秘籍07 碰撞类问题与动量守恒的综合应用
【解密高考】
【题型一】“滑块—弹簧”模型
【题型二】 “光滑圆弧轨道＋滑块”模型
【题型三】悬绳模型
【题型四】“滑块—木板”模型
【题型五】“子弹打木块”模型
：高考对动量守恒定律及其应用的考查主要集中在“碰撞”类问题，主要考查方式有两种：（1）以碰撞为模型考查动量守恒定律的应用；（2）以生活中的实例为背景，考查规律的灵活运运用。
：掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的概念，记住两个物体碰撞的几个基本公式，能运用动量守恒定律并结合能量关系解决简单的碰撞问题。
【题型一】“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。
【例1】如图所示，物块A、B静止在光滑水平地面上，A与轻弹簧相连，C沿水平面以一定初速度向右运动，与B碰后粘在一起，二者向右运动一小段距离后与弹簧接触，一段时间后与弹簧分离，则（ ）
A．A加速过程中，加速度越来越大 B．A、B、C共速时，B所受合力为0
C．A、B、C共速时，弹簧弹性势能最大 D．B、C碰撞过程中，B、C系统机械能守恒
“弹簧类”模型的解题思路 (1)系统的动量守恒。 (2)系统的机械能守恒。 (3)应用临界条件：两物体共速时，弹簧的弹性势能最大。
【变式1】如图甲所示，在光滑水平面上，小球A以初动量沿直线运动，与静止的带轻质弹簧的小球B发生正碰，此过程中，小球A的动量p随时间t变化的部分图像如图乙所示，时刻图线的切线斜率最大，此时纵坐标为，时刻纵坐标为零。已知小球A、B的直径相同，则（ ）
A．小球A、B的质量之比为
B．时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~时间内，小球B的动量变化量为
【变式2】（多选）如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原长。t = 0时，A以水平向左的初速度v0开始运动，B的初速度为0，A、B运动的v t图像如图乙所示。已知A的质量为m，0 ~ t0时间内B的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（ ）
A．B的质量为2m B．橡皮绳的最大弹性势能为
C．橡皮绳的原长为 D．橡皮绳的原长为v0t0
【题型二】“光滑圆弧轨道＋滑块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m与M具有共同水平速度v共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(2)最低点：m与M分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型)。
【例1】（多选）如图所示，质量为M的四分之一光滑圆弧滑块下端与光滑水平面相切。给质量为m的小球一水平向右的初速度，如果圆弧滑块固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为 R （R为圆弧的半径），如果圆弧滑块不固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为 R。重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球的初速度大小为
B．M=2m
C．如果圆弧滑块不固定，小球滑离圆弧滑块到最高点的过程中，水平位移为R
D．如果圆弧滑块不固定，小球最终的速度大小为
【例2】如图甲所示，一小车静止在光滑水平地面上，上表面PQ是以O为圆心、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，左端P与平台等高且平滑对接（不粘连）。一小球以某一水平速度冲上小车。测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为，作出图像，如图乙所示。已知P点距地面高，重力加速度为g，则（ ）
A．小车质量是小球质量的2倍
B．小球上升到最高点时的速度为
C．小球上升的最大高度为R
D．小球落地时与小车左端P点的水平距离为2R
【变式1】（多选）如图，小车的上面固定一个光滑弯曲圆管道，整个小车（含管道）的质量为m，原来静止在光滑的水平面上。有一个可以看做质点的小球，质量也为m，半径略小于管道半径，以水平速度v从左端滑上小车，小球恰好能到达管道的最高点，然后从管道右端滑离小车。不计空气阻力，关于这个过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球滑离小车时，小车回到原来位置
B．小球滑离小车时的速度大小为v
C．到达最高点时小球上升的竖直高度为
D．小球从滑进管道到滑到最高点的过程中，小车所受合外力冲量大小为
