导数及其应用
猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据
导数及其应用 2024全国新高考I卷10、13、18 2024全国新高考Ⅱ卷8、11、16 2023全国新高考I卷11、19 2023全国新高考Ⅱ卷6、11、22 2022全国新高考I卷7、10、22 2022全国新高考Ⅱ卷14、22 1.导数的概念与抽象函数的性质综合考查； 2.导数几何意义的应用、切线问题； 3.应用导数研究函数的单调性或根据函数单调性求参数范围； 4.应用导数求函数的极值、最值，或由极值（点）、最值求参数范围； 5.导数的综合应用问题，包括证明不等式、恒成立或存在性问题、零点及零点个数，以及根据零点求参数范围问题； 6.小题综合化有增强趋势，解答题难度有降低趋势，注重其它学科中应用导数解决问题，突出其“工具性”. 含参的函数利用导数求参数问题是高考中的一个高频考点，也是必考点，通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其他问题，可直接求导或者是利用分离参数去转化。 与三角函数相关问题随着新高考新结构的出现，这类题目一压轴题出现的频率会变大。 导数综合类问题一直是高考数学的压轴题一般牵扯到不等式的证明问题，极值点偏移问题，拐点偏移问题，隐零点问题，函数放缩问题。未来也是高考重难点 随着高考数学新结构的形式出现。导数新定义问题将成为高频考点
题型一 切线问题
1．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
【答案】
【分析】利用导数，结合切线的斜率求得正确答案.
【详解】直线的斜率为，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
，所以.
故答案为：
2．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．
【答案】
【分析】直线与曲线联立求出，设与曲线相切于点，借助导数的几何意义求出的切线方程与比较可得答案.
【详解】直线与曲线联立，
得，
因为直线是曲线的切线，
所以，解得，
设与曲线相切于，
由得曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为
，即，
因为直线是曲线与曲线的公切线，
所以，解得，
即.
故答案为：.
3．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）已知函数 直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程 .
【答案】
【分析】设出切点为，求得的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得切点和切线的方程.
【详解】设直线与曲线的切点为，
的导数为，
可得切线的斜率为，
由切线经过原点，可得，
解得，，
则切线的方程为.
故答案为：.
4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可得，即可解出、的值.
【详解】因为，则，
因为曲线在点处的切线方程为，则，
解得.
故答案为：；.
5．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知直线与曲线相切，则 ．
【答案】
【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义得出，利用点既在直线上又在曲线上，可得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，解方程，求出的值，即可得出的值.
【详解】由，得，
设切点坐标为，由导数的几何意义得，
又点既在直线上又在曲线上，所以，
联立和，消去，得，
令，则恒成立，
即函数在区间上单调递增，
又，所以，得到．
故答案为：.
6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ．
【答案】或
【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
∴切线方程为：,
∵切线过原点，
∴,整理得：,
∵曲线只有一条过坐标原点的切线切，
∴,解得或,
∴或,
故答案为：或
7．（2025高三·全国·专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ．
【答案】
【分析】根据已知求出.设出公共切点的坐标，根据已知列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，定义域为
则有．
设公共切点的坐标为，则，，
，．
根据题意，有.
由可得，，解得（舍去）或.
由可得，
代入可得，.
故答案为：.
题型二 导数与函数的单调性
1．（2025高二·全国·专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可.
【详解】依题意，在区间上有解，
即在区间上有解，
设，则，故只需求在上的最小值，
而在时，取得最小值，故得，
则实数的取值范围为.
故答案为：
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数是其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定函数定义域，对函数求导，将问题转化为在定义域上恒成立，即，反解得，设，利用导数求得函数的最值，从而可得实数的取值范围.
【详解】由已知，得函数的定义域为，
，
整理，得，
设函数，则，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，解得．
故选：D．
3．（2025高二·全国·专题练习）（多选）若函数在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】求导，分别由，解不等式确定函数的单调区间，在根据在区间上单调列不等式求解实数m的取值范围即可得结论.
【详解】易知的定义域为，．
由得函数的单调递增区间为；
由得函数的单调递减区间为．
因为在区间上单调，所以或，
解得或．
结合选项可得A，D正确．
故选：AD．
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将原题条件转换为函数在上单调递减，进一步转换为导函数小于等于0恒成立，分离参数即可求解.
