秘籍11 带电粒子在组合场、叠加场中的运动
【解密高考】
【题型一】带电粒子在组合场中的运动
【题型二】带电粒子在组合场中运动的实例分析
【题型三】带电粒子在叠加场中的运动
【题型四】带电粒子在叠加场中运动的实例分析
【题型五】带电粒子在交变场中的运动
：带电粒子在组合场、叠加场中的运动问题应是高考考查的重点内容，极易成为高考试题的压轴题；通常以生产、科技中带电粒子运动问题为命题背景，突出考查由受力推知运动或由运动分析受力的建模能力，是高考命题的一个趋势，同学们和教师在复习过程中要重点关注。
：掌握带电粒子在不同的场（重力场、电场和磁场）中运动状态，结合试题给出的情景分析是组合场（各场相继出现在不同区域）还是叠加场（三场同时并存还是其中两场并存），特别注意情景中带电物体的重力是否需要考虑。分析带电物体在各场中的受力情况，根据受力分析带电体的运动情况，再由运动情形结相应的规律进行解题，此类试题带电体的运动过程相对较为复杂，同学们一定要沉着，保持头脑的清晰，认真分析带电体的各个运动过程找出其规律。
【题型一】带电粒子在组合场中的运动
组合场：静电场、磁场与无场区各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场与无场区分时间段交替出现。
1．解题思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选用不同的规律处理。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。
(4)选择合适的物理规律，列方程：对于类平抛运动，一般分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动；对粒子在磁场中做匀速圆周运动的情况，一般都是洛伦兹力提供向心力。
2．常见的基本运动形式
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
示意图
受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式
基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝
做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功
【例1】（多选）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场，最后打在靶上的P点， 产生X射线。已知MN间的电压为U， 磁场的宽度为d， 电子的比荷为k， 电子离开磁场时的速度偏转角为θ， 则下列说法正确的为（ ）
A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．电子进入磁场的速度大小为
C．电子在磁场中做圆周运动的半径为 D．偏转磁场的磁感应强度大小为
【答案】AC
【详解】A．电子经电场加速后进入磁场向下偏转，由左手定则知偏转磁场的方向垂直纸面向里，故A正确；
B．电子加速过程，由动能定理可得
解得
故B错误；
CD．如图所示，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动
由洛伦兹力作为向心力可得
由几何关系可得
联立解得半径为
磁感应强度的大小为
故C正确，故D错误。
故选AC。
带电粒子在组合场中运动的处理方法 (1)解决带电粒子在组合场中运动问题的思路 (2)常用物理规律 ①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识等分析； ②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理。 (3)解题关键：从一种场进入另一种场时衔接速度不变。
【例2】如图所示，圆心坐标为原点的半圆形半径，圆心坐标为的圆弧半径，它们之间存在磁感应强度大小，方向垂直于纸面向外的匀强磁场区域。一位于处的粒子源在平面内向第I象限均匀地发射速度大小的带正电粒子，经磁场偏转后射出该磁场。平行金属板的极板长，间距，其中极板左端坐标为，现在两极板间加上某恒定电压，进入平行金属板前匀速直线运动时间最短的粒子恰好从板右端射出电场。若粒子重力不计，比荷，不计粒子间的相互作用力及电场的边缘效应。（已知）
(1)粒子在磁场中的运动半径及粒子在点入射方向与轴夹角；
(2)求粒子从点出发到离开电场的最长时间；
(3)粒子恰好能从电场右边界中点射出，经过无场区域到达轴上的点（图中未画出），一段时间后经某矩形磁场区域偏转，然后匀速直线运动再次回到点，且此时速度方向与轴负方向夹角为，若此矩形磁场的磁感应强度大小，方向垂直于平面，求此矩形磁场区域的最小面积。
【答案】(1)，；(2)；(3)
【详解】（1）粒子在磁场中的运动半径 ， 根据 得
经分析，所有入射粒子离开磁场时速度方向均平行于x轴，粒子从点射出磁场，进入平行金属板前匀速直线运动时间最短，则有，
（2）粒子沿轴正向入射，从点出发到离开电场的时间最长。从点射出磁场，然后匀速直线经过无场区，再通过电场偏转射出电场。在半圆里运动时间
在磁场里运动时间
出磁场到离开电场这段过程，考虑方向速度一直没变
其中，
（3）所有从电场中射出的粒子运动形式均一样，初速度为的类平抛运动，粒子从进入电场，点射出电场。电场里水平位移为0.12m，竖直位移为0.06m，故射出时速度方向与轴成角，大小为。点坐标为。
粒子在磁场中运动半径为
再次回到点时，速度与轴负半轴夹角为斜向下，则对应速度偏转角为，磁场中运动圆弧圆心角也为，矩形磁场最小面积为
速度与轴负半轴夹角为斜向上，则对应速度偏转角为，磁场中运动圆弧圆心角也为，矩形磁场最小面积为
【例3】如图所示，虚线a、b、c、d为平行的边界，相邻边界间的距离均为L，a、b间和c、d间（含边界）有竖直向下、电场强度大小均为E的匀强电场Ⅰ、Ⅱ，b、c间和d下方有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等；一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界a上的P点由静止释放，粒子第一次在磁场Ⅰ中运动时速度偏向角为60°，不计粒子的重力。
(1)求匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小；
(2)求粒子进、出磁场Ⅱ时位置间的距离；
(3)若磁场Ⅰ的磁感应强度大小可以变化，通过改变磁场Ⅰ的磁感应强度大小可以改变粒子到达边界d的位置，在边界d上放一接收屏，要使磁场Ⅰ改变后，能进入电场Ⅱ中的粒子始终能打在接收屏上，求接收屏的最短长度。
【答案】(1)；(2)；(3)3L
【详解】（1）设粒子第一次进磁场Ⅰ时的速度大小为v0，根据动能定理
解得
由于粒子第一次在磁场Ⅰ中运动时偏向角为60°，根据几何关系，粒子在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律
解得
（2）粒子出磁场Ⅰ时沿垂直电场方向的分速度大小为
设粒子进磁场Ⅱ时的速度大小为v，根据动能定理
解得
垂直边界的分速度大小
设粒子进磁场Ⅱ时的速度与边界的夹角为θ，粒子做圆周运动的半径为r2，则有
根据几何关系
解得
（3）当磁场Ⅰ的磁感应强度为0时，粒子到达边界d上P点正下方的位置M点，当磁场Ⅰ的磁感应强度大小增大到某值时，粒子在磁场Ⅰ中的运动轨迹恰好与边界c相切，则粒子在电场Ⅱ中做类平抛运动，类平抛的初速度为v0，到达边界d时的速度大小为
设粒子到达边界d时的位置为N点，由于粒子在N点时的速度反向延长线交于类平抛运动水平位移的中点，根据几何关系可知，MN＝3L
因此要使所有粒子均能打在接收屏上，接收屏的长应为3L。
【变式1】科学研究经常需要分离同位素。电场可以给带电粒子加速，也能让粒子发生偏转。如图所示，粒子源不断产生初速度为零、电荷量为e、质量为m的氕核和质量为3m氘核，经过电压为U的加速电场加速后匀速通过准直管，从偏转电场的极板左端中央沿垂直电场方向射入匀强偏转电场，偏转电场两水平金属板的板长为d，板间距离也为d，板间电压为2U。整个装置处于真空中，粒子所受重力、偏转电场的边缘效应均可忽略不计。
(1)求氕核离开偏转电场时的侧移量以及速度与水平方向的夹角；
(2)为了分离氕核和氚核，在偏转电场下极板右端竖直放置一接收屏MN，且MN与偏转电场的下极板相交于M点，在偏转电场右侧存在范围足够大、左端有理想边界、磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，且磁场的左边界与MN所在直线重合。求氕核和氚核打在接收屏上的位置与M点的距离之比。
【答案】(1)；(2)1：
【详解】（1）根据动能定理得
由水平方向匀速运动得
由匀强电场中场强与电势差的关系得
根据牛顿第二定律得
由竖直方向上的匀加速运动得
解得
根据匀变速直线运动规律得
假设速度与水平方向的夹角为，则
解得
