例函数，设， 把代入计算， 得到，即可；②根据与x成反比例函数，设， 即可得解；③根据图象上函数值随自变量的变化情况作答即可；
（3）把代入 计算即可．
【详解】（1）解：作出关于的函数图象如下：
（2）①观察表格可知，是的反比例函数，
设，
把代入得：，
∴，
∴关于的函数表达式是；
②∵，
∴；
∴；
③观察图象可得，
当时，随的增大而减小，
随的增大而减小，
的图象可以由的图象向下平移5个单位长度得到；
故答案为：减小，减小，下；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴．
4．如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为．
(1)分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围；
(2)在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）
【分析】本题考查了函数的综合题，函数与动点问题，画函数图象，比较函数值的大小，正确理解图形中的动点问题是解题的关键．
(1)根据三角形面积公式直接求解析式即可；
(2)利用描点法画出函数图象；
(3)当时，即为的图象在图象的上方，观察图象，即可得到答案．
【详解】（1）解：当点在线段上时，
当点在线段上时，
当点在线段上时，
综上所述，
的面积为2
（2）解：函数图象如图所示：
（3）解：观察图象可知时，的取值范围为：（右端值可为4.6，4.7，4.8，4.9）．
5．新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
(1)①若一次函数的一个“和谐点”是，则过A的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数的“和谐点”是点 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线，相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“和谐点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②和；；③
(2)a的取值范围为且．
【分析】（1）①求出“和谐线”与轴的交点，再用待定系数法求“和谐线”解析式即可；②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，得到“和谐线”是直线，再联立函数即可求出“和谐点”；③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点，再将二次函数解析式化为顶点式即可解答；
（2）根据函数的“和谐点”在矩形的边上，且图象经过点A，可得，联立和直线解析式，得到方程，由根与系数的关系得到，再结合求解a的取值范围即可．
【详解】（1）解：①画出一次函数及其“和谐线”，
设与轴交于点，“和谐线”与轴交于点，
对于，令，则，
解得：，
，
，
，，，
由题意得，，即，
，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，
代入和得，，
解得：，
直线的解析式为，
即过A的“和谐线”是直线；
②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，
“和谐线”是直线，
联立，
解得：或，
反比例函数的“和谐点”是点和；
③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点，
，
二次函数的顶点为，
即二次函数的“和谐点”是点．
故答案为：①；②和；；③．
（2）矩形对角线，相交于点D，
，即点D是的中点
，，
，
函数的“和谐点”在矩形的边上，
函数的顶点在边上，
，
，
函数的图象经过点A，
代入到得，，
，
函数，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
消去整理得：，
函数的图象与直线的另一个交点为点E，
方程的两根为点A和点E的横坐标，记为、，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
又，
，
，
，且点A、E、D共线，
，
，
解得：，
又，
，
解得：，
综上所述，a的取值范围为且．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，阅读与理解能力，求两函数的交点，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理等知识，运算量较大，理解题意中的概念将“和谐点”转化为其图象与对称轴的交点是解题的关键．
题型二：反比例函数的性质
6．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．
(1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为．
①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为；
②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______．
A． B． C． D．
(2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为．
①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项）
A．的图象与x轴没有公共点
B．的图象关于原点对称
C．在每一个象限内，随x的值增大而减小
D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象
②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论．
【答案】(1)①，或；②C；
(2)①BD；②当且且时，公共点的个数为2；当或时，公共点的个数为1；当时，公共点的个数为0
【分析】（1）①直接代入求解即可；
②通过求在一三象限的最值确定函数图象；
（2）①根据函数的性质依次判断即可；
②将函数交点问题转化为对一元二次方程根的判别式问题求解．
【详解】（1）①解：∵，，
∴，
把代入得：，
两边同乘，得：，
解得，，
经检验，，都是方程的解．
所以当或时，的值为；
②由完全平方公式可知：，，，即，
当时，，
当时，，，
∴，，
观察四个函数图象，C选项符合题意，
故选：C；
（2）①解：∵，，
∴，
A．当时，，所以图象与x轴有公共点，该选项错误；
B．任选上的一点，，P关于原点对称点，代入得出
成立，故在上，所以的图像关于原点对称，该选项正确；
C．当时，，当时，，此时y随x的增大而增大，该选项错误；
D．，随着x的增大，越趋近于0，即和的图象越接近，该选项正确，
故选：BD；
②解：根据题意可得：，
即，该方程，
当且且时，公共点的个数为2；
当或时，公共点的个数为1；
当时，公共点的个数为0．
【点睛】本题考查新定义，函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题关键．
7．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.
(1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值；
(2)当时，求函数值的取值范围；
(3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围.
【答案】(1)图见解析，；
(2)当时，；
(3)或.
【分析】（1）根据反比例函数的图像关于原点对称即可画出另一支，将点代入中，得到反比例函数解析式，再代入，即可求得m的值；
（2）直接根据反比例函数的增减性即可求解；
（3）画出一次函数的图象，根据图象即可解答．
【详解】（1）解：如图；
将代入中，得，将代入中，得；
（2）解：当时，，当时，，
∴当时，；
（3）解：的图象与直线交于点，，作图如下：
由图可得：当时自变量的取值范围：或．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键．
8．点，在反比例函数的图象上，且．
(1)直接写出，的大小关系；
(2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接．
①求证：三点共线；
②若，，求的度数（用的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②．
【分析】（）根据反比例函数的性质即可判断求解；
（）①由，，四边形为矩形，可得，，设直线的解析式为，把代入可得，再把代入得，得到点在直线上，即可求证；
②由矩形的性质可得，，进而得，再由轴于，得到轴，即得，即可得到，进而由三角形外角性质得到，又由可得，得到，最后根据角的和差关系即可求解；
本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，正比例函数图象上点的坐标特征，平行的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握反比例函数与正比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴在每一象限内，的值随的增大而减小，
∵，
∴；
（2）解：①证明：∵，，四边形为矩形，轴于，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
∴点在直线上，
∴点三点共线；
②解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵轴于，
∴轴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
9．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出的“级变换点”的坐标，在代入反比例函数关系式，即可求得答案；
（2）设A的坐标为，则点的坐标为，所以，点在直线上，得，，则，再由即可求得的最小值；
（3）先求点、的“1级变换点”的坐标，然后代入，求得点A、所在的直线为，所以抛物线与直线的交点为，，再根据一元二次方程根与系数的关系逐步求得，同时由， ，逐步推得，令，进一步化简得，最后根据二次函数的最值求法，即可得到答案．
【详解】（1）存在，理由：由题意得，的“级变换点”为，将代入反比例函数表达式得：，
解得：；
（2）证明：点A在直线上，所以设A的坐标为，则由题意得，点的坐标为，所以，点在直线上，
则，，
则，
∵，则，即；
（3）解：点、的“1级变换点”坐标为、，
将、代入得，
则，即点A在直线上，同理可得，点在直线上，
即点A、所在的直线为，
∴抛物线与直线交点为，，
∴、是一元二次方程的两个根，
由，可知，，，
∴，
，，
∴，
由， 可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，
令，则，
即，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
题型三：反比例函数k的几何意义
10．如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（ ）
①
②
③
④）若，，则．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图像与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，运用数形结合思想是解答的关键．根据相关知识逐个分析即可作出判断．
【详解】解：设，则，，
①∵点D、E在反比例函数的图像上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，，
∴，，
∴，则，故③正确；
④由得
，
则，又，
∴（负值舍去），故④正确，
综上，正确的结论为①②③④，
故选：D．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（）
A． B．6 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．连接交于，由菱形的性质可知，根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值．
【详解】连接交于如图：
四边形是菱形，
，
菱形的面积，
顶点在反比例函数的图象上，
解得∶．
故选∶D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数值的几何意义，待定系数法求解析式，相似三角形的判定的性质，掌握反比例函数图象的性质，比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
如图所示，过点作于点，作轴于点，可得，，设，用含的式子表示点的坐标，由此可得直线，的解析式， 从而求出的坐标，分别求出的长，再根据可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，且在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，即点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
令，则 ，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，，，
∴，，，
∴，
，整理得，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F，
∵点是菱形对角线的中点，
∴点三点共线．轴
设点，则，
故直线
故直线
点是的中点，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数（）的图象于点D，若，平行四边形的面积为18，则k的值为 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义．
过点D作轴于N，过点B作轴于M，可得，设，，则，根据的面积为18表示出的长度，从而表示出点C的坐标，由得到，根据求出的长，从而表示出点D的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．