【详解】不妨设，则由，
也就是说，函数在上单调递减，
因为，由题意恒成立，
即恒成立，令，
求导得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
5．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意，构造函数，利用奇偶性和单调性求解不等式.
【详解】令，所以当时， ，
所以在上单调递减，
又为上的奇函数，所以为上的奇函数，
所以在上单调递减，故在上单调递减且 ，
不等式可化为，即，即 ，故 ，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
6．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数的导函数是，且．若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由条件得到，再结合选项得到，进而逐项判断即可.
【详解】由，可得．
对于A：由，可得：为常数，
令，则，所以，则在上是减函数，故错误；
对于B：由可得：，为常数，
令，则，所以，则在上是增函数，故错误；
对于C，由可得：，为常数，
令，则，所以，
由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，故正确；
对于D，由可得：，为常数，
令，则0，所以，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故正确．
故选：CD．
7．（24-25高二下·湖北孝感·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式.
【详解】由可得，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
且，
由可得，
即，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
8．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数以及，利用导数求解单调性，即可比较以及.
【详解】由题得，
构造函数，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，即，所以.
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，所以.
综上，.
故选：B
题型三 导数与函数极值、最值问题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的极大值为 ．
【答案】/
【分析】利用导数求解函数的极大值即可.
【详解】函数的定义域为，且，令，可得，列表如下，
x e
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以函数的极大值为．
故答案为：
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在极值点，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】求导，构造函数，根据导数判断函数的单调性与零点情况，进而可判断函数的极值情况，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
，
设，则，
所以当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
又因为当时，，，
即当，，
又，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值点，
则实数的最大值为，
故答案为：.
3．（24-25高二下·吉林·阶段练习）（多选）对于函数，下列结论正确的（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若恒成立，则
【答案】ACD
【分析】求得，得到的单调区间，可判定A正确；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，可判定B错误；根据的单调性，得到，结合，可判定C正确；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与，可判定D正确.
【详解】由函数，可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，所以A正确；
当时，，当时，，
则函数的图象，如图所示，
所以函数有且仅有一个零点，所以B错误；
由函数的图象，可得，
因为，所以，所以C正确；
若在恒成立，则在恒成立，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，所以D正确.
故选：ACD.
4．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的极小值点为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导，时，函数的无极小值，当，函数的极小值为，当，可得函数的极大值为，可得的取值范围.
【详解】由，可得，
因为函数的极小值点为，所以，
若，则，所以在上恒成立，故函数无极小值，
又函数的极小值点为，故，
又时，令，可得或，
当，所以，当，，所以是函数的极小值点，符合题意，
又时，令，可得或，
当，所以，当，，所以是函数的极大值点，不符合题意，
综上所述：的取值范围是.
故选：A.
5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数有三个极值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数有三个极值点等价于有三个实根，即有两个实根且根不为3，得，令，最后利用数形结合即可求解.
【详解】由有：，所以函数有三个极值点等价于有三个实根，
即有两个实根且根不为3，所以，令，
所以，令有，由有，有，
所以在上为增函数，在上为减函数，，所以或，所以，
故答案为：.
6．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围.
【详解】，则，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
因，
则当在内存在最小值时，有得，
则实数的取值范围是.
故选：C.
7．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
【答案】
【分析】根据两函数的图象关于直线对称，且与垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解.
【详解】由可得，，即，
所以函数，互为反函数，图象关于直线对称，
因直线互相垂直，
所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍，
因为，
令，
则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有最小值3，
此时，
故答案为：
题型四 应用导数研究恒成立（能成立）问题
1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，即，再构造函数，求出最小值即可得解.
【详解】由题意，则，等价于，
令，因为，所以在上单调递增，
所以，
所以，等价于，
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以，因此，
故选：B
2．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题意，，当时，，，所以；
当时，，，所以，
等号仅当时成立，所以.
所以对，即，即.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，因此.
故答案为：
3．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解.
【详解】由，可得．
令，易知在上单调递增，
由，可得，
故，即.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
故正数的取值范围是.
故答案为：.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的不等式，结合同构思想变形，再构造函数，利用导数确定单调性，将问题转化为不等式有解求解.
【详解】依题意，，则，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，不等式，
则，依题意，不等式在上有解，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，则，，
所以实数的取值范围是.
故选：B
5．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数不等式恒成立问题转化为方程根的问题，以及利用韦达定理和对数运算性质得到相关等式，最后通过求函数最值来求解的最大值.