（2）由速度的合成与分解关系知
根据向心力关系得
粒子在磁场中做匀速圆周运动的弦长
解得
带入上式可得，气核和氚核离开磁场的位置与M点的距离之比为1：。
【变式2】如图所示，三维空间中有坐标系，在空间内存在着沿轴负向的匀强磁场，磁感应强度大小，在空间内存在着沿轴正向的匀强电场，电场强度大小为，在处有平行于的荧光屏，在点处有粒子源和加速电场（所占空间不计），加速电压为，粒子从静止开始经电场瞬间加速，沿轴正向飞出，已知粒子质量为，电量为，不计粒子重力。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径及时间；
(2)粒子打到荧光屏上的坐标；
(3)粒子打到荧光屏产生一个亮点，另有氘核（）经电场加速进入磁场和电场，最后打在荧光屏上产生亮点，试判断荧光屏上有几个亮点，若一个亮点，写出判断依据，若两个，求出亮点间距离。
【答案】(1)，；(2)（）；(3)见解析
【详解】（1）粒子在加速电场中运动，根据动能定理则有
解得
在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有
代入数据解得
设粒子在磁场中偏转的圆心角为，由几何知识可得
其运动周期为
故粒子在磁场中运动的时间
（2）粒子离开磁场进入电场做类平抛运动，设粒子进入电场时的速度方向与y轴的夹角为，由几何知识可得，在y轴上的位移
进入电场时，沿y轴的速度，经过时间打到荧光屏上，则有，
结合上述结论解得
在z方向上，则有
在x方向上，则有
所以粒子打到荧光屏上的坐标为（）
（3）设氘核的质量为，电荷量为，则有，
在加速电场中，则有
解得
即氘核在磁场中运动的情况与氦核运动情况相同，同理可知，在电场中的偏转情况也完全相同，因此在荧光屏上只有一个亮点。
【题型二】带电粒子在组合场中运动的实例分析
1．质谱仪
(1)构造：如图甲所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
(2)原理：①粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU＝mv2。
②粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝m。
③由以上两式可得r＝ ，m＝，＝。
(3)用途：分离同位素，测定带电粒子的比荷、质量m。
2．回旋加速器
(1)构造：如图乙所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地改变正负，粒子就会被一次一次地加速。
(3)将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为零的匀加速直线运动。
(4)带电粒子每加速一次，回旋半径就增大一次，rn＝，nqU＝mv，n为加速次数。各半径之比为1∶∶∶…。
(5)获得的最大动能：由qvmB＝、Ekm＝mv得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
(6)加速到最大动能的加速次数
粒子每加速一次动能增加qU，故需要加速的次数n＝。
(7)加速到最大动能的运动时间
①在磁场中的运动时间t1＝(n－1)。
②在电场中的加速时间t2＝ ，其中a＝，d为狭缝的宽度。
在回旋加速器中运动的总时间t＝t1＋t2。
带电粒子在组合场中运动实例的解题关键 根据受力和运动特点将过程分段，分别应用相关规律求解，注意过程衔接处速度不变。
【例1】如图所示为一种获得高能粒子的装置，环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的均匀磁场，质量为m、电荷量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动，A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子顺时针飞经A板时，A板电势升高为U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间电场中得到加速，每当粒子离开B板时，A板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变，粒子自身的重力不计，则（ ）
A．粒子从A板小孔处由静止开始在电场作用下加速，绕行n圈后回到A板时获得的总动能为2nqU
B．在粒子绕行的整个过程中，A板电势可以始终保持为+U
C．在粒子绕行的整个过程中，每一圈的周期不变
D．为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，则粒子绕行第n圈时的磁感应强度为
【答案】D
【详解】A．粒子绕行n圈后回到A板时获得的总动能为nqU，故A错误；
B．在粒子绕行的整个过程中，A板电势有时为+U，有时为零，故B错误；
C．在粒子绕行的整个过程中，R不变，v变大，根据
可知，周期T越来越小，故C错误；
D．粒子绕行第n圈时，有
所以
又
解得
故D正确。
故选D。
【例2】对铀235的进一步研究在核能的开发和利用中具有重要意义。如图所示，两平行金属板间距为d，电势差为U，板间电场可视为匀强电场；金属板下方有一磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m、电荷量为+q的铀235离子，从容器A下方、金属板上方的小孔处不断飘入电场，其初速度可视为零，经电场加速后射出，并进入磁场做匀速圆周运动。离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为I。不考虑离子重力及离子间的相互作用。求：
(1)匀强电场场强E的大小和离子从电场射出时速度v的大小；
(2)离子在磁场中做匀速圆周运动的半径R；
(3)在离子被收集的过程中时间t内收集到离子的质量M。
【答案】(1)，；(2)；(3)
【详解】（1）匀强电场的电场强度大小为
根据动能定理，有
得离子从电场射出时速度v的大小
（2）离子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，有
联立解得离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
（3）设在t时间内收集到的离子的总电荷量为Q，则
因每个离子电荷量为q，则离子个数
而t时间收集到离子的质量
联立以上各式解得在离子被收集的过程中时间t内收集到离子的质量为
【变式1】（多选）医用回旋加速器工作原理示意图如图甲所示，其工作原理是：带电粒子在磁场和交变电场的作用下，反复在磁场中做回旋运动，并被交变电场反复加速，达到预期所需要的粒子能量，通过引出系统引出后，轰击在靶材料上，获得所需要的核素。时，回旋加速器中心部位O处的灯丝释放的带电粒子在回旋加速器中的运行轨道和加在间隙间的高频交流电压如图乙所示（图中为已知量）。若带电粒子的比荷为k，忽略粒子经过间隙的时间和相对论效应，则（ ）
A．被加速的粒子带正电
B．磁体间匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子被加速的最大动量大小与D形盒的半径有关
D．带电粒子在D形盒中被加速次数与交流电压有关
【答案】BCD
【详解】A．由题图乙可知时，粒子向右加速，故被加速的粒子带负电，故A错误；
B．由题图乙可知交流电压的周期为，粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期与交流电压的周期相等，粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力有
则
则
又
解得磁体间匀强磁场的磁感应强度大小为
故B正确；
C．根据
可知，粒子被加速的最大动量大小与D形盒的半径有关，故C正确；
D．根据
解得
带电粒子在D形盒中被加速次数与交流电压有关，故D正确。
故选BCD。
【变式2】跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，两个匀强磁场区域I、II的边界平行，相距为L，磁感应强度大小相同，方向垂直纸面向里，P、Q间存在水平向右、场强大小为E的匀强电场，方向与磁场边界垂直．质量为m、电荷量为+q的粒子从P飘入电场（初速度忽略不计），多次经过电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口K射出时速度为v，已知K、Q的距离为d，带电粒子的重力不计，求：
(1)磁感应强度大小B；
(2)粒子从P飘入电场至出射口K过程中，在磁场中运动的时间t；
(3)若粒子最后一次以Q射入磁场时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子的轨迹刚好与磁场II的边界相切，求粒子最后一次从Q运动到相切点的时间t以及位移大小x。
【答案】(1)；(2)；(3)，
