猜押 集合与常用逻辑用语
猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据
集合、常用逻辑用语 2023全国新高考Ⅱ卷T2 2024全国Ⅰ卷 T1 2023新高考Ⅰ卷T1， 2022新高考Ι卷T1，新高考Ⅱ卷T1 2021新高考Ⅰ卷T1 ,新高考Ⅱ卷T2 集合的交并补运算是高考中的重点高频考点，主要还是以基本不等式作为背景，应注重特殊符号，根号，对数，分式不等式。 充分必要条件作为使用工具一般与数列三角函数，以及函数相结合难度不大，但是易错 主要原命题与命题的否定，以函数与不等式作为背景 1.集合的直接运算，集合中的元素离散型、连续型均有可能； 2.考查交集运算为主，与解简单不等式相结合，将保持考查的稳定性. 3.根据集合的包含关系、运算关系求参数 这个板块属于必考题，年年考，以基础题形式考察。
题型一 元素集合之间的关系
1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的所有可能取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由集合间的运算结果推出集合间的包含关系，即可求解.
【详解】若，则，又，，
所以或，解得或，
经检验均符合题意，所以实数的所有可能取值有4个．
故选：D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知非空集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合非空有，解一元二次不等式求范围.
【详解】由题意知，即，解得．
故选：B
3．（2025高三·全国·专题练习），集合，则 .
【答案】2
【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值.
【详解】由题意知，所以，则，又，所以，.
故.
故答案为：2.
4．（2025高三·全国·专题练习）设集合，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于集合进行整理，分析其特点即可求解．
【详解】由于M中，是奇数；
而N中，是整数，因此必有．
故选：B.
5．（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
【答案】ABD
【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性.
【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、.
当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、.
当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足.
同理，中含个元素的子集也不满足.
综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确.
若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确.
若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误；
对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为.
又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可.
题型二 集合之间的交、并、补运算
1．（2025·山东·一模）若集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】求解集合，再利用并集运算即可得解.
【详解】因为，，
所以，解得：或，
所以或，
故选：D.
2．（2025·吉林长春·一模）已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（ ）
A．{吉，大，高，考} B．{必，胜}
C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜}
【答案】D
【分析】根据并集的含义即可得到答案.
【详解】根据并集的含义得{吉，大，高，考，必，胜}.
故选：D.
3．（2025·河北·三模）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误.
【详解】已知集合，
当时，；当时，；当时，，
对于A，由对集合分析知，故A不正确，
对于C，由对集合分析知，故C正确；
对于B，当时，，此时，故B正确；
对于D，当时，，故D正确.
故选：BCD.
4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可.
【详解】由可得 ，又因为，所以.
故选：A.
5．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，集合U的子集，若对于任意的，i，，都有，则符合条件的集合B的个数为 .
【答案】30
【分析】根据题意，设，即可得到B中元素由和有序数组决定，然后分类讨论即可得到，，，中有2个2，分别计算其对应的情况数，然后相加，即可得到结果.
【详解】不妨设，再设，，2，3，4，
则B中元素由和有序数组决定.
，，
且中任意相邻几个之和也不属于，
否则会出现.
若，，，中没有2或只有1个2，则一定有，不符合题意.
若，，，中有3个2或4个2，不满足中任意相邻几个之和也不属于，
所以，，，中有2个2.
考虑的排列情况和的取值情况：若，，，由2，2，6，6组成，
则B的个数为；
若，，，由2，2，6，7组成，则B的个数为；
若，，，由2，2，6，8组成，则B的个数为；
若，，，由2，2，7，7组成，则B的个数为.
故符合条件的集合B的个数为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于集合新定义，首先要了解集合的特性，包括抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析，计算特性是将复杂的关系通过找规律利用已学相关知识求解.
题型三 充要条件的判断
1．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合题意分析判断即可
【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，
因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，
所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，
故选：D
2．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的取值范围，再判断属于哪种关系.
【详解】向量的夹角为锐角，则，且向量不共线，
当向量共线时，，
则，
若，则成立，反之不成立，
故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：B.
3．（2025高三·全国·专题练习）设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断.
【详解】因为，所以，但向量的方向不确定，
所以推不出；
又根据，得到，所以可以推出，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
4．（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义列式求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若函数为奇函数，则，即，
整理得，即，解得，
当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，都符合题意，
所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
5．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）复数为纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A．0 B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用纯虚数的定义求出，再利用充分不必要条件的定义判断.
【详解】复数为纯虚数，等价于，即或，
由选项知，只有是复数为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合.
故选：B
6．（2025高三·全国·专题练习）定义二阶行列式，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据行列式定义解不等式，再解一元二次不等式，最后进行解集关系的判断即可解答.
【详解】由，得，
当时，，解得；当时，，解得．
所以的解集为．
由，解得或，
即不等式的解集为．
因集合是集合的真子集，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选C．
题型四 命题的判定及应用
1．（2025高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可.