【变式2】（多选）如图，水平地面上有一质量为m的“”形木板A，其水平部分表面粗糙，长度为2R，圆弧部分的半径为R、表面光滑，两部分平滑连接。现将质量也为m、可视为质点的滑块B从圆弧的顶端由静止释放。若地面粗糙，滑块B恰好能滑到此木板的最左端，此过程中木板A始终处于静止状态，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．此过程中，A对水平地面的最大压力为4mg B．B与A水平部分上表面的动摩擦因数为0.2
C．若水平地面光滑，滑块B将从木板A的左端滑出 D．若水平地面光滑，A向右运动的最大位移为1.5R
【变式3】（多选）质量为的光滑半圆形凹槽静止在光滑水平地面上，在凹槽左侧与圆心等高处由静止释放一质量为、可视为质点的小球，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，如图甲中虚线所示。运动过程中小球的动能随时间变化图像如图乙所示，已知椭圆半长轴与半短轴之比为。下列说法正确的是（ ）
A．半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒
B．小球质量与凹槽质量之比
C．时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度垂直
D．时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力
【题型三】悬绳模型
悬绳模型(如图所示)与“光滑圆弧轨道＋滑块(小球)”模型特点类似，即系统机械能守恒，水平方向动量守恒，解题时需关注物体运动的最高点和最低点。
【例1】（多选） 如图所示，质量为0.3kg的滑块套在水平固定的光滑轨道上，质量为0.2kg的小球（视为质点）通过长为0.75m的轻杆与滑块上的光滑轴O连接，可绕O点在竖直平面内自由转动。初始时滑块静止，轻杆处于水平状态。小球以3m/s竖直向下的初速度开始运动，g取，则（ ）
A．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块向右移动了0.30m
B．小球第一次到达最低点时，滑块的速度大小为2m/s
C．小球第一次到达最低点时，轻杆对小球的拉力为5.84N
D．小球相对于初始位置可以上升的最大高度为0.45m
【例2】质量为2m的物体A穿在光滑的水平杆上，用长为L的细绳与质量为m的小球B相连，如图甲所示，初始时A、B在同一水平面上（细绳平行于水平杆），且细绳刚好拉直，将小球B由静止释放，当细绳刚好竖直、小球B运动到最低点时绳子恰好绷断，已知A、B均可视为质点，重力加速度为g，求：
(1)小球B运动到最低点时，物体A的速度大小以及A相对于初始位置运动的距离；
(2)细绳的最大张力；
(3)以A物体的初始位置为坐标原点建立如图乙所示平面直角坐标系xOy，求出绳断之前小球B运动的轨迹方程。
【变式1】如图所示，轻杆两端分别系着质量为的圆环A和质量为的小球B，轻杆与A的连接处有光滑铰链，轻杆可以绕铰链自由转动，A套在光滑的水平固定横杆上且能自由滑动，A、B静止不动时B球恰好与光滑地面接触，在B的左侧是半径为的圆弧，质量为的小球C以的速度向左与B球发生正碰，已知碰后C小球恰好能做平抛运动，小球B在运动过程中恰好能与横杆接触。重力加速度取，则：
(1)碰后C球平抛的水平位移大小；
(2)碰后瞬间B球的速度大小；
(3)A、B间轻杆的长度。
【变式2】质量均为的木块和，并排放在光滑水平面上，如图所示。上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量也为的球。现将球拉起使细线水平伸直，并由静止释放球。
(1)若木块固定在水平面上，求球向左摆动能达到的最大高度；
(2)若木块不固定，求球第一次摆到最低点时球的位移大小。
【题型四】“滑块—木板”模型
【例1】如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A和B，滑块C（可视为质点）置于B的右端，三者质量均为。A以的速度向右运动，B和C一起以的速度向左运动，A和B发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A和B的长度均为0.75m，C与A、B间动摩擦因数均为0.5，则（ ）
A．碰撞瞬间C相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为
D．碰撞后到三者相对静止，C相对长板滑动的距离为0.6m
【例2】如图甲所示，质量为的薄板静止在水平地面上，质量为的物块静止在的右端。时刻对施加一水平向右的作用力，的大小随时间的变化关系如图乙所示。已知与之间、与地面之间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，始终未脱离。取，下列说法正确的是（ ）
A．时，与发生相对滑动
B．时，的加速度大小为
C．时，的速度大小为
D．时，、动量之和为