【详解】（1）粒子从出射口K射出时在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径最大，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
（2）设在电场中加速次数为，由动能定理得
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期
磁场中运动总时间
解得
（3）粒子在磁场中转动的周期
粒子从点运动到相切点的时间
取一小段时间，对粒子在方向上列动量定理
两边同时对过程求和，其中x方向位移为零，x方向末速度为零，可得
解得
【变式3】质子重离子治疗技术是利用质子或重离子形成的粒子射线进行疾病治疗的放疗技术，相比传统技术，具有更加精准、杀伤力更强、不良反应更小的优势。其系统设备由离子源、直径较大的环形回旋加速器和偏转系统组成。回旋加速器的原理如图甲所示，和是两个中空的半径为R的半圆形金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于圆心附近的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们每次经过两盒之间时都能被电场加速，、置于与盒面垂直的磁感应强度大小为的匀强磁场中（忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速），质子最后从D形盒的边缘处射出。
(1)已知质子电荷量为q，求质子的质量；
(2)若质子束从开始加速到从回旋加速器射出的过程中，回旋加速器加速质子的平均功率为P，求此过程质子束的平均等效电流I（用P、、R、f表示）；
(3)质子从加速器射出后，通过偏转系统控制，到达身体不同的位置。如图乙所示，偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，正方体的底面abcd与目标所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，质子恰好沿偏转系统对称轴运动，竖直到达O点（图中坐标原点），x轴、y轴分别与bc边和ab边平行。若偏转系统加上方向平行于x轴的匀强磁场，要求质子打在目标平面上处，已知角度α很小时，有，。求偏转系统中所加匀强磁场的磁感应强度的大小B。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）根据题意可知，质子在磁场中的运动周期与交流电源的周期相等，则有
质子在磁场中运动时，有
又有
联立解得
（2）设质子离开加速器时的速度大小为，根据牛顿第二定律，有
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则此过程中质子束的等效电流
质子从回旋加速器射出时，有
联立各式，解得
（3）由上述分析可知，质子射出加速器的速度大小
质子进入偏转系统的磁场后做圆周运动的半径
设质子离开偏转系统时速度方向偏转角度为α，有
经过磁场的过程中，质子在y轴方向偏转距离
离开磁场后，质子在y轴方向偏移距离
质子打到目标平面时的位置坐标
联立可得
【题型三】带电粒子在叠加场中的运动
叠加场：静电场、磁场、重力场在同一区域叠加，或其中某两场在同一区域叠加。
1．带电粒子(带电体)在叠加场中无约束情况下的运动
(1)静电场、重力场叠加
静电力与重力的合力一般为恒力，带电体做匀速直线运动或匀变速直线(或曲线)运动，比较简单。
(2)磁场、重力场叠加
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
(3)静电场、磁场叠加(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。
(4)静电场、磁场、重力场叠加
①若三力平衡，一定做匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，且粒子速度方向与磁场垂直，则一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
[特别提醒] 是否考虑重力的判断
①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。
②题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。
③不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。
【例1】如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．带电液滴沿逆时针运动
B．带电液滴运动速度大小为
C．若仅撤去匀强磁场，带电液滴可能做曲线运动
D．若仅撤去匀强电场，带电液滴机械能一定不变
【答案】D
【详解】AB．带电液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知液滴所受重力与电场力平衡，即电场力方向竖直向上，液滴带负电，有
根据左手定则可判断带电液滴沿顺时针运动，对液滴有
联立，解得
故AB错误；
C．若仅撤去匀强磁场，带电液滴仅在重力和电场力作用下，受力平衡，将做匀速直线运动，故C错误；
D．若仅撤去匀强电场，带电液滴运动过程中，只有重力做功，机械能一定不变，故D正确。
故选D。
带电粒子在叠加场中运动问题的一般分析方法
【例2】（多选）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于平面向外，电场的方向沿轴正方向。一带正电的粒子从坐标原点由静止释放后，在电场和磁场的作用下，一个周期内的运动轨迹如图甲所示；半径为R的轮胎在地面上沿直线以速度匀速滚动一圈的过程中，轮胎边缘上P点的运动与此粒子的运动相同，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．一个周期内粒子运动的位移大小为
B．粒子运动的周期为
C．粒子的最大速度为
D．粒子在运动过程中所受合力大小不变
【答案】AD
【详解】AB．半径为R的轮胎，以速度v0匀速在地面滚动一圈的过程中，轮胎边缘上的P点的位移大小为，滚动一圈的时间为，故A正确，B错误；
C．将粒子的初速度0分配为+v0和-v0，其中沿正方向的分速度，粒子所受的洛伦兹力qv0B与电场力平衡抵消，沿负方向的-v0在只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，即粒子的运动是沿正方向的匀速直线运动与顺时针圆周运动的合成，所以在最高点时的速度最大为2v0，故C错误；
D．由以上分析可知，由于粒子竖直方向合力为零，只剩下做圆周运动的合力qv0B，所以粒子在运动过程中所受合力大小不变，故D正确。
故选AD。
【例3】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A（l，l）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）微粒在复合场中的运动时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲
可知
得
.
（2）由平衡条件得
电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙
由几何知识可得
l
联立解得
解得
（3）微粒做匀速直线运动的时间
微粒做匀速圆周运动的时间
微粒在复合场中的运动时间
【变式1】（多选）如图所示，某绝缘光滑木板放置在光滑水平桌面上，距其右端L处竖直固定着一挡板，桌面上方存在着水平向里的匀强磁场。在桌面上距离木板右端为d处静置着一质量为m、电荷量为的轻质小球。某时刻起，木板在外力的作用下以速度大小向上匀速运动，一段时间后，小球离开木板以速度大小垂直击中右侧的挡板。空气阻力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．小球离开木板时的速度为 B．从开始运动到小球脱离木板，木板对小球做的功为
C．磁感应强度大小为 D．木板右端到挡板的距离
【答案】CD
【详解】ABC．由题意，可知小球在洛伦兹力的作用下先沿木板方向向右做匀加速运动，离开木板后做匀速圆周运动，所以小球离开木板时速度为，设小球离开木板时水平方向的分速度为，由牛顿第二定律可得
由运动学公式可得，
解得
从开始运动到小球脱离木板，设木板对小球做的功为W，由动能定理可得
解得
故AB错误，C正确；
D．小球做圆周运动的半径为r，如图
由几何关系可得
则
解得
故D正确。
故选CD。
【变式2】2024年9月22日，中国科学院合肥物质科学研究院制造出全球最强水冷磁体，磁场达42.02万高斯，打破美国纪录。强磁场能为科研提供极端实验环境，带电粒子在不同的电磁复合场中，往往体现出不同的运动特征，下图为三个不同区域的电磁复合场情形。重力加速度为。