【详解】过点D作轴于N，过点B作轴于M，
∴，
∴，
∵，
设，，则，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴点C的坐标为
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴D点坐标分别为，
∵点，都在反例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：40
15．如图，点A，B分别在反比例函数与的图像上，连接，，，且，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，以及相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，根据，求出，从而得到相似比，进而求出两个三角形面积比，得到的值，即可解题．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，
，
，
，即,
设，，则，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义、轴对称中最小距离问题、勾股定理、正方形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
由正方形的边长是3，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为3，求得，，根据三角形的面积列方程得到，，作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵正方形的边长是3，
∴点D的横坐标和点E的纵坐标为3，
∴，，
，，
∵的面积为4，
，解得：或（舍去），
∴，，
作E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，则的长的最小值，
∴，
∴，，
，即的最小值为．
故答案为．
17．如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线l相交于点M，N，若的面积是，则k的值为 ．
【答案】5
【分析】由题意，可知：，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，利用根与系数的关系和的面积是3，可得结论．
【详解】解：连接，，过A作轴于，过作轴于，如图所示：
点，，
，，
，，
同理得：，，
，
，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转，
建立新的坐标系：为轴，为轴，
则旋转后的函数解析式为：，
在新的坐标系中，，，
设直线的解析式为：，
则，
解得，
直线的解析式为：，
设，，
由得：，
，，
，
整理得，
，
，
，
，
；
故答案为：5．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，反比例函数的性质，一次函数，根与系数的关系，旋转的性质，解题的关键是数形结合，建立新的坐标系．
18．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是．
(1)分别判断函数和是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
(2)如果函数 的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
(3)如果函数（其中）是以为上确界的有上界函数，当时，求实数的取值范围．
【答案】(1) 不是有上界函数；是有上界函数，函数的上确界为；
(2)
(3)
【分析】（）根据有上界函数函数的定义和上确界定义分析即可；
（）根据函数的上确界和函数增减性得到，函数的最小值为，根据，函数的最小值不超过，列不等式求解集即可；
（3）当时，，此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，可得当时，最大值为1；当时，函数的最大值即为；当时，最大值为；当时，，此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，当，即时，最大值为；当，即时，函数的最大值即为；当，最大值为；据此可得当时，函数（其中）的最大值为1，此时不满足函数是以为上确界的有上界函数；当时，函数的最大值为，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，函数的最大为，三种情况结合函数是以为上确界的有上界函数，且建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数的图象经过第二象限，当时，的值随着的增大而增大，
∴函数值没有上确界，
∴ 不是有上界函数；
∵一次函数解析式为，，
∴的值随着的增大而增大，
∴时，函数值小于，
∴函数是有上界函数，函数的上确界为；
（2）解：∵在中，，
∴随的增大而减小，
∵，
∴函数的最大值为，最小值为，
∵函数 的上确界是，
∴，
∵这个函数的最小值不超过，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
综上所述，；
（3）解：当时，，
∴此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，
当时，则当时，函数有最大值，最大值为1；
当时，函数的最大值即为；
当时，则当时，函数有最大值，最大值为；
当时，，
∴此时二次函数的对称轴为直线，且函数开口向下，
当，即时，则当时，函数有最大值，最大值为；
当，即时，函数的最大值即为；
当，即时，则当时，函数有最大值，最大值为；
∴当时，函数（其中）的最大值为1，此时不满足函数是以为上确界的有上界函数；
当时，函数的最大值为，函数的最大值也为，
∴，
∴或（舍去），
∴此时；
当时，函数的最大值为，函数的最大值为，
∵，
∴当时，此时，
∴，
解得，
∴；
当时，函数的最大值为，函数的最大为，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的性质，求不等式组的解集，一次函数和反比例函数的增减性等等，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
19．【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________．
【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、．
①试探究与面积的关系并说明理由；
②试探究与之间的位置关系并说明理由．
【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标；
【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？
【答案】【感知】16，16，平行；【探究】①相等，②平行；【运用】；【拓展】．
【分析】【感知】如图，延长，交延长线于，根据点，坐标得出，，利用三角形面积公式求出、的值，得出和都是等腰直角三角形，可得，即可证明，可得答案；
【探究】①根据反比例函数的几何意义即可得出；
②根据得出对应高相等，可得四边形是矩形，即可证明；
【运用】连接，设，根据，可得，根据点在反比例函数图像上可求出的长，进而求出的值，即可得答案；
【拓展】作交于，作于，作于，根据平行线分线段成比例得出，根据反比例函数图像中心对称的性质得出，利用平行线分线段成比例即可得答案．
【详解】解：【感知】如图，延长，交延长线于，
∵轴，轴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴与的位置关系为：平行．
故答案为：16，16，平行
【探究】①如图，连接、，
∵轴，轴，
∴，，
∴．
②过点作于，过点作于，则，
∵，
∴边上的高相等，即，
∴四边形是矩形，
∴．
【运用】如图，连接，设，
∵，，
∴，
∵点，在反比例函数的图像上，且，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【拓展】如图，作交于，
∵，，
∴，
∵是过原点的直线，点，在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、反比例函数的几何意义、平行线的判定、等腰直角三角形的判定及矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
题型四：反比例函数的解析式
20．已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】将代入，求得，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，则，矩形的面积为，根据二次函数的图象与性质求最值即可．
【详解】解：将代入得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
∴矩形的面积为，
∵，，
∴当时，矩形的面积最大，最大为，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点O在坐标原点，且，反比例函数的图象经过点B和点C，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标为根据等角的余角相等，可得，依据点坐标，可得，再利用平移性质，可得点坐标，点、同在反比例函数图象上，建立关于的方程，联立方程组得、值，值即可算出．正确表示点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
设点，
，
，
四边形是矩形，
点可看作是由点平移得到的，
点可看作是点向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，
，
点、都在反比例函数图象上，
，即，
，
，
，，
．
故选：．
22．如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，，．若反比例函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C．30 D．48
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，相似三角形的判定与性质，过点C作轴于点E，证明，可求出从而可得，进一步得出．
【详解】解：如图，过点C作轴于点E，在矩形中，，
，
∵，
，
，
，
∵点的坐标为，
∴，
，
，
，
，
，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
故选：B．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值．
【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，
∵A，B为函数与x轴、y轴的交点．
∴当时，；当时，，
∴，，
∴，；
∵是正方形，
∴，
∴，
∵
∴
在和中
∴，
同理可证得：，
∴
∴，，
∴，，
把，代入中，
解得：，
把代入中，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键．
24．如图，点A在双曲线（，）上，点B在直线l：上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，则k的值为 ．
【答案】
【分析】设交x轴于点D，在一次函数中，时，，得到，，根据菱形性质得到，根据轴对称性质，得到，，根据勾股定理得到，得到，推出．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，菱形的性质，轴对称性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
【详解】设交x轴于点D，如图，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵A与B关于x轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
25．新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ．
【答案】或
【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论．
分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可．
【详解】解：如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点E，
设，
∴，
，
∴，
∴，
由题意，，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
（负舍），则，
∴
如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点F，
设，
由题意，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴
故答案为：或．
26．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形；
（1）过点作轴，交轴于点，证明，求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）联立解析式，求出点坐标，分割法求出的面积，利用，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐标为，，
∴，，
∴
∴，
把代入，得：；
把，代入，得：
解得：，
（2）存在；理由如下：
∵，
∴当时，
∴，
∴，
联立，，
解得：或，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
或
（3）存在；理由如下：
∵，
∴；
∴，
∴，
∴当与相似时，点在点上方，，有两种情况，
①，则：，
∴，
∴，
∴；
②，则：，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
27．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，.