【变式1】（多选）如图所示，足够长的木板M放在光滑水平面上，滑块N放在木板上的左端，二者之间接触面粗糙，水平地面的右侧固定一竖直挡板。木板M和滑块N以相同的速度水平向右运动，木板M和挡板发生弹性碰撞，碰撞时间可忽略不计。以木板M第一次与挡板发生碰撞的时刻为计时起点，水平向右为正方向，以下描述木板M和滑块N的速度随时间变化规律的图像（用实线表示滑块N的速度变化规律，用虚线表示木板M的速度变化规律）可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）如图甲所示，足够长的木板A静止于光滑水平面上，t=0时小物块B以4m/s的水平初速度从左端滑上A，图乙为A的动能Ek随时间t变化的关系图像，t=0.4s后图线为平行于t轴的直线。已知A、B间的动摩擦因数为0.5，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．t=0.4s时A、B速度相同
B．B的质量为2.0kg
C．A的长度至少为1.0m
D．整个过程系统因摩擦产生的内能为4.0J
【变式3】质量为的长木板A在光滑水平面上以的速度向左运动，某时刻质量为的小木块B以的速度从左端向右滑上长木板，经过时间小木块B相对A静止，求：
(1)两者相对静止时的运动速度。
(2)从木块滑上木板到相对木板静止的过程中，木板A的动量变化量的大小。
(3)小木块与长木板间的动摩擦因数。
“滑块—木板”模型的解题思路 (1)系统的动量守恒。 (2)在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑用动量定理。 (3)在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑用动能定理。 (4)在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。 (5)滑块与木板不相对滑动时，两者达到共同速度。
【题型五】“子弹打木块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
(2)系统的机械能有损失。
3．两种情境
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v；
能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－。
【例1】如图所示，光滑的地面上有一个木块C，C上面通过一个弹性棒连接木块B，弹性棒可以弯曲但不改变长度。开始弹性棒处于竖直状态，一颗子弹A以水平初速度射入B但没有穿出，射入过程时间极短，之后 AB整体在弹性棒上面反复左右摇摆。已知，，，整个运动过程C始终没有脱离地面且没有翻倒，下列说法正确的是（ ）
A．子弹A射入木块B过程中AB系统机械能守恒
B．弹性棒向右弯曲最大时AB整体的速度为
C．弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小等于子弹射入木块B之后系统减少的动能
D．弹性棒第一次回到竖直状态时C的速度大小为
【例2】（多选）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两完全相同的钢板A、B厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．第一次子弹穿过A、B所用时间之比为
B．第二次子弹能击穿两钢板
C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B的深度为
D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为
【变式1】如图所示，在有圆孔的水平支架上放置一物块，子弹从圆孔下方以大小为的速度竖直向上击中物块并留在物块中。已知子弹的质量为，物块的质量为，重力加速度大小为。物块（含子弹）在空中运动时所受阻力大小为它们所受总重力的。子弹与物块相对运动的时间极短，不计物块厚度的影响，求：
(1)子弹在物块中相对物块运动的过程中，系统损失的机械能；
(2)物块（含子弹）落回支架前瞬间的速度大小。
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【解密高考】
【题型一】“滑块—弹簧”模型
【题型二】 “光滑圆弧轨道＋滑块”模型
【题型三】悬绳模型
【题型四】“滑块—木板”模型
【题型五】“子弹打木块”模型
：高考对动量守恒定律及其应用的考查主要集中在“碰撞”类问题，主要考查方式有两种：（1）以碰撞为模型考查动量守恒定律的应用；（2）以生活中的实例为背景，考查规律的灵活运运用。
：掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的概念，记住两个物体碰撞的几个基本公式，能运用动量守恒定律并结合能量关系解决简单的碰撞问题。
【题型一】“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。
