猜押 向量与复数
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平面向量与复数 2024全国新高考I卷1、3 2024全国新高考Ⅱ卷2、3 2023全国新高考I卷2、3 2023全国新高考Ⅱ卷1、13 2022全国新高考I卷2、3 2022全国新高考Ⅱ卷2、4 1.平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算 2.平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。 3.以考查复数的运算为主，间或涉及复数的概念、复数的几何意义、复数模的计算，除共轭复数的概念，对于复数相等也应予重视. 关于平面向量相关知识点的考查比较广泛，主要有： 1.平面向量的概念； 2.以几何图形为载体，考查向量的线性运算； 3.考查向量数量积及其应用，与向量的模、夹角相结合，考查数量积的运算； 4.考查向量的平行、垂直，一是判断，二是求参数； 5.关注数量积、模、角的函数值及参（系）数的最值、范围问题6.注意向量的“工具性”作用的发挥，在三角函数、解三角形及解析几何问题中的应用..
题型一 向量的线性运算
1．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，是边上靠近的三等分点，是的中点．
(1)以为基底表示，；
(2)设与相交于点，若，求实数与的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据平面向量的线性运算，即可求解；
（2）由题意，得，共线，，共线，结合平面向量的线性运算，列方程组即可求解.
【详解】（1）由题可知，，
所以，
．
（2）由题可得，共线，，共线，如图：
设，由（1）知，，
则，
又，由，共线，得，使得，
即，
又，不共线，
所以，解得，
所以，
，
又，所以．
2．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值.
【详解】
，
因此，
因为三点共线，所以，，
故选：B.
3．（21-22高一下·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知．
(1)求证：三点共线；
(2)若且，求实数的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据，即可得证；
（2）利用共线向量定理即可求解.
【详解】（1）由已知，得，
因为，
所以，又与有公共点，
所以三点共线．
（2）由（1），知，若，且，
可设，
所以，
即．
又是两个不共线的向量，所以，
解得．
4．（2025·全国·模拟预测）在中，点为边的中点，点为的中点.记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：由平面向量的线性运算结合三角形法则求解即可；法二，特殊化三角形为直角三角形，借助向量坐标运算求解.
【详解】如图，由点为边的中点，得，由点为的中点，得，
所以.
故选：B
法二：将特殊化，假设为以角为直角的等腰直角三角形，
如图，以点为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，，则，，
根据题意，得，，
所以.
故选：B.
5．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
题型二 向量的数量积与范围
1．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得则，进一步可得，即，由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值，利用余弦定理算出，解即可得的最小值.
【详解】因为，，则，故，
故，所以，所以当垂直于时，取得最小值.
在中，由余弦定理得，
在中，，
由直线外一点垂线段最短可知当垂直于时，取得最小值，
此时，即的最小值为.
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过已知条件先求出的值，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，进而得到的取值范围.
【详解】由，，，得，
又，即,.即，
即
故答案为：.
3．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，且是圆的直径，所以，设、的夹角为，根据数量积的运算律及定义得到，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，
所以、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，
所以，所以，
所以是圆的直径，
所以，
所以，
设、的夹角为，
则
，
因为，
所以，
所以，
所以，
即的取值范围是.
故选：B.
4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 .
【答案】 /； .
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二.
【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，
因为，所以，
得，
因为，所以，
得，所以，
设，则，
所以，
所以
由二次函数性质可知，当时，取得最小值.
故答案为：；.
5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 .
【答案】
【分析】根据已知及数量积的运算律求得，，，再应用数量积的夹角公式求的范围.
【详解】由，
所以，故，
又，，
所以
，而，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据已知得到为关键.
6．（2025高一·全国·专题练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值.
【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，
设，其中，则，
因为，所以，即，
因为，
当且仅当时等号成立.
所以.
又，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
题型三 向量的垂直与向量的数量积
1．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（ ）．
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.
【详解】因为，所以，所以，所以．
故选：C．
2．（2025·河北保定·一模）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件得出两个向量的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，进而求解的值.
【详解】由题得.因为，所以，解得.
故选：C.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列式计算得解.
【详解】由，，得，，
由，得，
因此，整理得，
所以.
故选：C
4．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】我们先根据向量垂直求出的值，再根据向量模的计算公式求出.
【详解】已知，，则.
因为，即.
即,解得.
由，则.所以.
故选：C.
5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知，向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件结合向量垂直关系可得，再利用基本不等式求结论.
【详解】根据题意，向量，，
则，即，
变形可得，
则
又由，则，
当且仅当时等号成立，
则，
则的最小值为
故选：B.
6．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量，.
(1)若，求；
(2)设，若，当取最小值时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线坐标运算得，结合，代入向量模的坐标运算公式求解即可.
（2）根据垂直的坐标运算得，结合，代入向量模的坐标运算公式求得，然后利用数量积模的运算律求得，利用二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）若，则，即，
又，解得，，
所以；
（2）若，则，
又，所以，，
所以.
又，所以，
所以，
所以当时，取得最小值.
题型四 复数的概念与运算
1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】取特殊复数计算判断A，C，设复数结合复数乘法及复数模长计算判断B，根据已知复数运算律得出模长判断D.