(1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式；
(2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标；
(3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)
(2)，点Q的坐标为，
(3)或
【分析】（1）过点B作于点H，利用等腰直角三角形的性质求出点B的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点Q作轴于点M，求出直线的解析式是和直线的解析式为，与反比例函数解析式联立得到点Q的坐标为，则，利用即可得到答案；
（3）求出，过点C作于点N，得到，过点P作轴于点R，求出反比例函数解析式为，由（2）可知，，解方程即可得到m的值，即可得到点P的坐标.
【详解】（1）解：过点B作于点H，
∵是等腰直角三角形，，.
∴，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数的图象恰好经过的顶点B，
∴，
解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）过点Q作轴于点M，
设直线的解析式是，把点B的坐标代入得到，
，
解得，
∴直线的解析式是，
∵，
∴可设直线的解析式为，把点A的坐标代入得到
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为，
∴，
∴
；
（3）∵是等腰直角三角形，，.
∴，
∵，
∴,
∴，
过点C作于点N，则，过点P作轴于点R，
∴点C的坐标是，
∴，解得，
∴反比例函数解析式为，
设点P的坐标为，
则,，
由（2）可知，，
解得：（不合题意，舍去）或或或（不合题意，舍去），
∴点P的坐标为或
【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键.
28．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，过点A作轴，垂足为点D，，，点B的坐标为．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出使成立的x的取值范围；
(3)形如（a为常数，）的解集为：或，过点M作垂直于x轴的直线，直线与双曲线交于点，与直线交于点，若时，求n的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：；
(2)或；
(3)n的范围为或．
【分析】（1）由条件可求得的长，即可得点A的坐标，从而求得反比例函数的解析式；由反比例函数解析式可求得点B的坐标，从而用待定系数法即可求得一次函数的表达式；
（2）观察函数图象，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即为不等式的解集；
（3）由直线与反比例函数有两个交点，联立两个函数解析式，由判别式确定n的范围；分反比例函数图象与直线的交点在第二象限与第四象限两种情况考虑即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴点A的坐标为，
把代入，可得，
∴反比例函数的解析式为：，
∵把代入反比例函数中，可得，
∴点B的坐标为，
将和代入，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：根据图象，可知使成立的x的取值范围是或；
（3）解：∵直线与双曲线有两个交点，
∴有两个实数解，
整理得，
∵，
∴或，
当反比例函数图象与直线在第二象限相交于P、Q时，
∴时，n的范围为，
当反比例函数与直线在第四象限相交于P、Q时，
当时，，则点在点下方，
∴，
∴，
∴时，n的范围为，
综上所述，n的范围为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集等知识，有一定的综合性，注意数形结合与分类讨论思想的运用．
29．综合应用
如图，反比例函数的图象过点和两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点是反比例函数的图象上在点左侧的一个动点，连接，，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点．
①若，求点的坐标和直线的解析式；
②在①的条件下，在y轴上是否存在一点，使以C，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点的坐标为，；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点和两点代入，即可求解；
（2）设直线的解析式为，将点代入可求解析式，①设点的坐标为，过点作轴，与交于点，可得，由三角形的面积得，求得点的坐标为，由两条平行直线相等可设直线的解析式为，从而可求解析式；②在直线中，可求得点，，设点的坐标为，（ⅰ）当时，，由相似的性质得，即可求解；（ⅱ）当时，，由相似的性质得，即可求解．
【详解】（1）解：反比例函数的图象过点和两点，
，
解得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：由（1）知，点的坐标为，设直线的解析式为，
则，
．
直线的解析式为．
①设点的坐标为，如图1，过点作轴，与交于点．
则点的坐标为，
，
，
，
解得（舍去），，
点的坐标为．
直线，
设直线的解析式为．
把点代入直线中，
得，
解得，
直线的解析式为．
②在直线中，
令，得，
令，得，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，
由题意可知，，
（ⅰ）如图2，当时，．
，，，
，
即，
，
点的坐标为．
（ⅱ）如图3，当时，．
，
即，
，
．
点的坐标为；
综上所述，在轴上存在一点的坐标为或，使以C，E，P为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形相似的判定及性质，掌握解法及性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键．
30．综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在反比例函数与的图象上，顶点在轴正半轴上．已知顶点的横坐标为1．
(1)直接写出点，的坐标；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)如图2，点M是反比例函数图象上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线交的图象于点N，垂足为点E．连接，，若，直接写出m的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)1或4或
【分析】（1）将代入，得出，过点A，作x轴的垂线，垂足为点G，可得，根据得出，即可得出；
（2）过点A，C分别作x轴的垂线，垂足为点G，H，证明，根据全等三角形的性质，即可求解；
（3）连接，当时，得，根据，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点的横坐标为1．矩形的顶点，分别在反比例函数与的图象上，
∴将代入，得，则，
如图所示，过点A，作x轴的垂线，垂足为点G，
∵四边形是矩形
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，则，
∴ ，；
（2）过点A，C分别作x轴的垂线，垂足为点G，H，
点A的坐标为，
，．
四边形是矩形，
，，
，
，
．
，．
，
．
点C的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
解，得．
反比例函数的表达式为．
（3）解：∵，
∴
∵
∴
连接，
当时， 则，
又∵
∴
∴
∴即
即
∴或
解得：或或或（舍去）
综上所述，m的值为1或4或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，正切的意义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
31．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分；
(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标．
【答案】(1)，反比例函数的表达式为
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数解析式，
（1）根据点在上，求出的值，得到点C的坐标，根据点C在上，即可求得反比例函数解析式；
（2）根据与的交点求点坐标，再求直线解析式，根据经过、求直线解析式，根据直线与轴交点求得，再根据等腰三角形三线合一定理即可求解；
（3）根据新定义的含义先画出图形，再分类讨论：当，当，当，再利用函数的交点坐标的含义建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：点在上，
，即，
点在上，
，即，
，反比例函数的表达式为．
（2）解：点是与的交点，
，
设直线解析式为，经过，则，
直线解析式为，
点是与的交点，
∴，
设直线解析式为，经过、，
，解得，
直线解析式为，
设直线与轴交于点，则当时，，即，
设直线与轴交于点，则当时，，即，
设直线与轴交于点，
轴，，
，
，，，
，，即，
，即，
，
∴，
射线平分．
（3）如图，∵为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设为，则，
解得：，
∴为，
∴，
解得：或，
∴或，
当，且平分时，而，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：为，
∴，
解得：或，
∴；
当，且平分时，
同理可得：，
直线为，
∴，
解得：或，
∴；
如图，当，且平分时，
同理可得：，为，
此时不符合题意舍去
如图，当，且平分时，
同理可得：同理可得：，
直线为，
此时不符合题意，舍去，
当，都不符合题意，舍去，
综上：或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，利用待定系数法求解函数解析式，函数的交点问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
32．已知点A是反比例函数的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，轴于点B，等腰直角三角形的面积等于4．
(1)求反比例函数与正比例函数的表达式；
(2)直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若，求点M的坐标；
(3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接，是否存在直线，作于点Q，使得？若存在求出的表达式，若不存在请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为；
(2)
(3)或．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的面积等于4可得，则，利用待定系数法即可得反比例函数与正比例函数的表达式；
（2）直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点、，可分两种情况，由可得，即可得点M的坐标；
（3）分点Q在点P的下方和点Q在点P的上方两种情况分别进行解答即可．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵等腰直角三角形的面积等于4，
∴，
∴，
∴，，
∵在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数表达式为，
设正比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴正比例函数表达式为；
（2）解：∵点M在正比例函数表达式为和直线：的图象上，
∴设，则点N的横坐标为m，
若点在上方时，如图，
∵点N在反比例函数图象上，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
若点在上方时，如图，
∵点N在反比例函数图象上，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
（3）解：如图，
∵直线与正比例函数平行，
∴直线正比例函数图象，
过点M作轴于点C，
∵点M的坐标为，
∴此时交反比例函数于点P，，
过点P作于D，
∴，
在线段上截取，则，
∵反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为，
∴，
∴，，
当点Q在点P的下方时，
，
过点M作于点E，
∵，
∴，
∴，
代入得，
∴，
∴的表达式为．
当点Q在点P的上方时，，
∵，，
∴，
代入得，
解得，
∴，
综上可知，的表达式为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求a和k的值；
(2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式；
(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，点P、Q的坐标分别为或、或、
【分析】（1）由题意得，点的坐标分别为：，则，即可求解；
（2）证明均为等腰直角三角形，得到点，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或是对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：∵将沿x轴水平向右平移a个单位得到，点，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵点，正好落在第一象限反比例函数的图象上．
