数列通项公式
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】定义法求通项公式
【题型二】 累加法求数列通项公式
【题型三】 累乘法求数列通项公式
【题型四】法求通项公式
【题型五】构造法求数列通项公式
【题型六】寻找递推关系式求数列
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：数列的首项不满足取值规律。
：1.等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。
2.情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。
3.知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，函数结合等，属于中等难度。
：复习等差、等比数列的基础知识点，以及常见题型的归纳总结，累加，累乘数列求通项的基方法。
【题型一】定义法求通项公式
【例1】已知数列满足：，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由已知可得数列是公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式即可求得.
【详解】因为，所以数列是公差为2的等差数列，
又，所以.
故选：D.
【例2】已知数列为等比数列，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比中项即可求解.
【详解】根据，a，可得：，；
解得，故.
故选：B.
【变式1】首项为3的等差数列满足，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列得到关于公差的方程，解得.
【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，，所以，解得．
故选：B.
【变式2】在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】D
【分析】根据等差数列的定义进行判断即可.
【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立；
“”成立也不一定推出“数列为等差数列”；
“”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件；
故选：D
【变式3】已知等比数列的公比为，若，，则 ．
【答案】
【分析】利用等比数列通项公式，列方程组求公比.
【详解】等比数列的公比为，，，
则，解得.
故答案为：.
【题型二】 累加法求数列通项公式
【例1】在数列中，，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】结合数列递推公式，利用累加法和裂项相消法即可求得数列通项公式.
【详解】由题意，得，
．
又符合
所以数列的通项公式为.
【例2】在数列中，，求的通项公式．
【答案】.
【分析】由递推关系，用累加法可求得通项，解题时注意检验首项是否符合通项公式．
【详解】当时，；
当时，，，…，将这个等式累加，
得，故，
因为也满足，
所以．
1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得：
【变式1】已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式.
【详解】当时，，即，而，
所以
，满足上式，
所以所求通项公式为.
故选：C
【变式2】已知数列的首项为14，且，则的最小值为 .
【答案】10
【分析】利用累加法求通项公式，并注意检验首项，然后用基本不等式求最小值，并考虑取等号条件即可.
【详解】当时，由，得，，…，，
将以上各式左右分别相加，
得，
所以，
又满足上式，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为10.
故答案为：10.
【变式3】已知数列满足，且，则 .
【答案】
【分析】由题意结合累加法求出即可求解.
【详解】由题得
，
当时，符合题意，
所以，
故答案为：.
【题型三】 累乘法求数列通项公式
【例1】已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为.
故选：C.
【例2】在数列中，，（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论.
【详解】因为（，），
所以当，时，，
则，…，，，
以上个式子左右两边分别相乘得，
即，所以（，），
又，所以，
所以.
故选：A.
1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得：
【变式1】数列中，满足，，则 ．
【答案】/
【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和.
【详解】因为，所以.
所以，，，…，（）.
各式相乘，可得：，
显然满足上式，则，
所以数列的前项和为，
所以.
故答案为：.
【变式2】已知数列中，，则 .
【答案】
【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项.
【详解】，，
，即，
.
故答案为：.
【变式3】在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 .
【答案】/
【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和.
【详解】在数列中，首项，时，，
即当时，，
所以，，，，，
上述等式全部相乘得，则，
也满足，故对任意的，，
所以，，
所以数列的前和为.
故答案为：.
【题型四】法求通项公式
【例1】已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由的关系作差即可求解；
【详解】由，
可得：，
两式相减可得：，
当时，，不满足上式，
所以，
故答案为：
【例2】设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出的通项公式，进而可得出的表达式，逐项判断即可.
【详解】因为数列的前项和为，且，
当时，则，解得，
当且时，由可得，
上述两式作差可得，整理可得，
等式两边同时除以可得，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，所以，
对于AB选项，，，则，A错B对；
，
对于CD选项，，，
所以，，CD都错.
故选：B.
1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式．
【变式1】已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据与的关系可得，进而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求通项公式后代入不等式整理可得恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可.
【详解】由，令，解得，
当时，由得，即，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，
令，则，而，所以，
即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为.
故选：C
【变式2】已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用累加法，即可求解.
【详解】因为，当时，，
两式相减得到，即，
又，得到，所以数列是以，的等比数列，
所以，则，
当时，，
所以，又时，满足，
故选：A.
【变式3】（多选）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
【答案】ACD
【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案.
【详解】A选项，，
其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知，，所以，C正确；
B选项，当时，，
当时，，
显然满足，故，B错误；
D选项，，故，
即为公比为的等比数列，且，
所以的前项和为，D正确.
故选：ACD
【题型五】构造法求数列通项公式
【例1】已知数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解；
【详解】由，
可得：，
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，
所以，
故答案为：
【例2】（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．数列为等比数列
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式，再逐项判断即可.
【详解】数列中，，，则，，
整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确；
，解得，
对于A，，A错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：BCD
1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法：通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。
【变式1】已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由得，构造等比数列即可求解.
【详解】由，，，可得，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，
则，；
故答案为：.