(1)如图所示，宽度为d的区域Ⅰ存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场，磁场和电场大小均未知。现让质量为、电荷量为q的带正电颗粒从点以初速度与轴正向成射入，带电颗粒在区域Ⅰ做直线运动。求：磁场和电场的大小；
(2)区域Ⅱ存在一竖直平面内（方向向外）的匀强磁场，以及沿y轴正向的匀强电场，其中，带电颗粒从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时，恰好经M点垂直于轴向轴负方向射入区域Ⅲ。求区域Ⅱ的宽度和磁场的大小；
(3)区域Ⅲ存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场。其中，带电颗粒进入区域Ⅲ后，在任一时刻，颗粒速度的分量与其在区域Ⅲ的竖直方向位移大小成正比（令比值）。求比值的大小和带电颗粒在运动中能达到最大速度。
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【详解】（1）带电粒子在区域Ⅰ做匀速直线运动，根据共点力平衡
，
解得，
（2）当粒子进入区域Ⅱ时，由几何关系可知与轴的距离为
在竖直方向上，
粒子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
由几何关系可知圆周运动半径
解得磁场
由几何关系知，区域Ⅱ的宽度
（3）在区域Ⅲ，由水平方向的动量定理
即
解得比值
假设在区域Ⅲ竖直向下位移最大值为，此时速度为
根据动能定理
解得最大速度
【题型四】带电粒子在叠加场中运动的实例分析
1.速度选择器
(1)结构图
(2)原理
带电粒子射入互相垂直的电场和磁场中，受电场力和洛伦兹力，带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝，与粒子的电性、电荷量和质量均无关。
2．磁流体发电机
(1)结构图
(2)原理
由正、负离子组成的等离子体射入极板A、B间，因受洛伦兹力而分别向极板A、B偏转，使两极板积累电荷而产生电动势。若A、B两板相距为d，板间的磁场按匀强磁场处理，磁感应强度为B，等离子体以速度v沿垂直于B的方向射入磁场，离子最终运动稳定时，有q＝qvB，可得发电机的电动势E势＝U＝Bdv。
3．电磁流量计
(1)结构图
(2)原理
导电液体中的正、负离子因受洛伦兹力而分别向管壁的下侧和上侧偏转，使安放在M、N位置的电极积累电荷而产生电势差U。离子最终运动稳定时，有q＝qvB，可得离子稳定运动时液体的速度v＝，则液体的流量Q＝·v＝。
4．霍尔元件
(1)结构图
(2)霍尔效应
在匀强磁场中放置一块矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上将出现电势差UH，这种现象称为霍尔效应。
(3)原理
导体通入恒定电流时，导体中的自由电荷定向移动，在洛伦兹力的作用下向b极或a极漂移，a、b间出现电势差UH，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，UH稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立得UH＝＝k，k＝称为霍尔系数。
[特别提醒] 导电的载流子所带电荷有正电荷和负电荷两种，a、b的电势哪个高与导体中的载流子(即在导体中形成电流的带电粒子)所带电荷的正负有关，如结构图所示，当导体中的载流子所带电荷是正电荷时，根据左手定则可知，b极电势高；若结构图中包括电流方向、磁感应强度的方向等其他条件都不变，而导体中的载流子所带电荷是负电荷，则a极电势高。
【例1】磁轴键盘是一种新型的机械键盘结构，磁轴包括轴心、永磁铁、霍尔传感器和弹簧，其结构简图如图所示。轴心可保证按键和弹簧只在竖直方向运动，永磁铁（N极在下、S极在上）固定在按键上，长、宽、高分别为 l、b、h的霍尔传感器通有由前向后的恒定电流当按键被按下时，永磁铁会靠近霍尔传感器，磁场的变化导致霍尔电压变化并输入信号。当松开按键时，霍尔传感器远离永磁铁，输入信号停止。下列说法正确的是（ ）
A．磁轴键盘的原理是霍尔电压超过某一值后输入信号
B．磁轴键盘的原理是霍尔电压的变化量超过某一值后输入信号
C．增加l后，该磁轴键盘将更加灵敏
D．增加b后，该磁轴键盘将更加灵敏
【答案】A
【详解】AB．根据题意可知，磁铁靠近，霍尔电压增大到某一值后输入信号，故A正确、B错误；
CD．最终电子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，有
结合电流的微观定义式I=neSv=nebhv
有
可见和b对霍尔电压无影响，对该磁轴键盘的灵敏度无影响，故 C、D错误。
故选A。
带电粒子在叠加场中运动实例的解题关键 以平衡方程qE＝qvB为基础，结合洛伦兹力、静电力的知识以及电流、电路的规律求解。
【例2】（多选）速度选择器是质谱仪的重要组成部分，工作时电场和磁场共同作用，能从各种速率的带电粒子中选择出具有一定速率的粒子。下列图示结构中电场方向均水平，磁场方向均垂直纸面，则下列结构能成为速度选择器的是（ ）
B．
C． D．
【答案】BC
【详解】A．该图中从入口射入的正电荷受向左的电场力和向左的洛伦兹力，电荷向左偏转，则该结构不能成为速度选择器，故A错误；
B．该图中从入口射入的正电荷受向右的电场力和向左的洛伦兹力，当二力相等时电荷沿直线从出口射出，则该结构能成为速度选择器，故B正确；
C．该图中从入口射入的正电荷受向左的电场力和向右的洛伦兹力，当二力相等时电荷沿直线从出口射出，则该结构能成为速度选择器，故C正确；
D．该图中从入口射入的正电荷受向右的电场力和向右的洛伦兹力，电荷向右偏转，则该结构不能成为速度选择器，故D错误。
故选BC。
【例3】（多选）如图所示是磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的电阻连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里，如果等离子源以速度发射质量均为m、带电量大小均为q的等离子粒子，沿着与板面平行的方向射入两板间，单位体积内正负离子的个数均为n。忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素。下列说法正确的是（ ）
A．开关断开的情况下，稳定后上极板电势高于下极板
B．设等离子体的电阻率为，没有接通电路时，等离子体受到阻力为f，则接通电路后，为了维持速度不变在通道两侧所加的压强差为
C．电键闭合时，若正离子在通道中的运动轨迹如图中虚线所示（负离子与之类似），设此时两极板电压为U，图中轨迹的最高点和最低点的高度差为
D．图中轨迹的最高点和最低点的高度差为h，在的情况下，通过电阻的电流
【答案】AC
【详解】A．开关断开时，极板间的电压大小等于电动势。由左手定则可知，正离子受洛伦兹力向上，可知上极板电势高。A正确；
B．根据电阻定律可知发电机板间部分的等离子体等效内阻
接通电路，此时发电通道内电荷量为q的离子受力平衡有
解得
由欧姆定律可得
该电流在发电通道内受到的安培力大小为FA=BIa
要使等离子做匀速直线运动，所需推力
整理后解得
B错误；
C．两板间电场强度为
配速
其中
离子受到的洛伦兹力
故离子以线速度做匀速圆周运动和以做匀速直线运动的合运动。
那么
做匀速圆周运动的半径为
则
C正确；
D．当在的情况下，即，即时，与极板距离小于2R的粒子可以打到极板而形成电流，单位时间内打到一块极板上的粒子数为
此时发电机的输出电流为
D错误。
故选AC。
【例4】智能驾驶备受人们的青睐，而霍尔元件在智能驾驶中起着重要的作用，能够实时监测汽车的速度。利用霍尔元件测速的原理如下：在汽车的电机转轴上固定一个磁铁，当装有霍尔元件的传感器靠近磁铁时就会输出高电压，远离磁铁时输出低电压，形成矩形波，通过矩形波的频率计算出电机的转速，再通过车轮的大小计算出汽车的速度，当磁铁靠近霍尔元件时的模拟图如图甲所示，磁感应强度大小为B，元件中通入的电流大小为I，导体中的载流子是电荷量为e的电子，单位体积内的自由电子数为n，导体沿磁场方向的长度为d，导体的高度为h，传感器检测到霍尔电压随时间的变化图像近似如图乙所示。已知车轮的半径为R。
(1)在图甲的状态下，哪个表面的电势低，上、下两个表面的电势差的大小为多少？
(2)若测试车辆从静止开始做匀加速运动，此时电机转速与车轮转速之比为n：1，当车行驶的距离为6πR时，传感器检测到霍尔电压刚好为，求汽车车轮转动最后一圈所用的时间。
【答案】(1)上表面电势低，
(2)
【详解】（1）根据左手定则可知，载流子受到的洛伦兹力向上，载流子带负电，负电荷向上偏转，则霍尔元件的上表面电势低，根据受力平衡可得
由电流的微观表达式可得
其中
解得
（2）设汽车的速度为v，根据图乙可知，电机的转动周期
根据可得
又
解得
设汽车行驶距离为6πR所用的时间为t，根据
解得