∴，
解得：，．
（2）由（1）知点的坐标分别为：、，
设的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
∴的解析式为，即直线所在的直线为二四象限的角平分线，
∵，则直线和x轴正半轴的夹角为，
∵，
故设直线l的表达式为：，
∵直线，与四边形的面积比为，
则，
过点作y轴的平行线交直线l于点T，连接，
则均为等腰直角三角形，
∵，
则，
设，则,
则，
解得：，
则，
则点，
将点M的坐标代入直线l的表达式得：；
（3）解：设点P、Q的坐标分别为：，，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，
解得：，
则点P、Q的坐标分别为：；
当或是对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点P、Q的坐标分别为：、或、；
所以，点P、Q的坐标分别为或、或、
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质等，分类求解是解题的关键．
34．如图1，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上有一点E，反比例函数的图象上有一点F，连接，若且，求点E的坐标；
(3)如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接，P是y轴上一动点（不与点M重合），N是平面内一点，连接，，在点P的运动过程中始终有，且．点Q在反比例函数图象上，连接，请直接写出的最小值及当为最小值时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，
【分析】（1）运用待定系数法即可解答；
（2）设，过点F作轴于点H，过点A作轴于点G，利用解直角三角形求得，，进而求得，建立方程求解即可；
（3）根据对称性可得，设设，则，由
可得，判断得出点在经过点D，且垂直的直线上，可得直线的解析式为，设经过点Q平行的直线解析式为，当最小时，直线与相切，在证是等腰直角三角形，四边形是矩形，可求得的最小值为，在利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【详解】（1）将代入中，得
，
，
将代入中，
解得：，
反比例函数的解析式为，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
，
解得：，
点B的坐标为
（2）设，过点F作轴于点H，过点A作轴于点G，
一次函数交x轴、y轴分别交于C，D两点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，，；
当时，，；
综上所述，点E的坐标为或
（3）点关于x轴的对称点为M，
，
，
轴，
，，
设，则
，
，
，
即，
，
，
点N在经过点D，且垂直的直线上，
直线的解析式为，
设经过点Q平行的直线解析式为，
当最小时，直线与相切，
联立得∶，
整理得：，
，
（负值舍去）
联立得∶，
解得：，
，
令，则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，，
的最小值是，
此时，
，
，
，
，即，
，
，
综上所述：的最小值是，点P的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练应用待定系数法求解析式，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题关键；
35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；
(3)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为、
(3)点的坐标为、
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确地求出函数的解析式是解题的关键．（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，解方程组得到一次函数的解析式为；（2）设，解方程得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）设点的坐标为，当点在第四象限时，当点在第二象限时，根据三角形的面积列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：把点代入得，
反比例函数的解析式为；
把代入得，
点的坐标为，
把和点代入，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）设，
在中，令，则，令，则，
，，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
，
，
，
，，，
，
解得（不合题意舍去），
当，，
，
轴，
，
即，
点的坐标为、；
（3）设点P的坐标为，
，，
当点在第四象限时，的面积，
解得（不合题意舍去），
当点在第二象限时，的面积，
解得（不合题意舍去），
综上所述，点的坐标为、．
36．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点．点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为
(2)
(3)点坐标为或或
【分析】（1）将代入，可求，则反比例函数解析式为，将代入得，，则，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）当时，求得，设，，则，根据，计算求解，然后作答即可；
（3）设直线向上平移后的函数解析式为，将代入，可求，将代入得，，则平移后的直线解析式为，进而可求，设，由题意知，，，，分①当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，的中点坐标为，则，，计算求解即可；②当为平行四边形的对角线时，同理①求解即可；③当为平行四边形的对角线时，同理①求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
将代入得，，
∴，
将，代入得，，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：当时，，即，
设，，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：设直线向上平移后的函数解析式为，
将代入得，，即，
将代入得，，
解得，
∴平移后的直线解析式为，
当时，，即，
设，由题意知，，，，
①当为平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，的中点坐标为，
∴，，
解得，，，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，同理①可得，，
解得，，，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，同理①可得，，
解得，，，
∴；
综上，点坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数图象的平移，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质等知识．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数图象的平移，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质是解题的关键．
37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标；
(3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标．
【答案】(1)，反比例函数的表达式为；
(2)或；
(3)，或，．
【分析】（）求出点坐标，利用待定系数法即可求解；
（）设，过点作轴平行线交直线 于，根据，即可求解；
（）由题意可得，，直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到与反比例函数的交点方程为，即，由根和系数的关系得，求出的值即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立两个函数得，
解得或，
∴，
设，过点作轴平行线交直线 于，
则点，
∵ ，
∴，
∴，
解得或或(已舍负值)，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵点，，
∴，
∵与位似，相似比为，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，点，，
∴，
整理得，，
∴，
∵点恰好都落在反比例函数图象上，
∴与反比例函数的交点方程为，
即，
由根与系数的关系得，，
解得或，
∴，，或，，
∴，或，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．
38．坐标平面内，若点满足，我们把点P称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．
(1)一次函数的图象上的“半分点”是______；
(2)若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，求m的值；
(3)若关于x的二次函数（常数）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当时，求n的取值范围；
②当时，过双曲线（其中）上的“半分点”P作直线轴，若二次函数的图象上存在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)m的值为2或
(3)①；②
【分析】（1）根据半分点的含义可得，再代入函数解析式可得答案；
（2）根据半分点的含义可得半分点，先求解k的值，再建立方程求解m的值即可；
（3）①由半分点在直线上，联立，可得，则方程有两个相等的实数根，从而可得答案；②当时，，可得抛物线解析式为：，求解反比例函数图象上的“半分点”为，可得平行于x轴的直线为，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，则，，
把代入，
∴，
解得： ，
∴．
（2）∵点为反比例函数图象上的“半分点”，
∴，
把代入得：，
∴，
根据双曲线经过在上，
∴．
解得：，，
∴m的值为2或；
（3）①∵半分点在直线上，
联立，
则，
整理得：，
∵抛物线（m，n均为常数）上有且只有一个“半分点”，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∵，
∴；
②当时，，
∴抛物线解析式为：，
令，则，
∴此时抛物线的顶点坐标为：，与y轴的交点坐标为，
联立，
解得：，，
∵，
∴，（舍去），
∴反比例函数图象上的“半分点”为，
∴平行于x轴的直线为，
∵抛物线上有四个点到直线的距离为d，
∴在直线下方的抛物线上必须有两点到直线的距离为d，
∴，即．
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的应用，函数的交点问题，新定义的含义，理解题意是解本题的关键．
39．定义：若x，y满足，且（t为常数），则称点为“和谐点”．
(1)请直接判断点是否为“和谐点”；
(2)是“和谐点”，求m值；
(3)若双曲线的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
【答案】(1)点是“和谐点”
(2)
(3)的取值范围为
【分析】（1）由题意得，，由，可得点是“和谐点”；
（2）由题意知，，即，计算求出满足要求的解即可；
（3）设点为双曲线（）上的“和谐点”，则，，（），即，可得，由，可得，且，然后利用二次函数的图象与性质求取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
点是“和谐点”；
（2）解：∵是“和谐点”，
∴，，
∴，，
∴，即，
解得，（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：设点为双曲线（）上的“和谐点”，
∴，，（），
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∵（），
∴，且，
∵，
∴图象开口向下，当时，，
当时，；
当时，；
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，因式分解法解一元二次方程，二次函数的图象与性质，平方差公式，二次函数的最值，反比例函数解析式等知识．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，平方差公式，二次函数的图象与性质是解题的关键．
40．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点．
(1)求的值；
(2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据长方形的性质得到点的坐标，再代入到即可求解；
（）由（）得到反比例函数解析式为，由反比例函数可得，，分点在的上方和下方两种情况解答即可求解；
本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），
∴，
当点在的上方运动时，如图，此时，
∵轴，
∴，，
∴
∴；
当点在的上方运动时，如图，此时，
∵轴，
∴，，
∴，
∴；
综上，．
41．【建立模型】
（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，点在反比例函数图像上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若反比例函数经过点B．