【例1】如图所示，物块A、B静止在光滑水平地面上，A与轻弹簧相连，C沿水平面以一定初速度向右运动，与B碰后粘在一起，二者向右运动一小段距离后与弹簧接触，一段时间后与弹簧分离，则（ ）
A．A加速过程中，加速度越来越大 B．A、B、C共速时，B所受合力为0
C．A、B、C共速时，弹簧弹性势能最大 D．B、C碰撞过程中，B、C系统机械能守恒
【答案】C
【详解】A．A加速过程中，一开始弹簧压缩量逐渐增大，之后弹簧压缩量又逐渐减小，所以A受到的弹簧弹力先增大后减小，则A的加速度先增大后减小，故A错误；
BC．A、B、C共速时，弹簧的压缩量达到最大，弹簧弹性势能最大，此时BC受到的弹力不为0，BC的加速度不为0，则B的加速度不为0，所受合力不为0，故B错误，C正确；
D．B、C碰后粘在一起，属于完全非弹性碰撞，所以B、C碰撞过程中，B、C系统机械能不守恒，故D错误。
故选C。
“弹簧类”模型的解题思路 (1)系统的动量守恒。 (2)系统的机械能守恒。 (3)应用临界条件：两物体共速时，弹簧的弹性势能最大。
【变式1】如图甲所示，在光滑水平面上，小球A以初动量沿直线运动，与静止的带轻质弹簧的小球B发生正碰，此过程中，小球A的动量p随时间t变化的部分图像如图乙所示，时刻图线的切线斜率最大，此时纵坐标为，时刻纵坐标为零。已知小球A、B的直径相同，则（ ）
A．小球A、B的质量之比为
B．时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~时间内，小球B的动量变化量为
【答案】C
【详解】B．时刻图线的切线斜率最大，则小球A的动量变化率最大，根据
可知小球A的速度变化率最大，即加速度最大，根据牛顿第二定律
可知此时弹簧弹力最大，由胡克定律可知，此时弹簧形变量最大，则此时弹簧的弹性势能最大，故B错误；
A．时刻两小球共速，设速度大小均为v，则小球A的质量
根据动量守恒有
则小球B的质量
由此可知两小球的质量之比为
故A错误；
C．根据机械能守恒有
小球A的初动能和弹簧最大弹性势能之比
故C正确；
D．时间内，小球B的动量变化量
故D错误。
故选C。
【变式2】（多选）如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原长。t = 0时，A以水平向左的初速度v0开始运动，B的初速度为0，A、B运动的v t图像如图乙所示。已知A的质量为m，0 ~ t0时间内B的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（ ）
A．B的质量为2m B．橡皮绳的最大弹性势能为
C．橡皮绳的原长为 D．橡皮绳的原长为v0t0
【答案】AD
【详解】A．由图乙及动量守恒定律得
解得
故A正确；
CD．由图乙知，2t0时刻橡皮绳处于原长，设此时A、B的速度分别为vA、vB，由动量守恒定律及能量守恒定律得
解得
，
橡皮绳的原长
故C错误，D正确；
B．由能量守恒定律，橡皮绳的最大弹性势能
故B错误。
故选AD。
【题型二】“光滑圆弧轨道＋滑块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)最高点：m与M具有共同水平速度v共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)。
(2)最低点：m与M分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型)。
【例1】（多选）如图所示，质量为M的四分之一光滑圆弧滑块下端与光滑水平面相切。给质量为m的小球一水平向右的初速度，如果圆弧滑块固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为 R （R为圆弧的半径），如果圆弧滑块不固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为 R。重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球的初速度大小为
B．M=2m
C．如果圆弧滑块不固定，小球滑离圆弧滑块到最高点的过程中，水平位移为R
D．如果圆弧滑块不固定，小球最终的速度大小为
【答案】AD
【详解】A．如果圆弧滑块固定，则由机械能守恒定律
解得小球的初速度大小为
选项A正确；
B．如果圆弧滑块不固定，设小球离开圆弧时水平速度为vx，则由水平方向动量守恒
由能量关系
联立解得
M=0.5m
选项B错误；
C．如果圆弧滑块不固定，小球滑离圆弧滑块到最高点过程的时间
水平位移为
选项C错误；
D．如果圆弧滑块不固定，小球最终落回到槽中并从槽中滑出时槽的速度最大，此时由动量守恒和能量关系
解得小球和圆弧槽的速度大小分别为
选项D正确。
故选AD。
【例2】如图甲所示，一小车静止在光滑水平地面上，上表面PQ是以O为圆心、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，左端P与平台等高且平滑对接（不粘连）。一小球以某一水平速度冲上小车。测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为，作出图像，如图乙所示。已知P点距地面高，重力加速度为g，则（ ）