设车轮转动一圈、转动两圈、转动三圈的时间分别为，根据可得
其中
则
车轮在转第三圈所用的时间
【变式1】在原子反应堆中抽动导电液体时，常常用到一种新型的装置——电磁泵。如图所示为电磁泵的简易结构图，泵体为一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体，上下两面M、N为金属极板，泵体处于垂直纸面向外磁感应强度为的匀强磁场中。当与电源相连时只会在两极板间的导电液体中产生自上而下的恒定电流，导管的左右两端便会产生压强差，从而将导电液体抽出。导电液的电阻率为，密度为，工作时泵体内始终充满导电液体，重力加速度为。经研究表明，抽液高度与泵体中的液体流速有关，则电磁泵抽液的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由安培力做功的特点可知电磁泵的机械功率等于安培力的功率，所以P机=P1=BIcv
若泵中液体流速为v，设Δt内被抽至泵体中的液体的质量为Δm=ρ0bcvΔt
Δt内被抽至泵体中的液体的动能的增加量
Δt内被抽至泵体中的液体的重力势能的增加量为ΔEp=Δmgh=ρ0bcvghΔt
电磁泵的机械功率等于单位时间内被抽至泵内的液体的动能增加量和重力势能增加量之和，即
代入数据联立可得
化简
故当v=0时，即导电液的流速为零时，h取得最大值，则最大值为
故选C。
【变式2】磁流体发电技术指的是利用高温加热使气体电离，再让已电离的气体在磁场中高速运动而产生电动势，以实现将内能转化为电能的目的。本题我们通过一个简化的模型更好地了解这一技术。如图所示，现有一横截面为矩形的管道，长为l，高为b，宽为a。与宽垂直的两个侧面是电阻可以忽略的导体，将它们用电阻不计的导线和阻值为R的电阻连接在一起。与高垂直的两个侧面为绝缘体，一匀强磁场垂直于该侧面，方向向上，大小为B。再让大量电阻率为的已电离气体以一定速度在管道中流动，假设同一横截面上各点气体的流速都相同。
(1)若忽略气体和管道间的摩擦，当气体以速度v匀速流动时，求此时回路中的电流和管道两端气体的压强差；
(2)若气体和管道之间的摩擦力和气体的流速平方成正比，且管道两端气体的压强差始终保持为，求无磁场时和有磁场B时管道内单位质量的气体动能之比。
【答案】(1)，；(2)
【详解】（1）根据题意可知，当气体以速度v匀速流动时，将电离气体等效成长为的导体棒切割磁感线，则产生的感应电动势为
回路中的电流为
等效导体棒所受安培力为
忽略气体和管道间的摩擦，由平衡条件可得，管道两端的压力差
则管道两端气体的压强差
（2）管道两端气体的压强差始终保持为，则管道两端的压力差
设摩擦力和气体的流速平方成正比的比例系数为，无磁场时，气体的流速为，则气体所受摩擦力为
由平衡条件有
即
有磁场时，设气体的流速为，根据平衡条件有
即
则无磁场时和有磁场B时管道内单位质量的气体动能之比为
【题型五】带电粒子在组合场中的运动
1.带电粒子在交变场中的运动特点
交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间做周期性变化，带电粒子在交变场中的运动问题涉及的物理过程比较复杂。粒子在交变场中的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关，还与粒子进入场的时刻有关。
周期性变化的电磁场会使带电粒子顺次历经不同特点的电磁场，从而表现出“多过程”现象。所以最好画出粒子的运动轨迹草图，并把粒子的运动分解成多个阶段分别列方程联立求解。
2．解决带电粒子在交变电磁场中运动问题的基本思路
【例1】上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。
(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。
(3)如图丙，电子在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。
【答案】(1)；(2)；(3)速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
解得
根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切
联立解得
（3）将空间沿轴线方向分割成微元，经过任何一个微元，电子速度方位角的正弦值变化量近似为，其中为该微元处的平均磁感应强度。无限细分之后求和可知，速度偏向角的正弦值变化量为，其中为图线所围的面积。类比图，横轴下方面积为“负”。故有
沿轴线入射，因此，根据规律则有
解得
因此处，，即速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下。
【变式1】如图（a）所示，在xOy平面上方的区域内存在周期性变化的匀强电场和匀强磁场，变化情况如图（b）、图（c）所示。电场的方向及磁场方向均以y轴正方向为正时刻，一质量为m、电荷量为的带电粒子从坐标原点O开始以速度沿x轴正方向运动。粒子重力忽略不计，图b）、图（c）中，，已知。（）求：
(1)在时刻粒子的速度方向与x轴正方向的夹角；
(2)在时刻粒子的位置坐标；
(3)时间内电场力对粒子做的功。
【答案】(1)或；(2)；(3)见解析
【详解】（1）之间只存在电场，有，，
得时刻粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为或夹角的正切值）
（2）时刻在x、y方向的位移分别为，
得，
在之间，粒子在y方向做匀速直线运动，在平行xOz平面做匀速圆周运动，有，
得，
则在之间，粒子做了半个周期的匀速圆周运动
在之间，在y方向的位移
在z方向的位移
在时刻的位置坐标为，即
（3）在之间，电场力对粒子做的功
得
在～之间，粒子在y方向的位移
在时，y方向的分速度
在之间，电场力对粒子做的功
得
此后按如上规律周期运动，在时间内电场力做的功
因此，在内，电场力做的功为：,。
【变式2】如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处开始存在多个间距为L1、L2 Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2 Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点以相同速度v0沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。
(1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值；
(2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足（n为正整数），且。将能打入条形磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m的值。
【答案】(1)，；(2)，；(3)5
【详解】（1）粒子沿y轴方向做匀速直线运动，则
粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，t=0时刻打入的粒子在该方向v-t图像如图所示
图像面积即为0.5d，则
联立可得
（2）粒子打入圆形磁场，圆周运动半径为
由磁汇聚可知粒子均汇聚到C点，沿x轴正向射出磁场的粒子，则必沿y轴正向射入磁场，即粒子在电场中的侧移距离为零，t时刻打入电场的粒子沿x方向的v-t图像如图所示，因其侧移距离为零，由对称性易知
或
（3）设粒子打入第n个磁场时速度与水平方向的夹角为，在该磁场中粒子圆周运动半径为粒子到达的最远磁场为第n个时，粒子是可穿过第（n-1）磁场的，如图所示
由图可得
则
前n-1个式相加有
因
代入解得
前n个式相加有
故当，即粒子从C沿x轴正方向时取
同理，当，即打入电场的粒子时取
故
21世纪教育网(www.21cnjy.com)秘籍11 带电粒子在组合场、叠加场中的运动
【解密高考】
【题型一】带电粒子在组合场中的运动
【题型二】带电粒子在组合场中运动的实例分析
【题型三】带电粒子在叠加场中的运动
【题型四】带电粒子在叠加场中运动的实例分析
【题型五】带电粒子在交变场中的运动
：带电粒子在组合场、叠加场中的运动问题应是高考考查的重点内容，极易成为高考试题的压轴题；通常以生产、科技中带电粒子运动问题为命题背景，突出考查由受力推知运动或由运动分析受力的建模能力，是高考命题的一个趋势，同学们和教师在复习过程中要重点关注。
：掌握带电粒子在不同的场（重力场、电场和磁场）中运动状态，结合试题给出的情景分析是组合场（各场相继出现在不同区域）还是叠加场（三场同时并存还是其中两场并存），特别注意情景中带电物体的重力是否需要考虑。分析带电物体在各场中的受力情况，根据受力分析带电体的运动情况，再由运动情形结相应的规律进行解题，此类试题带电体的运动过程相对较为复杂，同学们一定要沉着，保持头脑的清晰，认真分析带电体的各个运动过程找出其规律。