①求点B的坐标；
②求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】
（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的横坐标．
【答案】（1）证明详见解析；（2）①；②；（3）存在，或．
【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
（2）①如图2，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D．求解，，．利用，可得；②由反比例函数经过点，可得，可得答案；
（3）如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．证明，可得，，可得，求解，令， 可得M的横坐标为；如图，当M点位于x轴下方，且，同理可得，为．由，可得M的横坐标是．
【详解】证明：（1）如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）①如图2，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D．
将代入得：，
∴，，．
同（1）可得，
∴，，
∴，
②∵反比例函数经过点，
∴，
∴；
（3）存在；
如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．
∵，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
令，得，，
∴，又，
∴，
∴，
设为，则
解得：，
∴
令，得，(舍去)，
∴M的横坐标为；
如图，当M点位于x轴下方，且，
同理可得，为．
由，得，(舍去)
∴M的横坐标是．
综上：M的横坐标为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．
42．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，与反比例函数交于点，以为边向下作，点恰好在轴上，且，，若的面积为，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由三角形面积求得点的坐标，代入即可求得的值，求得点的坐标是解题的关键．
【详解】解：作于点，
轴，
轴，，
设，则，
，
，
，
的面积为，
，
（负数舍去），
，
把代入得，，
，
反比例函数过点，
．
43．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“阶积点”．例如，点为反比例函数图象的“1阶积点”，为一次函数图象的“阶积点”．
(1)若点为关于的二次函数图象的“阶积点”，则的值等于_______，的值等于_______；
(2)若关于的反比例函数的图象经过一次函数图象的“2阶积点”，求的值；
(3)若关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由题意知，，将代入得，，分别计算求解即可；
（2）设一次函数图象的“2阶积点”为，则，一次函数图象经过第一、三、四象限．分当在第一、三、四象限三种情况，分别求解即可；
（3）由题意知，，过点．由关于的一次函数图象上存在“阶积点”，可得．则，且函数过一、三象限，即或，由题意知，函数与函数的交点是三个，如图，联立，整理得，且有两个相等的实数根，根据，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
将代入得，，
解得，，
∴的值等于3，的值等于；
（2）解：设一次函数图象的“2阶积点”为，
∴，一次函数图象经过第一、三、四象限．
①当在第一象限时，，
∴．
∵函数图象的过，
∴；
②当在第三象限时，，
∴．
∵函数图象的过，
∴；
③当在第四象限时，，
∴，
∵，
此时方程无解，该情况不存在．
综上，；
（3）解：由题意知，，
当时，．
∴过点．
又关于的一次函数图象上存在“阶积点”，
∴．
∴，且函数过一、三象限．
∴或．
由题意知，函数与函数的交点是三个，如图，
由图象可得，联立，得，整理得，
∴有两个相等的实数根．
∴，
∴，
解得，或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的图象与性质等知识．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的图象与性质是解题的关键．
44．已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“k倍函数”．
例如：函数，当时，则函数是函数的“3倍函数”．
(1)函数的“5倍函数”是 （直接填空）；
(2)求的“k倍函数”与x轴的交点坐标；
(3)如图①是函数和它的“2倍函数”的图像，在的“2倍函数”图像上有一点A，作轴于点D，交函数图像于点E，作轴于点B，交函数图像于点C，连接，，求证：；
(4)在平面直角坐标系中，函数的图像如图②所示，若函数的“k倍函数”的图像与函数的图像交于P，Q两点，与函数的“倍函数”的图像交于G，H两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据“k倍函数”的定义进行解答即可；
（2）先求出的“k倍函数”解析式，然后将代入函数解析式求出与x轴的交点坐标即可；
（3）根据的“2倍函数”解析式为，设点A的坐标为：，得出，，求出，得出，从而求出，即可证明结论；
（4）先求出的“k倍函数”解析式为：，求出，，再得出的“倍函数”解析式为：，求出，H点横坐标为，根据，得出点Q为的中点，根据中点坐标公式求出结果即可．
【详解】（1）解：函数的“5倍函数”是；
（2）解：的“k倍函数”解析式为：，
把代入得：，
∵，
∴，
∴的“k倍函数”与x轴的交点坐标为；
（3）解：∵函数的“2倍函数”解析式为，
∴设点A的坐标为：，
把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（4）解：的“k倍函数”解析式为：，当时，，
∵，
∴，
解得：，
∴函数过定点，
，
由得：
，
即，
∴，，
把代入得：，
∴，，
又的“倍函数”解析式为：
，
由得：，
即，
∴，，
∴，H点横坐标为，
∴、G两个点重合，如图所示：
当时，，
∴点Q为的中点，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数和二次函数的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．
45．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可；
（2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
，，
所以点的坐标为，
点在反比例函数上，代入，得到，
故反比例函数解析式为；
（2）如图，
，，
时，，
，
即，，，
，
；
（3）如图，
，
设所求点坐标为，
，，
，
，
，
当时，
，
即，，
解得，，
故；
当时，
，
即，，
解得，，
故，
综上所述；存在点，坐标为，．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键．
46．如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答；
（2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可；
（3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可．
【详解】（1）解：把点分别代入和中可得：
，，解得：
∴，．
（2）解：设，则，
∴，
∵四边形的面积等于，
∴,即，
整理得：，解得：
检验：是原方程的解，
∵，
∴，则．
∴．
（3）解：由平移可得：,
∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：或（不合题意，舍去）
经检验是方程组的解，
∴点
∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到，
由 (2)可得：，
∴，
∵ ，
∴，
如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M，
∵，
∴,
∴ N为的中点，
∴，即，
设直线的解析式为，
将代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：（舍弃负值）
经检验是方程组的解，
∴；
如图，当点M位于外部时，作于，连接，
∵，
∴,
∵，
∴关于对称，，
设直线的解析式为:,
将代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则的中点在直线上，
∴在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，整理得：，解得:，
∴或，
经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意，
∴，
∵，，
∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：（舍弃负值）
经检验是方程组的解，
∴．
综上所述，M的坐标为或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键．
题型五：反比例函数与一次函数综合
47．如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点为，求出，根据点和点关于原点对称得到，，由直角三角形的性质得到，根据，得到关于方程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【详解】解：设点，
则,
∵，
∴，
∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
故选：．
48．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作，交轴于点；若，，，都是等腰直角三角形，其中点A，，，，都在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可．
【详解】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…..．
∵直线的关系式为，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可得……都是等腰直角三角形，
设，
则点，点A在反比例函数的图象上，
∴，解得：（负值舍去），
∴点A的横坐标为1，
设,
则点，点A1在反比例函数的图像上，
∴，解得：，
∴点的横坐标为
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴点的横坐标为
以此类推：点横坐标为：．
故答案为：．
49．对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】由直线：可知是等腰直角三角形，则，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，则，，则是等腰直角三角形，先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可．
【详解】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点，
对于直线：，当时，，当时，，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，则，
设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，
作轴交于，则，，
则是等腰直角三角形，
∴，则，
即：，
先找图形到直线的“距点”只有1个时，
即：只有1个解，
亦即：或只有1个解，
∵，则，
∴，
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
作出当，时的草图，如下：
通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，
∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个，
则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键．
50．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ．
【答案】或．
【分析】设点，则，进而得点，由此可得直线的表达式为，解方程组，得点，再由两点间的距离公式得，，，当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，由勾股定理得，则，由此解出，②当时，由勾股定理得，则，由此解出，综上所述即可得出的值．
【详解】解：设点的横坐标为，
轴，
点的横坐标为，
点在直线上，
点，
又点在反比例函数的图象上，
，
点在反比例函数的图象上，
点，
设直线的表达式为：，
，
，
直线的表达式为：，
解方程组：，得，（不合题意，舍去），
点，
点，
，，，
，
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，由勾股定理得：，
，
整理得：，
即：，
，
，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
②当时，由勾股定理得：，
，
整理得：，
，
，