【详解】因为恒成立，所以和有两个相同正根.对于方程，两边同乘得.
由一元二次方程性质，有两个不同正根，则，且，.
由可得，可得.
根据对数运算法则，所以，即.
令，对求导，.
令，即，解得.
当时，，递增；
当时，，递减.
所以在处取最大值，.
综上， 的最大值为.
故选：B.
6．（2025·湖北·模拟预测）函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简结合对数函数单调性得出，再构造，根据导函数得出函数单调性即可求解.
【详解】由题设在上恒成立，
知，此时在上都单调递增，
所以只需在上的零点相同，
即，所以，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，即的取值范围是.
故选：D
7．（2025·四川自贡·二模）已知函数，.
(1)若存在极小值，且极小值为，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为求解；
（2）将不等式分离参数，得，设，，利用导数求出最值得解.
【详解】（1），，
当时，，所以函数无极值，
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，解得.
（2）由，得，即，，
设，，
则，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以，则，
所以的取值范围为.
8．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最小值与最大值．
【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为
(2)最小值为；最大值为
【分析】（1）求出函数的导数令，可得，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的最值即可．
【详解】（1）的定义域为，，
令，可得，
则当时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，
所以的单调减区间为，单调增区间为．
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
又，，
所以的最大值为．
9．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)
【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可；
（2）求导得，再分，和讨论即可；
（3）分，和讨论即可.
【详解】（1）当时，，
，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2）由题意得的定义域为，
，
①当时，，
所以在上单调递增．
②当时，，
由，解得，
不妨设，则由韦达定理有，
又，
，即，
故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
③当时，，
可得，所以在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减．
（3）①当时，在上单调递增，，矛盾；
②当时，在上单调递增，
所以当时，，矛盾；
③当时，所以在上单调递减，，符合题意，
综上：所求实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可.
题型五 应用导数证明不等式（等式）
1．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式即可.
（2）由（1）求出函数的最小值，再结合恒成立的不等式列式求解.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由，得；由，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，函数取得最小值，
由不等式恒成立，得，解得，
所以的取值范围是.
2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数．
(1)若存在，使成立，求k的取值范围；
(2)已知，若在上恒成立，求k的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案；
（2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案．
【详解】（1）由得，
可得存在，使成立，
令，，令得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
若存在，使成立，则；
（2），
若在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，则（舍）或，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
则，则k的最小值为．
3．（2025·河南·三模）已知函数
(1)当时，求的零点个数；
(2)若，求的最大值；
(3)证明：.
【答案】(1)两个
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导函数确定函数的单调性，再结合零点存在定理即可得到的零点个数；
（2）先利用必要性探路得到，再去证明的充分性；
（3）结合（2）的结论，对进行放缩，再放缩求和即可得证.
【详解】（1）当时，，所以，
令，则，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
又，则的解集为,则的解集为,
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
所以有两个零点.
（2）由，得，下证当时，，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，则的解集为,则的解集为,
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即，
所以的最大值为.
（3）证明：由（2）可得，当且仅当时取等号，
所以，所以
且因为当时，
所以，
所以
即.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知为常数，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点.
①求的取值范围；
②若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）①将函数零点转化为方程有两个不等实根，然后由导数可得函数的值域，即可得到结果；②根据题意，由，得，化简可得，然后换元，构造函数，然后分，以及讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由题意，得.
①当时，因为，恒成立，
所以，故在定义域上单调递增.
②当时，由，得，解得；
由，得，解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）①由题意，得.
令，则.
易知为增函数，由，解得，
即.
由题意，关于的方程即有两个不等实根.
设函数，则.
由，得；由，得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
又当时，；当时，，
所以，所以的取值范围是.
②由已知，得，.
两式相减，得，
故.
由，得，
故.
将代入，得，
即.
令，则，
即.
设函数，其中，则.
令，则.
①当时，，所以在区间上单调递增，故.
所以在区间上单调递减，
故，不符合题意.
②当时，由，得，
所以在区间上单调递增.
故当时，，所以在区间上单调递减.
所以，不符合题意.
③当时，，所以在区间上单调递减，故.
所以在区间上单调递增，
故，满足题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数研究不等式恒成立问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，然后通过导数知识求解.
5．（2026高三·全国·专题练习）设函数，．
(1)求证：当时，；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得函数最值，即可证明不等式；
（2）由已知可得，求导判断函数单调性，即可得函数正弦值，进而可得参数范围.