A．小车质量是小球质量的2倍
B．小球上升到最高点时的速度为
C．小球上升的最大高度为R
D．小球落地时与小车左端P点的水平距离为2R
【答案】B
【详解】A．设小球质量为m，小车质量为M，小球和小车组成的系统在水平方向所受合力为零，所以水平方向动量守恒，由图乙数据可得，时总动量
时总动量
又有
解得
故A错误；
B．小球上升到最高点时与小车具有共同速度，设为，则
解得
故B正确；
C．设小球上升的最大高度为H，对小球、小车组成的系统，根据机械能守恒定律有
解得
故C错误；
D．小球滑回至P点时，设小球和小车的速度分别为和，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有，
解得，
则小球离开小车后做自由落体运动，设运动时间为t，有
t时间内小车做匀速直线运动，所以小球落地时与小车左端P点的水平距离为
故D错误。
故选B。
【变式1】（多选）如图，小车的上面固定一个光滑弯曲圆管道，整个小车（含管道）的质量为m，原来静止在光滑的水平面上。有一个可以看做质点的小球，质量也为m，半径略小于管道半径，以水平速度v从左端滑上小车，小球恰好能到达管道的最高点，然后从管道右端滑离小车。不计空气阻力，关于这个过程，下列说法正确的是（ ）
A．小球滑离小车时，小车回到原来位置
B．小球滑离小车时的速度大小为v
C．到达最高点时小球上升的竖直高度为
D．小球从滑进管道到滑到最高点的过程中，小车所受合外力冲量大小为
【答案】BCD
【详解】A．由题意，小球与小车组成的系统在水平方向上不受外力，所以系统在水平方向动量守恒。小球从左端滑上小车到从右端滑离小车的过程中，小车水平方向先加速后减速，小球水平方向先减速后加速，在整个过程中小车一直向右运动，不会回到原来位置，故A错误；
B．由动量守恒可得
其中是小球速度，是小车速度。
由机械能守恒定律可得
解得，
小球滑离小车时的速度大小是v，故B正确；
C．小球恰好到达管道的最高点后，则小球和小车的速度相同为，由动量守恒定律可得
解得
根据机械能守恒定律可得
解得
故C正确；
D．小球滑到管道的最高点时，根据动量定理可得，小车所受合外力冲量为
故D正确。
故选BCD。
【变式2】（多选）如图，水平地面上有一质量为m的“”形木板A，其水平部分表面粗糙，长度为2R，圆弧部分的半径为R、表面光滑，两部分平滑连接。现将质量也为m、可视为质点的滑块B从圆弧的顶端由静止释放。若地面粗糙，滑块B恰好能滑到此木板的最左端，此过程中木板A始终处于静止状态，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．此过程中，A对水平地面的最大压力为4mg B．B与A水平部分上表面的动摩擦因数为0.2
C．若水平地面光滑，滑块B将从木板A的左端滑出 D．若水平地面光滑，A向右运动的最大位移为1.5R
【答案】AD
【详解】A．若地面粗糙，B滑到低端时
根据
可得FN=3mg
可知此过程中，A对水平地面的最大压力为FNm=4mg
选项A正确；
B．若地面粗糙，根据能量关系
解得B与A水平部分上表面的动摩擦因数为
选项B错误；
C．若水平地面光滑，则当B相对A静止时由水平方向动量守恒
即两物体的速度均为零，根据能量关系
可得
即滑块B仍停在木板A的左端，选项C错误；
D．若水平地面光滑，水平动量守恒可得
解得x=1.5R
即A向右运动的最大位移为1.5R，选项D正确。
故选AD。
【变式3】（多选）质量为的光滑半圆形凹槽静止在光滑水平地面上，在凹槽左侧与圆心等高处由静止释放一质量为、可视为质点的小球，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，如图甲中虚线所示。运动过程中小球的动能随时间变化图像如图乙所示，已知椭圆半长轴与半短轴之比为。下列说法正确的是（ ）
A．半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒
B．小球质量与凹槽质量之比
C．时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度垂直
D．时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力
【答案】ABD
【详解】A．小球向下运动过程中，在竖直方向的分加速度方向先向下后向上，小球先处于失重后处于超重状态，可知，半圆形凹槽与小球组成的系统所受外力的合力不为0，即半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒，故A正确；
B．令凹槽半径为R，根据图中所示半个椭圆可知，半长轴为R，则半短轴为，短轴为，即小球在水平方向的分位移
半圆形凹槽与小球组成的系统在水平方向动量守恒，则有
其中
解得
故B正确；