，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述：当为直角三角形时，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交，直角三角形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求正比例函数解的析式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
51．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，，为轴正半轴上一点，连接，，的面积为6．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)若为反比例函数图像上的一点，为轴上一点，是否存在点，，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，一次函数的表达式为
(2)
(3)
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）设，先求出一次函数与x轴的交点坐标，再根据的面积为6建立方程求解即可；
（3）设，，当点F在x轴负半轴上时，，为对角线，可得，的中点相互重合，据此建立方程组求解即可；当点F在x轴正半轴上时，推导出点E不在反比例函数图象上．
【详解】（1）解：将代入，得，
反比例函数的表达式为，
将代入，得，
，
将和分别代入，得
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）令，则，
一次函数与x轴的交点坐标为，
设，
，，
，
，
；
（3）设，，又，，
①如图，当点E在第四象限，点F在x轴负半轴上时，存在，此时，为对角线，且，的中点相互重合，
，即，
解得，
；
②当点F在x轴正半轴上时，点E必须在直线上（不与点B重合），
则点E不在反比例函数图象上，与题设矛盾，
故此时不存在；
综上所述，点的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解．
52．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点．
(1)求B点坐标；
(2)如图1，过点A的直线分别与x轴正半轴，y轴负半轴交于点M，N，若，连接，求的面积；
(3)如图2，以为边作平行四边形，点C在y轴负半轴上，点D在反比例函数的图象上，线段与反比例函数的图象交于点E，若，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入反比例函数，求出m的值，再将点A代入直线，求出直线解析式，联立直线解析式与反比例函数解析式求解可得答案；
（2）过点A作轴于P，利用，可得的长，从而得出的长，再计算即可；
（3）设，利用平行四边形的性质可得，过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，垂足分别为G，H，根据，表示出点E的坐标，从而得出方程解决问题．
【详解】（1）解：当时，反比例函数，
，
将点代入得，，
∴一次函数的解析式为，
直线与反比例函数的图象交于，B两点，
，即
解得：
；
（2）解：，
当时，，
，
，
过点A作轴于P，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
设，
∵四边形是平行四边形，
，
，
过D作x轴的平行线l，过点A、E作l的垂线，垂足分别为G，H，
则，
，
，
，
，
，
，
，
∴点，
∵点D、E都在反比例函数上，
，
解得，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
53．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当四边形的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】(1)根据直线与反比例函数的图象交于，B两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标；
(2) 过点作轴，交于，设点的坐标为，求出直线的解析式为 ，进而得到，根据列方程解题即可；
(3)如图，过点作轴于，过点作轴，过点作(于，证明 ，根据正切的定义可得，可得的解析式为，列方程可得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程可得结论．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得，
∴，
，
∴反比例函数的表达式为：，
则，
解得：，
∴；
（2）解：如图, 过点作轴，交于，设点的坐标为，
∵，
∴的解析式为：，当时，，
∴
设的解析式为：，
则 ，解得：，
∴的解析式为: ，
，
∵四边形的面积为，
，
即 ，
，
解得： ；
或；
（3）解：存在,
如图, 过点作轴于，过点作轴，过点作于，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是“垂等四边形”，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∴，
∵，
∴，
∴, 即 ，
，
∴，
设直线的解析式为: ,将点的坐标代入得: ，
，
∴ 的解析式为: ，
，
解得: 或(舍)，
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴ ，
∴，
同理得：的解析式为：，设，
∵，
，
解得：(舍)，
∴．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
54．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：
(3)若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：
(2)或
(3)存在，其坐标分别为
【分析】（1）把点的坐标代入，得出反比例函数解析式；把点的坐标代入，求出的值，得到一次函数的解析式；
（2）求出点，设，根据可得，由点是反比例函数图象上的一个动点，即可得点的坐标；
（3）分两种情况：①当点在轴上时，②当点在轴上时，根据矩形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点，
∴，，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，；
（2）解：一次函数中，当 时，，
，
设，
，
∴，
，
点在上，
或1，
或；
（3）解：存在点，，使得四边形是矩形，理由如下：
①当点在轴上时，如图，设点的坐标为，
过点作轴于点，
，，
，
∴，
，，
，，
，
∴，
，
∴点的坐标为；
②当点在轴上时，过点作轴于点，如图，
设点的坐标为， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴点的坐标为，
∴存在点，，使得四边形是矩形，点的坐标分别为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
55如图，直线与坐标轴交于A、两点，与双曲线交于C、D两点，并且．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若，分别是第一、三象限内反比例函数图象上的两点，连接，当四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，将所在的直线向上平移个单位长度，平移后的直线与双曲线交于，R两点，与直线交于点，设，，的横坐标分别为，，，若，，满足等式，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，可得，过点D作轴，交y轴于E，利用证得，可求得，运用待定系数法即可求得答案；
（2）联立方程组可得：，设，由平移得：，代入，得，即可求得答案；
（3）利用待定系数法可得直线的解析式为，平移后的直线为，与直线的解析式联立可求得，与反比例函数联立，得，整理得：，运用根与系数关系可得，根据题意建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）在中，令，得，
∴，
令，得，
解得：，
∴，
∴，
过点D作轴，交y轴于E，
则，
，
，
，
，
∴，
把代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：联立方程组，得，
解得：，，
∴，
设，
∵四边形为平行四边形，
，
∴由平移得：，
把代入，得，
解得：或（舍去），
；
（3）解：设直线的解析式为，将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将所在的直线向上平移个单位长度，得到直线，
与直线的解析式联立，得，
解得：，
∴，
与反比例函数联立，得，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
，
∵，
∴．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数关系等，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
56．已知直线与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)是线段的中点，点为反比例函数图象在第一象限上一点，连接，，，若，求点的坐标；
(3)点为反比例函数图象在第三象限上一点，连接，过点作，交反比例函数图象于点，连接．若直线经过点，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）设，过点作轴于点，过点作轴于点，根据三角形面积可得，即可求解；
（3）过点作轴，过点作于，过点作于，过点作于点，由，可得，设，根据四边形是矩形，分别求得，进而根据，得出的值，即可求解．
【详解】（1）
解：由反比例函数经过点，两点，且点的横坐标为，点的横坐标为，
得点的坐标为，点的坐标为，
把，代入
得
解得：
直线的表达式为；
（2）
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
是，的中点，
，
，
解得：负值舍去
（3）
如图，过点作轴，过点作于，过点作于，过点作于点，交轴于点，
则，
，
，
，
，
，
设，又，
则，，，，
，，，
①
，
四边形是矩形，
，，，
，
，即②
联立①②，解得：舍去
，，
，，
，
．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似反比例函数（6大压轴考法100题专练）
目录
题型一：反比例函数的图象 1
题型二：反比例函数的性质 12
题型三：反比例函数k的几何意义 20
题型四：反比例函数的解析式 38
题型五：反比例函数与一次函数综合 105
题型六：反比例函数与几何综合 171
题型一：反比例函数的图象
1．如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
2．我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”．
(1)判断下列函数是“五好函数”吗 如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”；
， ；
(2)求出“五好函数”的“五好距”；
(3)①已知“五好函数”左侧的“五好点”位于和之间(含 A，B 两点),求 a 的取值范围；
②不论m取何值，不等式恒成立，在①的条件下，函数 (b为常数)的最小值为，求b的值．
3．小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到．
(3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围．
4．如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为2，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为．
(1)分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围；
(2)在坐标系中画出，的函数图象，并写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
5．新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
(1)①若一次函数的一个“和谐点”是，则过A的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数的“和谐点”是点 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线，相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“和谐点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围．
题型二：反比例函数的性质
6．对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”．例如：对于函数和，则函数，的“和函数”．
(1)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为．
①写出的表达式，并求出当x取何值时，的值为；
②函数，的图象如图①所示，则的大致图象是______．
A． B． C． D．
(2)已知函数和，这两个函数的“和函数”记为．
①下列关于“和函数”的性质，正确的有______；（填写所有正确的选项）
A．的图象与x轴没有公共点
B．的图象关于原点对称
C．在每一个象限内，随x的值增大而减小
D．当时，随着x的值增大，的图像越来越接近的图象
②探究函数与一次函数（为常数，且图象的公共点的个数及对应的k的取值范围，直接写出结论．
7．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.