【题型一】带电粒子在组合场中的运动
组合场：静电场、磁场与无场区各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场与无场区分时间段交替出现。
1．解题思路
(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选用不同的规律处理。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。
(4)选择合适的物理规律，列方程：对于类平抛运动，一般分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动；对粒子在磁场中做匀速圆周运动的情况，一般都是洛伦兹力提供向心力。
2．常见的基本运动形式
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
示意图
受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式
基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝
做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功
【例1】（多选）医生常用CT扫描机给病人检查病灶，CT机的部分工作原理如图所示。电子从静止开始经加速电场加速后，沿水平方向进入垂直纸面的矩形匀强磁场，最后打在靶上的P点， 产生X射线。已知MN间的电压为U， 磁场的宽度为d， 电子的比荷为k， 电子离开磁场时的速度偏转角为θ， 则下列说法正确的为（ ）
A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．电子进入磁场的速度大小为
C．电子在磁场中做圆周运动的半径为 D．偏转磁场的磁感应强度大小为
带电粒子在组合场中运动的处理方法 (1)解决带电粒子在组合场中运动问题的思路 (2)常用物理规律 ①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识等分析； ②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理。 (3)解题关键：从一种场进入另一种场时衔接速度不变。
【例2】如图所示，圆心坐标为原点的半圆形半径，圆心坐标为的圆弧半径，它们之间存在磁感应强度大小，方向垂直于纸面向外的匀强磁场区域。一位于处的粒子源在平面内向第I象限均匀地发射速度大小的带正电粒子，经磁场偏转后射出该磁场。平行金属板的极板长，间距，其中极板左端坐标为，现在两极板间加上某恒定电压，进入平行金属板前匀速直线运动时间最短的粒子恰好从板右端射出电场。若粒子重力不计，比荷，不计粒子间的相互作用力及电场的边缘效应。（已知）
(1)粒子在磁场中的运动半径及粒子在点入射方向与轴夹角；
(2)求粒子从点出发到离开电场的最长时间；
(3)粒子恰好能从电场右边界中点射出，经过无场区域到达轴上的点（图中未画出），一段时间后经某矩形磁场区域偏转，然后匀速直线运动再次回到点，且此时速度方向与轴负方向夹角为，若此矩形磁场的磁感应强度大小，方向垂直于平面，求此矩形磁场区域的最小面积。
【例3】如图所示，虚线a、b、c、d为平行的边界，相邻边界间的距离均为L，a、b间和c、d间（含边界）有竖直向下、电场强度大小均为E的匀强电场Ⅰ、Ⅱ，b、c间和d下方有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等；一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界a上的P点由静止释放，粒子第一次在磁场Ⅰ中运动时速度偏向角为60°，不计粒子的重力。
(1)求匀强磁场Ⅰ的磁感应强度大小；
(2)求粒子进、出磁场Ⅱ时位置间的距离；
(3)若磁场Ⅰ的磁感应强度大小可以变化，通过改变磁场Ⅰ的磁感应强度大小可以改变粒子到达边界d的位置，在边界d上放一接收屏，要使磁场Ⅰ改变后，能进入电场Ⅱ中的粒子始终能打在接收屏上，求接收屏的最短长度。
【变式1】科学研究经常需要分离同位素。电场可以给带电粒子加速，也能让粒子发生偏转。如图所示，粒子源不断产生初速度为零、电荷量为e、质量为m的氕核和质量为3m氘核，经过电压为U的加速电场加速后匀速通过准直管，从偏转电场的极板左端中央沿垂直电场方向射入匀强偏转电场，偏转电场两水平金属板的板长为d，板间距离也为d，板间电压为2U。整个装置处于真空中，粒子所受重力、偏转电场的边缘效应均可忽略不计。
(1)求氕核离开偏转电场时的侧移量以及速度与水平方向的夹角；
(2)为了分离氕核和氚核，在偏转电场下极板右端竖直放置一接收屏MN，且MN与偏转电场的下极板相交于M点，在偏转电场右侧存在范围足够大、左端有理想边界、磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，且磁场的左边界与MN所在直线重合。求氕核和氚核打在接收屏上的位置与M点的距离之比。
【变式2】如图所示，三维空间中有坐标系，在空间内存在着沿轴负向的匀强磁场，磁感应强度大小，在空间内存在着沿轴正向的匀强电场，电场强度大小为，在处有平行于的荧光屏，在点处有粒子源和加速电场（所占空间不计），加速电压为，粒子从静止开始经电场瞬间加速，沿轴正向飞出，已知粒子质量为，电量为，不计粒子重力。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径及时间；
(2)粒子打到荧光屏上的坐标；
(3)粒子打到荧光屏产生一个亮点，另有氘核（）经电场加速进入磁场和电场，最后打在荧光屏上产生亮点，试判断荧光屏上有几个亮点，若一个亮点，写出判断依据，若两个，求出亮点间距离。
【题型二】带电粒子在组合场中运动的实例分析
1．质谱仪
(1)构造：如图甲所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
(2)原理：①粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU＝mv2。
②粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝m。
③由以上两式可得r＝ ，m＝，＝。
(3)用途：分离同位素，测定带电粒子的比荷、质量m。
2．回旋加速器
(1)构造：如图乙所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地改变正负，粒子就会被一次一次地加速。
(3)将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为零的匀加速直线运动。
(4)带电粒子每加速一次，回旋半径就增大一次，rn＝，nqU＝mv，n为加速次数。各半径之比为1∶∶∶…。
(5)获得的最大动能：由qvmB＝、Ekm＝mv得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。
(6)加速到最大动能的加速次数
粒子每加速一次动能增加qU，故需要加速的次数n＝。
(7)加速到最大动能的运动时间
①在磁场中的运动时间t1＝(n－1)。
②在电场中的加速时间t2＝ ，其中a＝，d为狭缝的宽度。
在回旋加速器中运动的总时间t＝t1＋t2。
带电粒子在组合场中运动实例的解题关键 根据受力和运动特点将过程分段，分别应用相关规律求解，注意过程衔接处速度不变。
【例1】如图所示为一种获得高能粒子的装置，环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的均匀磁场，质量为m、电荷量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动，A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子顺时针飞经A板时，A板电势升高为U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间电场中得到加速，每当粒子离开B板时，A板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变，粒子自身的重力不计，则（ ）
A．粒子从A板小孔处由静止开始在电场作用下加速，绕行n圈后回到A板时获得的总动能为2nqU
B．在粒子绕行的整个过程中，A板电势可以始终保持为+U
C．在粒子绕行的整个过程中，每一圈的周期不变
D．为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，则粒子绕行第n圈时的磁感应强度为