C．根据图乙的对称性可知，时刻小球位于凹槽最低点，则时刻小球位于释放点与凹槽最低点之间的某一位置，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，轨迹的最低点即为凹槽的最低点，时刻小球受到凹槽的支持力方向指向凹槽圆心，速度方向沿半椭圆轨迹切线方向，可知，时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度方向不垂直，故C错误；
D．结合上述可知，时刻小球位于凹槽最低点，小球相对于凹槽做圆周运动，小球在最低点相对于凹槽的速度方向水平向右，由于小球小球相对于凹槽做圆周运动，则小球在最低点沿半径方向的合力提供向心力，此时加速度方向竖直向上，则时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力，故D正确。
故选ABD。
【题型三】悬绳模型
悬绳模型(如图所示)与“光滑圆弧轨道＋滑块(小球)”模型特点类似，即系统机械能守恒，水平方向动量守恒，解题时需关注物体运动的最高点和最低点。
【例1】（多选） 如图所示，质量为0.3kg的滑块套在水平固定的光滑轨道上，质量为0.2kg的小球（视为质点）通过长为0.75m的轻杆与滑块上的光滑轴O连接，可绕O点在竖直平面内自由转动。初始时滑块静止，轻杆处于水平状态。小球以3m/s竖直向下的初速度开始运动，g取，则（ ）
A．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块向右移动了0.30m
B．小球第一次到达最低点时，滑块的速度大小为2m/s
C．小球第一次到达最低点时，轻杆对小球的拉力为5.84N
D．小球相对于初始位置可以上升的最大高度为0.45m
【答案】AD
【详解】A．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，设滑块在水平轨道上向右移动的距离为，小球的质量为m，滑块的质量为M，取向左为正方向，根据水平动量守恒有
解得
A正确；
B．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，小球和滑块系统水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，设小球到最低点时的瞬时速度为，滑块的速度为，则有
根据能量守恒则有
联立解得，
此时小球相对于地面的速度
故小球受到杆的拉力为
代入数据解得
BC错误；
D．设小球相对于初始位置可以上升的最大高度为h，此时竖直方向速度为0，根据水平动量守恒得
根据能量守恒可得
解得
D正确。
故选AD。
【例2】质量为2m的物体A穿在光滑的水平杆上，用长为L的细绳与质量为m的小球B相连，如图甲所示，初始时A、B在同一水平面上（细绳平行于水平杆），且细绳刚好拉直，将小球B由静止释放，当细绳刚好竖直、小球B运动到最低点时绳子恰好绷断，已知A、B均可视为质点，重力加速度为g，求：
(1)小球B运动到最低点时，物体A的速度大小以及A相对于初始位置运动的距离；
(2)细绳的最大张力；
(3)以A物体的初始位置为坐标原点建立如图乙所示平面直角坐标系xOy，求出绳断之前小球B运动的轨迹方程。
【答案】(1)；；(2)；(3)
【详解】（1）小球B从初始位置到第一次到达最低点的过程中，小球B和A物体系统水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，可得
设A相对于初始位置运动的距离为，可得
解得
根据能量守恒有
联立，解得
（2）小球B运动到最低点速度
小球B运动到最低点时绳子恰好绷断，有
解得
即细绳的最大张力为。
（3）设小球位置坐标为（x，y）时，此时A物体运动的位移为，则水平动量守恒
由几何关系可知
解得小球从出发至最低点过程的轨迹方程
【变式1】如图所示，轻杆两端分别系着质量为的圆环A和质量为的小球B，轻杆与A的连接处有光滑铰链，轻杆可以绕铰链自由转动，A套在光滑的水平固定横杆上且能自由滑动，A、B静止不动时B球恰好与光滑地面接触，在B的左侧是半径为的圆弧，质量为的小球C以的速度向左与B球发生正碰，已知碰后C小球恰好能做平抛运动，小球B在运动过程中恰好能与横杆接触。重力加速度取，则：
(1)碰后C球平抛的水平位移大小；
(2)碰后瞬间B球的速度大小；
(3)A、B间轻杆的长度。
【答案】(1)；(2)3m/s；(3)0.3m
【详解】（1）碰后C球恰好能做平抛运动，则C球在圆弧顶端，根据牛顿第二定律有
C做平抛运动，在水平方向上有
在竖直方向上有
解得
（2）碰撞过程中，B球和C球组成的系统动量守恒，则有
解得
（3）碰后当B球恰好与横杆接触时，A、B二者具有相同的水平速度，A、B构成的系统水平方向动量守恒，则有
根据机械能守恒定律有
解得
【变式2】质量均为的木块和，并排放在光滑水平面上，如图所示。上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量也为的球。现将球拉起使细线水平伸直，并由静止释放球。