(1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值；
(2)当时，求函数值的取值范围；
(3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围.
8．点，在反比例函数的图象上，且．
(1)直接写出，的大小关系；
(2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接．
①求证：三点共线；
②若，，求的度数（用的代数式表示）．
9．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围．
题型三：反比例函数k的几何意义
10．如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（ ）
①
②
③
④）若，，则．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（）
A． B．6 C． D．3
12．如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B、C在第一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数（）的图象于点D，若，平行四边形的面积为18，则k的值为 ．
15．如图，点A，B分别在反比例函数与的图像上，连接，，，且，，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于E，D两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为 ．
17．如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线l相交于点M，N，若的面积是，则k的值为 ．
18．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是．
(1)分别判断函数和是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
(2)如果函数 的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
(3)如果函数（其中）是以为上确界的有上界函数，当时，求实数的取值范围．
19．【感知】如图1，已知反比例函数上有两点，，轴交轴于点，轴交轴于点，则_____，_____，与的位置关系为：_________．
【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当，是双曲线同一支上任意两点，过、分别向轴、轴作垂线，交轴于点，交轴于点，连接、．
①试探究与面积的关系并说明理由；
②试探究与之间的位置关系并说明理由．
【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点，在反比例函数的图像上，且，则是反比例函数第三象限内图像上的一动点，过点作轴，过点作轴，垂足分别分为、，若四边形的面积为45，求点的坐标；
【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数的图像与过原点的直线相交于，两点，点是此函数第二象限内图像上的动点（点在点的右侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、．若，求的值？
题型四：反比例函数的解析式
20．已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．5
21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点O在坐标原点，且，反比例函数的图象经过点B和点C，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
22．如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，，．若反比例函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C．30 D．48
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．如图，点A在双曲线（，）上，点B在直线l：上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，则k的值为 ．
25．新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ．
26．综合与探究：如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点M，使得与相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，.
(1)如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式；
(2)在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标；
(3)如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标.
28．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，过点A作轴，垂足为点D，，，点B的坐标为．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出使成立的x的取值范围；
(3)形如（a为常数，）的解集为：或，过点M作垂直于x轴的直线，直线与双曲线交于点，与直线交于点，若时，求n的取值范围．
29．综合应用
如图，反比例函数的图象过点和两点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点是反比例函数的图象上在点左侧的一个动点，连接，，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点．
①若，求点的坐标和直线的解析式；
②在①的条件下，在y轴上是否存在一点，使以C，E，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．综合与探究
如图1，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在反比例函数与的图象上，顶点在轴正半轴上．已知顶点的横坐标为1．
(1)直接写出点，的坐标；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)如图2，点M是反比例函数图象上的一个动点，设点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线交的图象于点N，垂足为点E．连接，，若，直接写出m的值．
31．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分；
(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标．
32．已知点A是反比例函数的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，轴于点B，等腰直角三角形的面积等于4．
(1)求反比例函数与正比例函数的表达式；
(2)直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若，求点M的坐标；
(3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接，是否存在直线，作于点Q，使得？若存在求出的表达式，若不存在请说明理由．
33．如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求a和k的值；
(2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式；
(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图1，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上有一点E，反比例函数的图象上有一点F，连接，若且，求点E的坐标；
(3)如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接，P是y轴上一动点（不与点M重合），N是平面内一点，连接，，在点P的运动过程中始终有，且．点Q在反比例函数图象上，连接，请直接写出的最小值及当为最小值时点P的坐标．
35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点在轴上，以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；
(3)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标．
36．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点．点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
37．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标；
(3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标．
38．坐标平面内，若点满足，我们把点P称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．
(1)一次函数的图象上的“半分点”是______；
(2)若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，求m的值；
(3)若关于x的二次函数（常数）的图象上恰好有唯一的“半分点”P．
①当时，求n的取值范围；
②当时，过双曲线（其中）上的“半分点”P作直线轴，若二次函数的图象上存在4个点到直线PQ的距离为d，求d的取值范围．
39．定义：若x，y满足，且（t为常数），则称点为“和谐点”．
(1)请直接判断点是否为“和谐点”；
(2)是“和谐点”，求m值；
(3)若双曲线的图象上存在“和谐点”，求k的取值范围．
40．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点．
(1)求的值；
(2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围．
41．【建立模型】
（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图2，点在反比例函数图像上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若反比例函数经过点B．
①求点B的坐标；
②求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】
（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的横坐标．
42．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，与反比例函数交于点，以为边向下作，点恰好在轴上，且，，若的面积为，求的值．
43．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“阶积点”．例如，点为反比例函数图象的“1阶积点”，为一次函数图象的“阶积点”．
(1)若点为关于的二次函数图象的“阶积点”，则的值等于_______，的值等于_______；
(2)若关于的反比例函数的图象经过一次函数图象的“2阶积点”，求的值；
(3)若关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，求的值．
44．已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“k倍函数”．
例如：函数，当时，则函数是函数的“3倍函数”．
(1)函数的“5倍函数”是 （直接填空）；
(2)求的“k倍函数”与x轴的交点坐标；
(3)如图①是函数和它的“2倍函数”的图像，在的“2倍函数”图像上有一点A，作轴于点D，交函数图像于点E，作轴于点B，交函数图像于点C，连接，，求证：；
(4)在平面直角坐标系中，函数的图像如图②所示，若函数的“k倍函数”的图像与函数的图像交于P，Q两点，与函数的“倍函数”的图像交于G，H两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当时，求k的值．
45．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
46．如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：反比例函数与一次函数综合
47．如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
48．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A，过点A作，交轴于点；若，，，都是等腰直角三角形，其中点A，，，，都在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ．
49．对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ．
50．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ．
51．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，，为轴正半轴上一点，连接，，的面积为6．
(1)求的值及一次函数的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)若为反比例函数图像上的一点，为轴上一点，是否存在点，，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
52．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点．
(1)求B点坐标；
(2)如图1，过点A的直线分别与x轴正半轴，y轴负半轴交于点M，N，若，连接，求的面积；
(3)如图2，以为边作平行四边形，点C在y轴负半轴上，点D在反比例函数的图象上，线段与反比例函数的图象交于点E，若，求k的值．
53．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当四边形的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
54．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：
(3)若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
55．如图，直线与坐标轴交于A、两点，与双曲线交于C、D两点，并且．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若，分别是第一、三象限内反比例函数图象上的两点，连接，当四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，将所在的直线向上平移个单位长度，平移后的直线与双曲线交于，R两点，与直线交于点，设，，的横坐标分别为，，，若，，满足等式，求的值．
56．已知直线与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)是线段的中点，点为反比例函数图象在第一象限上一点，连接，，，若，求点的坐标；
(3)点为反比例函数图象在第三象限上一点，连接，过点作，交反比例函数图象于点，连接．若直线经过点，求的值．
57．定义：平面直角坐标系中有点， 若点满足且，则称点为中心点，点是点的 “界环绕点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心．
(1)点的“界环绕点”所组成的图形面积为 ；
(2)直线经过点．
①在其图象上，点的“界环绕点”组成的线段长为，求b的值；
②直线与反比例函数图象的交点横坐标为，求的取值范围；