【例2】对铀235的进一步研究在核能的开发和利用中具有重要意义。如图所示，两平行金属板间距为d，电势差为U，板间电场可视为匀强电场；金属板下方有一磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m、电荷量为+q的铀235离子，从容器A下方、金属板上方的小孔处不断飘入电场，其初速度可视为零，经电场加速后射出，并进入磁场做匀速圆周运动。离子行进半个圆周后离开磁场并被收集，离开磁场时离子束的等效电流为I。不考虑离子重力及离子间的相互作用。求：
(1)匀强电场场强E的大小和离子从电场射出时速度v的大小；
(2)离子在磁场中做匀速圆周运动的半径R；
(3)在离子被收集的过程中时间t内收集到离子的质量M。
【变式1】（多选）医用回旋加速器工作原理示意图如图甲所示，其工作原理是：带电粒子在磁场和交变电场的作用下，反复在磁场中做回旋运动，并被交变电场反复加速，达到预期所需要的粒子能量，通过引出系统引出后，轰击在靶材料上，获得所需要的核素。时，回旋加速器中心部位O处的灯丝释放的带电粒子在回旋加速器中的运行轨道和加在间隙间的高频交流电压如图乙所示（图中为已知量）。若带电粒子的比荷为k，忽略粒子经过间隙的时间和相对论效应，则（ ）
A．被加速的粒子带正电
B．磁体间匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子被加速的最大动量大小与D形盒的半径有关
D．带电粒子在D形盒中被加速次数与交流电压有关
【变式2】跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，两个匀强磁场区域I、II的边界平行，相距为L，磁感应强度大小相同，方向垂直纸面向里，P、Q间存在水平向右、场强大小为E的匀强电场，方向与磁场边界垂直．质量为m、电荷量为+q的粒子从P飘入电场（初速度忽略不计），多次经过电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口K射出时速度为v，已知K、Q的距离为d，带电粒子的重力不计，求：
(1)磁感应强度大小B；
(2)粒子从P飘入电场至出射口K过程中，在磁场中运动的时间t；
(3)若粒子最后一次以Q射入磁场时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子的轨迹刚好与磁场II的边界相切，求粒子最后一次从Q运动到相切点的时间t以及位移大小x。
【变式3】质子重离子治疗技术是利用质子或重离子形成的粒子射线进行疾病治疗的放疗技术，相比传统技术，具有更加精准、杀伤力更强、不良反应更小的优势。其系统设备由离子源、直径较大的环形回旋加速器和偏转系统组成。回旋加速器的原理如图甲所示，和是两个中空的半径为R的半圆形金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于圆心附近的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们每次经过两盒之间时都能被电场加速，、置于与盒面垂直的磁感应强度大小为的匀强磁场中（忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速），质子最后从D形盒的边缘处射出。
(1)已知质子电荷量为q，求质子的质量；
(2)若质子束从开始加速到从回旋加速器射出的过程中，回旋加速器加速质子的平均功率为P，求此过程质子束的平均等效电流I（用P、、R、f表示）；
(3)质子从加速器射出后，通过偏转系统控制，到达身体不同的位置。如图乙所示，偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，正方体的底面abcd与目标所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，质子恰好沿偏转系统对称轴运动，竖直到达O点（图中坐标原点），x轴、y轴分别与bc边和ab边平行。若偏转系统加上方向平行于x轴的匀强磁场，要求质子打在目标平面上处，已知角度α很小时，有，。求偏转系统中所加匀强磁场的磁感应强度的大小B。
【题型三】带电粒子在叠加场中的运动
叠加场：静电场、磁场、重力场在同一区域叠加，或其中某两场在同一区域叠加。
1．带电粒子(带电体)在叠加场中无约束情况下的运动
(1)静电场、重力场叠加
静电力与重力的合力一般为恒力，带电体做匀速直线运动或匀变速直线(或曲线)运动，比较简单。
(2)磁场、重力场叠加
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
(3)静电场、磁场叠加(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。
(4)静电场、磁场、重力场叠加
①若三力平衡，一定做匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，且粒子速度方向与磁场垂直，则一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
2．带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
[特别提醒] 是否考虑重力的判断
①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。
②题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。
③不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。
【例1】如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．带电液滴沿逆时针运动
B．带电液滴运动速度大小为
C．若仅撤去匀强磁场，带电液滴可能做曲线运动
D．若仅撤去匀强电场，带电液滴机械能一定不变
带电粒子在叠加场中运动问题的一般分析方法
【例2】（多选）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于平面向外，电场的方向沿轴正方向。一带正电的粒子从坐标原点由静止释放后，在电场和磁场的作用下，一个周期内的运动轨迹如图甲所示；半径为R的轮胎在地面上沿直线以速度匀速滚动一圈的过程中，轮胎边缘上P点的运动与此粒子的运动相同，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．一个周期内粒子运动的位移大小为
B．粒子运动的周期为
C．粒子的最大速度为
D．粒子在运动过程中所受合力大小不变
【例3】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A（l，l）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）微粒在复合场中的运动时间。
【变式1】（多选）如图所示，某绝缘光滑木板放置在光滑水平桌面上，距其右端L处竖直固定着一挡板，桌面上方存在着水平向里的匀强磁场。在桌面上距离木板右端为d处静置着一质量为m、电荷量为的轻质小球。某时刻起，木板在外力的作用下以速度大小向上匀速运动，一段时间后，小球离开木板以速度大小垂直击中右侧的挡板。空气阻力忽略不计。下列说法正确的是（ ）
A．小球离开木板时的速度为 B．从开始运动到小球脱离木板，木板对小球做的功为
C．磁感应强度大小为 D．木板右端到挡板的距离
【变式2】2024年9月22日，中国科学院合肥物质科学研究院制造出全球最强水冷磁体，磁场达42.02万高斯，打破美国纪录。强磁场能为科研提供极端实验环境，带电粒子在不同的电磁复合场中，往往体现出不同的运动特征，下图为三个不同区域的电磁复合场情形。重力加速度为。
(1)如图所示，宽度为d的区域Ⅰ存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场，磁场和电场大小均未知。现让质量为、电荷量为q的带正电颗粒从点以初速度与轴正向成射入，带电颗粒在区域Ⅰ做直线运动。求：磁场和电场的大小；
(2)区域Ⅱ存在一竖直平面内（方向向外）的匀强磁场，以及沿y轴正向的匀强电场，其中，带电颗粒从区域Ⅱ进入区域Ⅲ时，恰好经M点垂直于轴向轴负方向射入区域Ⅲ。求区域Ⅱ的宽度和磁场的大小；
(3)区域Ⅲ存在竖直平面内（方向向里）的匀强磁场，以及沿轴正向的匀强电场。其中，带电颗粒进入区域Ⅲ后，在任一时刻，颗粒速度的分量与其在区域Ⅲ的竖直方向位移大小成正比（令比值）。求比值的大小和带电颗粒在运动中能达到最大速度。
【题型四】带电粒子在叠加场中运动的实例分析
1.速度选择器
(1)结构图
(2)原理
带电粒子射入互相垂直的电场和磁场中，受电场力和洛伦兹力，带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝，与粒子的电性、电荷量和质量均无关。
2．磁流体发电机
(1)结构图
(2)原理