【详解】命题，的否定为，，
故选：D．
2．（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（ ）
A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件 D．是的充要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误.
【详解】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误；
对于B，因为，所以，
因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误；
对于C，因为，所以，当时，
成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误；
对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件，
由，可得，所以，所以是的必要条件，
所以是的充要条件，故D正确.
故选：D.
3．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据“”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得：“”为真命题，
所以，解得或.
∴实数a的取值范围为
故答案为：
4．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得，令，利用数形结合可求得.
【详解】由题意知，，令，则，
作出函数的图象如图所示，
若，则直线与函数的图象没有公共点，数形结合可知,
所以的取值范围为.
故选：D.
5．（2025·全国·一模）已知函数，的定义域均为，且的图像关于点对称.设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据对称性得到,从而，然后即可做出判断.
【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以，
由于，
，
与互相都不能推出，
所以互不包含，
，其它不一定正确.
故选：A.
6．（23-24高三上·云南·阶段练习）数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，设命题，，，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.
【详解】p：，，则为，.
故选：B．
7．（2025·山西·一模）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数，则称数列具有“性质”.已知项数为的数列的所有项之和为，且数列具有“性质”.
(1)若，数列具有“性质2”，且，，写出的所有可能值；
(2)若数列具有“性质2”，且，，证明：“”是“（）”的充要条件；
(3)若数列具有“性质”，其中为奇数，，，，证明：或.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义计算的值，列出所有符合要求的数列，即可得到结果.
（2）从充分性和必要性两个方面证明可得结论成立.
（3）令，则，通过对数据的分析可得4整除，由此可证明结论.
【详解】（1）根据定义，有，所以或3.
由得或5.
因此有如下三种情况：
若为，此时，
若为，此时，
若为，此时.
综上,的所有可能值为.
（2）必要性：因为，，
所以，故数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，必要性成立.
充分性：因为，，所以，，…，，
累加可得，，即，
因为，所以上述不等式的每个等号都取到，
所以，所以，充分性成立.
综上所述，“”是“”的充要条件.
（3）令，由题意得，.
因为，，，…，，
所以
.
因为，且为奇数，所以为偶数，
所以为偶数.
所以要使，必须使为偶数，即4整除，
因为中有一个奇数和一个偶数，所以中有一个是的倍数，故或.
当时，
比如，，，或，，时，有，；
当时，
比如，，，，
或，，，，有，.
当或时，或，不能被4整除，.
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：
（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
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集合、常用逻辑用语 2023全国新高考Ⅱ卷T2 2024全国Ⅰ卷 T1 2023新高考Ⅰ卷T1， 2022新高考Ι卷T1，新高考Ⅱ卷T1 2021新高考Ⅰ卷T1 ,新高考Ⅱ卷T2 集合的交并补运算是高考中的重点高频考点，主要还是以基本不等式作为背景，应注重特殊符号，根号，对数，分式不等式。 充分必要条件作为使用工具一般与数列三角函数，以及函数相结合难度不大，但是易错 主要原命题与命题的否定，以函数与不等式作为背景 1.集合的直接运算，集合中的元素离散型、连续型均有可能； 2.考查交集运算为主，与解简单不等式相结合，将保持考查的稳定性. 3.根据集合的包含关系、运算关系求参数 这个板块属于必考题，年年考，以基础题形式考察。
题型一 元素集合之间的关系
1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的所有可能取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025高三·全国·专题练习）已知非空集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习），集合，则 .
4．（2025高三·全国·专题练习）设集合，那么（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北武汉·二模）（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集
C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为
题型二 集合之间的交、并、补运算
1．（2025·山东·一模）若集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（2025·吉林长春·一模）已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（ ）
A．{吉，大，高，考} B．{必，胜}
C．{金，榜，题，名} D．{吉，大，高，考，必，胜}
3．（2025·河北·三模）（多选）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，集合U的子集，若对于任意的，i，，都有，则符合条件的集合B的个数为 .
题型三 充要条件的判断
1．（23-24高三上·江苏南京·期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
2．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高三·全国·专题练习）设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）复数为纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A．0 B．
C．或 D．或
6．（2025高三·全国·专题练习）定义二阶行列式，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
题型四 命题的判定及应用
1．（2025高三·全国·专题练习）已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（ ）
A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件 D．是的充要条件
3．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 .
4．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知命题，为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·全国·一模）已知函数，的定义域均为，且的图像关于点对称.设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·云南·阶段练习）数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，设命题，，，则为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·山西·一模）定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数，则称数列具有“性质”.已知项数为的数列的所有项之和为，且数列具有“性质”.
(1)若，数列具有“性质2”，且，，写出的所有可能值；
(2)若数列具有“性质2”，且，，证明：“”是“（）”的充要条件；
(3)若数列具有“性质”，其中为奇数，，，，证明：或.
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