(3)关于的二次函数（是常数），将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若与上都存在的“1界环绕点”，直接写出的取值范围．
58．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点的左侧），连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接交轴于点．
(1)若点的纵坐标为6，求点的坐标；
(2)在（1）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若的面积为16，求反比例函数的表达式．
59．阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数的图像向右平移2个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：
结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写下面的空格．
问题：将函数的图像向左平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？解决途径：
(2)灵活应用
如图，已知反比例函数的图像C与正比例函数的图像l相交于点和点B．将函数的图像和直线同时向右平移个单位长度，得到的图像分别记为和．已知图像经过点．
①求出平移后的图像对应的函数表达式；
②直接写出不等式解集．
60．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)已知为反比例函数的图象上一点，满足，求点的坐标．
(3)在第四象限反比例函数的图象上是否存在点，使点绕点顺时针旋转得到的对应点恰好落在第二象限反比例函数的图象上 若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
61．我们定义：若点A在一个函数的图像上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”．
(1)一次函数的“反点”的坐标为______；
(2)已知反比例函数与一次函数有公共的“反点”，求k的值；
(3)若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线上任意一点的最小距离为______；
(4)已知关于x的二次函数对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围．
62．如图1，在平面直角坐标系中，，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为．
(1)求直线的解析式及E点的坐标；
(2)若y轴上有一动点F，直线上有一动点G．当最小时，求的周长的最小值；
(3)如图2，若y轴上有一动点Q，直线上有一动点P，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，求P点的坐标．
63．综合与实践
如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标
如图，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，
因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由．
【问题解决】
（3）求当木栏总长a为多少时？面积为的矩形地块满足．
64．如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．
(1)求m的值．
(2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接．
①连接．若，求点M的坐标．
②过点M作于点D，若，求M的坐标．
65．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与相交于点，且点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)求的面积；
(3)若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式．
66．如下图，反比例函数与一次函数的图象都经过点和点，以为边作正方形（点A、B、C、D逆时针排列）．
(1)求m的值和一次函数的解析式．
(2)求点C的坐标．
(3)将正方形平移得到正方形，在平移过程中，使点A的对应顶点M始终在第一象限内且在反比例函数的图象上（点M与点A不重合），当正方形与正方形的重叠部分为正方形时，求重叠正方形的边长．
67．综合运用：如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
68．已知一次函数，反比例函数．
(1)若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
(2)若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
69．如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于A（2，a），B两点．
(1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
(2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点M的坐标；
(3)如图2，反比例函数的图象上有P，Q两点，点P的横坐标为，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接，，，．若的面积是的面积的3倍，求m的值．
70．如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？
(3)如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．
71．定义：对于两个关于的函数，如果存在取某一值时，两个函数的函数值相等，那么称两个函数互为“明盟函数”，其中的值叫做这两个函数的“明盟点”，相等的函数值叫做“明盟值”．例如：对于函数与，当时，．因此，、互为“明盟函数”，是这两个函数的“明盟点”，“明盟值”为2．
(1)下列函数中是的“明盟函数”的有 （填序号）；
①；②；③．
(2)已知函数与函数，若与只存在一个“明盟点”，求的值或取值范围；
(3)若无论取何值，（为常数），与函数（为常数，）始终是“明盟函数”，且只有一个“明盟点”，求的值以及“明盟值”的范围．
72．如图1，已知双曲线，直线：，过定点，且与双曲线交于、两点，设，．
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值；
(3)如图2，若，点在双曲线上，点在直线：上，且轴，求的最小值，并求出此时点的坐标．
题型六：反比例函数与几何综合
73．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
74．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
75．如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
76．如图，在平面直角坐标系中，点，点、在轴上，且，将绕点逆时针旋转后得到，是上一点，且，连接、，若，反比例函数的图象恰好经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
77．如图，直线与x轴交于B，与y轴交于A，点C在双曲线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，于D，M、N分别是上的一动点，且．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
78．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数图象的“等值点”．设函数，图象的等值点分别是A，B，过点B作轴，垂足为点C，当的面积为5时，b的值为 ．
79．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数上取一点，连接，作等腰．
（1）的坐标为 ．
（2）若过点作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，…，按此依次作图，则的坐标为 ．
80．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中．等边的顶点A在第一象限，点．双曲线把分成两部分，若．
（1）双曲线与边，分别交于，两点，的值为 ．
（2）连接，则的面积为 ．
81．如图，在反比例函数图象的两支上分别取点，，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，．若四边形的面积为15，且，则 ．
82．如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图像于点、，若，，则点的坐标为 ．
83．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线是反比例函数（）图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则 ；若点和是波浪线上的点，则的最大值为 ．
84．如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，与交于点G（4，3）．
(1)当点D恰好是中点时，求此时点C的横坐标；
(2)如图2，连接，求证：；
(3)如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式．
85．阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．
(1)在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________；
(2)如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长；
(3)如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值．
86．如图，已知一次函数分别与轴和反比例函数交于点，．
(1)求反比例和一次函数表达式；
(2)反比例图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)把一次函数的直线绕点旋转一定角度交反比例函数的图象于另一点，交轴于点，当时，求直线的解析式．
87．如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.
88．已知点在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点在轴上方，与轴的夹角为．
(1)如图1，当点在轴上时，求点坐标；
(2)①如图2，当时，与轴相交于点，若，求点的坐标；
②如图3，当时，与轴相交于点，若，求点的坐标．
89．如图，射线在第一象限内，射线在第二象限内，，射线与函数交于点A，射线与函数交于点B，连接，根据下列条件解答问题：
(1)如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，求证：；
(2)如果点A的坐标是，求点B的坐标；
(3)当在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，的度数是否保持不变？如果不变，求的值？如果变化，请说明理由．
90．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【探究发现】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，点E 是的中点，连接，已知，．
①分别求出线段、的长（用含 a、b的代数式表示）；
②比较大小：______（填“<”、“>”），用含 a、b的代数式表示该大小关系为_______．
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点 M、N在反比例函数 的图象上，横坐标分别为 m、n．设记．
①当，时，_______；当，时，_______；
②通过归纳猜想，可得 l的最小值是_______．
91．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值；
(2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为 ；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．
92．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，对角线，相交于点D，将正方形绕点O逆时针旋转α（）得正方形，点的对应点分别是，函数的图象记为图象G．
(1)当，时，点恰好在图象G上，求k的值；
(2)当点同时在图象G上时，点横坐标为4，求k的值；
(3)点P为x轴上一动点，当时，图象G过点D，且的值最小时，，求k的值．
93．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上任意一点，点是轴正半轴上的任意一点．
(1)若点是上任意一点，，试说明；
(2)在（1）的条件下，已知点的横坐标为，点的坐标，求点的坐标；
(3)若点的纵坐标为，点的坐标，上是否存在一点使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
94．如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接．
(1)如图1，若点是的中点，求点的坐标；
(2)如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：；
(3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围．
95．如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G．
(1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）；
(2)求点C的坐标；
(3)求矩形的面积．
96．定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为 且 当自变量x满足时，此时函数的最大值记为 ，最小值记为 ，则是 的“ ”值．
已知： 在平面直角坐标系中， ， ， 轴．
(1)如图， 若点坐标为， ．
①一次函数 是 的“勾股函数”吗 若是，说明理由并求出的“ ”值，若不是，请说明理由；
②是否存在反比例函数 是 的“勾股函数”，若存在，求出值，不存在，说明理由．
(2)若点的坐标为， 点的坐标为， 二次函数 是的“勾股函数”．
①若二次函数 经过两点，且与 的边有第三个交点，则的取值范围是 ；
②若二次函数 经过两点， 且的“ ”值 求的值．
97．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积；
(3)如图，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标．
98．已知点在反比例函数的图象上，点在轴上，连接，如图1，将绕着点顺时针旋转至点，点正好落在轴上．
(1)求k的值和点的坐标；
(2)若点在反比例函数图象上，连接并延长至点，使得，连接，，
①如图2，连接并延长交轴于点，当轴时，试说明平分；
②如图3，连接交于点，将沿着翻折，记点的对应点为，若点恰好落在线段上，求与面积之比．
99．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．
A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
100．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，且，过点作轴于点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，以及点的坐标；
(2)将沿轴向左平移，对应得，当反比例函数图象经过的中点时；求的面积
(3)在第二象限内点上方的双曲线上求一点，使得．
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