【详解】（1）因为当时，，
所以在上单调递减，
又，
所以当时，．
（2）因为，
所以，
由（1）知，当时，，
所以，
所以在上单调递减，
所以当时，，
因为在上有解，
所以，即，
所以的取值范围是．
6．（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值；
（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；
（3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证.
【详解】（1）当时，，
则，
当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
在处取得极小值0，无极大值.
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以.
记，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.
又，所以，所以.
（3）先证，设，则，
所以在区间上单调递减，所以，即.
所以，再证.
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，
累加可得，
所以.
7．（24-25高二下·广东清远·阶段练习）已知函数．
(1)若函数是单调函数，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的都成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，，然后求出导函数的最小值，令最小值大于等于0即可；
（2）由（1）得当时，，即，所以，
取可得：，然后累加法即可得出结论.
【详解】（1）由题意，，
设，，
所以，，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而，又，
所以的值域为，
因为是单调函数，所以，当且仅当时，解得，
故实数的取值范围是．
（2）证明：由（1）可得当时，在上单调递增，
所以当时，，即，所以，
取可得：，
所以，故，
依次取得：
，，，…，，
以上各式相加得：
．
所以对任意的都成立．
8．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数.
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列；
(3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）将转化为，构造函数，求导判断其单调性，得单调递减，则，故.
(2)对进行求导，分析符号变化，确定极值点，求，根据等比数列的定义求证即可.
(3)当时，取得极值，所以，设，求导分析其单调性，利用零点存在定理得唯一解使，结合（1）的结论，构造，求导证，完成不等式证明.
【详解】（1）当时，恒成立，
当时，，故恒成立，
令，则，
所以当时，单调递减，则，故.
（2），
令，由得，即，
对，若，则；若，则，
因此，在区间与上符号总是相反，
于是，当时，取得极值，所以，
此时，，易知，
而是常数，
故数列是首项为，公比为的等比数列.
（3）由，则，
因为，所以，
所以在区间上单调递减，
又，
，
当时，存在唯一，使得，
记，则，由（1）知，时，在上恒成立，故，
即，整理得，
要证，等价于证，
只需证，
设，则，
所以单调递增，则，原命题得证.
题型六 三次函数
1．（24-25高二下·山东·阶段练习）（多选）已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．是的极小值点 B．有三个零点
C．的极小值是 D．函数为奇函数
【答案】ABC
【分析】对于A、C，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案．
【详解】对于A，求导：已知函数，可得，
令，即，解得或.
当时，函数在上单调递增.
当时，，函数在上单调递减.
当时，，函数在上单调递增.
x (-,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小植 单调递增
根据极小值点的定义，在左侧函数单调递减，右侧函数单调递增，所以是的极小值点，故A正确.
对于C，根据极值点的定义， 是的极小值点，
.故C正确.
对于B，利用零点存在性定理：
因，，
.
因，故函数在内存在一个零点；
又因，故函数在内存在一个零点；
因，故函数在内存在一个零点.
综上，可知函数存在三个零点，故B正确.
对于D，由，即.
因，而，可得，故不是奇函数，故D错误.
故选：ABC.
2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数有三个零点，记为，则（ ）
A．
B．过可作曲线的三条切线
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，对求导，求出函数极值，结合条件得，即可求解；对于B，设出切点，结合条件，利用导数的几何意义得，构造函数，将问题转化成的解的个数，即可求解；对于选项C，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得在上递增，从而得到，再利用单调性，即可求解；对于选项D，构造，再利用导数与函数单调性间的关系，得在上递增，从而得到，再利用单调性，即可求解.
【详解】由题意，得，令，得到或，
令，得或，令，得，
则的增区间为，减区间为，
所以极大值，极小值．
因为函数有三个零点，所以，解得，所以选项A正确；
对于选项B，设切点，则，
所以切线方程，
将代入切线方程，得，
令，则，
由，得到或，
当或时，，当时，，
则的增区间为，减区间为，
所以极大值，极小值，
又时，，时，，所以有两个解，
即过可作曲线的两条切线，所以选项B错误；
对于选项C，令，
则，
所以在区间上递增．因为，所以，
即，因为，所以，
因为，且在区间上单调递增，
所以，即，所以选项C正确，
对于选项D，令，
则，
所以在区间上递增．因为，所以，
即，因为，所以，
因为，且在区间上递增，所以，即，
所以选项D正确，
故选：ACD．
3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有两个零点
B．若在上存在两个极值点，则的取值范围是
C．当时，函数至少有一个零点
D．存在实数，使函数在区间上有最大值
【答案】BC
【分析】对于A，利用导函数分析函数单调性，结合零点存在定理可得到零点个数；对于B，利用导函数将极值点转化成方程的根，通过分析一元二次方程的根的情况求出的取值范围；对于C，利用导函数求极值点，结合韦达定理分析极值点的位置，利用零点存在定理分析零点个数；对于D，利用已知条件，分类讨论在不同取值范围时，求函数的单调性和最大值.