由正、负离子组成的等离子体射入极板A、B间，因受洛伦兹力而分别向极板A、B偏转，使两极板积累电荷而产生电动势。若A、B两板相距为d，板间的磁场按匀强磁场处理，磁感应强度为B，等离子体以速度v沿垂直于B的方向射入磁场，离子最终运动稳定时，有q＝qvB，可得发电机的电动势E势＝U＝Bdv。
3．电磁流量计
(1)结构图
(2)原理
导电液体中的正、负离子因受洛伦兹力而分别向管壁的下侧和上侧偏转，使安放在M、N位置的电极积累电荷而产生电势差U。离子最终运动稳定时，有q＝qvB，可得离子稳定运动时液体的速度v＝，则液体的流量Q＝·v＝。
4．霍尔元件
(1)结构图
(2)霍尔效应
在匀强磁场中放置一块矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上将出现电势差UH，这种现象称为霍尔效应。
(3)原理
导体通入恒定电流时，导体中的自由电荷定向移动，在洛伦兹力的作用下向b极或a极漂移，a、b间出现电势差UH，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，UH稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立得UH＝＝k，k＝称为霍尔系数。
[特别提醒] 导电的载流子所带电荷有正电荷和负电荷两种，a、b的电势哪个高与导体中的载流子(即在导体中形成电流的带电粒子)所带电荷的正负有关，如结构图所示，当导体中的载流子所带电荷是正电荷时，根据左手定则可知，b极电势高；若结构图中包括电流方向、磁感应强度的方向等其他条件都不变，而导体中的载流子所带电荷是负电荷，则a极电势高。
【例1】磁轴键盘是一种新型的机械键盘结构，磁轴包括轴心、永磁铁、霍尔传感器和弹簧，其结构简图如图所示。轴心可保证按键和弹簧只在竖直方向运动，永磁铁（N极在下、S极在上）固定在按键上，长、宽、高分别为 l、b、h的霍尔传感器通有由前向后的恒定电流当按键被按下时，永磁铁会靠近霍尔传感器，磁场的变化导致霍尔电压变化并输入信号。当松开按键时，霍尔传感器远离永磁铁，输入信号停止。下列说法正确的是（ ）
A．磁轴键盘的原理是霍尔电压超过某一值后输入信号
B．磁轴键盘的原理是霍尔电压的变化量超过某一值后输入信号
C．增加l后，该磁轴键盘将更加灵敏
D．增加b后，该磁轴键盘将更加灵敏
带电粒子在叠加场中运动实例的解题关键 以平衡方程qE＝qvB为基础，结合洛伦兹力、静电力的知识以及电流、电路的规律求解。
【例2】（多选）速度选择器是质谱仪的重要组成部分，工作时电场和磁场共同作用，能从各种速率的带电粒子中选择出具有一定速率的粒子。下列图示结构中电场方向均水平，磁场方向均垂直纸面，则下列结构能成为速度选择器的是（ ）
B．
C． D．
【例3】（多选）如图所示是磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的电阻连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里，如果等离子源以速度发射质量均为m、带电量大小均为q的等离子粒子，沿着与板面平行的方向射入两板间，单位体积内正负离子的个数均为n。忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素。下列说法正确的是（ ）
A．开关断开的情况下，稳定后上极板电势高于下极板
B．设等离子体的电阻率为，没有接通电路时，等离子体受到阻力为f，则接通电路后，为了维持速度不变在通道两侧所加的压强差为
C．电键闭合时，若正离子在通道中的运动轨迹如图中虚线所示（负离子与之类似），设此时两极板电压为U，图中轨迹的最高点和最低点的高度差为
D．图中轨迹的最高点和最低点的高度差为h，在的情况下，通过电阻的电流
【例4】智能驾驶备受人们的青睐，而霍尔元件在智能驾驶中起着重要的作用，能够实时监测汽车的速度。利用霍尔元件测速的原理如下：在汽车的电机转轴上固定一个磁铁，当装有霍尔元件的传感器靠近磁铁时就会输出高电压，远离磁铁时输出低电压，形成矩形波，通过矩形波的频率计算出电机的转速，再通过车轮的大小计算出汽车的速度，当磁铁靠近霍尔元件时的模拟图如图甲所示，磁感应强度大小为B，元件中通入的电流大小为I，导体中的载流子是电荷量为e的电子，单位体积内的自由电子数为n，导体沿磁场方向的长度为d，导体的高度为h，传感器检测到霍尔电压随时间的变化图像近似如图乙所示。已知车轮的半径为R。
(1)在图甲的状态下，哪个表面的电势低，上、下两个表面的电势差的大小为多少？
(2)若测试车辆从静止开始做匀加速运动，此时电机转速与车轮转速之比为n：1，当车行驶的距离为6πR时，传感器检测到霍尔电压刚好为，求汽车车轮转动最后一圈所用的时间。
【变式1】在原子反应堆中抽动导电液体时，常常用到一种新型的装置——电磁泵。如图所示为电磁泵的简易结构图，泵体为一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体，上下两面M、N为金属极板，泵体处于垂直纸面向外磁感应强度为的匀强磁场中。当与电源相连时只会在两极板间的导电液体中产生自上而下的恒定电流，导管的左右两端便会产生压强差，从而将导电液体抽出。导电液的电阻率为，密度为，工作时泵体内始终充满导电液体，重力加速度为。经研究表明，抽液高度与泵体中的液体流速有关，则电磁泵抽液的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】磁流体发电技术指的是利用高温加热使气体电离，再让已电离的气体在磁场中高速运动而产生电动势，以实现将内能转化为电能的目的。本题我们通过一个简化的模型更好地了解这一技术。如图所示，现有一横截面为矩形的管道，长为l，高为b，宽为a。与宽垂直的两个侧面是电阻可以忽略的导体，将它们用电阻不计的导线和阻值为R的电阻连接在一起。与高垂直的两个侧面为绝缘体，一匀强磁场垂直于该侧面，方向向上，大小为B。再让大量电阻率为的已电离气体以一定速度在管道中流动，假设同一横截面上各点气体的流速都相同。
(1)若忽略气体和管道间的摩擦，当气体以速度v匀速流动时，求此时回路中的电流和管道两端气体的压强差；
(2)若气体和管道之间的摩擦力和气体的流速平方成正比，且管道两端气体的压强差始终保持为，求无磁场时和有磁场B时管道内单位质量的气体动能之比。
【题型五】带电粒子在组合场中的运动
1.带电粒子在交变场中的运动特点
交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间做周期性变化，带电粒子在交变场中的运动问题涉及的物理过程比较复杂。粒子在交变场中的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关，还与粒子进入场的时刻有关。
周期性变化的电磁场会使带电粒子顺次历经不同特点的电磁场，从而表现出“多过程”现象。所以最好画出粒子的运动轨迹草图，并把粒子的运动分解成多个阶段分别列方程联立求解。
2．解决带电粒子在交变电磁场中运动问题的基本思路
【例1】上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。
(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。
(3)如图丙，电子在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。
【变式1】如图（a）所示，在xOy平面上方的区域内存在周期性变化的匀强电场和匀强磁场，变化情况如图（b）、图（c）所示。电场的方向及磁场方向均以y轴正方向为正时刻，一质量为m、电荷量为的带电粒子从坐标原点O开始以速度沿x轴正方向运动。粒子重力忽略不计，图b）、图（c）中，，已知。（）求：
(1)在时刻粒子的速度方向与x轴正方向的夹角；
(2)在时刻粒子的位置坐标；
(3)时间内电场力对粒子做的功。
【变式2】如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处开始存在多个间距为L1、L2 Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2 Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点以相同速度v0沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。
(1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值；
(2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足（n为正整数），且。将能打入条形磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m的值。
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