【详解】对于选项A，取，，则，，满足，但，则A不正确；
对于选项B，设，，
因为，所以不同时为0，，则B正确；
对于选项C，取，，满足，则C不正确；
对于选项D，因为，所以，所以或，则，则D正确．
故选：BD．
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可.
【详解】设，则复数在复平面内对应点，设，
则，同理，
∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径，
∴短半轴，∴点的轨迹方程为：，
A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项正确；
C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确；
D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误.
故选：ABC.
3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ．
【答案】
【分析】令，由复数的四则运算即可求解；
【详解】令，则
因为为实数，
所以，解得：，
，
当时，，
当时，，
所以
故答案为：
4．（24-25高三下·广东广州·期末）已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 .
【答案】/
【分析】根据题意可得，由此计算可得结果.
【详解】由题意得，，
∴，
∴的虚部是.
故答案为：.
5．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解；
【详解】由，解得，
所以．
所以的虚部为1．
故选：C．
6．（2025高三·全国·专题练习）若是纯虚数，则实数为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法公式化简复数，在根据复数的特征，即可求解.
【详解】因为是纯虚数，所以，
解得．
故选：D．
7．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）（多选）若复数z满足，则（ ）
A． B．z的虚部为 C． D．
【答案】AD
【分析】利用已知条件进行化简求出复数即可.
【详解】得，
则z的虚部为，，，
故AD正确，BC错误.
故选：AD.
题型五 复数的几何意义
1．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的四则运算化简，利用复数的几何意义即可得解.
【详解】，则复数对应点为，在第四象限.
故选：D.
2．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据复数的除法和乘法计算化简得出虚部判断A，根据复数对应点判断B，应用模长计算判断C，计算化简求和判断D.
【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误；
对于B，由A选项可知，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选:BCD.
3．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）．
(1)求实数m的值；
(2)设复数，求；
(3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值；
（2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模；
（3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．
【详解】（1）因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；
（2），
所以；
（3）因为，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．
4．（24-25高一下·浙江台州·阶段练习）（多选）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若.则的模为7
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义运算判断BD．
【详解】对于A，设，由，则，故A错误；
对于B，由点的坐标为，则，，
所以复数对应的点为，对应的点在第三象限，故B正确；
对于C，由，则，故C错误；
对于D，设，由，则，
所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确.
故选：BD.
5．（2025·青海海南·模拟预测）（多选）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的模为
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BCD
【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】设，由题意知，
即，则，解得，所以，
对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误；
对于选项B，因为，所以B正确；
对于选项C，因为，故C正确，
对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确，
故选：BCD.
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猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据
平面向量与复数 2024全国新高考I卷1、3 2024全国新高考Ⅱ卷2、3 2023全国新高考I卷2、3 2023全国新高考Ⅱ卷1、13 2022全国新高考I卷2、3 2022全国新高考Ⅱ卷2、4 1.平面向量的线性运算一般考查基础的三角形法则，属于简单题目。对于此类题目可以转化成坐标运算 2.平面向量数量积运算是高考数学高频考点，一般考查向量的平行垂直以及夹角问题，容易与充要条件相结合，考查比较简单，但是属于易错点。 3.以考查复数的运算为主，间或涉及复数的概念、复数的几何意义、复数模的计算，除共轭复数的概念，对于复数相等也应予重视. 关于平面向量相关知识点的考查比较广泛，主要有： 1.平面向量的概念； 2.以几何图形为载体，考查向量的线性运算； 3.考查向量数量积及其应用，与向量的模、夹角相结合，考查数量积的运算； 4.考查向量的平行、垂直，一是判断，二是求参数； 5.关注数量积、模、角的函数值及参（系）数的最值、范围问题6.注意向量的“工具性”作用的发挥，在三角函数、解三角形及解析几何问题中的应用..
题型一 向量的线性运算
1．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，是边上靠近的三等分点，是的中点．
(1)以为基底表示，；
(2)设与相交于点，若，求实数与的值．
2．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高一下·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知．
(1)求证：三点共线；
(2)若且，求实数的值．
4．（2025·全国·模拟预测）在中，点为边的中点，点为的中点.记，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一下·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
题型二 向量的数量积与范围
1．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，，D为所在平面内的动点，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，若向量c满足，则的取值范围是 .
3．（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 .
5．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 .
6．（2025高一·全国·专题练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 .
题型三 向量的垂直与向量的数量积
1．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（ ）．
A． B．2 C． D．5
2．（2025·河北保定·一模）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）已知，向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）已知向量，.
(1)若，求；
(2)设，若，当取最小值时，求的值.
题型四 复数的概念与运算
1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
3．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ．
4．（24-25高三下·广东广州·期末）已知公式，其中是虚数单位，根据此公式计算的虚部是 .
5．（2025高三·全国·专题练习）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2025高三·全国·专题练习）若是纯虚数，则实数为（ ）
A． B． C． D．2
7．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）（多选）若复数z满足，则（ ）
A． B．z的虚部为 C． D．
题型五 复数的几何意义
1．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·全国·模拟预测）（多选）已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．
D．
3．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）．
(1)求实数m的值；
(2)设复数，求；
(3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
4．（24-25高一下·浙江台州·阶段练习）（多选）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若.则的模为7
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
5．（2025·青海海南·模拟预测）（多选）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为 B．的模为
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
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