【详解】对于A，若，则，，
令，可得，，
所以，函数在，上单调递增，在上单调递减，
又，，且，由函数零点存在定理可得，函数在上有唯一零点，故A错误；
对于B，，若在上存在两个极值点，则且在上有两个不相等的实数根，
当时，则有，即，解得，
当时，则有即，此不等式组无解.
综上，的取值范围为，故B正确；
对于C，由于，令，得，
若，则，
设方程的两根分别为，由根与系数的关系可得，
不妨设，，于是在，上单调递增，在上单调递减，
由，可得，又，所以在上必有一个零点，故C正确；
对于D，由C选项可知，若，则在处取得极大值，
所以函数在上可能单调递减，可能先单调递减再单调递增，可能单调递增，都取不到最大值；
若，则在上单调递减，取不到最大值；
当时，令，则，
设方程的两根分别为，由根与系数关系可得，所以，
不妨设，则在，上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，所以在上取不到最大值；
当时，，则且不恒为0，在上单调递减，所以在上取不到最大值.
综上所述，符合条件的是不存在的，故D错误.
故选：BC.
4．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调递增
B．当时，函数有两个极值
C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
D．当时，直线与曲线有三个交点，，则
【答案】ACD
【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到.
【详解】A选项，时，，
恒成立，故函数在上单调递增，A正确；
B选项，，当时，恒成立，
此时在R上单调递增，无极值，B错误；
C选项，显然不在上，设切点为，
因为，所以，
故切线方程为，
又切线过点，故，
整理得，
设，则
令得或，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中，，
又，故只有1个根-2，
故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确；
D选项，当时，，
若，直线，
此时与曲线只有1个交点，不合要求，故，
，直线与曲线联立得
，
设，
故，
所以，则，D正确.
故选：ACD
5．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．当时，函数在定义域上单调递增
C．曲线是中心对称图形
D．若，且的最小值是0
【答案】ABC
【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误.
【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确；
对于B，当时，
易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确；
对于C，令，，
因此的图象关于点中心对称，
易知满足，
可得的图象关于点中心对称，可得C正确；
对于D，时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，
而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误.
故选：ABC.
6．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，该函数单调递增 B．存在使得该函数为轴对称图形
C．当时， D．任意，过点可做函数两条切线
【答案】AC
【分析】求出导函数，判断，即可判断A，根据函数值的特征判断B，求出导函数，计算即可判断C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，求出，即可判断D.
【详解】对于A：因为，所以，
当时，，所以恒成立
所以在上单调递增，故A正确；
对于B：因为
，
所以关于对称，
且当时，当时，三次函数的图象不可能为直线，
所以无论为何实数，不可能是轴对称图形，故B错误；
对于C：当时，，所以，
则，故C正确；
对于D：设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
即，解得或，
所以当时，过点的切线有且只有一条，故D错误.