【变式2】已知数列的前项和为，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解.
【详解】因为，
所以，所以，
而，故，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，所以．
故选：C
【变式3】已知数列的前项和为，若，且，则 ．
【答案】
【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式.
【详解】由，
即，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
即，所以．
故答案为：
【题型六】寻找递推关系式求数列
【例1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．6种 B．10种 C．11种 D．12种
【答案】B
【分析】设在第次传球后有种情况球在丙手中，结合题意可推出，即可求得答案.
【详解】设在第次传球后有种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙，
在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法，
故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有（种），即球在甲或乙手中，
只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙，
即，由题意可得，则，
，
故选：B
【例2】（多选）某学校足球社团进行传球训练，甲 乙 丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为.已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】与能直接进行求解；项分析出要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，有的概率将球传给甲，从而求出递推公式；项在项的基础上求出通项公式，计算出，比较出，从而判断求解.
【详解】：甲传球给乙或丙，故，故正确；
：乙或丙传球给其他两个人，故，故错误；
、：由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，
且第次触球的人，有的概率将球传给甲，
故，则，故C正确；
因为，设，
解得：，所以
因为，所以是以为首项，公比是的等比数列，
故，所以，
故，则，
故，故正确.
故选：．
【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是解题的关键.
【变式1】在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ．
【答案】
【分析】设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为，则由题意可得，，，，进而求得结论.
【详解】如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为．
则，，，．
将，，代入到中，得，
又由题意得，，则，
所以，则，，，
所以概率．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题涉及概率和数列知识，关键是分析运动次数与所在位置的的情况找规律，推导出一般概率表达式，再利用全概率公式，求出运动2025次后机器人“成功”的概率即可.
【变式2】如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．
【答案】
【分析】先求出，再由题意归纳出的递推式子，进而构造数列，进而求和.
【详解】质点S点A处时，移动一次可以到四个位置的其中一个，
其中两个位置在平面ABCD上，因此,
因为当质点在时，移动一次一定在平面ABCD上，
所以当质点移动第二次时，质点仍在平面ABCD上的概率，
因此，
即，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以.
故答案为：
易错点一：忽视首项需要检验
①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项；
②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示.
例1．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由的关系作差即可求解；
【详解】由，
可得：，
两式相减可得：，
当时，，不满足上式，
所以，
故答案为：
变式1．已知数列的前项和为，，则 .
【答案】
【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可.
【详解】当时，，
当时，，
此时，不符，故.
故答案为：
变式2．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且S1+S2+…+Sn=3n+5，则数列{an}的通项公式 .
【答案】
【分析】由于所给递推关系是，可先利用作差法求出，再利用一次作差法求的通项公式.
【详解】∵①，
∴当时，，即，；
当时，，即，将代入并整理得，．
当时，②，
由①－②得，，∴，
因此，当时，，
当时，，∴在时不成立，
故.
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【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】定义法求通项公式
【题型二】 累加法求数列通项公式
【题型三】 累乘法求数列通项公式
【题型四】法求通项公式
【题型五】构造法求数列通项公式
【题型六】寻找递推关系式求数列
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：数列的首项不满足取值规律。
：1.等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。
2.情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。
3.知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，函数结合等，属于中等难度。
：复习等差、等比数列的基础知识点，以及常见题型的归纳总结，累加，累乘数列求通项的基方法。
【题型一】定义法求通项公式
【例1】已知数列满足：，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例2】已知数列为等比数列，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】首项为3的等差数列满足，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【变式3】已知等比数列的公比为，若，，则 ．
【题型二】 累加法求数列通项公式
【例1】在数列中，，求数列的通项公式.
【例2】在数列中，，求的通项公式．
1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得：
【变式1】已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知数列的首项为14，且，则的最小值为 .
【变式3】已知数列满足，且，则 .
【题型三】 累乘法求数列通项公式
【例1】已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A． B． C． D．
【例2】在数列中，，（），则（ ）
A． B． C． D．
1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得：
【变式1】数列中，满足，，则 ．
【变式2】已知数列中，，则 .
【变式3】在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 .
【题型四】法求通项公式
【例1】已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ．
【例2】设数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式．
【变式1】已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（多选）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．
D．数列的前项和为
【题型五】构造法求数列通项公式
【例1】已知数列中，，，则 ．
【例2】（多选）已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．数列为等比数列
C． D．
1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法：通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。
【变式1】已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【变式2】已知数列的前项和为，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知数列的前项和为，若，且，则 ．
【题型六】寻找递推关系式求数列
【例1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ）
A．6种 B．10种 C．11种 D．12种
【例2】（多选）某学校足球社团进行传球训练，甲 乙 丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为.已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ．
【变式2】如图，在多面体的顶点处有一质点S，质点S每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点S的初始位置在点A处，记质点S移动n次后仍在平面ABCD上的概率为，则 ； ．
易错点一：忽视首项需要检验
①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项；
②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示.
例1．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ．
变式1．已知数列的前项和为，，则 .
变式2．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且S1+S2+…+Sn=3n+5，则数列{an}的通项公式 .
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