(1)若木块固定在水平面上，求球向左摆动能达到的最大高度；
(2)若木块不固定，求球第一次摆到最低点时球的位移大小。
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）对球，下落过程机械能守恒有
对球和木块，水平方向动量守恒，取向左为正方向有
系统机械能守恒，有
联立解得
（2）对球和A、B组成的系统：设水平向左为正方向，水平方向平均动量守恒，有
即
又，
联立得
【题型四】“滑块—木板”模型
【例1】如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A和B，滑块C（可视为质点）置于B的右端，三者质量均为。A以的速度向右运动，B和C一起以的速度向左运动，A和B发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A和B的长度均为0.75m，C与A、B间动摩擦因数均为0.5，则（ ）
A．碰撞瞬间C相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为
D．碰撞后到三者相对静止，C相对长板滑动的距离为0.6m
【答案】D
【详解】A．碰撞瞬间C相对地面向左运动，选项A错误；
B．向右为正方向，则AB碰撞过程由动量守恒
解得
v1=1m/s
方向向右；当三者共速时
可知
v=0
即最终三者一起静止，可知经历的时间
选项B错误；
C．碰撞到三者相对静止摩擦产生的热量
选项C错误；
D．碰撞到三者相对静止由能量关系可知
可得
选项D正确。
故选D。
【例2】如图甲所示，质量为的薄板静止在水平地面上，质量为的物块静止在的右端。时刻对施加一水平向右的作用力，的大小随时间的变化关系如图乙所示。已知与之间、与地面之间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，始终未脱离。取，下列说法正确的是（ ）
A．时，与发生相对滑动
B．时，的加速度大小为
C．时，的速度大小为
D．时，、动量之和为
【答案】C
【详解】A．设A、B发生相对滑动时的最小外力为，对A受力分析，由牛顿第二定律可得
解得
对于B而言，则有
联立上式解得
由乙图可知，外力与时间的关系满足
当时，，A、B没有发生相对滑动，A错误；
B．根据上述分析可知，时，，A、B具有共同的加速度，大小为，B错误；
C．根据动量定理，结合乙图可知
代入数据解得
C正确；
D．根据乙图，结合动量定理可知，时，A、B系统具有的动量之和为
代入数据解得
D错误。
故选C。
【变式1】（多选）如图所示，足够长的木板M放在光滑水平面上，滑块N放在木板上的左端，二者之间接触面粗糙，水平地面的右侧固定一竖直挡板。木板M和滑块N以相同的速度水平向右运动，木板M和挡板发生弹性碰撞，碰撞时间可忽略不计。以木板M第一次与挡板发生碰撞的时刻为计时起点，水平向右为正方向，以下描述木板M和滑块N的速度随时间变化规律的图像（用实线表示滑块N的速度变化规律，用虚线表示木板M的速度变化规律）可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】A．若木板和滑块质量相等，则滑块向右减速的加速度大小等于木板向左减速的加速度大小，同时减速为0，故A正确；
BC．若木板质量大于滑块，则
两物体共速时速度向左，一起匀速运动，故B正确，C错误；
D．若木板质量小于滑块，两物块共速时速度向右，先匀速运动一段再和挡板碰撞，重复之前的过程，故D正确。
故选ABD。
【变式2】（多选）如图甲所示，足够长的木板A静止于光滑水平面上，t=0时小物块B以4m/s的水平初速度从左端滑上A，图乙为A的动能Ek随时间t变化的关系图像，t=0.4s后图线为平行于t轴的直线。已知A、B间的动摩擦因数为0.5，g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．t=0.4s时A、B速度相同
B．B的质量为2.0kg
C．A的长度至少为1.0m
D．整个过程系统因摩擦产生的内能为4.0J
【答案】AD
【详解】A．由乙图知，后A的动能不再发生变化，即时A、B速度相同，故A正确；
B．B在与A共速前，B的加速度为
设A、B 的共同速度为v，由速度公式
整理得末速度为
结合根据动量守恒
得二者质量相等，设都为m，共速后A的动能
解得B的质量为
故B错误；
C．二者共速时相对静止，相对位移为
即A的长度至少为，故C错误；
D．整个过程系统因摩擦产生的内能
故D正确。
故选AD。
【变式3】质量为的长木板A在光滑水平面上以的速度向左运动，某时刻质量为的小木块B以的速度从左端向右滑上长木板，经过时间小木块B相对A静止，求：
(1)两者相对静止时的运动速度。
(2)从木块滑上木板到相对木板静止的过程中，木板A的动量变化量的大小。
(3)小木块与长木板间的动摩擦因数。
【答案】(1)，方向水平向右；(2)、(3)0.5
【详解】（1）（1）设水平向右为正方向，从开始到相对静止，水平方向动量守恒
解得
方向水平向右；
（2）长木板的动量变化量大小