故选：AC
7．（24-25高三上·广东深圳·期末）（多选）已知函数的导函数为，下列判断正确的是（ ）
A．函数关于中心对称，函数关于轴对称
B．在复数范围内方程有三个根，且三个根的和为3
C．时，
D．四次函数必为轴对称函数
【答案】ABC
【分析】对于A：根据对称性的定义分析判断；对于B：整理可得，进而分析的根即可；对于C：分析可知函数在内单调递减，结合单调性分析判断；对于D：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：因为，
可知函数关于中心对称，
由，可得，
则，
所以函数关于轴对称，故A正确；
对于选项B：因为，
设在复数范围内方程有2个根为，则，
可知在复数范围内方程有三个根为，则
所以三个根的和为3，故B正确；
对于选项C：若，则，
可知函数在内单调递减，
且，可得，所以，故C正确；
对于选项D：例如，
假设为轴对称函数，则存在，使得，
因为，
可得，方程组无解，
即假设不成立，可知不为轴对称函数，故D错误；
故选：ABC.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)导数及其应用
猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据
导数及其应用 2024全国新高考I卷10、13、18 2024全国新高考Ⅱ卷8、11、16 2023全国新高考I卷11、19 2023全国新高考Ⅱ卷6、11、22 2022全国新高考I卷7、10、22 2022全国新高考Ⅱ卷14、22 1.导数的概念与抽象函数的性质综合考查； 2.导数几何意义的应用、切线问题； 3.应用导数研究函数的单调性或根据函数单调性求参数范围； 4.应用导数求函数的极值、最值，或由极值（点）、最值求参数范围； 5.导数的综合应用问题，包括证明不等式、恒成立或存在性问题、零点及零点个数，以及根据零点求参数范围问题； 6.小题综合化有增强趋势，解答题难度有降低趋势，注重其它学科中应用导数解决问题，突出其“工具性”. 含参的函数利用导数求参数问题是高考中的一个高频考点，也是必考点，通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其他问题，可直接求导或者是利用分离参数去转化。 与三角函数相关问题随着新高考新结构的出现，这类题目一压轴题出现的频率会变大。 导数综合类问题一直是高考数学的压轴题一般牵扯到不等式的证明问题，极值点偏移问题，拐点偏移问题，隐零点问题，函数放缩问题。未来也是高考重难点 随着高考数学新结构的形式出现。导数新定义问题将成为高频考点
题型一 切线问题
1．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
2．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ．
3．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）已知函数 直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程 .
4．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则 ， .
5．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知直线与曲线相切，则 ．
6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ．
7．（2025高三·全国·专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ．
题型二 导数与函数的单调性
1．（2025高二·全国·专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数是其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二·全国·专题练习）（多选）若函数在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二·全国·专题练习）设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ．
6．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数的导函数是，且．若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二下·湖北孝感·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ）
A． B．
C． D．
题型三 导数与函数极值、最值问题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的极大值为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上存在极值点，则实数的最大值为 ．
3．（24-25高二下·吉林·阶段练习）（多选）对于函数，下列结论正确的（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若恒成立，则
4．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的极小值点为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数有三个极值点，则的取值范围是 ．
6．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
题型四 应用导数研究恒成立（能成立）问题
1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
3．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北·模拟预测）函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川自贡·二模）已知函数，.
(1)若存在极小值，且极小值为，求；
(2)若，求的取值范围.
8．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）设函数．
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最小值与最大值．
9．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围.
题型五 应用导数证明不等式（等式）
1．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围．
2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数．
(1)若存在，使成立，求k的取值范围；
(2)已知，若在上恒成立，求k的最小值．
3．（2025·河南·三模）已知函数
(1)当时，求的零点个数；
(2)若，求的最大值；
(3)证明：.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知为常数，函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点.
①求的取值范围；
②若恒成立，求的取值范围.
5．（2026高三·全国·专题练习）设函数，．
(1)求证：当时，；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围．
6．（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
7．（24-25高二下·广东清远·阶段练习）已知函数．
(1)若函数是单调函数，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的都成立．
8．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数.
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，设为的从小到大的第个极值点.证明：数列是等比数列；
(3)设函数在区间内的零点依次为，.求证：.
题型六 三次函数
1．（24-25高二下·山东·阶段练习）（多选）已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．是的极小值点 B．有三个零点
C．的极小值是 D．函数为奇函数
2．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数有三个零点，记为，则（ ）
A．
B．过可作曲线的三条切线
C．
D．
3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有两个零点
B．若在上存在两个极值点，则的取值范围是
C．当时，函数至少有一个零点
D．存在实数，使函数在区间上有最大值
4．（2025·山东枣庄·二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，函数在上单调递增
B．当时，函数有两个极值
C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
D．当时，直线与曲线有三个交点，，则
5．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．当时，函数在定义域上单调递增
C．曲线是中心对称图形
D．若，且的最小值是0
6．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，该函数单调递增 B．存在使得该函数为轴对称图形
C．当时， D．任意，过点可做函数两条切线
7．（24-25高三上·广东深圳·期末）（多选）已知函数的导函数为，下列判断正确的是（ ）
A．函数关于中心对称，函数关于轴对称
B．在复数范围内方程有三个根，且三个根的和为3
C．时，
D．四次函数必为轴对称函数
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