（3）对小木块B，根据动量定理得
解得
“滑块—木板”模型的解题思路 (1)系统的动量守恒。 (2)在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑用动量定理。 (3)在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑用动能定理。 (4)在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。 (5)滑块与木板不相对滑动时，两者达到共同速度。
【题型五】“子弹打木块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
(2)系统的机械能有损失。
3．两种情境
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v；
能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－。
【例1】如图所示，光滑的地面上有一个木块C，C上面通过一个弹性棒连接木块B，弹性棒可以弯曲但不改变长度。开始弹性棒处于竖直状态，一颗子弹A以水平初速度射入B但没有穿出，射入过程时间极短，之后 AB整体在弹性棒上面反复左右摇摆。已知，，，整个运动过程C始终没有脱离地面且没有翻倒，下列说法正确的是（ ）
A．子弹A射入木块B过程中AB系统机械能守恒
B．弹性棒向右弯曲最大时AB整体的速度为
C．弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小等于子弹射入木块B之后系统减少的动能
D．弹性棒第一次回到竖直状态时C的速度大小为
【答案】D
【详解】A．子弹A射入木块B过程中机械能有损失，故A错误；
B．弹性棒向右弯曲最大时，ABC相对静止，具有相同的速度，由
得整体的速度为
故B错误；
C．弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小应等于子弹射入木块B之后系统减少的动能与AB减少的重力势能之和，故弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小应大于子弹射入木块B之后系统减少的动能，故C错误；
D．A射入B过程中，由
得
弹性棒第一次回到竖直状态时，整个系统满足水平方向动量守恒和机械能守恒，由，
可得
故D正确。
故选D。
【例2】（多选）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两完全相同的钢板A、B厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．第一次子弹穿过A、B所用时间之比为
B．第二次子弹能击穿两钢板
C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B的深度为
D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为
【答案】CD
【详解】A．第一次子弹相对A、B做匀减速直线运动，恰好击穿时末速度为0，根据逆向思维，可以将看成子弹相对A、B做初速度为0的反向匀加速直线运动，穿过B、A的相对位移相等，则时间之比为，所以穿过A、B所用时间之比为，故A错误；
BC．设子弹的初速度为v0，受到的阻力大小为f，第一次穿过A、B时共同速度为v，对系统，由动量守恒有
由能量守恒有
可得
第二次子弹穿过A时，设子弹速度为v1，A的速度为u，假设不能穿透B，最后与B的共同速度为v2，进入B的深度为d′，对子弹和A，由动量守恒有
由能量守恒有
可得
对子弹和B，由动量守恒有
由能量守恒有
可得
假设成立，故B错误，C正确；
D．第一次系统损失的机械能
第二次系统损失的机械能
第一次、第二次系统损失的机械能之比为
故D正确。
故选CD。
【变式1】如图所示，在有圆孔的水平支架上放置一物块，子弹从圆孔下方以大小为的速度竖直向上击中物块并留在物块中。已知子弹的质量为，物块的质量为，重力加速度大小为。物块（含子弹）在空中运动时所受阻力大小为它们所受总重力的。子弹与物块相对运动的时间极短，不计物块厚度的影响，求：
(1)子弹在物块中相对物块运动的过程中，系统损失的机械能；
(2)物块（含子弹）落回支架前瞬间的速度大小。
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）子弹射入物块过程，由动量守恒定律有
解得
子弹射入物块的过程中，系统损失的机械能
解得
（2）子弹射入物块后一起向上运动，由运动学公式有
由牛顿第二定律有
子弹和物块落回支架的过程中，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
解得子弹和物块落回支架前瞬间的速度大小
【变式2】
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